10Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 5 (91) 2019
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.91
DOI: 10.35330/1991-6639-2019-5-91-15-20
ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ДЖРБАШЯНА - НЕРСЕСЯНА
Ф.Т. БОГАТЫРЕВА
Институт прикладной математики и автоматизации -филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» 360000, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: [email protected]
В работе рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение с оператором дробного дифференцирования Джрбашяна - Нерсесяна. Для исследуемого уравнения решена внутренне-краевая задача с локальным смещением. Условие локального смещения связывает значения искомого решения на концах рассматриваемого интервала со значениями во внутренних точках. При выполнении условия разрешимости найдено явное представление решения исходной задачи, выраженное в терминах специальной функции Миттаг - Леффлера. Найдено условие однозначной разрешимости.
Ключевые слова: внутреннекраевая задача, оператор дробного дифференцирования, оператор Джрбашяна - Нерсесяна, функция Миттаг - Леффлера.
1. Введение
Рассмотрим уравнение
d[0^'y]u(x) — Яи(х) = /(х), х е (0,1), (1)
где D{^,7}- оператор дробного дифференцирования Джрбашяна - Нерсесяна порядка д = а + р + у — 1 > 0, Я = const.
Оператор дробного дифференцирования Джрбашяна - Нерсесяна, ассоциированный с последовательностью {у0,у1, —,Уп] (Vk е (0,1], к = 0,n), порядка а= £П=0ук — 1 определяется соотношением [1, 2]
D0^.....7п]и(х) = D£-1 DOT1 - Do7i D£ и(х), (2)
где DOX - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана - Лиувилля порядка о с началом в точке х = 0, определяемый следующим образом [3, с. 28]:
x
<p(t)
1 Г ф( :—о) J |х —
d t, о < 0,
D 0X^(0 = <
Г(—о)] |х — t|lT+1 0
ф(х), о = 0,
" dOT^VO, о > 0,
где Г (г) - гамма-функция Эйлера.
Отметим, что частными случаями оператора (2) являются операторы Римана - Лиувилля и Капуто: в случае [ук]о = { а — п + 1,1,..., 1} оператор Джрбашяна - Нерсесяна сов-
падает с производной Римана - Лиувилля, а в случае {ук]П = {1,1, —, а — п + 1} - с производной Капуто.
Оператор вида (2) введен в работе [1], где для линейного обыкновенного дифференциального уравнения
п-1
й^0,71.....7п]и(х) + ^ ак(х) й^71.....7п-к-1]и(х) + ап(х)и(х) = ¡(х)
к=0
доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши в интервале (0,1) при условии, что у0 +Уп> 1.
В работе [2] для диффузионно-волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования Джрбашяна - Нерсесяна по временной переменной построено фундаментальное решение, дано решение задачи Коши и доказана теорема единственности в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия А. Н. Тихонова.
Изучению нелокальной задачи с интегральным смещением для уравнения (1) посвящена работа [4]. Краевая задача с локальным смещением, связывающим значения искомого решения на концах рассматриваемого интервала со значениями во внутренних точках, рассматривалась в работе [5].
2. Постановка задачи и формулировка теоремы Регулярным решением уравнения (1) называется функция и = и(х), такая, что и(х) Е Ь(0,1) П С(0,1], йо-1и(х) Е АС[0,1], удовлетворяющая уравнению (1) в интервале
(0,1).
Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
т
1=1
где аI, Ьу - заданные действительные числа.
и(1) = ^а1и(х1), х1Е(0,1), (3)
=1
п
[йох1и(х)]х=о = ^ Ь-и^!-), ^ Е (0,1), (4)
Введем следующие обозначения:
(д * /)(х) = [ д(х — еа1р(х) = х^-1Еа1р(Лха),
0
т
КцЮ = е^(1 — ^аI е^(х{ — г)Н(х{ — 0, (5)
=1
Еа,р(^) = ^к=0 - функция типа Миттаг- Леффлера [6], Н(х) - функция Хевисайда.
