CC BY
15
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 4- С. 403-416.
УДК 517.95 Б01: 10.47475/2500-0101-2021-16401
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРАМИ ДЖРБАШЯНА — НЕРСЕСЯНА
Ф. Т. Богатырева
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия [email protected]
Для уравнения в частных производных первого порядка с операторами дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсесяна построено фундаментальное решение и найдено общее представление решения в прямоугольной области. Показано, что распределение параметров операторов Джрбашяна — Нерсесяна влияет на постановку задач, а именно, обнаруживается эффект освобождения части границы от краевых условий.
Ключевые слова: уравнение в частных производных, уравнение дробного порядка, оператор дробного интегро-дифференцирования, оператор Джрбашяна — Нерсесяна.
Введение
Пусть П = (0,p) х (0, q), p < ж, q < ж. Рассмотрим уравнение
д д* ди Lu(x, у) = дXu(x, у) + u(x, у) + bdkVu(x, у) = f (x, У), (1)
dy1, — дробные производные порядков v соответственно. Дробное дифференцирование задано операторами Джрбашяна — Нерсесяна, ассоциированными с упорядоченными парами (а, в}, {y,8}, ^ (0,1], порядков ^ = а + в — 1 > 0, v = y + 8 — 1 > 0. Будем предполагать, что ^ > v, a,b — const, f (x, у) — заданная действительная функция.
Оператор дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсесяна, ассоциированный с упорядоченной парой {£, п}, порядка а = £ + п — 1 определяется соотношением [1]
= = nn-ini (о)
дуа = D0y = D0y D0y, (2)
где D0- 1 и D^y — дробный интеграл и дробная производная Римана — Лиувилля
соответственно с началом в точке у = 0 [2]:
y
DoVд(у) = Г(1— ) Jд(1)(у — t)-ndt, 0 <п < 1,
о
y
1 d f
DOy д(у) = Г(1— ) -¿-J g(t)(y — t)-« dt, 0 < £ < 1.
о
Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, не превосходящего единицу, исследовались в работах [3-7]. В упомянутых работах для уравнения с частными производными дробного порядка изучались начальные и краевые задачи в ограниченных и неограниченных областях. В работах [8; 9] исследована краевая задача для уравнения в частных производных дробного порядка в области с криволинейной границей.
В случае, когда 7 = 0, 8 = 1, для уравнения вида (1) построены фундаментальные решения и решены краевые задачи в работах [10; 11].
В работах [12; 13] для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка исследованы смешанная краевая задача и нелокальная краевая задача.
Уравнения в частных производных с операторами Джрбашяна — Нерсесяна рассматривались в работах [14-16]. В работе [17] впервые рассмотрена система уравнений дробного порядка с оператором Джрбашяна — Нерсесяна, где, в частности, доказана теорема существования и единственности задачи Коши.
В работах [18; 19] исследованы вопросы однозначной разрешимости начальных задач для некоторых классов линейных неоднородных уравнений общего вида с дробной производной Джрбашяна — Нерсесяна в банаховых пространствах.
Практическое применение уравнение вида (1) имеет в математическом моделировании биологических процессов. В частности, в работах [20; 21] уравнение (1) приводят в качестве математической модели для описания развития замкнутой популяции особей с учётом возрастных взаимодействий.
В работе [22] решена краевая задача в прямоугольной области для уравнения вида (1). Общее представление решения дифференциального уравнения (1) построено в работе [23].
В данной работе исследован вопрос разрешимости начально-краевых задач для дифференциального уравнения (1). Рассмотрены все задачи, индуцированные различными распределениями параметров операторов дифференцирования а, в, 7, 8.
1. Обозначения и определения
Введём в рассмотрение специальную функцию, в терминах которой далее будет построено решение уравнения (1):
»(X, у) = И-'е'* (-<£) * И--') . { =+ 6. »(х, у) = ««.(*, у),
те
где еа,в (*) = £ Г(ап+^Г(и-вп) функция типа Райта [8^ свёртка Лапласа функций п=О
f (у) и д(у) ^ * д)(у) = f (Ь)д(у — Ь)сИ. Здесь и далее свёртка осуществляется по переменной у.
