О свойстве квазирешений задачи Копти для полулинейного дифференциального включения Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СВОЙСТВЕ квазирешении ЗАДАЧИ КОШИ для ПОЛУЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

© I. Вепес1еШ, Е.А. Панасенко

Пусть Е - сепарабельное банахово пространство; К.{Е) - множество всех непустых компактных подмножеств Е; если X с Е, то соХ есть замкнутая выпуклая оболочка X.

Обозначим через С([0,с1],Е) банахово пространство непрерывных функций х : [0,с2] —» Е с нормой ||я||с = нир ||ж(<)|[, а через Ьг([0,<1\,Е) банахово пространство интегрируемых по Бохнеру

4€[0,<г]

функций у : [0,сГ| Е с нормой \\y\h = ^\\у(ЩсИ; ^([О.е/], А+.) = Ь^([0,й]).

В работе рассматривается задача Коши для полулинейного дифференциального включения

х(Ь) £ Ах{{) + ^(2, х(£)) , Ь £ [0, с1\, (1)

ж(0) = хо £ Е

при следующих условиях:

(А) оператор А : О (А) С Е —> Е есть инфинитезимальный производящий оператор сильно непре-рывнои полугруппы е ;

многозначное отображение : [0, с/] х £7 —>• К{Е) обладает свойствами:

(П) отображение Р непрерывно по совокупности аргументов (/:, х);

(Р2) существует функция а £ Ь+([0, (]]) такая, что

||^(^а:)|| = тах{||у|| : у £ Р(^,х)} < «(£)(! + ЦжЦ^) при п.в. £ £ [0,й];

(РЗ) существует функция [I £ с/]) такая, что для любого ограниченного множества Б с Е

при п.в. Ь £ [0, г]] имеет место неравенство

где х ~ мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е.

Определение. Непрерывная функция х £ С([0, <2], Е) называется обобщенным решением задачи (1) на промежутке [0, <Л], если существует функция / £ Ь1([0,с^],£:) такая, что /(в) £ ^(й,а:(в)) при п.в. в £ [0, ({], и для любого I £ [0, с?] выполняется равенство

хЦ) = емх0 + /* еА^~в) /(в)*.

Наряду с задачей (1) рассматривается «овыпукленная» задача полулинейного дифференциального включения

х(£) £ Ах(£) + со.Р(£, х(Ь)) , £ £ [0, с1] (2)

ж(0) = хо £ Е.

Замечание. Отметим, что при условиях (А), (И)-(ГЗ) множество обобщенных решений задачи (1) непусто, а множество обобщенных решений задачи (2) - непусто и компактно в пространстве С([М,Я) [1, С. 131,165].

Определение. Будем говорить, что непрерывная функция х £ С([0, <1\, Е) есть квазирешение задачи (1), если существует последовательность 0 С ^([О, (1], Е) такая, что

для любого п fn{s) £ Е(я, ж(в)) при п.в. 8 £ [0, с/], а последовательность непрерывных функций

{.'С„}^=0 С C([0,d\, Е), определенная равенством

Xn(t) = емх0 + [ eA{t~s)fn(s) ds,

J о

сходится KiB пространстве С([0, d], Е).

Теорема. Если оператор А и отображение F удовлетворяют условиям (A), (F1)-(F3), то множество обобщенных решений «овыпупленной» задачи (2) совпадает с множеством квазирешений задачи (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kamenskii М., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-N.Y., 2001.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00324, Министерства образования и науки РФ, грант № Е02-1.0-212, НИР темплана 01.002.2.

О РАЗРЕШИМОСТИ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРОИЗВОЛЬНОМ НОРМАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ

© А.Ю.Сазонов

Пусть К"+1 полупространство у > 0 точек х = (ц,..., хп, у) = {х',у) евклидова (п + 1)-мерного пространства Кп+1. С+ и Г2+ - ограниченные (п + 1)-мерные области, расположенные в Кп+1 и прилегающие к гиперплоскости у = 0. Через Г° обозначим часть границы области Г2+, лежащей на гиперплоскости у = 0, а Г+ - замыкание оставшейся части границы. Через ()г обозначим (п + 2)-мерный цилиндр, равный произведению Г2+ х (0 < Ь < Т). В работе рассматривается вопрос о разрешимости в классическом смысле краевой задачи:

|- Lu = f(x, t), (х, t) Є QT, и(х, 0) = р(х), = ф{х),х Є Г2+,

u(x,t) І

Г+ х (0,Т)

__ гч du(x,t)

- и> ду

а)

Г°х(0,Т)

= 0.

Здесь (р(х), 'ф(х) и /(х, Ь) - заданные функции, определенные в областях и С^т соответственно,

Ь - определенный в области С+, дифференциальный оператор Б-эллиптического типа [1]:

71 А

у JL

^ дХг

i,j= 1

j(x)

_д_

дх.

д2 к д

-I- + - • — + с{х),с{х) < 0, к > 0.

ду2 у ду

(2)

Общее решение задачи (1) представимо рядом Фурье

i{x,t) = У'vp(x) р= 1

(Рр COS -

I

л/аpt + sin л/Xpt + —-!== [ /р(г) sin л/\р (t - т) dr

у Лр \/Лю J

\/\>

(3)

в котором ир{х) - собственные функции, а Лр - соответствующие собственные значения краевой задачи:

ду

Ьу + Хи = 0, х £ $7+, г>|Г+= 0, —

ду

г°