О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 3 (2020). С. 62-70.

УДК 517.988.63+517.927.4+517.956.25

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Э. МУХАМАДИЕВ, A.B. НАЗИМОВ, А.Н. НАЙМОВ

Аннотация. Исследована разрешимость одного класса нелинейных уравнений с малым параметром в банаховом пространстве. Исследование данного класса уравнений затруднено тем, что главная линейная часть уравнения не обратима. Для исследования разрешимости рассматриваемого класса уравнений применен новый метод, в котором сочетаются метод Понтрягина из теории автономных систем на плоскости и методы вычисления вращения векторных полей. При этом используется схема матричного представления расщепляемых операторов, известная в теории ветвления решений нелинейных уравнений. В отличие от метода Понтрягина не предполагается дифференцируемость нелинейного отображения и применяются методы вычисления вращения векторных полей. На основе предложенного метода сформулирована и доказана теорема об условиях разрешимости исследуемого класса нелинейных уравнений. В качестве приложения исследованы две периодические задачи для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром - периодическая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в резонансном случае и периодическая задача для нелинейного эллиптического уравнения с необратимой линейной частью. Ключевые слова: нелинейное уравнение с малым параметром, метод Понтрягина, вращение векторного поля, периодическая задача.

Mathematics Subject Classification: 46Т20, 47А55, 34В15, 35J66

1. Введение

Рассмотрим разрешимость нелинейных уравнений следующего вида:

Ах = ßf (x,ß), х Е Е. (1.1)

Здесь Е - банахово пространство, ß - вещественный параметр, ^ ß0, А : Da м Е -линейный оператор с областью определения Da С Е, А - замкнутый и нормально разрешимый, f : Е х [—ß0,ßo] м Е - непрерывное отображение.

Если оператор А обратим, то уравнение (1.1) сводится к уравнению

х = ßA-1f (x,ß), х Е Е. (1.2)

Предполагая А-1 вполне непрерывным и применяя принцип неподвижной точки Шауде-ра (см. [1, §35]), можно доказать, что уравнение (1.2) разрешимо при малых значениях параметра ß.

В настоящей статье исследована разрешимость уравнения (1.1) с необратимым оператором А. В этом случае применяется новый метод, исходящий от метода Понтрягина,

Е. Mukhamadiev, A.B. Nazimov, A.N. Naimov, On solvability class of nonlinear equations

with small parameter in banach space.

© Мухамадиев Э., Назимов A.B., Наймов А.Н. 2020.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты № 18-47-350001р-а, № 19-01-00103а).

Поступила 11 декабря 2019 г.

известного в теории автономных систем на плоскости (см, [2], [3, гл. 11, §7]), Метод Понт-рягина применяется для доказательства существования предельного цикла нелинейной автономной системы, состоящей из линейной части и нелинейного возмущения с малым параметром. Идея метода Понтрягина заключается в том, что с помощью нелинейного возмущения выделяется определенное периодическое решение соответствующей линейной системы и посредством этого решения доказывается существование цикла у нелинейной автономной системы при малых значениях параметра. Данная идея в настоящей работе реализована применительно к нелинейным уравнениям вида (1.1). При этом используется схема матричного представления расщепляемых операторов, известная в теории ветвления решений нелинейных уравнений [4, гл. 5, §22], К тому же, в отличие от метода Понтрягина не предполагается дифференцируемоеть нелинейного отображения f и применяются методы вычисления вращения векторных полей (см, напр., [5, гл. 2]), На основе предложенного метода сформулирована и доказана теорема о разрешимости уравнения (1.1) при малых значениях параметра

В качестве приложения исследованы две периодические задачи для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром:

1) периодическая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

у1 = Су + * е (0,и), у е у(0) = у (и),

в резонансном случае, т. е. в случае когда матрица С имеет чисто мнимые собственные значения ±г2-к/ш",

2) периодическая задача для нелинейного эллиптического уравнения

д2и д2и

дх^ + д-г? + (^ + 1^)и = ^(%,У,и, ^), (%,У) е П = (0, 2п) Х (0, 2п), и(0,у) = и(2ж,у), и(х, 0) = и(х, 2ж), х,у е [0, 2ж],

где линейная часть не обратима.

