Научная статья на тему 'О некоторых свойствах вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений. I'

О некоторых свойствах вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
149
25
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS / ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ / GENERAL SOLUTION / ИНДЕКС / INDEX / ОСОБЫЕ ТОЧКИ / SINGULAR POINTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Банг Нгуен Дык, Чистяков Виктор Филимонович, Чистякова Елена Викторовна

Рассматриваются линейные системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), с тождественно вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции, включая системы со слабой особенностью в ядре. В работе обсуждаются вопросы разрешимости и структура общих решений таких систем.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Банг Нгуен Дык, Чистяков Виктор Филимонович, Чистякова Елена Викторовна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About Some Properties of Degenerate Systems of Linear Integro-Differential Equations. I

This paper contains the linear system integro-differential equations (IDE), with an identically degenerate or rectangular matrix at the derivative of the unknown vector functions, including systems with a weak singularity in the kernel. This paper discusses the structure of the common solutions of such systems.

Текст научной работы на тему «О некоторых свойствах вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений. I»

Серия «Математика» 2015. Т. 11. С. 13—27

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 517.977

О некоторых свойствах вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений. I *

Н. Д. Банг

Иркутский государственный технический университет

В. Ф. Чистяков, Е. В. Чистякова

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Аннотация. Рассматриваются линейные системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), с тождественно вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции, включая системы со слабой особенностью в ядре. В работе обсуждаются вопросы разрешимости и структура общих решений таких систем.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, общее решение, индекс, особые точки.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему

(Л1 + V)х :=

г

= А(Ь)х + Б(Ь)х + Ур(Ь,в)К(г,в)х(в)с1в = /, Ь е Т = [а,в], (1.1)

а

где А(Ь), Б(Ь),К(Ь,в) — (т х п)-матрицы, х = х(Ь), / = / (Ь) —искомая и заданная вектор-функции соответственно,

Л1 х := А(Ь)х + Б(Ь)х,р(Ь, в) = 1

либо

р(Ь,в) = (Ь — в) —, 0 <7< 1, х := йг(г)/йг.

Работа поддержана грантом РФФИ № 15-01-03228-я.

Предполагается, что входные данные достаточно гладкие и характер вырождения задается условием

rank A(t) < min{m, n} Vt G T. (1.2)

Система 1.1 называется: замкнутой, если число уравнений равно числу компонент искомой вектор - функции (m = n), переопределенной, если m > n, и недоопределенной, если m < n. Для замкнутой системы условие 1.2 эквивалентно равенству det A(t) = 0, t G T.

Системы вида 1.1, удовлетворяющие условию 1.2, встречаются, например, теории электрических систем [4]. В частности, в таком виде можно записать системы дифференциальных и алгебраических уравнений, интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода, связанные по части переменных. В данной работе продолжаются исследования начатые в [2], [3], [6], [7].

Замечание 1. Для упрощения записи указание зависимости от t в работе будет иногда опускаться, если это не вызывает путаницы. Включения V(t) G Ci(T), i > 1, где V(t) — матрица или вектор-функция, означают, что все производные всех ее элементов непрерывны до порядка i включительно. Непрерывности соответствуют обозначения: V(t) G C(T). Запись V (t) G CA (T) означает, что все элементы V (t) являются вещественно-аналитическими функциями на T.

Под решением системы 1.1 мы понимаем любую вектор-функцию x(t) G C1(T), которая обращает уравнение 1.1 в тождество на T.

Частный случай таких систем Л1Х = f, t G T, называемых дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ), исследуется уже около 40 лет. Данная тематика является относительно новой. В фундаментальной монографии [9] изучены только частные случаи полуявных систем, когда A(t) = diag{£V, 0}. Некоторые классы уравнений в банаховых пространствах с ядром типа свертки изучались в работах [10], [5]. При переходе к конечномерным пространствам операторы, задающие уравнения, являются постоянными матрицами.

Задачей нашей работы является получение условий разрешимости систем вида 1.1 и выяснение структуры общих решений таких систем.

2. Основные определения и вспомогательные сведения

Введем основные для нас понятия.

Определение 1. Пространство решений (ПР) системы 1.1 конечномерно на Т, если существует (п х V) -матрица Хи (¿) е С1 (Т) с

минимально возможным v такая, что любая линейная комбинация x(t,c) = Xv(t)c, где вектор c пробегает Rv, удовлетворяет тождеству (Л1 + V)x(t, c) = 0 и на T нет решений системы (Л1 + V)x = 0 отличных от x(t, c).

