CC BY
24
Серия «Математика» 2015. Т. 11. С. 13—27
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
УДК 517.977
О некоторых свойствах вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений. I *
Н. Д. Банг
Иркутский государственный технический университет
В. Ф. Чистяков, Е. В. Чистякова
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
Аннотация. Рассматриваются линейные системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), с тождественно вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции, включая системы со слабой особенностью в ядре. В работе обсуждаются вопросы разрешимости и структура общих решений таких систем.
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, общее решение, индекс, особые точки.
1. Постановка задачи
Рассмотрим систему
(Л1 + V)х :=
г
= А(Ь)х + Б(Ь)х + Ур(Ь,в)К(г,в)х(в)с1в = /, Ь е Т = [а,в], (1.1)
а
где А(Ь), Б(Ь),К(Ь,в) — (т х п)-матрицы, х = х(Ь), / = / (Ь) —искомая и заданная вектор-функции соответственно,
Л1 х := А(Ь)х + Б(Ь)х,р(Ь, в) = 1
либо
р(Ь,в) = (Ь — в) —, 0 <7< 1, х := йг(г)/йг.
Работа поддержана грантом РФФИ № 15-01-03228-я.
Предполагается, что входные данные достаточно гладкие и характер вырождения задается условием
rank A(t) < min{m, n} Vt G T. (1.2)
Система 1.1 называется: замкнутой, если число уравнений равно числу компонент искомой вектор - функции (m = n), переопределенной, если m > n, и недоопределенной, если m < n. Для замкнутой системы условие 1.2 эквивалентно равенству det A(t) = 0, t G T.
Системы вида 1.1, удовлетворяющие условию 1.2, встречаются, например, теории электрических систем [4]. В частности, в таком виде можно записать системы дифференциальных и алгебраических уравнений, интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода, связанные по части переменных. В данной работе продолжаются исследования начатые в [2], [3], [6], [7].
Замечание 1. Для упрощения записи указание зависимости от t в работе будет иногда опускаться, если это не вызывает путаницы. Включения V(t) G Ci(T), i > 1, где V(t) — матрица или вектор-функция, означают, что все производные всех ее элементов непрерывны до порядка i включительно. Непрерывности соответствуют обозначения: V(t) G C(T). Запись V (t) G CA (T) означает, что все элементы V (t) являются вещественно-аналитическими функциями на T.
Под решением системы 1.1 мы понимаем любую вектор-функцию x(t) G C1(T), которая обращает уравнение 1.1 в тождество на T.
Частный случай таких систем Л1Х = f, t G T, называемых дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ), исследуется уже около 40 лет. Данная тематика является относительно новой. В фундаментальной монографии [9] изучены только частные случаи полуявных систем, когда A(t) = diag{£V, 0}. Некоторые классы уравнений в банаховых пространствах с ядром типа свертки изучались в работах [10], [5]. При переходе к конечномерным пространствам операторы, задающие уравнения, являются постоянными матрицами.
Задачей нашей работы является получение условий разрешимости систем вида 1.1 и выяснение структуры общих решений таких систем.
2. Основные определения и вспомогательные сведения
Введем основные для нас понятия.
Определение 1. Пространство решений (ПР) системы 1.1 конечномерно на Т, если существует (п х V) -матрица Хи (¿) е С1 (Т) с
минимально возможным v такая, что любая линейная комбинация x(t,c) = Xv(t)c, где вектор c пробегает Rv, удовлетворяет тождеству (Л1 + V)x(t, c) = 0 и на T нет решений системы (Л1 + V)x = 0 отличных от x(t, c).
Ядро оператора Л1 + V конечномерно (dim ker (Л1 + V) < ж), если ПР системы 1.1 конечномерно. Число v будем называть размерностью ПР или размерностью ядра.
Если мы предположим, что
m = n, det A(t) = 0 Vt e T, K(t, s) = 0,
то ПР системы Л^ = 0, t e T совпадает с множеством функций x(t,c) = X(t)c, где X(t)-матрицант системы x(t) = -A-1(t)B(t), c e Rra. Следовательно, v = n.
