О разрешимости некоторых нелокальных и связанных с ними обратных задач для параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

А. И, Кожанов

Связь между нелокальными краевыми задачами для дифференциальных уравнений и обратными коэффициентными задачами хорошо известна — примеры можно найти в монографии [1], в статьях [2,3] и в ряде других работ.

Изучаемую в настоящей работе нелокальную задачу можно представить как многомерное обобщение некоторых нелокальных краевых задач с граничным условием А. А. Самарского [4], ранее достаточно хорошо изученных в одномерном случае [5-11].

Обратная задача, по сути порожденная изучаемой нелокальной задачей, будет линейной обратной задачей с неизвестным внешним воздействием, определяющимся временной переменной. Подобные обратные задачи ранее изучались, но при иных условиях переопределения (см. [12-16]).

1. Постановка задач

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр

*) Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09Ч)М0422а) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (гос. контракт № 16.740.11.0127).

© 2011 Кожанов А. И.

П х (0,Т) конечной высоты Т, Б = Г х (0,Т) — боковая граница Q. Далее, пусть с(х,Ь), К(х,у,Ь), Ко(х), /(х, Ь) и Н(х,Ь) суть заданные при х € Л, у € О, £ € [0, Т] функции.

Нелокальная краевая задача. Найти функцию и(х,£), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и — А и + с(х, Ь)и = /(х, Ь) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,0) = 0, х еП, (2)

ди(х Р

——!—= к(х, у, г)и(у, г) ¿ву, (х,г) е я (з)

г

[ух = (^(х), • • •, х)) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке х € Г).

Обратная задача. Найти функции и(х, £) и связанные в

цилиндре Q уравнением

и — А и + с(х, Ь)и = /(х, Ь) + Ь), (4)

при выполнении для функции и(х,Ь) условия (2), а также условий

^ = 0, (5)

! К0(х)и(х,г)<1зх= 0, Ь е(0,Т). (6)

г

Уточним, что в рассматриваемой обратной задаче условия (2) и (5) представляют собой условия прямой задачи — именно, обычной второй начально-краевой задачи, условие же (6) есть условие переопределения интегрального граничного вида. Ранее обратные задачи с подобным условием переопределения не изучались.

2. Разрешимость нелокальной краевой задачи

Обозначим через V множество V = {v(x,t) :v(x,t) е Wд(Q, vt(x,t) е L(О,T;W22(ii))}. Очевидно, что оно представляет собой банахово пространство с нормой

llvlk = IMIWд (Q) + \\vt\\Lz(0,TW?2(tt) )• Далее, пусть K(x,y,t) — функция такая, что dKi(x,y,t)

---= Щж, у, t) при (ж, t) G S.

dvx

Определим оператор Б\, Л е [О,1]:

(BAv)(x,t) = v(x,t) — Л J K(x, y,t)v(y,t) dsy. г

Теорема 1. Пусть выполняются условия cfMleC1®, c(x,t)^c0> 0, ct(x,t)^0 при (x,t) eQ; (7)

еС3(ПхП x [0,T]); (8)

для всех Л е [0 , 1] и t е [0, T] оператор Б\ непрерывно обратим как оператор из L(Г) в L (Г) и для любой функции v(x) из L(Г) равномерно по Л е [0 ^ at е [0, T] выполняются неравенства

ki||v||L2(r) < ||Б^||Мг) < k2 ||v||L2(r), 0<k!<k2< + те; (9)

n

^^xjVj ^ —m < о при x е г. (io)

i=l

Тогда для любой функции /(x,t) такой, что f(x,t) е L(Q> ft(x,t) е нелокальная задача (1)-(3) имеет решение u(x,t) такое, что u(x,t) е Wд(Q п ьто(о,T;Wf(n)), ut(x,t) е b2(S).

Доказательство. Воспользуемся методами регуляризации и продолжения по параметру.

Пусть £ — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, £), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и — А и + с(х, Ь)и — £Ди = /(х, Ь) (1е)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Покажем, что

£

/(х,Ь) пространству разрешима в пространстве V- Воспользу-

емся методом продолжения по параметру.