Ядро оператора Л1 + V конечномерно (dim ker (Л1 + V) < ж), если ПР системы 1.1 конечномерно. Число v будем называть размерностью ПР или размерностью ядра.

Если мы предположим, что

m = n, det A(t) = 0 Vt e T, K(t, s) = 0,

то ПР системы Л^ = 0, t e T совпадает с множеством функций x(t,c) = X(t)c, где X(t)-матрицант системы x(t) = -A-1(t)B(t), c e Rra. Следовательно, v = n.

Пример 1. Рассмотрим одно уравнение

Л1У := ty - 2y = 0, t e T = [-1,1],

где

y(t, c) = h1(t)c1 + h2(t)c2 e C1(T), c1, c2 e R,

h1(t) = {0, t e T1; t2, t e T2}, h2(t) = {t2, t e Ty, 0, t e T2],

T1 = [-1, 0], T2 = (0,1]. Чтобы выделить одно решение из семейства y(t,c), надо определить две константы c1, c2. Таким образом, здесь dim ker Л1 = 2. Более того, можно строить одномерные уравнения Z(t)y — y = 0, t e T, где ((t)- аналитическая функция с нулями на T, с наперед заданной размерностью ПР в нашем смысле.

Пример 2. Пусть задана система (Л1 + V )x =

t

= (0 0) dx + (Y x + / (Л 9(t)) x(s)ds = °,' e [0. 4.

0

где 7- вещественный параметр, g(t) -заданная функция из CA(T). Здесь x2 = -tx 1, где (x1 x2)T = x. Тогда из первого уравнения следует, что (7 - 1)x1 = 0 & dim ker Л1 = 0 при 7 = 1, включая значение 7 = 0. При 7 = 1 подстановкой проверяется, что любая вектор-функция вида (-u(t) tu(t))T, где u(t)- произвольная функция из C1[0, 1], Т-символ транспонирования, является решением системы, а вектор-функции ф^ =

(-tj tj+1)Т, j = 0,1, ••• , образуют базис в пространстве решений: dim ker (Л1 + V) = ж.

Изучим структуры обших решений систем вида 1.1 в случае полного ранга матрицы A(t). Ниже предполагается, что входные данные по крайней мере непрерывны в своих областях определения. Нам потребуется такое понятие.

Определение 2. (см. например, [1] ). Полуобратной матрицей к (m х п) -матрице M(t), (t) £ T, называется (n x m)-матрица M-(t), удовлетворяющая для любых t £ T уравнению

M (t)M-(t)M (t) = M (t). (2.2)

Полуобратная матрица будет псевдообратной (обозначается M+(t)), если, кроме 2.2 для всех t £ T выполнены равенства

M+(t)M(t)M+(t) = M+(t), (M +(t)M(t))T = M +(t)M(t),

(M (t)M+(t))T = M (t)M+(t). (2.3)

Полуобратная и псевдообратные матрицы определены поточечно для любого t £ T и любой (m х п)-матрицы M(t). Псевдообратная матрица единственна. Теория постоянных обобщенных обратных матриц изложена в ряде монографий (см. например, [1]). Если матрица M(t) квадратная и неособенная, то M-1(t) = M+(t) = M-(t).

Согласно [6], существуют матрицы A-(t) £ Cq(T), q = 0,1, 2, ■ ■ ■ , в частности A+(t) £ Cq(T), если rank A(t) = r = const Ш £ T.

Используя свойства полуобратных матриц перепишем систему 1.1 в эквивалентной форме

t

x = -A-(t)B(t)x+j A-(t)K(t,s)x(s)ds+A-(t)f (t) + [En-A-(t)A(t)]u(t),

a

t

[Em - A(t)A-(t)][-B(t)x + J K(t, s)x(s)ds + f (t)] =0, t £ T, (2.4)

a

где u(t)-произвольная вектор-функция. Эта запись основана на представлении решения линейной системы My = b в виде соотношения

y = M-b + [En - M-M]v, [Em - MM-]b = 0,

где v—произвольный вектор. Второе равенство является условием совместности (см. например, [1]).

