О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХИЛФЕРА В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 1. С. 11-19.

УДК 517.9 Б01: 10.47475/2500-0101-2022-17101

0 РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХИЛФЕРА

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

А. Р. Волкова1", В. Е. Федоров16, Д. М. Гордиевских2,с

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия

2Шадринский государственный педагогический университет, Шадринск, Россия аnastyasayg@mail.ru, bkar@csu.ru, сdm_gordiev@mail.ru

Исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи типа Коши для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с дробной производной Хилфера и с ограниченным оператором. Доказано существование единственного решения задачи, само решение представлено с помощью оператор-функций Миттаг-Леффлера. Абстрактный результат использован при рассмотрении одного класса начально-краевых задач для уравнений в частных производных.

Ключевые слова: производная Хилфера, уравнение дробного порядка, начальная задача, теорема о существовании и единственности, линейное неоднородное уравнение, начально-краевая задача, оператор Лапласа.

Введение

В последние годы большое внимание исследователей привлекают математические модели различных процессов в виде дифференциальных уравнений с дробными производными [1-4]. Несмотря на то, что возникают всё новые интегро-дифференциальные конструкции, называемые новыми дробными производными (см. [5; 6] и др.), наибольшую значимость в исследованиях имеют ставшие уже классическими дробные производные Римана — Лиувилля и Герасимова — Капуто [7-10]. Особая роль принадлежит относительно недавно введённой в рассмотрение производной Хилфера [11]. С одной стороны, эта производная является обобщением производных Римана — Лиувилля и Герасимова — Капуто и занимает, в определённом смысле, промежуточное положение между ними, с другой — исследователи уже успели убедиться в её значимости для решения новых прикладных задач (см. [11]).

В работе ставится и исследуется задача типа Коши для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с производной Хилфера и с ограниченным оператором при неизвестной функции. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости такой задачи в однородном и неоднородном случаях. Решение задачи представлено в виде суммы оператор-функций Миттаг-Леффлера от упомянутого ограниченного

Работа А.Р.В. выполнена при финансировании за счет средств гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2708.2022.1.1, работа В.Е.Ф. и Д.М.Г. поддержана ФГБОУ ВО «Башкирский государственный педагогический университет им. М. Ак-муллы», договор № 775 ЕП от 01.12.2021.

оператора, действующих на начальные данные, и свёртки оператор-функции такого вида с правой частью уравнения. Замечено, что производная Хилфера является частным случаем производной Джрбашяна — Нерсесяна [12-15]. Начально-краевая задача для уравнения с дробной производной Хилфера по времени и с многочленами от оператора Лапласа от пространственных переменных редуцирована к исследованной абстрактной задаче в банаховом пространстве.

1. Теорема о разрешимости начальной задачи для однородного уравнения

Пусть 2 — банахово пространство, А Е С(2), т.е. линейный ограниченный оператор, Т > 0. Для г : (0, Т) ^-2 дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка а > 0 определяется как

г

^*(*) := / t Е (0,Т).

3 Г(а) о

Производная Хилфера имеет вид г = 3в(т-а)Дт3(1-в)(т-а)г, где т — 1 < а < т € М, 0 < в < 1, — обычная производная порядка т € N. При в = 0 она совпадает с производной Римана — Лиувилля при в = 1 — с производной Герасимова — Капуто

Обозначим К+ = (х € К : х > 0}, К+ = К+ и {0}. Преобразование Лапласа для функции г : К+ ^ 2 будем обозначать как г или £[г], если выражение для г слишком громоздкое. Получим формулу преобразования Лапласа от производной Хилфера:

(А) = £[3в(т-а)Дт3(1-в)(т-а)г ](А) = А-в(т-а)£[Дт3(1-в)(т-а)г ](А) =

(т-1 4

Ат£[3(1-в)(т-а)г](А) — ^ Ат-1-к3(1-в)(т-а)г](0)

к=0 , / т-1 \

= А-в(т-аИ Ат-(1-в)(т-а)г — ^^ Ат-1-к[Дк-(1-в)(т-а)г](0) 1 =

к=0 т-1

= ^ ^ Ат-1-к-в(т-а) [Дк-(1-в)(т-а)г](0)

к=0

Рассмотрим начальную задачу

*(*) = Аг(*), ¿> 0,

дк-(1-в)(т-а)г(0) = к = 0,1,..., т — 1.

