CC BY
25
Серия «Математика»
2010. Т. 3, № 2. С. 103—116
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 517.977
О разрешимости дифференциально-алгебраических уравнений с запаздыванием *
В. Ф. Чистяков
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
Аннотация. В работе рассматриваются линейные и квазилинейные системы дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) с запаздыванием. Обсуждаются связи индекса главной части ДАУ с запаздыванием и индекса ДАУ без запаздывания, поставленной в соответствие исходной задаче. Для квазилинейных ДАУ обсуждаются условия нелокальной разрешимости.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения, запаздывание, индекс.
В работе изучаются начальные задачи для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с запаздыванием
где Д(£) — (т х т)-матрица, у(£) — искомая, ф(£), Т(£,«, V)— заданные т-мерные вектор-функции соответственно, п, V € И,™, Н—запаздывание (положительный параметр), '= (/(Ь. Предполагается, что
причем допускается случай, когда матрица А(£) имеет на Т переменный ранг.
Системы вида (1.1), удовлетворяющие условию (1.3), принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) [1]. В
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №09-08-00201-а и грантом заказного междисциплинарного проекта СО РАН №107.
1. Введение
A(t)y(t) + F (t, y(t),y(t - h)) = 0, t eT = (to, t1), y(t) = ф(^, t e [a, a + h] cT,
(1.1)
(1.2)
det A(t) = 0, t e T,
(1.3)
ходу также термин: алгебро-дифференциальные системы (АДС) [2]. ДАУ с запаздыванием в последнее время привлекают большое внимание (см., например, [3, 4] и приводимую там библиографию). Большое внимание линейным системам вида (1.1) уделено в монографии [5]. Интерес к ДАУ стимулируется проблемами математического моделирования в прикладных областях: в теориях электронных схем и электрических цепей, механике и химической кинетике, гидродинамике и теплотехнике [6]-[8]. В частности, при изучении процессов, происходящих в сложных комплексах теплотехнического оборудования, теплообмен описывается системами дифференциальных уравнений, а балансовые соотношения в виде алгебраических уравнений описывают законы сохранения масс теплоносителей. Запаздывание h может соответствовать транспортному запаздыванию теплоносителей.
Несколько модифицируя методику из [9, c.15], поставим в соответствие задаче (1.1), (1.2) краевую задачу без запаздывания
Ai(z)dV^Z + Fi(z,yi(z),yi-i(z)), z = [a,a + h], (1.4)
yi(a) = yi-i(a + h), i = 1, M - 1, (1.5)
где y0(z) = ф^), Ai(z) = A(ih + z), Fi(z,u,v) = F(ih + z,u,v), i =
2,M — 1, [a + h, a + Mh] cT.
Необходимым условием разрешимости краевой задачи (1.4), (1.5) является выполнение условий Кронекера-Капелли
rank Ai(a) = rank {Ai(a)| - Fi(a,yi(a), yi-i(a))}, (1.6)
и это сильно затрудняет исследование ДАУ с запаздыванием.
2. Вспомогательные результаты
Приведем ряд необходимых для дальнейших рассуждений сведений.
В работе используются нормы n-мерного вектора v = (v1 v2 ■ ■ ■ vn)т, и (^хп)-матрицы V = (vj, i = 1, 2, ■ ■ ■ , n, j = 1, 2, ■ ■ ■ , ^), вычисляемые по правилам
n
|| v У = max{|vi|, i = 1, 2, ••• ,n}, || V У = max^ |vij |, i = 1, 2, ■ ■ ■ , ^}.
j=i
Под символами ||v(w)||, ||V(w)|| понимаются нормы вектор-функции v(w) и матрицы V(w) вычисленные в точке w e D С Rq. Включения v(w), V(w) e C^(D) означают, что все частные производные элементов вектор-функции v(w) или матрицы V(w) имеют непрерывные частные производные порядка до l включительно по всем компонентам вектора
w в любой точке области D. Непрерывности соответствуют включения: v(w), V(w) e C(D). Если v(w), V(w) e C(D), то их нормы также
непрерывны в D.