Пусть в системе 1.1 A(t) £ Cq(T) и rank A(t) = min{m,n} Ш £ T. Для определенности примем A-(t) = A+(t), m < п. Тогда в 2.4 Em — A(t)A+(t) = 0 и несложные выкладки позволяют записать

x(t, c) = Z(t)c + p(t), t £ T, (2.5)

где

г г

z(г) = х(г) + у к(г,э)х^с/э, ?(г) = Ф(г) + у к(г,$)ф($)йв,

а а

ф(г) = А+ (г)/(г) + [Еп — А+(г)А(г)]и(г), X(г)—матрицант системы X = —А+(г)В(г)х, с— произвольный вектор, К(г,э) —ядро произведения А+(г)У и оператора Вольтерра с ядром X (г)Х -1(э). Если А(г), В (г), /(г), и(г) е С1(т), то А+(г) е С1(т) и х(г,с) е С1 (т).

Рассмотрим теперь случай т > п. Здесь Еп — А(г)А+(г) = 0. Тогда для существования решений у системы 1.1 необходимо существование постоянных решений у системы

С(г)с = ф(г), (2.6)

где с(г) = —[Ет — А+(г)А(г)]в(г^(г), ф(г) = [Ет — А+(г)А(г)][—/(г) + В(Ь)^(Ь)]. Известно [1, е.34], что система 2.6 имеет постоянные решения с тогда и только тогда, когда

Ф(г) = с(г)С-о, (2.7)

где С-полуобратная матрица к матрице С: СС-С = С,

в в С = I СТ($)С($)йв, о = I Ст($)ф($)йв, с = С-0+[Еп —С-С№, (2.8)

аа

№—произвольный вектор из И,п. Тогда множество решений системы 1.1 имеет вид

х(г, №) = z (г)(С-о + [Еп — С-С №) + ^(г), (2.9)

Определение 3. Пусть заданы операторы

I д ш

Л Ь(г)тгу, Ад -.= ¿2ь3(г)(й/йг)3, К .=£ Ь3(г)(й/йг)3,

3=0 3=0 3=0

где Ь3 (г) е С(Т), Ь3 (г) е С1 (т) — (р х р)-матрицы, Ьш (г) = Ер, со свойством

Л ◦ Л д у = Л ш у Уу е С1+д (Т).

Тогда оператор Л[ будем называть левым нормализатором (ЛН) для оператора Ад, а оператор Ая будем называть правым нормализатором (ПН) для оператора Л[.

Определение 4. Пусть для оператора

i

Л1,* :=£ L3 (t)(d/dt)j, j=0

где Lj (t) e C(T) - (m x m)-матрицы, определен ЛН и он обладает свойством

Л,* о (Л1 + V)y =

t

= (Т) Ж ЧТ) у + / {Kl QS0 y(S>ds Vy e Ci+1(T), (2.10)

a

где матрицы Ai(t), Bi(t), Ki(t, s) имеют размерность (к x n) , 0 < k < min{m, n}, причем матрица Ai(t) имеет полный ранг для всех t e T кроме, возможно, конечного числа точек tj e T, j = 0,1, 2,..., ц.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если матрица Ai (t) имеет полный ранг для всех t e T, то оператор Л1,* будем называть обобщенным левым регуляризирующим оператором (ОЛРО) для оператора Л1 + V, а минимально возможное l левым индексом.

Если к = min{m,n}, то оператор Л1 * * будем называть ЛРО для оператора Л1 + V.

Определение 5. Особыми точками системы 1.1 будем называть точки tj e T, j = 0,1,..., ц, со свойством rank Ai(tj) < к.

Пример 3. Пусть задана система 2.1. Если 7 = 1, то индекс l = 2 ив определении 3 можно принять

Л1 ,*=dLd,d=(0 (d/dt)),L=(Л ?).

Здесь det Ai(t) = 7 - 1 Vg(t), к = 2.

Бсли 7 = 1, g(t) = et, то индекс l = 3 и можно принять

Л1 , * = LdLddiag{1,e-t}Ld.

Очевидно, что для замкнутых систем достаточным условием конечномерности ПР является условие к = n. В случае, когда 7 = 1, g(t) = sin(t), пока непонятно как построить ЛРО в виде произведения дифференциальных операторов первого порядка.

Понятие ЛРО тесно связано с понятием ¿-продолженной системы. Под ¿-продолженной системой 1.1 понимается совокупность самой системы и i ее полных производных

{(Л1 + V)x-f = 0, (d/dt)[^1 + V)x-f]=0, •••(d/dt)i[(K1 + V)x-f]=0}.