(1)

Решением задачи (1) будем называть функцию г Е С (К+; 2), для которой 3(1-в)(т-а)г е Ст-1(К+; 2), существует г Е С(К+; 2) и выполняются равенства (1).

Подействуем на обе части уравнения (1) преобразованием Лапласа и получим

т-1

Ааг — А-в(т-а) V Ат-1-кгк = А£ (2)

к=0

Возьмём одно из начальных условий не равным нулю, а остальные — нулевыми, допустим, г1 = г2 = ■ ■ ■ = гт-1 = 0. Тогда равенство (2) имеет вид

Лаг - Хт-1-в(т-а)го = А?,

г(Л) = лт-1-в(т-а)(Ла1 - А)-1 га

при достаточно большом | Л |, в итоге

г(Ь) = Zа(г)га = — [ Лт-1-в(т-а)(Ла1 - A)-1extdЛzа, Ь > 0. 2пг }

1а

Аналогичным образом, перебирая все Хк и зануляя остальные начальные данные, получим решения

1

2Пг

>,(г) = Zk(Ь)гк = — Лт-1-к-в(т-а)(Ла1 - А)-1ем^Лгк, Ь > 0,

1а

где к = 0,1,...,т - 1,а> ЦАЦ^, 1а = 11 и 72 и 73, 71 = {Л € С : Л = аег*, у е (-п, п)}, -у2 = {Л е С : Л = те™, т е [а, то)}, ^ = {Л е С : Л = те-п, т е [а, то)}. Имеем

^ - А)- = ^ 0 -АУ1 = ^ ±

К ' Ла \ Ла Ла ^ Лар

у / р=а

Следовательно, после замены ЛЬ = V получим

Zk (¿) = У Ар- Хт-1-к-в(т-а)-а(р+1)ем^Л =

2пг I

Р=0 1а

^ 1 I'

^ 2пг}

Р=а и

' 1аг

\ л ___А_ _ ,(в-1)(т-а)+к 77г (+а и \

Г(в (т.-а)- т + к + 1 + а(р + 1)) = Ь Е"'(в-1)(т-а)+к+1( А).

гв(т-а)—т+к+а(р+1) Ар р_о Г(в(т - а) - т + к + 1 + а(р + 1))

Здесь использованы равенство Ганкеля

[ V-еиdv 1

2пг } Г(5):

1

где 7 — контур Ганкеля, и определение функции Миттаг-Леффлера

Еа,ь(х) = ^ Х

р=а Г(ар + Ь) "

Теорема 1. Пусть А е С (Я), т - 1 < а < т е М, 0 < в < 1- Тогда при любых гк е Я, к = 0,1,...,т - 1, существует единственное решение задачи (1), при этом оно имеет вид

т—1

г(Ь) = ^ г(в-1)(ш-а)+кЕа^-1){т-а)+к+1(ЬаА)гк. к=а

Доказательство. Используя известные формулы

зв ¿7 = Г(^ + 1) ¿Т+в Дв Г = Г(^ + 1) +7-в

Г(7 +1 + в) , Г(7 +1 — в) ,

почленным дифференцированием получим при к = 0,1,... , т — 1

£(в-1)(т-а)+к Еа,(в-1)(т-а)+к+1 (¿^ А) =

+(в- 1)(т-а)+к+ар лр = тв(т-а)дт 3(1-в)(т-а) ^^ _£_А_ =

= ¿Г((в — 1)(т — а) + к + ар + 1) =

4-&+ар Ир т+ар Ир 3в(т-а) Дт ^^ 1 А = 3в(т-а) ^^ ь_А

^ Г(к + ар + 1) = ^ Г(к — т + ар + 1)

¿(в-1)(т-а)+к+аг Иг

АУ „„ ' ---—^-- = А^(в-1)(т-а)+к 1)(т—а)+к+1 (¿а А).