Пусть А € [0,1]. Рассмотрим еще одну вспомогательную задачу: найти функцию и(х, £), являющуюся в цилиндре Q решением уравпе-ния(1е) и такую, что для нее выполняются условие (2), а также условие

Зи(х Ь) /* д '— = А К(х, у, Ь)и(у, г) ¿8у, (х,г) £ Б. (Зл)

г

Как обычно делается при применении метода продолжения по па-

А,

для которых краевая задача (1е), (2), (За) разрешима в пространстве V при фиксированном £ для любой функции /(х, Ь) из Если

окажется, что это множество непусто, открыто и замкнуто на отрезке

,,

Тот факт, что Л непусто, следует из принадлежности ему числа о (см. [1,18]). Далее, открытость и замкнутость л устанавливается с

А

1Мк < И0 (11)

всевозможных решений краевых задач (1е), (2), (За). Покажем ее наличие.

Рассмотрим интегральное тождество

( " \

(ит — А и + си — еАит) I м ^^ Х4ихт + мит — А ит I &хд,т

О п \ г=1

г

/ I ^^""^Хдихт + мит — Аит ¿хд,т,

о п х 4=1 '

являющееся следствием уравнения (1е); в этом тождестве м — положительное число, величина которого будет уточнена ниже. Интегрируя по частям, нетрудно данное тождество преобразовать к виду г

М

/ / (± хЛ ^ г) <ьх*г + I ¡[Аи(Х, г)]><ь

П Г \«=1 / П

У [уи, + с(ж, (ж, (¿Ж + ^ J с(х, (1х

4=1 п п

п г п г

J ! и2т йХ<1т + (1 + £/х) J ! йХ<1т — ^ J ! Сти2х.(1х(1т

2 J J ит . I ^ I / у / / ""а^т """"" 0 / у / / '-Т"'Х,

О п 4=1 о п 1=1 о п

г г

^ ^ [ сти2 <1х<1т + е У J(Акт)2 с1хс1т о п о п

/ ( М Х»их,т + мит — Аи^ (1х(1т

'^^¿Хгихнт\ АиЗхЗтГ — мJJl ^^Х^и^-г I сиЗхЗт о п ^ 4=1 ' о п ^4=1 '

— J схи^тudxdт + EмJ J I $>их4т) Аит ¿Х<1т

4=1 о п О П ^ 4=1 '

г

— ХмЦит(^(¡К^у^)^) ^

о п

г / _

о г

г

— А(l + £|л)J ! ит(x,т)^J К{х,у,т)ит(у,т) 3ву^ 3вх3т

о г г

г

— Ш + ^Ц мх т) ( / КАх у тНу, т) Ьу) ¿г

о г г

г

— АЦФ,^Ф,т)(I^у тК(у^^ ^

о г

г

— АЦ ^ ^ т) ( I Кт^ у ^ Т) ^ 3,^. (12) о г г

Следствием условий (7) и (8), а также неравенств Юнга и Гёльдера является неравенство

г п

^ 0 J J Uт(X^ Т) Звх3т + — У [Ам(ж, ¿)]2 (¿Ж + ^^ J и2х.(х,1) (1х

о г ¡лс0

г=1 ,

г п г

2(х^)3х+^ J ! М2^Т + ]Г J ! 3x3т о п ®=1 о п

£ J ! (Аит)2 3,х3,т ^ 3 о п

Е

их .т (1х3,т + иТ 3х3т

£ (Дит)2 3х3т

о п г

о п о п

г

их.т (1х(1т

о п

С^ ¡[и2 + (Ди)2] 3х3т + (С3 + С4) J /2 ¿хат

о п

Я г

+ [3 + (1 + £^N1] J ! ит (х,т) 3вх3т + N J ! и2(х,т) 3вх3т,

о г о г

в котором 3 — произвольное положительное число, число С\ определяется числом 3 и областью ^^ тасло С определяется числом 3, об-

и

ластью ф, функцией с(х, и числом число С определяется числом 6, областью ф и числом число С определяется числами 6 и е, число N определяется числом ао, число N определяется числами 6, ^ и ао, функцией с(х,^, а также областью ф. Зафиксируем ^ так, чтобы выполнялось равенство

^ = (13)

Заметим далее следующее. Без ограничения общности можно считать, что для е выполняется неравенство е < ео с произвольным фиксированным £о. Указанное ео выберем изначально таким, чтобы выполнялось

тах(ео^2С1, eoM.Ni) < 1 (14)