(2.11)

Справедлива формула

мг[м (г)г (г)]= мг[м (г)]й[г (г)], (2.12)

вытекающая из формулы Лейбница для дифференцирования произве-

... г

дений [М(г)Г(г)]{г> = £ С?Л(г-3)(г)Б(3)(г), где М(г),г(г)-некоторые

3=0

матрицы из Сг(Т), С? = ]\(г — ])\/г\ — биномиальные коэффиценты,

аг[м] = {мт, ((1/(И)мт, ■ ■ ■ ((1/(И)гмт }т,

Mi[M (t)] =

( C0M(t) 0 ... 0 \

C0M (1)(t) C\M (t) ... 0

\c0M(i)(t) C1M(i-1)(t) ... CiM(t))

С использованием формулы 2.12 систему 2.11 можно записать в виде соотношения

г

Вг[Л,Б,К](1)&г+1[х] + I <1г[К](г,в)х(з)ё8 = <1г[Д, (2.13)

где ог[л,Б,к](г) = (о М1[Л(г)]) + (М[[б(г)] о) + ^ М1 К?(гщ, ну-

_ 3=0 . .

левые блоки имеют размерность (ш[г + 1) х п), К?(г) = дК3(г, з)/дг3|г=8, 0 0^ кЕи(г+1-з)

Ниже мы будем использовать разбиение

Ej = ( ^ ^ — (mi х щ) — матрицы, mi = m[i + 1], ni = n[i + 2].

Di[A,B,K](t) = B Yi[A,B,K](t)) . (2.14)

где Ti[A, B, K](t)—блочно-треугольная квадратная матрица с блоками A(t) на диагонали.

3. Теоремы о разрешимости

В разделе сформулированы утверждения о разрешимости систем 1.1 для некоторых случаев, когда m < n. Нам ниже потребуется такое утверждение из [11].

Лемма 1. Пусть:

1) (n х n)-матрица A(t) е CA(T);

2) rank A(t) < r.

Тогда существуют (n х п)-матрицы L(t), R(t) £ CA(T), неособенные для любого t £ T, такие, что

L(t)A(t)R(t) = (Л11® 0 где A11(t) — (r х г)-блок, det A11(t) ф 0 на T.

Теорема 1. Пусть для недоопределенной системы 1.1 выполнены условия:

1) A(t), B(t) £ CA(T), K(t,s) £ CA(T х T);

2) существует ЛРО и индекс оператора Л1 + V равен l < ж;

3) f £ Cl+1(T);

4) rankY— = rank (Г— d-fa)) , Y— = D—1[A, B, K](a). Тогда найдутся (n х ё)-матрица Xd(t) £ C1(T), rank Xd(a) = d

и (n х m)-матрицы K0(t,s), K1(t,s) £ CA(T х T), C0(t), Cj(t) £ CA(T), j = 0,1,- ■ ■ ,l, такие, 'что любая линейная комбинация

x(t,c) = Xd(t)c + ^(t), t £ T,

t i t $(t) = J Ko(t,s)f (s)ds+Y^ Cj(t)(d/dt)j f (t)+Co(t)w(t)+J K1(t,s)w(s)ds,

a j=0 a

где c — произвольный вектор из Rd, w(t) — произвольная гладкая вектор-функция, является решением на системы 1.1 и на отрезке T нет других решений.

Доказательство. В условиях теоремы справедлива альтернатива:

rank A = m Vt £ T либо rank A < m Vt £ T.

Действительно, по определению 4 Li A ф 0 Vt £ T. Пусть R = (n х n)-матрица из леммы 1, применительно к (n х n)— матрице ( A ) обладает

ч0/

свойством AR = (Ац 0), где блок Ац имеет размерность (m х m). Если det Ah(y) = 0, y £ T, то существует окрестность O = (y — ó, Y + ó) С T : det An(í) = 0, t £ O (или полуинтервалы [а, а + ó), (в — ó, в], и невозможно равенство L¡А = 0 Vt £O при любой матрице L¡. Выпишем с использованием леммы 1 нужные в последующем равенства

LAR = (А11 ^ , LA = (Ap¡ ,t £ T,L,R £ CA(T), (3.1)

ч о oj ' Vo,

где Ац — (r x г)-блок, det An(t) ф 0 на T, r = max {rank A(t), t £ T}.