Приведём некоторые свойства функции типа Райта и функции (х, у), необходимые для дальнейшего изложения. Для функции типа Райта имеют место соотношения [8]
^уг-1еЙ (—су-в) = у<^-1еЙГ (—су-в) , с > 0,8 + в > 0; (3)
е^'в (сха) = х^-1 е^ (сха), с > С ^ > 0; (4)
^(Х) = (г) Г(^ — а1Г(8 + в); (5)
ха V у[3
< Сха-ав-1у&+вв-\ в е [0, 2].
Справедливы следующие свойства функции ш«(х,у). Свойство 1. Если £ > 0,х > 0 и у > 0, то ш«(х,у) > 0.
Свойство 2. Для произвольных в и £, удовлетворяющих неравенствам в > 0, £ + ^в > 0, имеет место неравенство '(х,у)| < Сх-ву«+^в-1.
Свойство 3. Имеет место равенство (х,у) = ш— (х,у).
Свойство 4. Если £ > 0 и у > 0, то
у?-1
жИшо ' (х,у) = щ. Свойство 5. Для любого £ > 0 справедливо равенство
д
—'(х,у) = —^о^Ш(х,у) - (х,у).
Свойство 6. Для любых £ > 0 и п > 0 справедливо равенство
хп-1 у«-1
ш (х,у) = г(П)г(£).
Свойства 1-4 доказаны в работе [14]. Для доказательства свойства 5 достаточно воспользоваться формулами (3)-(5). Свойство 6 вытекает из свойства 5 и равенства
хп-1 у«-1
ЬБ-Х'(x, у) = Ь'(x, у) + гп)г(£). (7)
2. Общее представление решения
Регулярным решением уравнения (1) в области П назовём функцию и = и(х, у), такую, что щ(х, у), Б^уи(х,у) е С(П), Б0^у-1и(х,у) е С(П и {(х,у) : у = 0}), а = шах(а,7}; у1-^и(х,у) е С(П0), П0 = [0,р) х [0,д), ( — некоторое положительное число; функция и = и(х,у) удовлетворяет уравнению (1) во всех точках (х,у) е П.
Теорема 1. Пусть f (х,у) е Ь(П). Тогда, если и(х,у) — регулярное решение уравнения (1), то оно может быть представлено в виде
X у у
и(х,у) = J У f (в,Ь)ш(х — в, у — 1)<1Ыв + J т(Ь)ш(х,у — 1)<И+ 0 0 о
+ [ар(в)ш1-р(х — в,у) + Ьф(в)ш1-5(х — в, у)] ¿в,
здесь т(у) = и(0,у), <р(х) = ИшБО, 1и(х,у), ф(х) = ИшБ,Гу и(х,у).