Пример 1. Рассмотрим одно уравнение
Л1У := ty - 2y = 0, t e T = [-1,1],
где
y(t, c) = h1(t)c1 + h2(t)c2 e C1(T), c1, c2 e R,
h1(t) = {0, t e T1; t2, t e T2}, h2(t) = {t2, t e Ty, 0, t e T2],
T1 = [-1, 0], T2 = (0,1]. Чтобы выделить одно решение из семейства y(t,c), надо определить две константы c1, c2. Таким образом, здесь dim ker Л1 = 2. Более того, можно строить одномерные уравнения Z(t)y — y = 0, t e T, где ((t)- аналитическая функция с нулями на T, с наперед заданной размерностью ПР в нашем смысле.
Пример 2. Пусть задана система (Л1 + V )x =
t
= (0 0) dx + (Y x + / (Л 9(t)) x(s)ds = °,' e [0. 4.
0
где 7- вещественный параметр, g(t) -заданная функция из CA(T). Здесь x2 = -tx 1, где (x1 x2)T = x. Тогда из первого уравнения следует, что (7 - 1)x1 = 0 & dim ker Л1 = 0 при 7 = 1, включая значение 7 = 0. При 7 = 1 подстановкой проверяется, что любая вектор-функция вида (-u(t) tu(t))T, где u(t)- произвольная функция из C1[0, 1], Т-символ транспонирования, является решением системы, а вектор-функции ф^ =
(-tj tj+1)Т, j = 0,1, ••• , образуют базис в пространстве решений: dim ker (Л1 + V) = ж.
Изучим структуры обших решений систем вида 1.1 в случае полного ранга матрицы A(t). Ниже предполагается, что входные данные по крайней мере непрерывны в своих областях определения. Нам потребуется такое понятие.
Определение 2. (см. например, [1] ). Полуобратной матрицей к (m х п) -матрице M(t), (t) £ T, называется (n x m)-матрица M-(t), удовлетворяющая для любых t £ T уравнению
M (t)M-(t)M (t) = M (t). (2.2)
Полуобратная матрица будет псевдообратной (обозначается M+(t)), если, кроме 2.2 для всех t £ T выполнены равенства
M+(t)M(t)M+(t) = M+(t), (M +(t)M(t))T = M +(t)M(t),
(M (t)M+(t))T = M (t)M+(t). (2.3)
Полуобратная и псевдообратные матрицы определены поточечно для любого t £ T и любой (m х п)-матрицы M(t). Псевдообратная матрица единственна. Теория постоянных обобщенных обратных матриц изложена в ряде монографий (см. например, [1]). Если матрица M(t) квадратная и неособенная, то M-1(t) = M+(t) = M-(t).
Согласно [6], существуют матрицы A-(t) £ Cq(T), q = 0,1, 2, ■ ■ ■ , в частности A+(t) £ Cq(T), если rank A(t) = r = const Ш £ T.
Используя свойства полуобратных матриц перепишем систему 1.1 в эквивалентной форме
t
x = -A-(t)B(t)x+j A-(t)K(t,s)x(s)ds+A-(t)f (t) + [En-A-(t)A(t)]u(t),
a
t
[Em - A(t)A-(t)][-B(t)x + J K(t, s)x(s)ds + f (t)] =0, t £ T, (2.4)
a
где u(t)-произвольная вектор-функция. Эта запись основана на представлении решения линейной системы My = b в виде соотношения
y = M-b + [En - M-M]v, [Em - MM-]b = 0,
где v—произвольный вектор. Второе равенство является условием совместности (см. например, [1]).
Пусть в системе 1.1 A(t) £ Cq(T) и rank A(t) = min{m,n} Ш £ T. Для определенности примем A-(t) = A+(t), m < п. Тогда в 2.4 Em — A(t)A+(t) = 0 и несложные выкладки позволяют записать
x(t, c) = Z(t)c + p(t), t £ T, (2.5)
где
г г
z(г) = х(г) + у к(г,э)х^с/э, ?(г) = Ф(г) + у к(г,$)ф($)йв,
а а
ф(г) = А+ (г)/(г) + [Еп — А+(г)А(г)]и(г), X(г)—матрицант системы X = —А+(г)В(г)х, с— произвольный вектор, К(г,э) —ядро произведения А+(г)У и оператора Вольтерра с ядром X (г)Х -1(э). Если А(г), В (г), /(г), и(г) е С1(т), то А+(г) е С1(т) и х(г,с) е С1 (т).