Далее, из формулы 2.12 следует

МГ1[Л,Б,К]=Г1 [ЬЛ,ЬБ,ЬК], Мдц[К]= ¿¡[ЬК], М^[¡]) = ф[ЬД,

(3.2)

где М = Мг[Ь]. Первое из равенств 3.2, позволяет выписать соотношение

РГ1 [Л, Б, К] = Р(БМ)-1(БМ)Гг[Л, Б, К] = ПГ}[А,Б,К], (3.3)

где Р = (Ь0 Ь1 ■ ■ ■ Ь^-матрица из коэффициентов ЛРО, Б -матрица перестановок блочных строк по правилу: на место второй-четвертую, четвертой-шестую и т. д. Вторую строку поставим последней. В результате этих преобразований получим новую матрицу.

/Г1-1[Л1,Б1,К] 0 Г}[Л,Б,К]= | Ш0 Л01 ,г е Т, (3.4)

Б =( Б0 \ ( К (г, в)

Б°) , Б1 = + КО(1,1)) , К1 = \дК§(г,в)/дЬ

ЬК = (К\ , ЬК = [ко) ,

где Ш0 -некоторый блок подходящей размерности. Число нулевых строк в матрице из 3.4 равно г. По матрицам Л1В1К1 построим оператор

г

(Ао,1+У1)х = [Оо°(Ло+У)]х = Л1Х+Б1 х+^ К1(г,в)х(в)йв, г е Т, (3.5)

а

который можно получить действием на исходную систему оператором

л ( о \ (Ь1\ (ЬО

10 = "ГТ тО

а° = Ч»; Чь^ = Ь (36)

Число строк в блоке Ь0 равно г. Введем обозначение и = Р(БМ)-1 = (По и1 ■ ■ ■ П) . По условию РгЛ = 0 на Т и из равенств 3.1 следует, что

РгЬ-1 ЬЛ = и^Л!) , и^К = и^^ 0) = 0, (3.7) Введем разбиение на блоки

и = (У11 У12

иг \ У21 У22

где V11 — (r х г)-блок. Согласно 3.1 из 3.4 получаем:

VnAn ф 0, V21A11 ф 0, t £ T,

где det A11 ф 0, t £ T. Таким образом, с учетом аналитичности сомножителей видим, что V11 ф 0, V21 ф 0. Отсюда имеем равенство

(Ua U1 ■ ■ ■ U1-1) r-1[A1,K1] = (Ai 0 ■ ■ ■ 0) . (3.8)

1-1

Следовательно, оператор Uj(d/dt)j является ЛРО для оператора 3.5.

j=0

Матрицу T— и вектор di-1[f](a) умножим на матрицу M.i-1[L](a) и переставим блочные строки. Таким образом, мы выделим из условия 4) теоремы новые условия разрешимости

rank T— = rank (T— di-2[h](a)) , (3.9)

где T-2 = r-2[A1,B1 ,K1](a), h = Qaf.

Для матрицы A1 из формулы 3.5 в силу существования ЛРО с коэффициентами из формулы 3.8 справедлива альтернатива:

rank A1 = m Vt £ T либо rank A1 < m Vt £ T.

Проводя аналогичные рассуждения, получив систему интегральных уравнений, определяемую матрицами A2B2K2 и новые условия совместности. В силу условия 2) теоремы мы за конечное число шагов получим систему с матрицей Ai полного ранга для всех t £ T, для которой можно выписать общее решение по формуле 2.5.

Рассмотрим системы на шагах процесса понижения индекса с номерами l и l — 1

[Ло,1 + Vi]y = fi, [Ло,-1 + V1-1]y = fi-1, (3.10)

где

fi = Qi-1Qi-2 ■ ■ ■ ЗД i = l — 1,l. (3.11)

Пусть y ф y(t) решение первой из систем. Первые r—1 уравнений у обеих систем совпадают, где r—1 = max {rank A—1 (t), t £ T}. Условие 3.9 здесь имеет вид

rank Ai-1(a) = rank (Ai-1(a) Bi-1(a) fi—1(a)) . (3.12)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Напомним, что первая из систем 3.10 получена умножением второй системы на оператор Q—1. При этом система умножается на неособенную матрицу L—1 из леммы 1 и последние n — ri—1 уравнений дифференцируются.