Полученные результаты являются новыми и в последующем могут быть использованы при исследовании других классов краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, В работе [6] уравнение (1.1) исследовано в конечномерном случае Е = Кга, В бесконечномерном случае, когда Е - гильбертово пространство, уравнение вида (1.1) исследовано в работе [7] на примере одной нелинейной краевой задачи с малым параметром,

2. Основные результаты

Пусть линейный оператор А : Ид м Е задан па линейном многообразии Ид банахового пространства Е с нормой || • || и пусть выполнены следующие условия:

1) Кег А := [х е Еа : Ах = 0} = {0};

2) Е = Е\ ф Е2, где Е\, Е2 - линейные многообразия, Е\ С И а Е2 П Кег А = {0} и А(Е2 П Ба) = А(Ба).

Разложение Е = Е\ ф Е2 равносильно существованию двух линейных операторов Рг : Ем Ег, г = 1, 2, обладающих свойствами Р^ = Рг7 г = 1, 2, Р\ + Р2 = I единичный оператор, эти операторы называют проекторами. По ним определим линейные операторы А^ = РгАР) : (Е2 П И а) м Ег, %,] = 1, 2. В силу уело вия Е2 П Кег А = {0} существует

Г1

22 5

Верпа следующая лемма.

линейный оператор А22, обратный к оператору А22.

Лемма 2.1. Если выполнены условия 1), 2) и задано отображение f : Da х [—Е, то уравнение (1.1) при ^ = 0 равносильно системе уравнений

Pif (xi + Х2,у) - Ai2A-2:P2f (xi + Х2,у) = 0,

Х2 = -A22XA21 Xi + ^A221P2f (Xi + Х2 (2.1)

где х1 = Р1х, х2 = Р2х.

Лемма 2.1 доказана по аналогии е теоремой 22.1 из книги [4, гл. 5, §22]. Из условий 1) и 2) вытекает, что (I— А22А21) : Е1 м- Ker А - изоморфизм, поэтому в качестве Е1 можно взять Ker А Нахождение Ker А для некоторых операторов А может быть затруднительно, в таких случаях проще подобрать Е1 и Е2, удовлетворяющие условию 2). Для исследования разрешимости системы уравнений (2.1) предположим, что

3) А - замкнутый и нормально разрешимый;

4) dim Е1 < ж.

В линейных многообразиях Е1 и Еа = Е2 П Da введем нормы:

INk := N1, Ыеа := IM + IIАХ2||.

Из условия 3) следует, что Еа - банахово пространство, операторы Aj, i,j = 1, 2 и А22 ограничены.

Пусть выполнены условия 1) - 4) и условие

5) оператор f (х1 + х2,^) : E1 х Еа х [—^0,^о] м Е вполне непрерывный. Тогда справедлива

Лемма 2.2. Если выполнены условия 1) - 5) и для м 0 п м <х при каждом ^ = система уравнений (2.1) разрешима на ограниченном множестве U С Е1 х Еа, то разрешимо уравнение

(Р1 — A12A22P2)f (х, 0) = 0, ж е Ker А. (2.2)

Таким образом, разрешимость уравнения (2.2) необходима для разрешимости системы уравнений (2.1) при всех малых значениях /j. Следуя методу Понтрягина [3, гл. 11, §7], зададим одно изолированное решение уравнения (2.2) и по нему докажем существование решения системы уравнений (2.1) при всех малых значениях /j. Для этого применим методы вычисления вращения векторных полей [5, гл. 2].