Определение 1. (см., например [9]) Матрица, обозначаемая ниже как S-, называется полуобратной к матрице S, если SS-S = S.
Лемма 1. [9] Полуобратная матрица определена для произвольной матрицы S. Если выполнено условие Кронекера-Капелли: rank S = rank(S|u), то система уравнений Sy = u разрешима и все ее решения описываются формулой:
где Е—единичная матрица подходящей размерности, С—произвольный вектор.
Определение 2. Говорят, что пучок квадратных матриц АА(-ш) + В (ад), w € Б С И, где А— скалярный параметр (в общем случае комплексный), удовлетворяет критерию "ранг-степень" в области Б, если выполнены условия
1. max rankA(w) = r, w e D;
2. det[AA(w) + B(w)] = Ara0(w) + ■ ■ ■, где a0(w) = 0 Vw e D.
Лемма 2. Пусть пучок постоянных матриц A(A) = AA + B регулярен: det A (A) = 0.
степени многочлена.
Доказательство. Если пучок матриц А(А) регулярен, то существуют постоянные неособенные матрицы Р, Q , со свойством
.]—некоторый ((х()-блок, N—верхнетругольная матрица с нулевой диагональю, начиная с некоторого к, называемого индексом пучка, справедливо: Nk = 0, 1 < к < п — ( [10, е.354]. Отсюда
degdet А(А) = deg[det(АEd+J)det(АN+Ега-^)] = deg det(АEd+J)-1 = (.
Следовательно, ( < rаnkA. Равенство ( = rankA (эквивалентное критерию "ранг-степень") выполняется тогда и только тогда, когда N =
Следствие 1. Для пучка матриц AA(w)+B(w), w e D, удовлетворяющего критерию "ранг-степень" справедливо равенство: rank A(w) = const = r Vw e D.
y = S-u +[E - S-S]C,
Тогда справедливо неравенство: rankA > degdet A(A), где deg-символ
(2.1)
0.
□
Лемма 3. [13] Матричный пучок Р(А; і) = А Є
О, где блок Аі(ад) имеет полный ранг для любого ад Є О, удовлетворяет критерию "ранг-степень" тогда и только тогда, когда
ёе!Р(А; ад) = Агао(ад) + а0(і) = А?1^)) = 0 Уад Є О.
і
Определение 3. Оператор Лі := ^ (і)(^/^і), £ Є Т0 = [а0, во],
і=о
где р(і)-матрицы из С(Т0), называется левым регуляризирующим оператором (ЛРО) на Т0 для оператора Л1 := А(і)(І/Іі) + В(і), і Є Т0, где А(і), В(£)-матрицы из С1 (Т0), если
(Лі о Лі)у = у + Лі[В(і)]у Уу Є Сг+1(Т0).
Минимальное возможное значение I называется (левым) индексом оператора Л1.
Если на Т0 определен ЛРО, то справедлива альтернатива: ёе! А(£) = 0 Уі Є Т0 либо ёе! А(і) = 0 Уі Є Т0. Первое условие соответствует случаю I > 1, а второе случаю I = 0.
Определение 4. Система
Л1х = А(і)Х(і) + В(і)х(і) = ^>(і), і Є Т0, (2.2)
имеет решение типа Коши на Т0, если: 1) она разрешима при любой вектор-функции <^(і) Є СГ+1(Т0), где г = тах{гапк А(і), і Є Т0}; 2) существуют матрица Х^(і) Є С1 (Т0), гапк Х^(і) = І Уі Є Т0 и вектор-функция Л,(і) Є С1(Т0), такие, что линейная комбинация
ж(і, с) = Х^(і)с + Л,(і)
удовлетворяет условию Л1х(і, с) = <^(і) Ус Є Кт, і Є Т0; 3) на любом сужении [а1, в1] С Т0 нет решений системы (2.2) отличных от х(і, с). В случае І = 0 предполагается, что Х^(і) нулевая матрица.