уио у уиО у
X
Доказательство. Рассмотрим функцию
х у
■у(х,у; в,Ь) = у J »(х — 5', у — ¿1)^в1^£1,
я г
которая, как функция переменных в £ (0,х) и Ь £ (0,у), является решением уравнения
—^(х, у;в + аД^^Ох у;^+ бД^^х у;^= 1 (9)
и удовлетворяет условиям
г»(х,у; х,Ь) = 0, Ь £ [0, у]; г»(х,у; в,у) = 0, в £ [0,х]. (10)
Пусть и(х, у) — регулярное решение уравнения (1). Рассмотрим выражение
X у
//"<х,!,; =
ОО
X у
У У г»(х,у; в,Ь) м8(в,£) + аЦ^'^^в, ¿) + &Ц^'г}и(в, ¿) ^Ыв. (11)
ОО
Проинтегрируем каждое слагаемое в правой части (11) отдельно. Пользуясь формулой интегрирования по частям и учитывая (10), имеем
х у х у
/ / м8(в, ¿)г>(х, у; в,ЬЫЫв = Иш / / м8(в, ¿)^(х, у; в,ЬЫЫв =
] 3 £Ъ£2^0,/ ]
0 0 £1 £2
(X у у
У У и(в, ¿)г>8(х,у; + J «(£', ¿)г>(х, у; е^Ь)^
£1 £2 £2
х у у
= — J У и(в, ¿)г>8(х, у; — J т(¿)^(х, у; 0, (12)
0 0 0
Далее в силу определения (2), формулы дробного интегрирования по частям
ь ь
! Ку^дШу = / д(у)ДЬуа^(у)^у, а > 0, (13)
и равенств (10) получим
х у х у
У У г»(х, у; в, ¿)Д{а'в}м(в, = Иш^У У Д^Г^х, у; в,Ь)—Да-1и(в,
0 0 £1 £2
х у х
и(в, ¿ОД^ г>(х, у; — ^(в)Дву 1^(х,у; в, 0)^5. (14)
0 0 0
Аналогично (14) получим равенство для третьего слагаемого ь(х, у; в,1)в0у}^и(в, ;)С;Св =
X у
о о
х у х
= 11 и^^^у; в,{)аСв — / ф(в)Б^-1ь(х,у; в, 0)68. (15) о о о
Подставляя формулы (12), (14), (15) в равенство (11), с учётом соотношения (9) получим
X у X у у
У У ь(х,у; в,t)f (в,;)С;Св = J У и(в,;)С;Св — У^ т (Ь)ь(х,у;0,Ь)сИ— о о о о о
X
а^(в)Бову Мх у; в 0) + ь^(в)Бо- Мх у;в, 0)
св.
Дифференцируя последнее равенство по х и по у, с учётом равенства (х, у; в, ;) = ш(х,у; в,;) и соотношения (9) приходим к представлению (8). □
Свойство 7. Пусть и(х,у) — регулярное решение уравнения (1) и а > 7. Тогда решение уравнения (1) представимо в виде
X у у X
и(х,у) = У У f (в,{)ш(х — в,у — ;)С;Св + У т({)ш(х,у — ;)С; + aJ ^(в)ш1-р(х — в,у)(Св. о о о о
Свойство 8. Пусть и(х,у) — регулярное решение уравнения (1) и а < 7. Тогда решение уравнения (1) представимо в виде
X у у X
и(х,у) = у у f (в,{)ш(х—в, у—;)с;св+у т({)ш(х,у—;)с;+bJ ф(в)ш1-о(х—в,у)Св. о о о о
Свойство 9. Пусть и(х,у) — регулярное решение уравнения (1) и а = 7. Тогда решение уравнения (1) представимо в виде
X у у
и(х,у) = у у f (в,;)ш(х — в, у — ;)С;Св + J т(;)ш(х,у — ;)с;+ о о о
X
+ У ^(в) [а'1-в(х — в,у) + Ь'1-о(х — в, у)] Св. о
Свойства 7-9 следуют из общего представления решения (8) и следующей леммы.
Лемма 1. Пусть и(х,у) — регулярное решение уравнения (1). Тогда
оу
1) если а > то для всех х е (0,р) Иш 1и(х,у) = 0;
уИ о
2) если а < y, то для всех x Е (0,p) lim DO, Wx, y) = 0.
y^O y
Доказательство. Из определения оператора дробного интегрирования следует, что при а > y оператор Dj,1 можно представить в виде Djy"1u(x, y) = D^y^DO"1«^, y), и в силу определения регулярного решения дробный интеграл от непрерывной функции при y ^ 0 равен нулю.
Аналогично, при а < y, оператор DO"1 можно представить в виде композиции двух операторов DO, 1u(x,y) = D^" 7Djy"1u(x,y), из чего следует справедливость второго утверждения. □
Замечание 1. Из теоремы 1, вообще говоря, не следует, что любая функция вида (8) будет регулярным решением уравнения (1). Для того, чтобы это имело место, необходимо накладывать условия, связанные с характером гладкости функций
т(y),^(x) и ^(x).