^Г((в — 1)(т — а) + к + аг + 1) а,(в 1)(т а)+к+и ;

г=0

Имеем при к0 Е {0, 1, . . . , т — 1}

т-1

дк°-(1-в)(т-а^ ¿(в-1)(т-а)+кЕа,(в-1)(т-а)+к+1 (¿аА)^к к=0

т-1 у-(в-1)(т-а)+к+ар Ир^

з(1-в)(т-а) ^^ ^ к

к=0 р=0 Г((в — 1)(т — а) + к + ар +1)

г(к + ар +1) = г(^ — к +1) +

к=0р=0г(к + ар + 1) к=к0г(к — к0 + 1) к=0р=1г(к — к0 + ар + 1)' Таким образом, получаем равенство

т- 1

дко-(1-в)(т-а)

11ш Дко-(1-в)(т-а^ ¿(в-1)(т-а)+кЕа,(в-1)(т-а)+к+1 (¿аА)^к = ^.

к=0

Возможность почленного дифференцирования и предельного перехода для рассматриваемых рядов очевидна, поскольку они задают целые функции.

Возьмём два решения задачи (1) на К+ — г1 (¿) и г2(£), зафиксируем Т > 0, тогда х(£) = г1 (£) — г2(£) — решение задачи

дк-(1-в)(т-а)х(0) = 0 к = 0,1,..., т — 1,

для уравнения из (1) на интервале (0,Т]. Доопределим функцию ж нулём при £ Е (Т, Полученная функция ограничена и также является решением данной

задачи Коши, за исключением, может быть, точки £ = Т. Подействовав преобразованием Лапласа на обе части равенства Да'вх(£) = Ах(£), с учётом нулевых начальных условий получим Ааг(А) = Ах. Поэтому (Аа/ — А)г(А) = 0 и при |А| > ЦАЦ^/О?) имеем г (А) = 0. Отсюда г1(£) — г2(£) = х(£) = 0 при £ Е (0,Т). Так как Т > 0 можно выбрать сколь угодно большим, г1(£) = г2(£) при всех £ > 0. □

2. Неоднородное уравнение

При / Е С([0,Т]; 2) рассмотрим задачу типа Коши для неоднородного уравнения

'Да'вг(£) = Аг(£) + /(¿), £ Е (0,Т), (3)

дк-(1-в)(т-а)г(0) = к = 0,1,...,т — 1.

Введём в рассмотрение операторы при £ > 0

£(£) = — [(Аа/ — А)-1еЛг^А = V Ар— [ А-а(р+1)елг^А = 2пг ^ р=0 2пг ]

1а р 7а

~ 1 Г ^ /а(р+1)-1 Ар

= У £а(р+1)-1Ар- ^-а(р+1)в"¿V = У ^-- = £а-1Еаа(£аА),

^ 2пгУ ^Г(а(р +1)) аа

р=0 7а4 р=0

1 Г ™ £а(р+1)-к+(1-в)(т-а)-1 Ар

^(£) = — Ак-(1-в)(т-а)(Аа/ — А)-1еЛг^А = У~-4-—-7-—^-- =

2пгУ 1 ; Г(а(р +1) — к + (1 — в)(т — а))

7а р

= £а-к+(1-в)(т-а)-1Еа ,а-к+(1-в)(т-а)(£аА), к = 0, 1, . . . ,т — 1.

Лемма 1. Пусть А Е £(2), / Е С([0,Т]; 2). Тогда существует единственное решение задачи (3) при = 0, к = 0,1,..., т — 1, при этом оно имеет вид

г(£) = г/(£) := / (£ — з)а-1 Еа,а((£ — *)а А)/(в)^.

Доказательство. С помощью равенства (А) = Г(7 + 1)А 7 1, справедливого при 7 > —1, получим при |А| > 11АН¿(О?) из представления £(£) через функцию Миттаг-Леффлера

г(А) = ^ А-а(р+1)Ар = (Аа/ — А)-1. р=0

При к = 0, 1 , . . . , т — 1

+а(р+1)-1ир

дк-(1-в)(т-а)£(£) = Дкз(1-в)(т-а) у^ _^ =

() р=0 Г(а(р +1))

^ £а(р+1)+(1-в)(т-а)-1 Ар ^ £а(р+1)+(1-в)(т-а)-1-к Ар^,

X _ X

р= Г(а(р + 1) + (1 — в)(т — а)) ^ Г(а(р + 1) + (1 — в)(т — а) — к)'

поэтому при к = 0, 1, . . . , т — 2

||дк-(1-в)(т-а)£(£)Н£(Я) < С1£а+(1-в)(т-а)-1-к ^ 0 (4)

при £ ^ 0+.