Теорема 1. Если в системе (2.2) А(і), В(і) Є С1г+3(Т0), /(і) Є С1 (Т0), то решение типа Коши определено на Т0 тогда и только тогда когда на Т0 определен ЛРО для оператора Л1.
Более того, существуют представления: Х^(і) = (Х^д (і) 0 , где нулевой блок имеет размерность (п х [п — І]),
где К (і, 8), Cj (і) — (п х п)-матрицы, гладкие в своих областях определения, и через точку (а, 7), а Є И,”-, 7 Є Т0 проходит единственное решение ДАУ (2.2) тогда и только тогда, когда разрешима система Х^д(7)с1 = а — ^,(7) относительно с1.
Теорема 1 является сводкой результатов из монографии [2]. Там же в терминах входных данных даны критерии существования ЛРО и указаны способы построения.
3. Линейные задачи
В этом разделе рассматривается линейный вариант задачи (1.1), (1.2) А(£)ж(£) + В(£)ж(£) + С(£)ж(£ — Л) = /(£), £ € Т = (£0, ^), (3.1)
ж(£) = ^>(£), £ € [а, а + Л] сТ, (3.2)
где А(£), В(£), С(£) — (т х т)-матрицы, ж(£)—искомая, /(£), ^>(£) — заданные т-мерные вектор-функции соответственно.
Задача (1.4), (1.5) здесь выглядит так
А (г) ^ж'(г) + Вг(^)жг(г) + С (2)ж»-1(2) = /г (г), 2 = [а, а + Л), (3.3)
І2
жДа) = хі-1(а + Л), і = 1, М — 1,
(3.4)
где ж0(2) = ^>(2), ^(2) = Д(гЛ + г), ВД2) = В(іЛ + г), СД2) = С(іЛ + 2), /і(г) = /(іЛ + г), і = 2,М — 1, /1(2:) = ^(2)^(2) + /1(2), [а + Л, а + МЛ,] СТ, а затем (3.3) перепишем в одного ДАУ
А(2)
ІУ(2)
І2
+ В(г)у(г) = Р(2), 2 = [а, а + Л),
(3.5)
где
У(2) = (ж7(2) ж'(2) ''' , ЖМ—1(2))'
Р (2) = (/1 (2),/1 (2),
/^1(2) 0
0 Аі(2)
/Т-1(2))' ,
т
А(2) =
0
0
0
\
АМ-1(2)/
В(2)
( В1 (2) 0
Сі(2) Ві(2)
V 0 •••
... 0
... 0
См—1 (2) Вм-1(2)/
0
Краевые условия (3.4) запишем в виде интеграла Стилтьеса
J [І^(в)]у(в) = а, ст(в) = ^1(в)Ет(м —1) — ^і(в) і °) , (3.6)
а
где а = (^>т(а + Л), 0, ■ ■ ■ , 0)т,
, Л ( 0, 8 = а, \ , Л /0, а < 8<а + ЛЛ
^1<8) = и а < 8 < а + ^’^і(8)П 1, 8 = а + Л )'
Выясним соотношения между индексами и размерностями ядер операторов
А = А(і)(І/Іі) + В(і), і Є [а + Л, а + МЛ],
Ь1 = А(2)(І/І2) + В(2), 2 Є [а, а + Л], (3.6)
из (3.1) и (3.5), соответственно.
Теорема 2. Если матрицы в (3.1) принадлежат Смм (Т) и для опе-
м
ратора £1 определен ЛРО Лм = ^ Р,(і)(І/Іі)7, то для оператора Ь1
j=о
также определен ЛРО.