(с выбранным ранее Считая теперь е меньшим ео, выбираем далее 6 малым и, фиксируя, получаем, что при выполнении (13) и (14) следствием (12) будет неравенство

J ! х,т) ¿т + J < [Аи(х^)]2 + х,Ь) + и2(х, £) > ¿х

П г п I «=1 J

J ! и%.т ¿хЗт + е J J(Аит)2 ¿х<1т

о г п

о п

4 4

^ N { [(Д и)2 + М] ¿хс!т + и2(х, т) ¿вХ ¿т + N / /2 ¿хйт,

и Й Й г£ (15)

в котором N определяется функцией с(х,£), числом ао, а также областью ф, а число N определяете лишь параметром е. Используя далее представление

т

и(х,т) = /ч( х,№

о

и применяя лемму Гронуолла, из (15) получаем, что для всевозможных решений краевой задачи (1е), (2), (За) действительно выполняется равномерная по А априорная оценка (11).

Покажем, что из (11) следует замкнутость множества Л. Пусть {Лт} — последовательность чисел из Л такая, что Лт ^ Ао при т ^ го, {ит(х,1)} — последовательность соответствующих решений краевых задач (1е), (2), (Злт). Положим 'тк ит (х,г) - ик{х,ь). Имеют место равенства

'ЮтЫ - А'тк + с{х,г)'Ютк - еА'ткЬ = 0, {х,г) € Q,

'тк{х, 0) = 0, х €0,

д'тк

З^х,

г

+ (Лт - Лк) ! К(х,у,г)ик(у,ь)йэу, (х,г) е

х, г

Повторяя теперь для семейства функций |ютк(х,1)} доказательство

т

в пространстве V и в пространстве для семейства {ит(х,Ь)},

получаем, что выполняется неравенство

||'тк < М |Лт - Лк |

с постоянной М1, определяющейся лишь функциями с(х,~Ь), числом ао, областью ^ ^ таслом е. Из этого неравенства следует, что семейство {ит(х,1)} фундаментально в пространстве У±. Поскольку V банахово, из фундаментальности следует существование функции и(х,Ь) такой, что ит(х,~Ь) ^ и(х,~Ь) в V- Очевидно, что и(х,~Ь) является решением краевой задачи (1е), (2), (3Ло). Это и означает, что Л0 принадлежит Л и, далее, — что множество Л замкнуто.

Покажем теперь, что оценка (11) дает и открытость множества Л. Пусть Ло — точка множества Л, Л = Ло +А. Множество Л будет открытым, если Л при малых |А| также будет принадлежать Л. Покажем, что это действительно так.

Пусть у(х, ¿) — функция из пространства V- Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,1), являющуюся в цилиндре Q решением

уравнения (1е) и такую, что для нее выполняется условие (2), а также условие

ди(х,1) С ~ Г

д '— = А0 / к(х,у,г)и(у,г)<1зу+\ / к(х,у,г)ь(у,г)<1зу, (х,г) е Б.

г г

(За,«)

Определим функцию ф{х,£) как решение уравнения

ф(х,г) = л0 J к1(х,у,г)ф(у,г) ¿ву + \ ! к(х,у,^у(у,г) ¿в у. (16) г г

Вследствие условия (9) и принадлежности функции простран-

ству V Функция ф(х,Ь) определена корректно; более того, для функции ф(х, Ь) будут выполняться включения ф(х,Ь) € ф^х,Ь) € Ь2(Ф)> Аф(х,1) € и Аф^х,Ь) € В краевой задаче (1е), (2), (За,«) перейдем от функции и(х,Ь) к ш(х, £), положив ш(х,Ь) = и{х, Ь) — ф{х, Ь). Очевидно, что для функции ш(х, Ь) выполняются условия (2) и (За0). Далее, для ш{х,£) выполняется уравнение

т — Аш + сш — еАшг = / — ф( + А« — сф + еА'фг. (1^)

Поскольку в этом уравнении правая часть принадлежит пространству согласно определению множества Л краевая задача (1^), (2), (3Ао) будет разрешима в прострапстве V- Разрешимость этой задачи означает, что она порождает оператор Ф, переводящий пространство V в себя: Ф(-у) = и. Используя технику доказательства оценки (11), нетрудно установить, что для любых двух функций щ (х, Ь) и ^ (х, Ь) из пространства V выполняется неравенство

уфЫ — ФыIIV < М|~1Ь — щIIV!