Рассмотрим теперь случай т > п. Здесь Еп — А(г)А+(г) = 0. Тогда для существования решений у системы 1.1 необходимо существование постоянных решений у системы
С(г)с = ф(г), (2.6)
где с(г) = —[Ет — А+(г)А(г)]в(г^(г), ф(г) = [Ет — А+(г)А(г)][—/(г) + В(Ь)^(Ь)]. Известно [1, е.34], что система 2.6 имеет постоянные решения с тогда и только тогда, когда
Ф(г) = с(г)С-о, (2.7)
где С-полуобратная матрица к матрице С: СС-С = С,
в в С = I СТ($)С($)йв, о = I Ст($)ф($)йв, с = С-0+[Еп —С-С№, (2.8)
аа
№—произвольный вектор из И,п. Тогда множество решений системы 1.1 имеет вид
х(г, №) = z (г)(С-о + [Еп — С-С №) + ^(г), (2.9)
Определение 3. Пусть заданы операторы
I д ш
Л Ь(г)тгу, Ад -.= ¿2ь3(г)(й/йг)3, К .=£ Ь3(г)(й/йг)3,
3=0 3=0 3=0
где Ь3 (г) е С(Т), Ь3 (г) е С1 (т) — (р х р)-матрицы, Ьш (г) = Ер, со свойством
Л ◦ Л д у = Л ш у Уу е С1+д (Т).
Тогда оператор Л[ будем называть левым нормализатором (ЛН) для оператора Ад, а оператор Ая будем называть правым нормализатором (ПН) для оператора Л[.
Определение 4. Пусть для оператора
i
Л1,* :=£ L3 (t)(d/dt)j, j=0
где Lj (t) e C(T) - (m x m)-матрицы, определен ЛН и он обладает свойством
Л,* о (Л1 + V)y =
t
= (Т) Ж ЧТ) у + / {Kl QS0 y(S>ds Vy e Ci+1(T), (2.10)
a
где матрицы Ai(t), Bi(t), Ki(t, s) имеют размерность (к x n) , 0 < k < min{m, n}, причем матрица Ai(t) имеет полный ранг для всех t e T кроме, возможно, конечного числа точек tj e T, j = 0,1, 2,..., ц.
Если матрица Ai (t) имеет полный ранг для всех t e T, то оператор Л1,* будем называть обобщенным левым регуляризирующим оператором (ОЛРО) для оператора Л1 + V, а минимально возможное l левым индексом.
Если к = min{m,n}, то оператор Л1 * * будем называть ЛРО для оператора Л1 + V.
Определение 5. Особыми точками системы 1.1 будем называть точки tj e T, j = 0,1,..., ц, со свойством rank Ai(tj) < к.
Пример 3. Пусть задана система 2.1. Если 7 = 1, то индекс l = 2 ив определении 3 можно принять
Л1 ,*=dLd,d=(0 (d/dt)),L=(Л ?).
Здесь det Ai(t) = 7 - 1 Vg(t), к = 2.
Бсли 7 = 1, g(t) = et, то индекс l = 3 и можно принять
Л1 , * = LdLddiag{1,e-t}Ld.
Очевидно, что для замкнутых систем достаточным условием конечномерности ПР является условие к = n. В случае, когда 7 = 1, g(t) = sin(t), пока непонятно как построить ЛРО в виде произведения дифференциальных операторов первого порядка.
Понятие ЛРО тесно связано с понятием ¿-продолженной системы. Под ¿-продолженной системой 1.1 понимается совокупность самой системы и i ее полных производных
{(Л1 + V)x-f = 0, (d/dt)[^1 + V)x-f]=0, •••(d/dt)i[(K1 + V)x-f]=0}.