Более того, если матрицы в (3.1) вещественно-аналитические, то
ёт кег Ъ1 = (М — 1)ёт кег £1. (3.7)
Доказательство. Рассмотрим произведение
diag{Лм,l, ЛМ)і, ■ ■ ■ , Лм,м —1} о Ь1 =
/ Л1,1 0 ••• 0 \
Лм,і о Сі(2) Л1,і ''' 0
V 0 ••• Лм,м —1 о См —1(2) Л1,м —1/
где Ь1-оператор системы (3.5), м
Л^,г = ^ Р^ХІ^)-7, £7,1(2) = Р,(ІЛ + 2) j=0
ЛМ = (І/І2)Ет + Лм,г[Ві(2)], І = 1,М — 1.
Нам потребуется такой факт. Пусть заданы некоторые операторы
V
.Л 1 = (І/І2)Ет + Я(2), .ЛV = ^ Р,(2)(і/і2)7 е матричными коэффици-
7=0
V—1
ентами. Тогда найдется оператор Л^ 1 = 5^ 5,(2)(І/І2)7 со свойством
7=о
Л v-l о Л1 — Л^ = Л0. Оператор Lv (z)(d/dz)v-li\ 1 —Л^ имеет порядок v—1, и очевидно, что Sv-l(z) = Lv(z). Из этого оператора можно вычесть оператор (d/dz)v-2TV 1, умноженный на соответствующий матричный коэффициент, и получить оператор порядка v — 2 и так далее. Используя этот факт, мы в операторной матрице
diag^,l, Лм>2, ■ ■ ■ , Лм,м-1} о Li
сможем, вычитая диагональные элементы, умноженные на соответствующие операторы, свести операторы под диагональю к операторам нулевого порядка и получить оператор вида (d/dz)Em^-1) + S(z), где S(z)— некоторая блочно-двухдиагональная матрица.
Осталось доказать формулу (3.7). Из (3.3) мы видим, что
м-1 d
dim ker L1 = dim ker ]^[ Qj, Qj = Aj(z) ^—+ Bj(z).
i=l
В случае аналитических коэффициентов и существования ЛРО нетеров индекс операторов Qj : C^(^, а + h]) ^ C^(^, а + h]) совпадает с размерностью ядра оператора Qj [11]. Индекс произведения нетеровых операторов равен сумме индексов сомножителей. □
Следствием этой теоремы и теоремы 1 является такое утверждение о разрешимости линейной задачи.
Теорема 3. Система (3.l) имеет на отрезке [а + h, а + Mh] С T решение из Cp(T) тогда и только тогда когда разрешимы относительно c линейные алгебраические системы
0jc = bj, j = 0,1, ■ ■ ■ ,p,
a+h a+h
0j = J [da(s)]Y(p)(s), bj = aj — J [da(s)]h(p)(s),
a a
где aj = (j (а + h), 0, ■■■ , 0)T, ^>j (t) = ^>(j)(t), Y(z)c + h(z)—общее
решение типа Коши системы (3.5).
Теорема 4. Если входные данные в (3.l), (3.2) принадлежат C1(T) и оператор A(t)(d/dt) + B(t), t Є [а + h, а + Mh] имеет индекс l, то оператор системы (3.5) на [а, а + h] также имеет индекс l и
dim ker L1 = (M — l)dim ker L1 = (M — l)rank A(t). (З.В)
Более того, если матрицы в (3.l) постоянные и пучок Л A + B регулярен: det^A + B) ф 0, где Л—параметр (в общем случае комплексный), то
dim ker L1 = (M — l)deg det^A + B), (З.9)
где deg-символ степени многочлена, и для равенства индексов операторов Li, Li из (9) необходимо и достаточно выполнения условия
||[tC22(N + rEra-d)-i]jII < к/тk, т > 0, fCi1 C1^ = PCQ,
\C-21 c22 /
где к = const, т ^ 0, матрицы P, Q приводят пучок AA + B к каноническому виду: diagjAPd + J, AN + En-d} (см. формулу (2.1)), j = 1,M - 1.