3. Вспомогательные утверждения
Предварительно докажем ряд утверждений, необходимых для дальнейшего изложения.
Лемма 2. Пусть для любых 0 и р> 1 — ß функция f (x,y) представима в виде
f (x,y) = D-wD-fg(x,y), x1 -ny1 -zg(x,y) e C(fi0). (16)
Тогда функция
x y
Uf (x,y) = ^ J f (s,t)w(x — s,y — о о
является регулярным в области П решением уравнения
Luf (x,y) = f (x,y), (17)
удовлетворяющим условиям
Uf (0, y) = 0, y e (0, q), (18)
limDQ- 1Uf (x,y) = 0, x e (0,p). (19)
y^0 y
Доказательство. В силу представления (16), формулы дробного интегрирования по частям (13) и свойства 3 имеем
x y
д д ff
dxuf (x,y) = dx g(s,t)Dxsw wP(x — s,y — = 00
У x y
= J 'wP(x — s,y — t)|s=x + ^ Jg(s,t)dxD-swwp(x — s,y — 0 0 0
Принимая во внимание (7) и то, что D-,wp(x — s,y — t)|s=x = 0, можем записать
x y
д f f д
д~Uf(x,y) = / g(s,t)D-sw—wp(x — s,y —
00
x y
ff, ч (x - sf-1 (y - t)p-1 , ,
+ JJ g(S-() ГМ (У Г(р) dtds
0 0
Отсюда, учитывая свойство 5 функции w%(x,y), окончательно имеем
dtds+
x y
—Uf (x,y) = f (s,t) -aD{"'ß}w(x - s,y - t) - bD{Y,s}w(x - s,y - t)
dx
00
+f (х,у) = —аБо1у13}и1 (х,у) — ЬБ{у0} и/ (х,у) + f (х,у).
Из последнего выражения следует, что и/(х,у) является решением уравнения (17), а соотношения (18), (19) следуют из оценки
x y
|Uf (x,y)| < С (x - sr-&(y - t)p+^-1sn-1tc-1dtds < Cx"+n-eyp+Z+^-1
00
справедливость которой вытекает из свойства 2 и условий, наложенных на функцию
f (x,y). □
Лемма 3. Пусть
y1-zт(y) е С[0, q), Z> 0. (20)
Тогда функция
y
uT(x,y) = J т(t)w(x,y - t)dt 0
является регулярным в области П решением уравнения
Lut (x,y) = 0, (21)
удовлетворяющим условиям
Ut(0,y) = т(y), y е (0,q), (22)
limD0ry-1UT(x,y) = 0, x е (0,p). (23)
y^0 y
Доказательство. Справедливость соотношения (21) следует из равенства (6). Покажем выполнение начального условия (22). Рассмотрим выражение
y y
Ut (x, y) = J [Т (t) - Т (y)]w(x, y - t)dt + Т (y) J w(x, y - t)dt. 00
Из свойств 1 и 2 вытекает, что
y-e
lim [т(t) - т(y)]w(x, y - t)dt = 0, (24)
x^0
I |т(t) - т(y)|w(x,y - t)dt < sup |т(t) - т(y)| / w(x,y - t)dt.
J te(y-s,y) J
y-e y-e
y
y
Отсюда, учитывая произвольность выбора е, непрерывность функции т(¿) в промежутке [у — е,у], соотношение
lim / w(x,y — t)dt =1 (25)
x^0 /
и равенство (24), получаем, что
lim / [т(t) — т(y)]w(x, y — t)dt = 0.