(2.11)
Справедлива формула
мг[м (г)г (г)]= мг[м (г)]й[г (г)], (2.12)
вытекающая из формулы Лейбница для дифференцирования произве-
... г
дений [М(г)Г(г)]{г> = £ С?Л(г-3)(г)Б(3)(г), где М(г),г(г)-некоторые
3=0
матрицы из Сг(Т), С? = ]\(г — ])\/г\ — биномиальные коэффиценты,
аг[м] = {мт, ((1/(И)мт, ■ ■ ■ ((1/(И)гмт }т,
Mi[M (t)] =
( C0M(t) 0 ... 0 \
C0M (1)(t) C\M (t) ... 0
\c0M(i)(t) C1M(i-1)(t) ... CiM(t))
С использованием формулы 2.12 систему 2.11 можно записать в виде соотношения
г
Вг[Л,Б,К](1)&г+1[х] + I <1г[К](г,в)х(з)ё8 = <1г[Д, (2.13)
где ог[л,Б,к](г) = (о М1[Л(г)]) + (М[[б(г)] о) + ^ М1 К?(гщ, ну-
_ 3=0 . .
левые блоки имеют размерность (ш[г + 1) х п), К?(г) = дК3(г, з)/дг3|г=8, 0 0^ кЕи(г+1-з)
Ниже мы будем использовать разбиение
Ej = ( ^ ^ — (mi х щ) — матрицы, mi = m[i + 1], ni = n[i + 2].
Di[A,B,K](t) = B Yi[A,B,K](t)) . (2.14)
где Ti[A, B, K](t)—блочно-треугольная квадратная матрица с блоками A(t) на диагонали.
3. Теоремы о разрешимости
В разделе сформулированы утверждения о разрешимости систем 1.1 для некоторых случаев, когда m < n. Нам ниже потребуется такое утверждение из [11].
Лемма 1. Пусть:
1) (n х n)-матрица A(t) е CA(T);
2) rank A(t) < r.
Тогда существуют (n х п)-матрицы L(t), R(t) £ CA(T), неособенные для любого t £ T, такие, что
L(t)A(t)R(t) = (Л11® 0 где A11(t) — (r х г)-блок, det A11(t) ф 0 на T.
Теорема 1. Пусть для недоопределенной системы 1.1 выполнены условия:
1) A(t), B(t) £ CA(T), K(t,s) £ CA(T х T);
2) существует ЛРО и индекс оператора Л1 + V равен l < ж;
3) f £ Cl+1(T);
4) rankY— = rank (Г— d-fa)) , Y— = D—1[A, B, K](a). Тогда найдутся (n х ё)-матрица Xd(t) £ C1(T), rank Xd(a) = d
и (n х m)-матрицы K0(t,s), K1(t,s) £ CA(T х T), C0(t), Cj(t) £ CA(T), j = 0,1,- ■ ■ ,l, такие, 'что любая линейная комбинация
x(t,c) = Xd(t)c + ^(t), t £ T,
t i t $(t) = J Ko(t,s)f (s)ds+Y^ Cj(t)(d/dt)j f (t)+Co(t)w(t)+J K1(t,s)w(s)ds,
a j=0 a
где c — произвольный вектор из Rd, w(t) — произвольная гладкая вектор-функция, является решением на системы 1.1 и на отрезке T нет других решений.
Доказательство. В условиях теоремы справедлива альтернатива:
rank A = m Vt £ T либо rank A < m Vt £ T.
Действительно, по определению 4 Li A ф 0 Vt £ T. Пусть R = (n х n)-матрица из леммы 1, применительно к (n х n)— матрице ( A ) обладает
ч0/
свойством AR = (Ац 0), где блок Ац имеет размерность (m х m). Если det Ah(y) = 0, y £ T, то существует окрестность O = (y — ó, Y + ó) С T : det An(í) = 0, t £ O (или полуинтервалы [а, а + ó), (в — ó, в], и невозможно равенство L¡А = 0 Vt £O при любой матрице L¡. Выпишем с использованием леммы 1 нужные в последующем равенства
LAR = (А11 ^ , LA = (Ap¡ ,t £ T,L,R £ CA(T), (3.1)
ч о oj ' Vo,
где Ац — (r x г)-блок, det An(t) ф 0 на T, r = max {rank A(t), t £ T}.
Далее, из формулы 2.12 следует
МГ1[Л,Б,К]=Г1 [ЬЛ,ЬБ,ЬК], Мдц[К]= ¿¡[ЬК], М^[¡]) = ф[ЬД,
(3.2)
где М = Мг[Ь]. Первое из равенств 3.2, позволяет выписать соотношение
РГ1 [Л, Б, К] = Р(БМ)-1(БМ)Гг[Л, Б, К] = ПГ}[А,Б,К], (3.3)
где Р = (Ь0 Ь1 ■ ■ ■ Ь^-матрица из коэффициентов ЛРО, Б -матрица перестановок блочных строк по правилу: на место второй-четвертую, четвертой-шестую и т. д. Вторую строку поставим последней. В результате этих преобразований получим новую матрицу.