Доказательство. Имеет место такой факт: оператор ДАУ (2.2) имеет индекс 1, тогда и только тогда, когда deg det[AA(t) + B(t)] = rankA(t) = r = d = const Vt € To. (выполнен критерий "ранг-степень") [2, c.168]. Из вида системы (3.5) следует, что
/м -1 \
deg det[AA(z) + B(z)] = deg ^ iQ det[AAj(z) + Bj(z)]J =
= rankA(z) = (M — 1)r,
где z € [a, a + h], r = rankA(t) = const, t € [a + h, a + Mh]. Равенство (3.8) доказано.
Равенство (3.9) следует из [12], где показано, что
dim ker j ^ Mj(d/dt)j J = deg detS(A), S(A) = ^ AjMj,
\j=o / j=o
если матрицы коэффициентов Mj постоянны, det S(A) ф 0.
ЛРО для оператора Li c постоянными матрицами коэффициентов существует тогда и только тогда, когда пучок AA + B регулярен. В качестве ЛРО можно принять оператор
Q
/Ed О
О £ (d/dt)j (-N)j-1 1 P, N0 = En-d \ j=l
Таким образом, индекс оператора I совпадает с индексом пучка к. Из
(2.1) следует оценка
ко/тк < 0(т) < кі/тк, 0(т) = ||(А + тВ)-1||, т < 1/||71|,
где Kj = const, j = 0,1, так как. (N + тEra-d) 1 = £ т j(—N)j 1.
-1 k
— ^июоь, j — u, І, -LCUV iycuy. -Г / JJra-d) =
j = l
Рассмотрим произведение
Г(т) = diag{P, P, ■ ■ ■ , P}[A + тB]diag{Q, Q, ■ ■ ■ , Q}.
В результате элементарных преобразований и перестановок блочных строк и столбцов матрица Г(т) преобразуется к виду diag{Гl(т), Г2(т)}, где Г1(т) = diag{Ed + т7, Е + т7, ■ ■ ■ ,Е + },
Г2(т) =
(N +т Era-d 0 ■ ■ ■ 0 \
тС22 N + тЕп-d ■ ■ ■ 0
V 0 ■ ■ ■ TC22 N + тE„-d/
Отсюда следует, что ||Г(т)|| > к2/тk, где к2 = const, и индекс пучка AA + B не меньше k. С другой стороны |Г1(т)|| = ||[тС22(т)(N + тEn-d)-i]j II, где j = 1,M — 1. Если ||[тС22^ + тE„-d)-1]j || < к/тk, то пучок A A + B имеет индекс k. □
Замечание 1. Условие равенства индексов операторов Li, L1 из (3.6) в случае постоянных матриц коэффициентов выполнено, например, когда блок C22 перестановочен с N или является верхнетреугольным. В терминах входных данных достаточным условием является перестановочность матриц (A + т0В)-1А и C, где т0 фиксированное число.
Пример 1. Рассмотрим систему (3.3) вида
[N(d/dz) + E2]xi(z) = C22Xi-i(z) + /i(z), N2 = 0.
Здесь [N (d/dz)+E2] —1 = E2—N (d/dz) и [E2—N (d/dz)]j = E2—jN (d/dz). Далее, если C22 = E2, то
i—1
Xj(z) = [E — iN(d/dz)]^(z) + ^[E — jN(d/dz)]/j(z), i = 1, M — 1.
j=i
Таким образом индекс соответствующей системы (7) равен 2, так как обратный оператор содержит оператор дифференцирования первой степени при любом M.
Нетрудно проверить, что при выборе C22 = ^0 , N = (0 J), в
выражении
i— 1
Xi(z) = DV(z)+EDj/j-(z), D = {[E2—N(d/dz)]C2—21}, /(z) = C—/(z), j=i
с ростом M растет степень оператора дифференцирования d/dz.