Доопределим функцию / нулём вне отрезка [0,Т]. Имеем г/ = £ * /,

г/ (А) = 2(А)/(А) = (Аа/ — А)-1/(А),

в силу формулы преобразования Лапласа и (4) при к = 0, 1, . . . , т — 1 £[Дк-(1-в)(т-а)г/ ](А) = Ак-(1-в)(т-а)(Аа/ — А)-1/(А),

г

Бк-(1-в)(т-а)г/ Ц) = ! УкЦ - в)!(в),

0

\\УкШаг) < с2Г-к+(1-в)(т-а)-\

поэтому

\Бк-(1-в)(т-а)г/Ц)\\г < с^а-к+(1-в)(т-а)\\!\\с^г) ^ 0

при Ь ^ 0+. Отсюда

Б^г/(Л) = Ла(Ла1 - А)-1¡(Л) = ¡(Л) + Л(\а1 - А)-1¡(Л) = ¡(X) + Щ(X).

Подействуем обратным преобразованием Лапласа и получим первое равенство из (3) во всех точках непрерывности г/, т. е. при Ь Е (0,Т), что и требовалось. □

Из теоремы 1, леммы 1 и линейности исследуемой задачи сразу получим следующий результат.

Теорема 2. Пусть А Е С(Я), ! Е С ([0,Т]; Я), т - 1 < а < т Е Н, 0 < в < 1-Тогда при любых гк Е Я, к = 0,1,... ,т - 1, существует единственное решение задачи (3), при этом оно имеет вид

1 * т-1 г.

х(Ь) = ^ ¿в-1)(т-а)+кЕа,(в-1)(т-а)+к+1(ЬаА)гк + (Ь - в)а-1Еа>а((Ь - в)аА)!(в^в. к=0 о

Замечание 1. Заметим, что производная Хилфера Ба'в является частным случаем производной Джрбашяна — Нерсесяна , соответствующей последовательности а0 = 1 - (1 - в)(т - а), а1 = 1, а2 = 1, ..., ат-1 = 1, ат = 1 - в(т - а), п = т (см. [12-14]).

3. Приложение к исследованию одного класса начально-краевых задач

в в Возьмём многочлены Рв(Л) = ^ с^X, <^в(Л) = ^ djЛ^, с^ ,dj Е С, ] =

з=о j=0

0,1,... , д Е Н0 := N и{0}, св = 0, ограниченную область О С К с гладкой границей дО (переменные в этой области обозначаются как £ = (£]_,£2,... ,£4)), оператор Лапласа

4 д2ц

Аи :=£ — : Ь2(О) ^ Ь2(0)

г=1

с областью определения Н0;(О) := {V Е Н2(О) : ь(в) = 0,8 Е дО}. Рассмотрим начально-краевую задачу

вк-{1-13){т-а)и(£, 0)= ик (£), к = 0,1,... ,т - 1, £ Е О, (5)

Ак и(£,Ь) = 0, к = 0,1,...,д - 1, (£,Ь) Е дО х (0,Т), (6)

Ре(Ь)Щ>ви(£,Ь) = Qв(A)u(£,t) + к(£,Ь), (£,Ь) Е О х (0,Т), (7)

где т - 1 < а < т Е Н, 0 < в < 1, Б] — дробные производные Римана — Лиувилля по переменной Ь, — производная Хилфера по Ь, к : О х (0,Т) ^ С. Возьмём

X = {ш Е Н2в(О) : Ак v(8) = 0, к = 0,1,...,д - 1, в Е д О},

ь

Y = L = Pe(A), M = Q(A) G L(X; Y).

Если Pe(Ak) = 0 при всех k G N, то существует обратный оператор L-1 G L(Y; X) и задача (5)-(7) представима в виде (3) при Z = X, A = L-1M G L(Z), = (■), k = 0,1,..., m — 1, f (t) = L-1h(-, t). По теореме 2 существует единственное решение задачи (5)-(7) при всех G X, k = 0,1,..., n — 1, если h G C([0, T]; L2(Q)).

Список литературы

1. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик : Изд-во КБНЦ РАН, 2000.

2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003.

3. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск : Артишок, 2008.

4. Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York : Springer, 2011.

5. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel // Progress in Fractional Differentiation and Applications. 2015. Vol. 1, no. 2. P. 113.

6. Atangana A., Baleanu D. New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model // Thermal Science. 2016. Vol. 20. P. 763-769.

7. Самко С. Г., Килбас A. A., Маричев O. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987.

8. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego; Boston : Academic Press, 1999.

9. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М. : Наука, 2005.

10. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam; Boston; Heidelberg : Elsevier Science Publishing, 2006.

11. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore : WSPC, 2000.

12. Джрбашян M. M., Нерсесян A. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Армянской СССР. Математика. 1968. Т. 3. С. 3-28.

13. Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Izhberdeeva E. M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan — Nersesyan derivative in Banach spaces // Symmetry. 2021. Vol. 13. P. 1058.

14. Волкова А. Р., Ижбердеева Е. М., Федоров В. Е. Начальные задачи для уравнений с композицией дробных производных // Челяб. физ.-мат. журн. 2021. Т. 6, № 3. С. 269-277.

15. Богатырева Ф. Т. Краевые задачи для уравнения в частных производных первого порядка с операторами Джрбашяна — Нерсесяна // Челяб. физ.-мат. журн. 2021. Т. 6, № 4. С. 403-416.

Поступила в 'редакцию 22.10.2021. После переработки 16.12.2021.

Сведения об авторах Волкова Анастасия Романовна, студент, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: nastyasayg@mail.ru.

Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: kar@csu.ru.

Гордиевских Дмитрий Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математического и информационно-технологического образования, Шадринский государственный педагогический университет, Шадринск, Россия; e-mail: dm_gordiev@mail.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 1. P. 11-19.

DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17101

ON SOLVABILITY OF SOME CLASSES OF EQUATIONS WITH HILFER DERIVATIVE IN BANACH SPACES

A.R. Volkova1 >°, V.E. Fedorov1 D.M. Gordievskikh2 c

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia 2Shadrinsk State Pedagogical University, Shadrinsk, Russia anastyasayg@mail.ru, bkar@csu.ru, cdm_gordiev@mail.ru

The issues of unique solvability of a Cauchy-type problem for an evolutionary equation in a Banach space with a Hilfer fractional derivative and with a bounded operator are investigated. The existence of a unique solution to the problem is proved, the solution is presented using Mittag-Leffler operator functions. The abstract result is used when considering a class of initial boundary value problems for partial differential equations.

Keywords: Hilfer derivative, fractional order equation, initial problem, theorem on the existence and uniqueness of a solution, linear inhomogeneous equation, initial boundary value problem, Laplace operator.

References

1. Nakhushev A.M. Elementy drobnogo ischisleniya i ikh primeneniye [Elements of the fractional calculus and its applications]. Nalchik, Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS, 2000. (In Russ.).

2. Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its applications]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. (In Russ.).

3. Uchaykin V.V. Metod drobnykh proizvodnykh [The method of fractional derivatives]. Ul'yanovsk, Artishok Publ., 2008. (In Russ.).

4. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York, Springer, 2011.

5. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel. Progress in Fractional Differentiation and Applications, 2015, vol. 1, no. 2, pp. 113.

6. Atangana A., Baleanu D. New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model. Thermal Science, 2016, vol. 20, pp. 763-769.

7. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Amaterdam, OPA, 1993.

8. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego, Boston, Academic Press, 1999.

9. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of a fractional order]. Moscow, Nauka Publ., 2005.

10. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Boston, Heidelberg, Elsevier Science Publishing, 2006.

11. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore, WSPC, 2000.

The work of A.R.V. was funded by a grant of the President of the Russian Federation for state support of leading scientific schools NSH-2708.2022.1.1, the work of V.E.F. and D.M.G. was supported by the Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmulla, contract no. 775 EP dated 01.12.2021.

12. Dzhrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order. Izvestiya Akademii Nauk Armyanskoy SSR. Matematika, 1968, vol. 3, pp. 3-28. (In Russ.).

13. Fedorov V.E., Plekhanova M.V., Izhberdeeva E.M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan — Nersesyan derivative in Banach spaces. Symmetry, 2021, vol. 13, p. 1058.

14. Volkova A.R., Izhberdeeva E.M., Fedorov V.E. Initial value problems for equations with a composition of fractional derivatives. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2021, vol. 6, no. 3, pp. 269-277.

15. Bogatyreva F.T. Boundary value problems for first order partial differential equation with the Dzhrbashyan — Nersesyan operators. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2021, vol. 6, no. 4, pp. 403-416.

Article received 22.10.2021.

Corrections received 16.12.2021.