Проинтегрируем последние п — г—1 уравнений системы 3.10, которые имеют вид

(й/йг)

ъ

Вг-1,2 + ! 2(г,в)у(в)йв — ¡¡-1,2 = 0

от а до Ь. Получим выражение, стоящее в квадратных скобках, и в силу равенства 3.12 это выражение в точке а равно нулю. Итак, вектор-функция у(г) является решением второй системы 3.10. Продолжая этот процесс, убеждаемся в справедливости утверждения. □

Замечание 2. В случае замкнутой системы 1.1произвольные функции в решении отсутствуют. Общее решение имеет вид

х(г,с) = хл(г)с + I К0(Ь,8)!(з)йз + о3(г)(й/йг)3¡(г), г е т.

а 3=0

Лемма 2. Если в условии 4) теоремы ранг матрицы Тг-1 полный, система (1) разрешима при любой вектор-функции / е С1(Т).

Доказательство. Доказательство вытекает из того факта, что в этом случае гарантирована разрешимость системы алгебраическое системы = <1—^/](а) при любой правой части <—-]_[/](а). Условие теоремы 1 под номером 4) автоматически выполняется. □

Лемма 3. В качестве ЛРО в условиях теоремы можно принять произведение операторов

I-1 I-1 г / ^ ч , /т-0 ч п /го

х = Г0

ХМ Т 0 = Ь3 .

23/ йЬ \-L2j/ -1

л = П^ = п

3=0 3=0

0 \ й .

Ь0 , < й + 1 Ь0

2 3

При исследовании вырожденных систем полезны теоремы о частных случаях системы 1.1.

Теорема 2. Пусть в замкнутой системе 1.1:

1)А(г), В (г), / (г) е Сг(Т), К (г,в) е Сг(Т хТ); 2) характеристический многочлен имеет вид

<ы[\А(г) + в (г)] = аг (г)хг + ■■■, а* (г) = о тг е т, (3.13)

где г = шах{гапк А(г), г е Т}.

Тогда система 1.1 разрешима при любой / (г) и ее общее решение имеет вид

ъ

х(г, с) = хг(г)с + С0(г)/(г) + ^ К0(г, в)/(в)йв, г е Т,

ъ

Более, того замкнутая система 1.1 с конечномерным ПР имеет индекс l = 1 тогда и только тогда, когда выполнено условие 3.13.

Лемма 4. Если входные данные системы 1.1 удовлетворяют условиям теоремы 2, то любая система (Л1 + V+V^y = f, где V1—произвольный оператор Вольтерра с гладким ядром, разрешима и структура общего решения не меняется.

Теорема 3. Пусть в замкнутой системе 1.1:

1)A(t), B(t), f (t) £ C2(T), K(t,s) £ C2(T х T);

2) многочлен

det[AA(t) + pB(t) + K(t, t)] = bo(t)Xrpk + ■ ■ ■ , bo(t) =0 Vt £ T, где r = max{rank A(t), t £ T},

r + k = max{rank (A(t)\B(t)), t £ T, t £ T};

3) rank (A(a)\B(a)) = rank (A(a)\B(a)\f(a)).

Тогда, система 1.1 разрешима, имеет индекс 2 и ее общее решение имеет вид

t

x(t,c)= Xr (t)c + Ca(t)f (t)+ C1(t)f(t) + I Ka(t,s)f (s)ds,t £ T,

a

Лемма 5. Если входные данные системы 1.1 вешественно-аналити-ческие, то в условиях теорем 2,3 любая точка y £ T, в которой выполнены условия aa(Y) = 0 или b0(j) = 0 является особой.

Теоремы 2,3 и леммы 4,5 являются компиляциями из работ [2], [6], [3], [7] с некоторым ослаблением условий на постоянство ранга матриц A(t), (A(t)\B(t)). Постоянство вытекает из условий необращения в нуль функций a0(t), b0(t), t £ T.

4. Заключение

Во второй части работы предполагается рассмотреть линейные системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной или прямоугольной матрицей перед производной искомой вектор-функции, переопределенные системы и системы со слабой особенностью в ядре. Сложность задачи существенно возрастает, если входные данные не являются аналитическими. Применение леммы 1 невозможно, так как для гладких матриц A(t) в случае переменного ранга она не верна. Например, для матрицы из [8] вида

A(t) = (w°{t) v(0^ , v(t),w(t) £ C™(T), v(t)w(t) = 0,

не существует неособенной матрицы L(t) е C(T) такой, что

L(t)A(t) = (m0(t) ai20(t)) .

Нужно менять всю технику доказательства. И в настоящее время непонятно как.

Список литературы

1. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск : Наука, 1980. - 222 с.