4. Теоремы о разрешимости квазилинейных систем
Сделаем некоторые замечания относительно разрешимости задачи (1.1),
(1.2). Ввиду нелинейного характера системы ограничимся рассмотрением задач в линейном случае соответствующим системам индекса 1.
Теорема б. Пусть для задачи (1.1), (1.2) выполнены условия:
1. A(t) Є C1(T), 0(t) = ^([а^]), а = а + h, F(t,v,u) Є C1(U), U = T x Rm x Km;
2. rankA(t) = r = const в окрестности точки а;
3. rank A^) = rank {А(а)| b }, b = —F(а,ф(а),ф(а));
4. пучок ЛА(а) + £(а,ф(а),ф(а)), где G(t,u,v) = dF(t,v,u)/du, удо-
влетворяет критерию "ранг-степень".
Тогда, при достаточно малом h, существует отрезок [а, а+2h], на котором определено единственное решение y*(t) = (t<)>(t),є^'[а [аа,-+а2h]
задачи (1.1),(1.2).
Доказательство базируется на том, что задача
A(t)y(t) + F(t,y(t), ф(^) = О, y(a) = ф(а),
в условиях теоремы имеет гладкое решение y(t) на некотором отрезке [a,a + є], є > О [2, c. 212].
Теорема б. Пусть для задачи (1.1), (1.2) выполнены условия:
1. A(t) Є C2(T), фСО Є C2([a,a]), F(t,u,v) Є C2(U);
2. rank A(a) = rank {A(a)| b}, b = —F(a, ф(а),ф(а));
3. многочлен
det^A(t) + Fu(t, u, v)] = ar (t, u, ^)ЛГ + ■ ■ ■ , где Fu(t, u, v) = dF(t, u, v)/du, и |ar(t, u, v)| > к > О V(t, u, v) Є U;
4.
||Fu(t,u,v)|| + ||Fv(t,u,v)У < Li,
||Ft(t,u, v)У < L2 + L3(||u|| + ||uУ), V(t,u,v) Є U.
где Ft(t,x) = dF(t,u,v)/dt, Ll, L2, L3—некоторые положительные константы.
Тогда система (1.1) имеет индекс 1 и на Тм = [а, а + Mh] определено непрерывное кусочно дифференцируемое решение задачи (1.1),
(1.2).
Доказательство. Согласно лемме 2, следствию 1 и условию З теоремы rankA = const = r для любого t Є Тм = [а, а + Mh]. Тогда найдутся матрицы P(t), Q(t) Є C2(Tm]), det[P(t)Q(t)] = О для любого t Є Тм со свойством P(t)A(t)Q(t) = diag{Er, О}, существуют матрицы A-(t) Є C2^]). В частности, существует и единственна псевдообратная матрица A+ (t) Є C2(Тм) [ІЗ, с. З8]. Подействуем на систему ДАУ (1.1) дифференциальным оператором из [14]
d
Q0 = E„ + S(t) -, S(t) = E„ — A(t)A-(t). (4.1)
О РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 113 Получим систему вида
А(і, у(і), у(і - Л))з/(і) + Р(і, у(і), у(і - Л),У/(і - Л,)) = 0, (4.2)
где
А(^, и, V) = А(£) + 5 (£)А(£) + 5 (£)^и(£, и, V),
Р(£,и,V,ад) = ^(£,и.-и) + 5(£)[^(£,и,-и)ад + ^*(£,и,V)], ад = V,
так как по определению 1 имеем: [Ет — А(£)А-(£)] А(£) = 0. Покажем, что в условиях теоремы det А(^, и, V) = 0 для любых (£, и, V) € и = = Тм х И,™ х И™. Рассмотрим произведение
ёе! Р(і)[ЛА(і) + .и(і, и, ^)]ф(і) = ёе!