Решение задачи (1), (3), (4) найдем из представления задачи Коши [1]
и(х) = I ¡(г) ец (х)С1 + е11Л+р(х)с2, (6)
0
где
^т0"-1 и(х) = С1, Цт0^-1 °0а^и(х) = Сг.
Удовлетворим (6) условиям (3), (4). Получим:
u( 1) = I /(0 eß ,ß(1 - t)dt + eßa(1)c1 + eß a+ß(1)C2, J 0
rxi
u(xd = I /(0 eßiß(xt — t)dt + eßia(xi)c1 + eßA+ß(xi)C2, 0
rfj
ufo) = I /(t) «Wfe — Odt + e/z,afoK + eß,a+ß($j)c2, 0
ß0ix-1u(x) = I /(t) eß,ß+Y(x — t)dt + eM,i(x)Ci + e^ß+^x^. 0
Далее, в силу определения функции типа Миттаг - Леффлера, заметим, что
lim eß,ß+Y(x) = 0, lim eß,ß+i(x) = 0,
(8) (9)
(10)
lim e„ 1 (x) = lim Ъ
x^O ^ x^O Z_i
таким образом получаем
kvk
Xkx
k=0
Г(цк + 1)
= 1 + lim
Ъ
k k
Xkx
Г(цк + 1)
= 1,
limDOX 1u(x) = c1.
x^O
(11)
Теперь, подставив значения (7)-(9), (11) в (3), (4), получим следующую систему:
1 т XI
I /(0?м,м(1 — № + ем,а( 1)С1 + ем }о Ы }о
т т
+с1 ^ ще^а&д +с2 ^ а1е^,а+р(х1),
¿=1 ¿=1
п ^ п п
С1=/Ъ I — г)(И + С1 / Ьуем,а(^) + С2 / Ъ е^а+р (£,■).
У=1 0 У=1 У=1
Объединим интегралы справа и слева воспользовавшись функцией Хевисайда. Получим
Cl
IIL IIL
eß,a(1) — Ъ aieß,a(xi) + с2 eß,a+ß(1) — Ъ aieß,a+ß(xi) i=1 i=1 1 Г т
= /(0 eßS(1 — 0 — Ъ aieß,ß(xi — t)H(xi — О 0 i=1
с1
п п П ^
1 — Ъ bie^-a(^i) — C2 Ъ bi eß.a+ß(tj) = Ъ bi I /(t)iwfo — t)dt. j=1 j=1 j=1 0
V.
Или же, с учетом обозначений (5)
С1
сМ0) + с2ка+р(0) = - [ /со КрШь
¿0
П П П
1-£ -С2£ Ъ; е^а+р^;) = £Ъ;[ АО^,^; - г)йг.
0
Разрешая систему (8) относительно неизвестных с1 и с2, при условии, что Д ^ 0, полу-Д1
чаем, что с1 = —, с2 = —, где
1Д2Д
Д = -Ка(0) £ Ъ; вца+р^;) - Ка+р(0) 1 - £ Ъ;е^;)
;=1
;=1
п п
Д1 = 1 /СО КДО £ Ъ; е„,а+р((;) - Ка+р(0) £ Ъ; е^- - г)нс$; - о 0 ;=1 ;=1
1 п V—1
Д2 = 1 /СО КмС0 1 - £ Ъ;еиМ;)
0 ;=1
К
=1
аг,
йг.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть функция /(х)Е С (0,1) представима в виде /Сх) = йХх1дСх),
где д(х) Е Ь[0,1],а + у > 1, и выполняется условие
(13)
1) Тогда существует регулярное решение задачи (3), (4) для уравнения (1), определяемое равенством
и(х)
= [ тссх, 0
г) йг,
где
+
Д
К
вСхл) = е^Сх-ЪНСх-г) +
п п
с о £ Ъ; е^а+р^;) - Ка+р(0) £ Ъ; е^; - - О
=1
=1
+
+
е ^,а+РСх)
Д
п
кдо 1 - £ Ъ;еиМ;)
=1
п
К
=1
2) Решение задачи (1), (3), (4) единственно тогда и только тогда, когда выполнено условие (13).