x^0 /
Таким образом, из последнего вместе с соотношением (25) следует (22)
Справедливость равенства (23) следует из оценки
у
К(х,у)| < Сх—® /¿с-1(у — ^ < Сх—\
справедливость которой, в свою очередь, вытекает из свойства 2 и условий на функцию т (у). □
Лемма 4. Пусть а > y и
x1-np(x) G C[0,p), п > 0. (26)
Тогда функция
x
u^(x,y) = ^^(s)wi-ß (x — s,y)ds (27)
0
является регулярным в области П решением уравнения
Lu^(x,y) = 0, (28)
удовлетворяющим условиям
u„(0,y) = 0, y G (0, q), (29)
limD0t~1M«(x,y) = <^(x), x G (0,p). (30)
y^o y
Доказательство. Справедливость равенства (28) следует из соотношения (6), а равенство (29) вытекает из оценки
x
Mx,y)| < Cy-ß+^ / sn-1 (x — s)-0ds < Cxn-0. (31)
Покажем, что (27) удовлетворяет условию (30). Для этого подействуем на
а— 0у
u^(x,y) оператором Da 1 и запишем результат в следующем виде
Doy u^(x,y)= / ^(s)[awi-M(x — s,y) + bwi-v(x — s,y)]ds = I.
y
y
x
Для произвольного, достаточно малого е > 0 можем записать
X —£ X \
^ + J J - <^(x)] [awi—M(x - s, y) + bwi—v(x - s, y)] ds+
.0 X—£/
X
+ <^(x) У [awi—д(x - s, y) + bwi—v(x - s, y)] ds = Ji + J2 + J3. 0
Из свойств функции w(x,y) следует, что
x
| J21 < sup |^(s) - ^(x)| / [awi—M(x - s,y) + bwi—v(x - s,y)] ds.
s€(x —£,x) J
X —£
Записав выражение J3 в терминах операторов Джрбашяна — Нерсесяна и воспользовавшись формулой (6), будем иметь
J3 = <p(x)y aD{a'e}Wi(x - s,y) + 6D0Y'}wi(x - s,y) 0
ds
x
f d
= —^(x) / dS^i(x — s, y)ds = <^(x) [1 — wi(x,y)]. 0
C учётом свойства 2, принимая во внимание непрерывность функции <^(s) в окрестности точки x G (0,p), а также произвольность выбора е, получаем
lim Ji = 0, lim J2 = 0, lim J3 = <^(x).
y^0 y^o y^o
□
Лемма 5. Пусть
xi-n^(x) G C[0,p), п > 0. (32)
Тогда функция
x
u^(x, y) = bj ^(s)wi-5(x — s, y)ds 0
является регулярным в области П решением уравнения
Lu^ (x, y) = 0, (33)
удовлетворяющим условию
u^(0, y) = 0, y G (0, q). (34)
Доказательство. Справедливость равенства (33) следует из свойств 2 и 5, а условие (34) вытекает из оценки
x
К(x,y)| < Cy-<5+^y sn-i(x — s)-0ds < Cxn-0y-<5+^0. (35)
0
□
x
Лемма 6. Пусть а < y и выполнено условие (32). Тогда справедливо равенство
lim Dj-1^(x,y) = 0, x G (0,p). (36)
Доказательство. Из оценки (35) следует справедливость неравенства (x,y)| < Cxv_e, откуда, устремив y к нулю, приходим к (36). □
Лемма 7. Пусть а = y и выполнено условие (26). Тогда функция
x
uv(x, y) = J ip(s) [awi-ß(x — s,y) + bwis(x — s, y)] ds 0
является регулярным в области П решением уравнения
LUv(x, y) = 0, (37)
удовлетворяющим условиям
U„(0,y) = 0, y G (0, q), (38)
limD0a-liiJx,y) = ^(x), x G (0,p). (39)
y^0 y
Доказательство. Справедливость равенства (37) вытекает из свойств 2 и 5, а соотношение (38) вытекает из оценок (31), (35).