Л , Е 0\ + /Си СМ
Л 1 0 0 + IС21 С22/
(4.3)
где (С^-, і, ^ = 1, 2) = Р(і).и(і, и, ^)ф(і). Умножая систему (4.2) на Р(і) и полагая у(і) = ^(і)ж(і), получим
Р (і)А(і, и, ^)ф(і) =
+ Р(і)5(і)Р-1(і)Р(і) [Д(і) + .«(і, и, V) ф(і) =
Ег 0 \ +\п-1
00
Ег 0^ + /0 0 ^ /Г11 + 711 Г 12 + 712
0 0/ \0 Рт-Г/ \Г21 + 721 Г22
Г Е 7 г) ■ (4*4)
Г21 + 721 Г22/
где (7у, г, j = 1, 2) = Р(1)А(1)<3(1). Здесь учтено, что 722 = 0 на Т. Это вытекает из равенства РА^ = ^(РАф)/^£ — РА^ — РА<2. Далее, с учетом определения полуобратной матрицы: Б2(£) = £(£) для любого £ € Т и все собственные числа матрицы £(£) равны нулю или единице. Отсюда
Р(*)[Ет — А(;М;)д-1(;)А-(;)]Р-1(£) = (0 Е^) , (4.5)
где (Яу, г, j = 1, 2) = ^-1А-Р-1. Матрицу Р(£) можно выбрать сразу
— Я124
0 Ет—г у
Сравнивая (4.3) и (4.4) с учетом леммы 3 и условия 3 теоремы видим, что | det А(£, ж)| > к. Следовательно,
так, что Я12 = 0 на Тм, а именно, принять Р = (Ег —Я12 ) Р(£) в (4.5).
\ 0 Ет—г /
||А-1(і,и,и)|| < V =
= шах(Рз(Рі + І2) + 1, Рз| ■ тах {||Р-1(і)||||ф-1(і)||, і Є Тм}, (4.6)
где Lз = УГ-Ч^ж)!! < (n—r—1)!Ln-r-l/K, Ll = max {||P(t)||||Q(t)||, t Є Тм} x Ll, L2 = max {||Z21||, t Є Тм}. Из условия 4 имеем
УF(t,u,v, w)У = ||S(t)[Ft(t,u, v)+Fv(t,u,v)w]|| < L4 +L5(||u|| + ||v|| + ||w||),
L4 = L0+L2, L5 = Ll+max{|S(t)||, t Є Тм}xLз, Lo = max {||F(t,0)||, t Є Тм}. Таким образом, из условий теоремы и неравенства (4.б) следует оценка роста
||A-l(t, u, v)F(t, u, v, z)|| < L6 + L7(||u|| + УvУ + ||w||) =
= vL4 + vL5(||u|| + ||v|| + УwУ) V(t,u, v, w) Є U x К™. (4.7)
Из условия 1 теоремы следует, что A-l(t, u, v)F(t, u, v, z) Є C1(U x К™). Правая часть приведенной к нормальной форме системы (4.2) удовлетворяет условию роста (4.7) (не быстрее линейного) и согласно [15, c.277] решение системы
yl(t) = — A-l(t,yl(t)^(t))F(t,Уl(t),ф(t),ф(t)), yl(a) = ф(a),
продолжимо на отрезок t Є [a, a + 2h] = Т^.
Покажем, что yl(t) удовлетворяет исходной задаче (1.1), (1.2). Подставим эту вектор-функцию в исходную задачу
A(t)yl(t) + F(t, yl(t), ф(^) = ^(t), t Є Т/j,
где yl(a) = ф(а). Предположим, что ^(t) = 0 на Jh. В силу условия 2 теоремы yl(t) удовлетворяет уравнению (1.1) в точке t = а и ^(a) = 0. Итак, имеем
Ho[A(t)y/l(t) + F(t,yl(t)^(t))] = Qo^(t) = 0, ^(a) = 0, t Є Т/j,
Пучок матриц ЛS(t) + E™ удовлетворяет критерию "ранг-степень" на Тм. Это следует из (4.5). Согласно [1З, c.246], задача Q0^(t) = 0, ^(a) = 0, t Є Xj имеет на Т/j только нулевое решение.