с постоянной определяющейся лишь функцией с(х,Ь), областью Л и числами ао, а± и е. Это неравенство означает, что при выполнении условия М2 |~| < 1 оператор Ф будет сжимающим. Но тогда этот оператор будет иметь в пространстве V неподвижную точку. Эта неподвижная точка и(х, Ь) является решением краевой задачи (1е), (2),

(Зл), принадлежащим прострапству V- А это и означает, что число Л принадлежит множеству Л, и тем самым — что множество Л открыто.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто. Но тогда краевая задача (1е), (2), (3) будет разрешима в прострапстве V ПРИ всех

е

Другими словами, при е < ео определено семейство функций {ие(х, г) }, являющихся решениями этой задачи. Покажем, что при выполнении дополнительного условия

х,1) е им)

для этого семейства будет иметь место оценка (11) с постоянной в пра-

е

Л

мом, содержащем произведение ] • Дит, выполним интегрирование по частям по переменной т. Используя далее условия (7) и (8), неравенства Гёльдера и Юнга, подбирая число ^ с помощью равенства (13),

е

и, наконец, применяя лемму Гронуолла, получаем, что для решений краевой задачи (1е), (2), (3) имеет место оценка (11), но теперь постое

Полученной оценки уже вполне достаточно для организации предельного перехода. Действительно, выберем последовательность {ет} такую, что ет > 0, ет ^ 0 при т ^ те. Для последовательности {и^х,г)} решений краевой задачи (1£т), (2), (3) выполняется равно-т

сивности гильбертова пространства и теорем вложения [19,20] следует, что существуют последовательность {тк } натуральных чисел и функция и(х,Ь) из такие, что итк(х,Ь) ^ и(х,£) слабо в Ш2^ еткАитк1 ^ 0 слабо в г) ^ и(х,г), иткг(х,г) ^ щ(х,г) слабо в ^(Б). Из этих сходимостей и вытекает, что предельная функция и(х,г) будет решением нелокальной краевой задачи (1)-(4), принадлежащим требуемому классу. Теорема доказана.

3. Разрешимость обратной задачи

Выполним некоторые предварительные построения. Положим

<р{г) = J Ка{х)^х,г)ё,вх, ^о(г) = J К0(х)Н(х,г) ¿вх. г г

Пусть выполняется условие

й0(г)#о при г е [о,т]. (17)

Кх

полученного равенства вычислим функцию

ч(г) = J к0(х)[с(х,г)и(х,г) - Аи(х,г)]<1зх - р^У (18)

г

Введем еще обозначения:

ММ) = -Г77Г' ММ) = ЯМ) - МММ^)-Ыг)

Рассмотрим уравнение, полученное из (4) подстановкой в него вычисленной функции д(г):

иг -Ди + с{х,г)и = ¡г(х,г) + Ка{у)[с{у,г)и{у,г) -Ди(у,г)] ¿ву.

(4')

- с х, г

V — ДV + с(х, г)-у + сг(х,г)и = д{х,г) - Н2(х,г) J Ко(у)у(у,г) ¿ву, (4'')

г

в котором к2(х,г) и д(х,г) суть функции

у(х,г) = Аи(х,г) - с{х,г)и{х,г), д(х,г) = А^(х,г) - 4х,г)^(х,г), н2{х,г) = А^(х,г) - с(х,г)к1(х,г).

Далее, пусть для простоты выполняется условие дЯ(х,г)

Обозначим

= 0 при (х, г) е (19)

дЪл (х г)

Щх,у,ь) = хег^ег^е (о,Т).

Тогда из уравнения (4') следует, что выполняется условие ду(х, г)

я

д^х

= у Щх,у,г)у(у,г)с18у. (20)

г

Рассмотрим задачу: найти функцию являющуюся в цилиндре

^ (4''), в котором функция и(х, г) связана с ю(х, г)

уравнением

Ди — с(х,г)и = у(х,г) (21)

н при этом для у(х, г) н и(х, г) выполняются условия (2), (5) н (20). Эта задача подобна нелокальной задаче (1)-(3), и исследование ее разрешимости проводится вполне аналогично исследованию разрешимости вышеназванной задачи. Именно, вновь применяются методы регуля-ризацции и продолжения по параметру с тем лишь исключением, что при фиксированном е и при А е [0,1] рассматривается семейство задач

ví — ДV + см — еДví = д(х, г) — А

С((х,г)и + ^(х,г) / Ко(у^(у,г)¿8

У

г

^х,0) = 0

д^х, г)