Докажем равенство (39). Не трудно заметить, что, подействовав на Uv(x, y) оператором Da-1, получим функцию J1 из леммы 4, где v уже имеет вид v = а + 8 — 1. Дальнейшее доказательство проводится аналогично доказательству леммы 4. □
4. Постановки краевых задач
Из результатов разделов 2, 3 следует, что корректность тех или иных краевых задач для уравнения (1) будет зависеть от набора параметров а, ß,Y и 8 и различные пары {а,ß} и {y, 8} порождают разные краевые задачи.
Задача 1. Найти регулярное решение уравнения (1) при а > y, удовлетворяющее условиям
u(0,y) = т(y), y G (0,q), (40)
lim DO-1 u(x,y) = p(x), x G (0,p). (41)
Теорема 2. Пусть выполнены условия (16), (20), (26). Тогда существует единственное регулярное решение задачи 1. Решение имеет вид
x y y x
u(x,y) = J j f (s,t)w(x — s,y — t)dtds + J т(t)w(x,y — t)dt + aj ^(s)w1_ß(x — s,y)ds. 0 0 0 0
Доказательство теоремы 2 следует из лемм 1-4. Задача 2. Найти регулярное решение уравнения (1) при а < y, удовлетворяющее условию (40).
Теорема 3. Пусть выполнены условия (16), (20). Тогда существует единственное регулярное решение задачи 2. Решение имеет вид
х у у
и(ж,у) = У У f — 5, у — + У т(¿)эд(х,у —
0 0 0
Доказательство теоремы 3 следует из лемм 1, 3, 5, 6. Задача 3. Найти регулярное решение уравнения (1) при а = 7, удовлетворяющее условиям (40), (41).
Теорема 4. Пусть выполнены условия (16), (20), (26). Тогда существует единственное регулярное решение задачи 3. Решение имеет вид
X у у
и(ж,у) = У У f — 5, у — + У Т(¿)^(х, у —
0 0 0
X
+ У ^(з) (х — 5,у) + (х — 5, у)] ^з.
0
Доказательство теоремы 3 следует из лемм 1, 3, 7.
Заключение
Таким образом, мы показали, что любое регулярное решение уравнения (1) представимо в виде (8) и в зависимости от распределения параметров а, в, 7 и 8 некоторые из слагаемых в представлении (8) могут быть равны нулю, вследствие чего различные случаи распределения параметров а, в, 7 и 8 порождают разные краевые задачи для уравнения (1). Например, в случае а < 7 часть границы области задания уравнения П, а именно где у = 0, вообще освобождается от условий.
Список литературы
1. Джрбашян М. М., НерсесянА.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Армян. ССР. Математика. 1968. Т. 3, № 1. С. 3-28.
2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003.
3. Clément Ph., Gripenberg G., LondenS.-O. Schauder estimâtes for équations with fractional derivatives // Transactions of the American Mathematical Society. 2000. Vol. 352, № 5. P. 2239-2260.
4. Псху А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2000. Т. 5, № 1. С. 45-53.
5. Псху А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1092-1099.
6. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М. : Наука, 2005.
7. Псху А. В. Краевая задача для многомерного дифференциального уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 3. С. 385-395.
8. Псху А. В. Краевая задача для уравнения в частных производных дробного порядка в области с криволинейной границей // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2014. Т. 16, № 2. С. 58-63.
9. Псху А. В. О краевой задаче для уравнения в частных производных дробного порядка в области с криволинейной границей // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 8. C. 1076-1082.
10. Богатырева Ф. Т. Краевая задача для уравнения в частных производных первого порядка с оператором Джрбашяна — Нерсесяна // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2015. Т. 17, № 1. C. 9-16.
11. Богатырева Ф. Т. Краевая задача для уравнения в частных производных с оператором дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсесяна // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2015. Т. 17, № 2. C. 17-24.
12. Мамчуев М. О. Смешанная задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 1. С. 132-137.
13. Мамчуев М. О. Нелокальная краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 1. С. 23-31.
14. Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН. Сер. мат. 2009. Т. 73, № 2. С. 141-182.
15. PskhuA.V. Fractional diffusion equation with discretely distributed differentiation operator // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2016. Vol. 13. P. 1078-1098.