2. Бояринцев Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. - Новосибирск : Наука, 1998.

- 224 с.

3. Булатов М. В. Об одном семействе вырожденных интегродифференциальных уравнений / М. В. Булатов, Е. В. Чистякова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -- 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1665—1673.

4. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических систем / Е. И. Ушаков.

- Новосибирск : Наука, 1988. - 271 с.

5. Федоров В. Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Сиб. мат. журн. - 2012. - Т.53, № 2. - С. 418-429.

6. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. - Новосибирск : Наука, 1996. - 280 с.

7. Чистякова Е. В. О свойствах разностных схем для вырожденных интегродиф-ференциальных уравнений индекса 1 / Е. В. Чистякова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2009. - Т.49, № 9. - С. 1579-1588

8. Brenan K. E. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics; 14)/ S. L. Campbell, L. R. Petzold. -Philadelphia : SIAM, 1996.

9. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations / H. Brunner. - N. Y. : Published in the United States of America by Cambridge University Press, 2004.

10. Falaleev M. V. Degenerate integro-differential operators in Banach spaces and their applications / M. V. Falaleev, S. S. Orlov // Russian Mathematics. - 2011. - Vol. 55, N 10. - P. 59-69.

11. Silverman L. M. Generalizations of theorem of Dolezal / L. M. Silverman, R. S. Bucy // Math. System Theory. - 1970. - Vol.4. - P.334-339.

Нгуен Дык Банг, аспирант, Иркутский государственный технический университет, 664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83, (e-mail: ducbang@mail.ru)

Виктор Филимонович Чистяков, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: 453029 (e-mail: chist@icc.ru)

Елена Викторовна Чистякова, кандидат физико-математических наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: 8(3932)453029 (e-mail: elena.chistyakova@icc.ru)

N. D. Bang, V. P. Chistyakov, E. V. Chistyakova

About Some Properties of Degenerate Systems of Linear Integro-Differential Equations. I

Abstract. This paper contains the linear system integro-differential equations (IDE), with an identically degenerate or rectangular matrix at the derivative of the unknown vector functions, including systems with a weak singularity in the kernel. This paper discusses the structure of the common solutions of such systems.

Keywords: integro-differential equations, index, general solution, singular points.

References

1. Boyarintsev Y.E. Regular and singular systems of linear ordinary differential equations. Novosibirsk, Nauka, 1980.

2. Boyarintsev Y.E., Chistyakov V.F. Algebro-differentsial'nye sistemy. Metody resheniya i issledovaniya. Novosibirsk, Nauka, 1998.

3. Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics; 14). Philadelphia, SIAM, 1996.

4. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations. New York, Published in the United States of America by Cambridge University Press, 2004.

5. Chistyakova E.V. On a family of singular integro-differential equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, September 2011, vol. 51, iss. 9, pp 1558-1566.

6. Chistyakova E.V. Properties of finite-difference schemes for singular integrodifferential equations of index 1. Computational Mathematics and Mathematical Physics, September 2009, vol. 49, iss, 9, pp. 1507-1515.

7. Chistyakov V.F. Algebro-differentsial'nye operatory s konechnomernym yadrom (Algebraic-Differential Operators with Finite-Dimensional Kernel). Novosibirsk, Nauka, 1996.

8. Falaleev M.V., Orlov S.S. Degenerate integro-differential operators in Banach spaces and their applications. Russian Mathematics, 2011, vol. 55, no 10, pp. 59-69.

9. Fedorov V.E., Omel'chenko E.A. Inhomogeneous degenerate Sobolev type equations with delay. Siberian Mathematical Journal, March 2012, vol. 53, iss. 2, pp. 335-344.

10. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal. Math. System Theory, 1970, vol. 4, pp. 334-339.

11. Ushakov E.I. Staticheskaia ustoichivost elektricheskikh sistem (Russian). Novosibirsk, Hauka, 1988.

Bang Nguen Dik, Postgraduate, Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov st., Irkutsk, 664034, tel. 89247047998, (e-mail: ducbang@mail.ru)

Chistyakov Victor Pholomonovich , Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Institute of System Dynamics and Control Theory RAS, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, tel.: 8(3932)453029 (e-mail: chist@icc.ru)

Chistyakova Elena Victorovna, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Institute of System Dynamics and Control Theory RAS, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, tel.: 453029, (e-mail: elena.chistyakova@icc.ru)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.