Рассмотрим конечномерное векторное поле Ф : Е1 м Е17 определяемое формулой

Ф(Х1) = (Р1 — AuA221P2)f (Х1 — А^А21Х1, 0), Х1 е El

При любом х1 е Е1 имеем (х1 — А^21А21х1) е Ker А ( см. [4, гл. 5, §22]). Предположим, что существуют х\ е Е1 и е > 0 такие, что

6) Ф(^1) = 0 и Ф(ж1) = 0 при 0 < ||ж1 — х*ЦЕ1 ^ £]

7) 7(Ф, Si (ж*)) = 0, где 7(Ф, Si (ж*)) - вращение векторного поля Ф па сфере

Sl(x1) := [Х1 е Е1 : Цж1 — XHIei = е]. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия 1) - 7). Тогда, существует ^1 е (0,^0) такое, что при всех ^ е (—^1,^1) уравнение (1.1) разрешимо на множестве

U£(x*1) = [Х1 + Ж2 : Х1 е Е1,Х2 е Еа, Цж1 — жЦЦ1 + Цх2 + ^^ЦЦ^ ^ £2].

Замечание 2.1. Аналогичная теорема имеет место, если рассматривать уравнение

Ах = h + ц/(х,у), х е Е, (1.1h),

где h е A(Da). В частности, при f (х,у) = х — х*, х* е Ker А получим уравнение (А — )(х — х*) = h, которое называется регуляризованное сдвигом. Такие уравнения в конечномерном и гильбертовом пространствах исследованы в монографии [8]. В общем случае уравнение (1.1h) можно считать нелинейной регуляризацией уравнения Ах = h.

Применяя теорему 2,1, исследуем разрешимость периодической задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

у' = Су + м(г,у,ц), г е (0,ш), у е Кп, у(0) = у(ш), (2.3)

где п > 1, ш > 0 С - вещественная квадратная матрица порядка п. Пусть выполнены условия:

8) матрица С имеет чисто мнимые собственные значения ±г2-к/ш',

9) отображение д : Кп+2 м Кп непрерывно и ^-периодично по ¿;

10) существует вектор х* е Кп, обладающий свойствами

а) вектор х* принадлежит подпространству

= {х е Кп : (е-шС — I)х = 0} ;

б) для любого вектора х из некоторой окрестности

иг(ж*) = [х е Кп : |ж - ж*| < г} точки х* существует единственное решение р(Ь,х,/1), £ е [0,ш] задачи Коши

У' = Су + ^^g(t,y,f^), у(0)= х;

в) вектор х* является изолированным нулем векторного поля Фп : Еп м Егде

г-ш

Фп(х!) = м2А— Р2\ е-т°д(т,етСхъ 0)йт, хг е Еп, ио

А^ = РгАРг,] = 1, 2, А = (е-шС — I), Рг : Кп м ЕП, г = 1, 2 - ортогональные проекторы, ЕП = (ЕП)± - ортогональное дополпение к ЕП',

г) отлично от нуля вращение 7(Фп, ЗП(х*)) векторного поля Фп на сфере

= [х\ е Еп : — х* | = £}

положительного радиуса е, где е < г.

Справедлива следующая теорема о разрешимости периодической задачи (2.3).

Теорема 2.2. Если выполнены условия 8)-10), то существует Ц\ > 0 такое, что периодическая задача, (2.3) разрешима при всех ¡л е (—^1,^1).

Рассмотрим разрешимость периодической задачи для нелинейного эллиптического уравнения

д2и д2и

д.т2 + Ъу2 + (к2 + 12°)и = (х,У,и,^), (х,у) е П=(0, 2тт) Х (0, 2тг), (2.4)

и(0,у) = и(2ж,у), и(х, 0) = и(х, 2тг), х,у е [0,2ж], (2.5)

где к0, 10 - фиксированные натуральные числа, ^ е (—ц0,^0), Е : П х С х [—¡10,^о] м С - непрерывное отображение, С - комплексная плоскость. Решением задачи (2.4), (2.5) назовем функцию и е С(П), которая вместе с частными производными второго порядка из Ь2(П) удовлетворяют уравнению (2.4) и условиям (2.5). Введем следующие обозначения:

1 г2ж г2ж

<и,у>=4^2] у и(£, , г))<%, Н^2 =<v,v>,

фк1(х, у) = ег(кх+1у), ск1(ь) =< V, фк1 >, к,1 = 0, ±1, ±2,... , 1 = {(к, 1):к,1 — целые, к2 + I2 = к% + %}, Ег = [ь е Ь2(П) : сы(ь) = 0, (к, 1)^1},

Ф(и) = У^ <Г(•, •,у, 0),фк1 >Фк1.