16. Pskhu A. V. Stabilization of solutions to the Cauchy problem for fractional diffusion-wave equation // Journal of Mathematical Sciences. 2020. Vol. 250, no. 5. P. 800-810.
17. Mamchuev M. O. Cauchy problem for a linear system of ordinary differential equations of the fractional order // Mathematics. 2020. Vol. 8, no. 9. P. 1475.
18. Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Izhberdeeva E. M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan — Nersesyan derivative in Banach spaces // Symmetry. 2021. Vol. 13. P. 1058.
19. Волкова А. Р., Ижбердеева Е. М., Федоров В. Е. Начальные задачи для уравнений с композицией дробных производных // Челяб. физ.-мат. журн. 2021. Т. 6, вып. 3. С. 269-277.
20. Лосанова Ф. М., Кенетова Р. О. Нелокальная задача для обобщённого уравнения Маккендрика — фон Фёрстера с оператором Капуто // Нелинейный мир. 2018. Т. 16, № 1. С. 49-53.
21. БерезговаР. З. Априорная оценка решения нелокальной краевой задачи для уравнения Маккендрика — фон Фёрстера дробного порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2020. Т. 20, № 1. C. 9-14.
22. Псху А. В. Краевая задача для уравнения в частных производных первого порядка с оператором дробного дискретно распределённого дифференцирования // Диффе-ренц. уравнения. 2016. Т. 52, № 12. C. 1682-1694.
23. Богатырева Ф. Т. О представлении решения уравнения в частных производных первого порядка с оператором дробного дифференцирования Джрбашяна — Нерсе-сяна // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2020. Т. 20, № 2. C. 6-11.
Поступила в 'редакцию 17.09.2021. После переработки 12.11.2021.
Сведения об авторе
Богатырева Фатима Тахировна, младший научный сотрудник отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации — филиал Кабардино-Балкарского научного центра, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 4. P. 403-416.
DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16401
BOUNDARY VALUE PROBLEMS
FOR FIRST ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE DZHRBASHYAN — NERSESYAN OPERATORS
F.T. Bogatyreva
Institute of Applied Mathematics and Automation
of Kabardino-Balkar Scientific Center of RAS, Nalchik, Russia
For a first order partial differential equation with the Dzhrbashyan — Nersesyan fractional differentiation operators, a fundamental solution is constructed and a general representation of the solution in a rectangular domain is found. It is shown that the distribution of the parameters of the Dzhrbashyan — Nersesyan operators affects the formulation of problems, namely, the effect of freeing a part of the boundary from the boundary conditions is revealed.
Keywords: partial differential equation, fractional order equation, fractional integro-differentiation operator, Dzhrbashyan — Nersesyan operator.
References
1. Dzhrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnye proizvodnye i zadacha Koshi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Fractional derivatives and the Cauchy problem for fractional order differential equations]. Izvestiya Akademii Nauk Armyanskoy SSR. Matematika [Proceedings of Armenian SSR Academy of Sciences. Mathematics], 1968, no. 3, pp. 3-28. (In Russ.).
2. Nakhushev A.M. Drobnoe ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. (In Russ.).
3. Clement Ph., Gripenberg G., LondenS.-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives. Transactions of the American Mathematical Society, 2000, vol. 352, no. 5, pp. 2239-2260.
4. PskhuA.V. Krayevaya zadacha dlya differentsial'nogo uravneniya s chastnymi proizvodnymi drobnogo poryadka [Boundary value problem for a differential equation with fractional order partial derivatives]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2000, vol. 5, no. 1, pp. 45-53. (In Russ.).
5. Pskhu A.V. Solution of a boundary value problem for a fractional partial differential equation. Differential Equations, 2003, vol. 39, no. 8, pp. 1150-1158.
6. PskhuA.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo porjadka [Fractional order partial differential equations]. Moscow, Nauka Publ., 2005. (In Russ.).