Осталось показать, что можно сделать следующий шаг: найти решение на отрезке [a + 2h, а + 3h]. Так как yl(t) является решением задачи
(1.1), (1.2), то условие (1.6) выполнено и снова попадаем в условия теоремы. □
5. Заключение
При доказательстве последней теоремы существенно использовалась схема доказательства из работы [16]. Попытки использовать ее при
исследовании ДАУ индекса выше единицы на существование нелокальных решений сталкиваются с большими трудностями. В настоящее время у автора сложилось убеждение, что нужно искать другие подходы не использующие сведение исходной системы к системе в нормальной форме.
Список литературы
1. Бгепап, К.Е. Numerical Solution of Initial - Value Problems in Differential -Algebraic Equations (Classics in applied mathematics; 14) / Бгепап К.Е., Campbell S.L., Petzold L.R. - Philadelphia: SIAM, 1996.
2. Бояринцев, Ю.Е. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е.Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1998. - 224 с.
3. Метельский, А.В. Полная управляемость и полная конструктивная идентифицируемость вполне регулярных алгебро-дифференциальных систем с запаздыванием / А.В. Метельский, С.А. Минюк // Дифференц. уравнения. - 2007. -Т.43. - №3. - C.303-317.
4. Марченко, В.М. Представление решений управляемых гибридных дифференциально-разностных импульсных систем / В.М. Марченко, 3. Заркевич // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т.45. -№12. - C.1775-1786.
5. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальные систем / В.Ф. Чистяков, А.А.Щеглова. - Новосибирск: Наука, 2003. - 319 c.
6. Демиденко, Г.В. О связи между решениями дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и бесконечномерных систем дифференциальных уравнений / Г.В. Демиденко, В.А. Лихошвай, А.В. Мудров // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т.45. - №1. - С.34-46.
7. Влах, И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингхал. - М.: Радио и связь, 1988. - 560.
8. Muller, P.C. Stability and optimal control of nonlinear descriptor systems: A survey / P.C. Muller // Appl. Math. and Comp. Sci. - 1998. - V.8. -№ 2. - P.269-286.
9. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 1980. -222 c.
10. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1967. - 576 c.
11. Чистяков, В.Ф. О нетеровом индексе линейных алгебро - дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков // Сиб.мат.журн. - 1993. - Т.34. -№ 3. - С.209-221.
12. Лузин, Н.Н. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений / Н.Н. Лузин // Автоматика и телемеханика. - 1940. - № 5. - С.4-66.
13. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1996. -279 с.
14. Булатов, М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра к невырожденным / М.В. Булатов // Изв. вузов. Математика. -1998. - № 11. - С. 14-21.
15. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 659 с.
16. Чистякова, Е.В. О нелокальных теоремах существования решений у дифференциально-алгебраических уравне-ний индекса 1 / Е.В. Чистякова, В.Ф. Чистяков // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 1. - C. 76-81.
V. F. Chistyakov
On solvability of delay differential-algebraic equations
Abstract. In this paper, linear and quasi-linear systems of delay differential-algebraic equations (DAEs) are considered, connections between the index of the leading part of the delay DAE and the index of the corresponding DAE without delay are found. For quasi-linear DAE, conditions of non-local solvability are discussed.
Keywords: differential-algebraic equations, delay, index
Чистяков Виктор Филимонович, доктор физико-математических наук, главный главный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления (ИДСТУ) СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952)453029 ([email protected])
Victor Filimonovich Chistyakov, professor, Institute for System Dynamycs and Control Theory (IDSTU) SB RAS, 134, Lermontova St., Irkutsk, 664033 Phone: (3952)453029 ([email protected])