£

(к,1)еЛ

Предположим, что существуют е Е\ и е > 0 такие, что

11) Ф(v*) = 0 и Ф(v1) = 0 при 0 < II^ — г>*Ц ^ е;

12) 7( Ф, ¿^(и*)) = 0 где j(Ф, ¿^(и*)) - вращение конечномерного векторного поля Ф : Ех м Ei на сфере

Si(<) = [v е Ei : Цы — = е\\.

Из теоремы 2,1 вытекает

Теорема 2.3. Если выполнены условия 11) и 12), то существует ^ > 0 такое, что при всех ^ е ) задача, (2-4), (2.5) разрешима.

3. Доказательство теоремы 2.1

Сначала проверим справедливость лемм 2.1 и 2.2.

Доказательство леммы 2.1. Пусть х - решение уравнения (1.1) при некотором ^ = 0. Тогда представляя х в виде суммы х = Xi + х2, где х1 = PiX е Ei, х2 = Р2х е Е2, имеем:

Ах1 + Ах2 = ц/(х1 + х2, у).

К обеим частям данного равенства поочередно применяя Р1 и Р2 получим:

А11Х1 + А12Х2 = ЦP1f (Х1 + X2,v), А21Х1 + А22Х2 = ^P2f (X1 + Х2,^).

Из второго равенства найдем

Х2 = —А-21А21Х1 + М-^/ (Х1 + Х2 и подставим в первое равенство:

А11Х1 — А12А-2 А21Х1 + /jA12A-21P2f (%1 + Х2,у)= V>P1f (х1 + х2, V>).

Заметим, что для любого z1 е Е1 имеет место равенство A11z1 = A12A--21A21z1. Действительно, для Az1 е A(Da)-, согласно уеловию А(Е2 П Da) = A(Da), существует элемент и2 е Е2 П Da такой, что Аи2 = Az1. К этому равенству, применяя Р1 и Р2, получим AUZ1 = A12U2, A21Z1 = ^22^2- Отсюда следует, что щ = A-2A21Z1 и AUZ1 = А12A-2A21Z1. Учитывая данное равенство и ^ = 0, получим:

A12A—1P2f (Х1 + Х2, v) = PJ (Х1 + Х2, у).

Таким образом, если х - решение уравнения (1.1) при ^ = 0 то пар а х1 = Р1х и х2 = Р2х является решением системы уравнений (2.1). Обратное утверждение проверяется непосредственно.

Леммы 2.1 доказана. □

Если f = 0 то го леммы 2.1 следует, что х е Ker А тогда и только тогда, когда для его проекций х1 = Р1х и х2 = Р2х имеет место равенство х2 = —А—1 А21х1. Учитывая это, легко проверить, что (I — А-1 А21) : Е1 м Ker А - изоморфизм.

Доказательство л,ем,м,ы, 2.2. Пусть м 0 п м ж и при каждом п = 1,2,... существует решение (х1п,х2п) системы уравнений (2.1) из ограниченного множества U С Е1 х Еа- Тогда при каждом п = 1, 2,... имеем:

%2п = —А221А21Х1П + ^nA221P2f (Х1п + X2n,Ц>n),

P1f (Х1п + Х2п, У) — A12A-21P2f (Х1п + Х2п, ^п) = 0.