7. PskhuA.V. Boundary value problem for a multidimensional fractional partial differential equation. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 3, pp. 382-392.
8. Pskhu A.V. Krayevaya zadacha dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo porjadka v oblasti s krivolineynoy granitsey [Boundary value problem for a partial differential equation of fractional order in a region with a curved boundary] Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2014, vol. 16, no. 2, pp. 58-63. (In Russ.).
9. Pskhu A.V. On a boundary value problem for a fractional partial differential equation in a domain with curvilinear boundary. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 8, pp.10721078.
416
T. BoraTbipeBa
10. Bogatyreva F.T. Krayevaya zadacha dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh pervogo poryadka s operatorom Dzhrbashyana — Nersesyana [Boundary value problem for partial differential equations of the first order with Dzhrbashyan — Nersesyan operator]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2015, vol. 17, no. 1, pp. 916. (In Russ.).
11. Bogatyreva F.T. Kraeyvaya zadacha dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh s operatorom drobnogo differentsirovaniya Dzhrbashyana — Nersesyana [Boundary value problems for partial differential equation with a Dzhrbashyan — Nersesyan fractional differentiation operator]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2015, vol. 17, no. 2, pp. 17-24. (In Russ.).
12. Mamchuev M.O. Mixed problem for a system of fractional partial differential equations. Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 1, pp. 133-138.
13. Mamchuev M.O. Non-local boundary value problem for a system of equations with the partial derivatives of fractional order. Mathematical Notes of NEFU, 2019, vol. 29 no. 1, pp. 23-31.
14. Pskhu A.V. The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order. Izvestiya Mathematics, 2009, vol. 73, no. 2, pp. 351-392.
15. Pskhu A.V. Fractional diffusion equation with discretely distributed differentiation operator. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2016, vol. 13, pp. 1078-1098.
16. Pskhu A.V. Stabilization of solutions to the Cauchy problem for fractional diffusion-wave equation. Journal of Mathematical Sciences, 2020, vol. 250, no. 5, pp. 800-810.
17. Mamchuev M.O. Cauchy problem for a linear system of ordinary differential equations of the fractional order. Mathematics, 2020, vol. 8, no. 9, 1475.
18. Fedorov V.E., Plekhanova M.V., Izhberdeeva E.M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan — Nersesyan derivative in Banach spaces. Symmetry, 2021, vol. 13, p. 1058.
19. Volkova A.R., Izhberdeeva E.M., Fedorov V.E. Initial value problems for equations with a composition of fractional derivatives. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2021, vol. 6, no. 3, pp. 269-277.
20. LosanovaF.M., KenetovaR.O. Nelokal'naya zadacha dlya obobshchyonnogo uravneniya Makkendrika — fon Fyorstera s operatorom Kaputo [Nonlocal problem for generalized Mckendrick — von Foerster equation with Caputo operator]. Nonlinear World, 2018, vol. 16, no. 1, pp. 49-53. (In Russ.).
21. Berezgova R.Z. Apriornaya otsenka resheniya nelokal'noy kraevoy zadachi dlya uravneniya Makkendrika — fon Fyorstera drobnogo porjadka [A priori estimate for the solution of a nonlocal boundary value problem for the Mckendrick — vonFoerster equation of fractional order]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2020, vol. 20, no. 1, pp. 9-14. (In Russ.).
22. Pskhu A.V. Boundary value problem for a first-order partial differential equation with a fractional discretely distributed differentiation operator. Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 12, pp.1610-1623.
23. Bogatyreva F.T. O predstavlenii resheniya uravneniya v chastnykh proizvodnykh pervogo poryadka s operatorom drobnogo differentsirovaniya Dzhrbashyana — Nersesyana [On representation of a solution for first-order partial differential equation with Dzhrbashyan — Nersesyan operator of fractional differentiation]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2020, vol. 20, no. 2, pp. 6-11. (In Russ.).
Accepted article received 17.09.2021.
Corrections received 12.11.2021.