V
п
ЛИТЕРАТУРА
1. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР. Математика. 1968. C. 3-28.
2. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН, 2009. Т. 73. № 2. 142 с.
3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.
4. Богатырева Ф.Т. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с оператором Джрбашяна - Нерсесяна. Матер. VIII школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик: Хабез, 2010. С. 25-26.
5. Богатырева Ф.Т. Краевая задача со смещением для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дифференцирования Джрбашяна - Нерсесяна // Дифференциальные уравнения. Т. 50. № 2. С. 160-166.
6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. Москва: Наука, 1966. 672 с.
7. Фаддев Д.А. Лекции по алгебре. M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 416 с.
REFERENCES
1. Dzhrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnye proizvodnye i zadaha Koshi dlya differ-entsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order] // Izv. Akad. nauk Armenian SSR. Matem. 1968. 3:1. Pp. 3-28.
2. Pskhu A.V. Fundamental'noye resheniye diffuzionno-volnovogo uravneniya drobnogo poryadka [The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order] // Izv. RAN, 73:2 (2009). P. 351-392.
3. Nakhushev A. M. Uravneniia matematicheskoi biologii [Equations of mathematical biology]. M.: Vysshaia shkola, 1995. 301 p.
4. Bogatyreva F.T. Nelokal'naya kraevaya zadacha dlya obyknovennogo differencial'nogo uravneniya drobnogo poryadka s operatorom Dzhrbashyana - Nersesyana [Nonlocal boundary value problem for an ordinary differential equation of fractional order with the Dzhrbashyan -Nersesyan operator]. Mater. VIII shkoly molodykh uchenykh "Nelokal'nyye krayevyye zadachi i problemy sovremennogo analiza i informatiki" [Materials of the VIII school of young scientists «Nonlocal boundary value problems and problems of modern analysis and computer science»]. Nalchik: Khabez, 2010. Pp. 25-26.
5. Bogatyreva F.T. Krayevaya zadacha so smeshcheniyem dlya obyknovennogo differentsial'-nogo uravneniya s operatorom differentsirovaniya Dzhrbashyana - Nersesyana // Differentsi-al'nyye uravneniya [Boundary value problem with shift for an ordinary differential equation with the Dzhrbashyan - Nersesyan fractional differentiation operator. Differential Equations]. 2014. V. 50. No. 2. Pp. 1-7.
6. Dzhrbashyan M.M. Integral'nyye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti [Integral transforms and representation of functions in the complex domain]. Moscow: Nauka, 1966, 672 p.
7. Faddeev D.A. Lektsiipo algebre [Lectures on algebra]. M.: Nauka, 1984. 416 p.
INNER BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE DZHRBASHYAN - NERSESYAN OPERATOR
F.T. BOGATYREVA
Institute of Applied Mathematics and Automation -branch of the FSBSE "Federal Scientific Center "Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences" 360000, KBR, Nalchik, Shortanov street, 89 "А" E-mail: [email protected]
The paper considers an ordinary differential equation with the Dzhrbashyan - Nersesyan fractional differentiation operator. For the equation under study, the inner-boundary value problem with local shift has been solved. The local shift condition associates the values of the sought-for solution at the ends of the considered interval with the values at the internal points. Under the solvability condition, an explicit representation of the solution to the original problem is found, expressed in terms of the special Mittag -Leffler function. The condition of unique solvability is found.
Keywords: inner boundary value problem, operator of fractional differentiation, Dzhrbashyan -Nersesyan operator, Mittag - Leffler function.
Работа поступила 03.10.2019 г.