В силу условия dimЕ1 < ж можно считать, что х1п м х\.; п м ж. Из первого равенства, согласно условию 5), следует, что последовательность [х2n]i° компактна, поэтому можно считать, что х2п м х*, п м ж. В равенствах, переходя к пределу, получим:

ж2 = —А-21А21х*1, P1f (х\ + х*2,0) — А12А2-21Р2 f (х* + ж*, 0) = 0.

Первое равенство равносильно тому, что х* = х\ + х2 е Ker А. А из второго равенства вытекает разрешимость уравнения (2.2).

Лемма 2,2 доказана, □

Доказательство теоремы, 2.1. При ^ = 0 разрешимость уравнения (1,1) очевидна, А при ^ = 0 согласно лемме 2,1, разрешимость уравнения (1.1) на множестве ие(х*) равносильна разрешимости системы уравнений (2,1) на множестве

= {(Х1,Х2) : х1 е ЕЪХ2 е Еа, — х*Ц2Е1 + ЦХ2 + А-1^ е2}.

Решение системы уравнений (2,1) на множестве можно рассматривать как нуль вполне непрерывного векторного поля Фм = (Ф1м, Ф2: Ше м Е\ х Ед, где

Ф^(Х1,Х2) = (Р1 — А12А-21Р2)!(Хх +Х2,р), Ф2»(Х1,Х2) =Х2 + А-КА21Х1 — рР2/(Х1 +Х2,р)).

Покажем, что при всех ^ е (—^1 ,^1), где ^1 е (0,^0), векторное поле Ф^ не обращается в нуль на границе множества и для вращенпя у(Фм, дШ£) векторного поля Ф^ на дШ£ верпа формула

1(Ф„дШ£) = 1(Ф,Б1£(Х*1)), » е (—^1,^1), (3.1)

Ф

^(Фр,,дШ£) = 0 (в силу условия 7), и согласно принципу ненулевого вращения [5, гл. 2] на множестве существует хотя бы один нуль векторного поля Ф^ при всех ^ е (—ц1,^1). Этим самым теорема 2,1 будет доказана.

Вычислим 7 (Фц,дШ£), гомотопируя векторное поле Ф^ к простому векторному полю. Для этого рассмотрим семейство вполне непрерывных векторных полей = (^хм, У\,2»), А е [0,1], ^ е [—¡ю,Ы, где

^ХМ(Х1,Х2) = (Р1 — АиА-21Р2)!(х1 + (1 — А)Ж2 — АА-21А21Х1, (1 — А)/л),

Ф\,2»(Х1,Х2) = Х2 + А-21А21Х1 — (1 — А)/!А'-21Р2/(Х1 + Х2,^).

Проверим существование ^1 е (0,^0) такого, что

^х,^(х1,х2) = 0 при всех (х1,х2) е дW£, А е [0,1], ц е (—¡л1,^1). (3,2)

Если (3,2) не верно, то существуют последовательности Ап е [0,^п е (—ц0,^0), (х1п, х2п) е дW£, п = 1, 2,... такие, что ^п м 0 при п м то и

(Р1 — А12А-1;Р2)!(х1п + (1 — А,п)х2п — АпА-21А21ХЫ, (1 — Хп)Цп) = 0, Х2п + А-21А21Х1п — (1 — Ап)^пА-2Р2/(хЫ + Х2п, ^п) = 0, П =1, 2,....

Из этих равенств вытекает компактность последовательности {(х1п, х2п)}^. Поэтому можно считать, что х1п м х10, х2п м х20, Ап м А0 при п м то. В равенствах, переходя к пределу, получим:

( Р1 — АиА-21Р2)/(х10 + (1 — Ао)х2о — АоА-21А21Х1о, 0) = 0, Х20 + А-21А21Х10 = 0, ||Ж10 — Ж*|||1 + ||Ж20 + А-2 А21Х*11||2 = е2.

Отсюда следует, что х10 = ж* и Ф(ж10) = 0, а это противоречит условию 6). Следовательно, (3.2) верно.