= А^ Щх,у,ф{у,г) ¿8у, (х,г) е я,

дм,

г

Ди — с(х,г)и =

д^х

Разрешимость этих задач при фиксированном е, далее осуществление

предельного перехода и тем самым доказательство разрешимости кра-''

оценок, получаемых методом доказательства соответствующих оценок теоремы 1. Необходимые условия на функции с(х,~Ь), К$(у), и

д(х^) легко указываются.

Выполним теперь обратные преобразования. Обозначим

■ш(х,~Ь) = щ( х,~Ь) — А и(х,~Ь) + с(х,-Ь)и(х,~Ь) —

— ^(х,г) ! К0(у)[с(у,г)и(у,г) — Аи(у,г)] з,ау. г

Очевидно, что выполняются равенства

[А - с(х, *)]«; = 0, = о при (х, ¿) €

Поскольку предполагается, что выполняется условие

с(х, ¿) > с0 > 0 при (х, £) € <3 теоремы 1, из этих равенств следует, что

= 0 при (х,£) € Q.

Другими словами, для определенной по решению «(х,£) задачи (4"), (21), (2), (5), (20) и(х,Ь) выполняется уравнение (4'). Определим функцию равенством (18). Очевидно теперь, что функции и{х,Ь) и связаны в цилиндре Q уравнением (4).

Кх

Учитывая представление (18) функции получим, что выполняется равенство

к0(х)и(х,г) =о.

г

Из этого равенства и условия (2) следует, что для функции и(х,Ь) выполняется условие переопределения (6). Другими словами, полностью

показано, что функции и(х,Ь) и определенные по решению крае''

(2), (5), (6).

Сформулируем доказанное в точном виде. Пусть Ni(x,y,t) — функция такая, что

dN1{x,y,t)

-—-= N(x, у, t) при (х, t) G S.

Определим оператор B\, X G [О,1]:

(Bxv)(x,t) = v(x,t) - xj N{x,y,t)v{y,t) dsy. г

Теорема 2. Пусть выполняются условия (17) и (19), функции c(x,t), h(x,t), f(x,t), K(x) п область ft пусть будут такими, что выполняются условия (7) (10) теоремы 1, и, наконец, пусть выполняются включения g(x,t) G ^(Q), gt(x,t) G Q)• Тогда обратная задача (4), (2), (5), (6) имеет решение (u(x,t),q(t)) такое, что u(x,t) G Wд(Q) n LTO(0,T;Wi(Ü)), щ(x,t) G L2(S), q(t) G LTO([0,T]).

Доказательство этой теоремы следует из вышеприведенных рассуждений.

Замечание. На самом деле, функция u(x,t) обладает большей гладкостью — это следует из равенства (21) и из свойств гладкости функции v{x,t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozbanov A. Г. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

2. Нахушев A. M. Нагруженные уравнения и их применения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.

3. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

4. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 11. С. 1925-1935.

5. Лажетич Н. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 8. С. 1072-1077.

6. Lazetic N. On classical solutions of mixed boundary problems for one-dimensional parabolic equation of second order // Publ. Inst. Math., Nouv. Ser. 2000. V. 67. P. 53-75.

7. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 769-774.

8. Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математич. науки. 2004. № 30. С. 63-69.

9. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. № 3(62). С. 165-174.

10. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Докл. РАН. 2009. Т. 427, № 6. С. 747-749.

11. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным условием Би-цадзе — Самарского для линейных гиперболических уравнений // Докл. РАН. 2010. Т. 432, № 6. С. 738-740.

12. Prïïlepko А. I, Orlovskv D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 1999.

13. Прнлепко A. Ж, Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 4. С. 564-572.

14. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Укр. мат. журн. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066-1071.

15. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; Vol. 10.)

16. Кожанов A. If. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом уравнении // Обратные задачи и информационные технологии. Югорский ин-т информационных технологий. 2002. Т. 1, № 3. С. 13-41.

17. Треногнн В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

18. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

19. Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

20. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Новосибирск

15 августа 2011 г.