/Г1-1[Л1,Б1,К] 0 Г}[Л,Б,К]= | Ш0 Л01 ,г е Т, (3.4)
Б =( Б0 \ ( К (г, в)
Б°) , Б1 = + КО(1,1)) , К1 = \дК§(г,в)/дЬ
ЬК = (К\ , ЬК = [ко) ,
где Ш0 -некоторый блок подходящей размерности. Число нулевых строк в матрице из 3.4 равно г. По матрицам Л1В1К1 построим оператор
г
(Ао,1+У1)х = [Оо°(Ло+У)]х = Л1Х+Б1 х+^ К1(г,в)х(в)йв, г е Т, (3.5)
а
который можно получить действием на исходную систему оператором
л ( о \ (Ь1\ (ЬО
10 = "ГТ тО
а° = Ч»; Чь^ = Ь (36)
Число строк в блоке Ь0 равно г. Введем обозначение и = Р(БМ)-1 = (По и1 ■ ■ ■ П) . По условию РгЛ = 0 на Т и из равенств 3.1 следует, что
РгЬ-1 ЬЛ = и^Л!) , и^К = и^^ 0) = 0, (3.7) Введем разбиение на блоки
и = (У11 У12
иг \ У21 У22
где V11 — (r х г)-блок. Согласно 3.1 из 3.4 получаем:
VnAn ф 0, V21A11 ф 0, t £ T,
где det A11 ф 0, t £ T. Таким образом, с учетом аналитичности сомножителей видим, что V11 ф 0, V21 ф 0. Отсюда имеем равенство
(Ua U1 ■ ■ ■ U1-1) r-1[A1,K1] = (Ai 0 ■ ■ ■ 0) . (3.8)
1-1
Следовательно, оператор Uj(d/dt)j является ЛРО для оператора 3.5.
j=0
Матрицу T— и вектор di-1[f](a) умножим на матрицу M.i-1[L](a) и переставим блочные строки. Таким образом, мы выделим из условия 4) теоремы новые условия разрешимости
rank T— = rank (T— di-2[h](a)) , (3.9)
где T-2 = r-2[A1,B1 ,K1](a), h = Qaf.
Для матрицы A1 из формулы 3.5 в силу существования ЛРО с коэффициентами из формулы 3.8 справедлива альтернатива:
rank A1 = m Vt £ T либо rank A1 < m Vt £ T.
Проводя аналогичные рассуждения, получив систему интегральных уравнений, определяемую матрицами A2B2K2 и новые условия совместности. В силу условия 2) теоремы мы за конечное число шагов получим систему с матрицей Ai полного ранга для всех t £ T, для которой можно выписать общее решение по формуле 2.5.
Рассмотрим системы на шагах процесса понижения индекса с номерами l и l — 1
[Ло,1 + Vi]y = fi, [Ло,-1 + V1-1]y = fi-1, (3.10)
где
fi = Qi-1Qi-2 ■ ■ ■ ЗД i = l — 1,l. (3.11)
Пусть y ф y(t) решение первой из систем. Первые r—1 уравнений у обеих систем совпадают, где r—1 = max {rank A—1 (t), t £ T}. Условие 3.9 здесь имеет вид
rank Ai-1(a) = rank (Ai-1(a) Bi-1(a) fi—1(a)) . (3.12)
Напомним, что первая из систем 3.10 получена умножением второй системы на оператор Q—1. При этом система умножается на неособенную матрицу L—1 из леммы 1 и последние n — ri—1 уравнений дифференцируются.
Проинтегрируем последние п — г—1 уравнений системы 3.10, которые имеют вид
(й/йг)
ъ
Вг-1,2 + ! 2(г,в)у(в)йв — ¡¡-1,2 = 0
от а до Ь. Получим выражение, стоящее в квадратных скобках, и в силу равенства 3.12 это выражение в точке а равно нулю. Итак, вектор-функция у(г) является решением второй системы 3.10. Продолжая этот процесс, убеждаемся в справедливости утверждения. □
Замечание 2. В случае замкнутой системы 1.1произвольные функции в решении отсутствуют. Общее решение имеет вид
х(г,с) = хл(г)с + I К0(Ь,8)!(з)йз + о3(г)(й/йг)3¡(г), г е т.