Из (3.2) вытекает, что при всех ^ е (—/11,^1) векторное поле Ф^ на дW£ гомотопно векторному полю

Ц(Х1,Х2) = (Ф(Х1),Х2 + А-2А21Х1). Отсюда, согласно свойству вращения [5, гл. 2], имеем:

7(Ф^, дW£) = 7(Ф, дW£), ¡л е (—111,111). (3.3)

Легко проверить, что векторное поле Ф на дШе линейно гомотопно векторному полю Ф(хьх2) = ),х2 + А^А^х*), поэтому

7(Ф, дШе) = 7(Ф ,дШ£). (3.4)

Для вращения 7(Ф, д^е) векторного поля Ф, согласно свойству вращения [5, гл. 2], имеем:

7(Ф ,д^е) = 7(Ф,^е (х*)). (3.5)

Из формул (3.3)-(3.5) непосредственно вытекает формула (3.1).

Теорема 2.1 доказана. □

4. Разрешимость периодических задач Сначала проверим справедливость теоремы 2.2. Рассмотрим уравнение

г-ш

(е~шС — /) х = 1 е~тСд(т,р(т,х, ¡), ¡)(1т, х Е иг(х*). (4.1)

ио

Верна следующая лемма.

Лемма 4.1. Если х - решение уравнения (4-1), то вектор-функция у(Ь) = р(Ь,х,р) является решением периодической задачи (2.3).

Доказательство. Вектор-функция у(Ь) = р(Ь,х,1) является единственным решением задачи

у1 = Су + ¡д , р(г ,X,1),1), у(°) = х.

( )

у(Ь) = егС ^х + lJ е~тС9(т,р(т,х,1),!)(т Проверим ^-периодичность у(£), воспользуясь тем, что х - решение уравнения (4.1):

у(ш) = ешС ^х + lJ е~тС9(т,р(т,х,^),^)(т^ =

'0

сш

= х + ешС ^— (е~шС — 1)х +1 ^ е~тС9(т,р(т,х, ¡), ¡)с1т^ =у(0).

Лемма 4.1 доказана. □

Согласно лемме 4.1 разрешимость периодической задачи (2.3) сводится к разрешимости уравнения (4.1). Покажем разрешимость уравнения (4.1), применяя теорему 2.1. Положим

ш

Е = Яп, А = е~шС — I, ¡(х,/1)= е~тСд(т, р(т,х, ¡), ¡)с1т.

0

В силу условия 8) имеем Кег А = {0}. Условия 1) - 5) выполнены, если возьмем Е = Кег А и Е2 = ЕИз условий 10в) и Юг) следует, что вектор х* удовлетворяет условиям 6) и 7). Отсюда, в силу теоремы 2.1, вытекает, что уравнение (4.1) разрешимо при 1 Е (—¡1,11), Теорема 2.2 доказана.

В качестве примера рассмотрим следующую систему трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

^ = ъ^х + ¡1 г2 + ф, г, у3, ¡)) ,

ш

Уз = аУз + ^ Уз,1),

где г - мнимая единица, г = у\ + гу2, И = у\ — гу2, а = 0, ^{Ь,г, уз, 0) = 0, Функции ^{Ь,г, уз,у) и ,г, уз,^) предполагаем заданными и непрерывными по совокупности переменных, ^-периодичными по Ь и удовлетворяющими условию Липшица по переменным г, уз в некоторой окрестности точки х* = {0,0, 0), Проверим выполнимость условий теоремы 2,2:

Е3 = {{6,6, 0)Т : 6,Ь е {—то, +то)} , Е3 = {{0, 0, £з)Т : 6 € {—то, +то)} ,

е'сх = егс6,6)Т = {6 + &), еаЪУ , Фз{С 1,6, 0) = Ш е-г2^/ш [ег6^/ш ^^НЬ+Ш2} ¿т, ^ = (и^ + г, 0^ ,

7 (Фз^з^**)) = —2.