а 3=0
Лемма 2. Если в условии 4) теоремы ранг матрицы Тг-1 полный, система (1) разрешима при любой вектор-функции / е С1(Т).
Доказательство. Доказательство вытекает из того факта, что в этом случае гарантирована разрешимость системы алгебраическое системы = <1—^/](а) при любой правой части <—-]_[/](а). Условие теоремы 1 под номером 4) автоматически выполняется. □
Лемма 3. В качестве ЛРО в условиях теоремы можно принять произведение операторов
I-1 I-1 г / ^ ч , /т-0 ч п /го
х = Г0
ХМ Т 0 = Ь3 .
23/ йЬ \-L2j/ -1
л = П^ = п
3=0 3=0
0 \ й .
Ь0 , < й + 1 Ь0
2 3
При исследовании вырожденных систем полезны теоремы о частных случаях системы 1.1.
Теорема 2. Пусть в замкнутой системе 1.1:
1)А(г), В (г), / (г) е Сг(Т), К (г,в) е Сг(Т хТ); 2) характеристический многочлен имеет вид
<ы[\А(г) + в (г)] = аг (г)хг + ■■■, а* (г) = о тг е т, (3.13)
где г = шах{гапк А(г), г е Т}.
Тогда система 1.1 разрешима при любой / (г) и ее общее решение имеет вид
ъ
х(г, с) = хг(г)с + С0(г)/(г) + ^ К0(г, в)/(в)йв, г е Т,
ъ
Более, того замкнутая система 1.1 с конечномерным ПР имеет индекс l = 1 тогда и только тогда, когда выполнено условие 3.13.
Лемма 4. Если входные данные системы 1.1 удовлетворяют условиям теоремы 2, то любая система (Л1 + V+V^y = f, где V1—произвольный оператор Вольтерра с гладким ядром, разрешима и структура общего решения не меняется.
Теорема 3. Пусть в замкнутой системе 1.1:
1)A(t), B(t), f (t) £ C2(T), K(t,s) £ C2(T х T);
2) многочлен
det[AA(t) + pB(t) + K(t, t)] = bo(t)Xrpk + ■ ■ ■ , bo(t) =0 Vt £ T, где r = max{rank A(t), t £ T},
r + k = max{rank (A(t)\B(t)), t £ T, t £ T};
3) rank (A(a)\B(a)) = rank (A(a)\B(a)\f(a)).
Тогда, система 1.1 разрешима, имеет индекс 2 и ее общее решение имеет вид
t
x(t,c)= Xr (t)c + Ca(t)f (t)+ C1(t)f(t) + I Ka(t,s)f (s)ds,t £ T,
a
Лемма 5. Если входные данные системы 1.1 вешественно-аналити-ческие, то в условиях теорем 2,3 любая точка y £ T, в которой выполнены условия aa(Y) = 0 или b0(j) = 0 является особой.
Теоремы 2,3 и леммы 4,5 являются компиляциями из работ [2], [6], [3], [7] с некоторым ослаблением условий на постоянство ранга матриц A(t), (A(t)\B(t)). Постоянство вытекает из условий необращения в нуль функций a0(t), b0(t), t £ T.
4. Заключение
Во второй части работы предполагается рассмотреть линейные системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции, переопределенные системы и системы со слабой особенностью в ядре. Сложность задачи существенно возрастает, если входные данные не являются аналитическими. Применение леммы 1 невозможно, так как для гладких матриц A(t) в случае переменного ранга она не верна. Например, для матрицы из [8] вида
A(t) = (w°{t) v(0^ , v(t),w(t) £ C™(T), v(t)w(t) = 0,
не существует неособенной матрицы L(t) е C(T) такой, что
L(t)A(t) = (m0(t) ai20(t)) .
Нужно менять всю технику доказательства. И в настоящее время непонятно как.
Список литературы
1. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск : Наука, 1980. - 222 с.
2. Бояринцев Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. - Новосибирск : Наука, 1998.