Последнее равенство верно в силу теоремы 9,3, приведенной в книге [9, гл. 9], Таким образом, все условия теоремы 2,2 выполнены, поэтому при малых значениях параметра ^ существует ^-периодическое решение системы уравнений (4,2),

Теперь покажем, что теорема 2,3 вытекает из теоремы 2,1, Для этого определим

й й21)

Е =АУ = — + — + {к0 + ф, Е\ = {ие Ь2{П) : ск1{ь) = 0, {к, 1)еЗ}, Е2 = [V е Ь2{П) : ск1{ь) = 0, {к, I) еЗ},

в А = {ие Ь2{П) : + + 12)2 I сы{у)\2 < то}, Еа = Е2 П Оа .

(к,1)

Тогда имеем:

Е = Е1 ®Е2, Е1 = КвтА, Е2 П Кет А = [0}, А{Еа) = А{Оа) = Е2, А — замкнутый, нормально разрешимый оператор, Еа компактно вложено в Е, Е{■, ■, + у2,ц) : Ех х Еа х ] м- Е — вполне непрерывный оператор.

Условия 1) - 5) выполнены. Из условий 11) и 12) следует выполнимость условий 6) и 7), Следовательно, задача (2,4), (2,5) разрешима при ^ е {—ц\,^\),

Е

следующую

m

F (x,y,v,p) = (v — ег{кох+1оу)) + {v — ег{кох+1оу)У + F1(x,y,v, p),

v=2

где dv, v = 2, m - комплексные числа, функция F1(x,y,v,p) непрерывна по совокупности переменных и F1(x,y,v, 0) = 0, В этом случае, полагая v1 (x, у) = exp (i(k0x + l0y)) и учитывая конечномерность Еъ легко проверить, что при малом фиксированном е > 0 и при всех v1 G Е-^, 0 < || v1 — г>*|| ^ е, имеет место неравенство

< Ф(vi),v 1 — v* > > allvi—v*||2, где а > 0 и те зависит от v\. Из этого неравенства следует, что выполнено условие 11) и

7(Ф S (v *)) = !,

так как векторное поле Ф на сфере S\ (v* ) линейно гомотопно векторному полю (vi — г>*) и >y(v 1 — v*,Sle (v*)) = 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Треногин В. А. Функциональный анализ: учебник. 3-е изд. М.: Физматлит. 2002. 488 с.

2. Понтрягин Л. С. О динамических системах, близких к гамилътоновым // ЖЭТФ. 4:8, 234-236 (1934).

3. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд. М.: Наука. 1990. 486 с.

4. Красносельский М. А., Вайникко Г. \!.. Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука. 1969. 456 с.

5. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 512 с.

6. Мухамадиев Э., Назимов А. Б., Наймов А. Н. Исследование разрешимости одного класса нелинейных уравнений с малым параметром // Вестник Вологодского государственного университета. Серия: Технические науки. 3:1, 50-53 (2019).

7. Мухамадиев Э., Наймов А. Н., Сатторов А. X. О разрешимости одной нелинейной краевой задачи с малым параметром // Дифференциальные уравнения. 55:8, 1127-1137 (2019).

8. Назимов А. Б., Мухамадиев Э. и др. Метод регуляризации сдвигом,. Теория и приложения: монография. Вологда: ВоГТУ. 2012. 368 с.

9. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля, на, плоскости. М.: ГИФМЛ. 1963. 248 с.

Эргашбой Мухамадиев,

Вологодский государственный университет,

ул. Ленина, 15,

160000, г. Вологда, Россия

E-mail: emuhamadiev@rambler.ru

Акбар Вага, чу рог,нч Назимов,

Вологодский государственный университет,

ул. Ленина, 15,

160000, г. Вологда, Россия

E-mail: n. akbar54@mail. ru

Алижон Набиджанович Наймов,

Вологодский государственный университет,

ул. Ленина, 15,

160000, г. Вологда, Россия

E-mail: nan67@rambler. ru