- 224 с.
3. Булатов М. В. Об одном семействе вырожденных интегродифференциальных уравнений / М. В. Булатов, Е. В. Чистякова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -- 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1665—1673.
4. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических систем / Е. И. Ушаков.
- Новосибирск : Наука, 1988. - 271 с.
5. Федоров В. Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Сиб. мат. журн. - 2012. - Т.53, № 2. - С. 418-429.
6. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. - Новосибирск : Наука, 1996. - 280 с.
7. Чистякова Е. В. О свойствах разностных схем для вырожденных интегродиф-ференциальных уравнений индекса 1 / Е. В. Чистякова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2009. - Т.49, № 9. - С. 1579-1588
8. Brenan K. E. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics; 14)/ S. L. Campbell, L. R. Petzold. -Philadelphia : SIAM, 1996.
9. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations / H. Brunner. - N. Y. : Published in the United States of America by Cambridge University Press, 2004.
10. Falaleev M. V. Degenerate integro-differential operators in Banach spaces and their applications / M. V. Falaleev, S. S. Orlov // Russian Mathematics. - 2011. - Vol. 55, N 10. - P. 59-69.
11. Silverman L. M. Generalizations of theorem of Dolezal / L. M. Silverman, R. S. Bucy // Math. System Theory. - 1970. - Vol.4. - P.334-339.
Нгуен Дык Банг, аспирант, Иркутский государственный технический университет, 664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83, (e-mail: [email protected])
Виктор Филимонович Чистяков, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: 453029 (e-mail: [email protected])
Елена Викторовна Чистякова, кандидат физико-математических наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: 8(3932)453029 (e-mail: [email protected])
N. D. Bang, V. P. Chistyakov, E. V. Chistyakova
About Some Properties of Degenerate Systems of Linear Integro-Differential Equations. I
Abstract. This paper contains the linear system integro-differential equations (IDE), with an identically degenerate or rectangular matrix at the derivative of the unknown vector functions, including systems with a weak singularity in the kernel. This paper discusses the structure of the common solutions of such systems.
Keywords: integro-differential equations, index, general solution, singular points.
References
1. Boyarintsev Y.E. Regular and singular systems of linear ordinary differential equations. Novosibirsk, Nauka, 1980.
2. Boyarintsev Y.E., Chistyakov V.F. Algebro-differentsial'nye sistemy. Metody resheniya i issledovaniya. Novosibirsk, Nauka, 1998.
3. Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics; 14). Philadelphia, SIAM, 1996.
4. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations. New York, Published in the United States of America by Cambridge University Press, 2004.
5. Chistyakova E.V. On a family of singular integro-differential equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, September 2011, vol. 51, iss. 9, pp 1558-1566.
6. Chistyakova E.V. Properties of finite-difference schemes for singular integrodifferential equations of index 1. Computational Mathematics and Mathematical Physics, September 2009, vol. 49, iss, 9, pp. 1507-1515.
7. Chistyakov V.F. Algebro-differentsial'nye operatory s konechnomernym yadrom (Algebraic-Differential Operators with Finite-Dimensional Kernel). Novosibirsk, Nauka, 1996.
8. Falaleev M.V., Orlov S.S. Degenerate integro-differential operators in Banach spaces and their applications. Russian Mathematics, 2011, vol. 55, no 10, pp. 59-69.
9. Fedorov V.E., Omel'chenko E.A. Inhomogeneous degenerate Sobolev type equations with delay. Siberian Mathematical Journal, March 2012, vol. 53, iss. 2, pp. 335-344.
10. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal. Math. System Theory, 1970, vol. 4, pp. 334-339.
11. Ushakov E.I. Staticheskaia ustoichivost elektricheskikh sistem (Russian). Novosibirsk, Hauka, 1988.
Bang Nguen Dik, Postgraduate, Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov st., Irkutsk, 664034, tel. 89247047998, (e-mail: [email protected])
Chistyakov Victor Pholomonovich , Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Institute of System Dynamics and Control Theory RAS, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, tel.: 8(3932)453029 (e-mail: [email protected])
Chistyakova Elena Victorovna, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Institute of System Dynamics and Control Theory RAS, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, tel.: 453029, (e-mail: [email protected])
