CC BY
10
Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 1. С. 20-29.
УДК 517.91 Б01: 10.47475/2500-0101-2022-17102
ОБОБЩЁННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
Л. Х. Гадзова
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия [email protected]
Для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка сформулирована и решена задача с условиями общего вида. Найдено представление решения исследуемой задачи. Доказана теорема единственности решения. Краевые условия задаются в форме линейных функционалов, что позволяет охватить достаточно широкий класс линейных локальных и нелокальных условий.
Ключевые слова: уравнение дробного порядка, функционал, дробная производная Герасимова — Капуто, функция Миттаг-Леффлера.
Введение
В интервале 0 < x < 1 рассмотрим уравнение
d0axu(x) + Au(x) = f (x), (1)
где a E (1, 2], A E R, d0Xu(x) — регуляризованная дробная производная (производная Капуто) [1, c. 11]:
djxu(x) = signn(x - s)DJ-nu(n)(x), n - 1 < y < n, n E N, (2)
DJx — оператор дробного интегро-дифференцирования порядка y в смысле Рима-на — Лиувилля [1, с. 9] по переменной x, определяемый следующим образом:
x
D u(x) = sign(x - s) / u(t)dt y < 0
Dsxu(x) r(—Y) J |x - t|Y+1 , Y< 0,
s
DJxu(x) = u(x), y = 0, dn
DJxu(x) = signn(x — s) ^—n DJx nu(x), n — 1 <y < n, n e N.
В литературе оператор (2) известен также под названием оператора Герасимова — Капуто [2; 3].
Интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка существенно возрос за последние годы. Такие уравнения возникают в самых различных областях естествознания — в физике, механике, химии, биологии и др. Наиболее полную библиографию по дробному исчислению и его применению можно найти в монографиях [1; 4-11].
Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка началось с работы [12]. Существенный вклад в изучение линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений дробного порядка внесён работами [13; 14]. В работе [15] решена начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка. Отметим также работы [16; 17], в которых изучались краевые задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с постоянными коэффициентами.
В работе для обыкновенного дифференциального уравнения (1) исследуется обобщённая краевая задача (в терминологии М. А. Наймарка) [18, с. 16]. Построено явное представление решения исследуемой задачи, найдено условие однозначной разрешимости и доказана теорема единственности решения. Краевые условия задаются в форме линейных функционалов, что позволяет охватить достаточно широкий класс линейных локальных и нелокальных условий. Ранее краевая задача для уравнения (1) в случае, когда одно из условий задано в форме линейного функционала, рассмотрена в [19].
1. Постановка задачи
Регулярным решением уравнения (1) назовём функцию и = и(х), имеющую абсолютно непрерывную производную первого порядка на отрезке [0,1] и удовлетворяющую уравнению (1) для всех х е (0,1).
Задача. Найти регулярное решение уравнения (1) в интервале (0,1), удовлетворяющее условиям
4 [и] = ио, (3)
¿1[и] = иь (4)
где и0, и1 — заданные действительные числа, ¿0, ¿1 — линейные ограниченные функционалы на С 1[0,1].
2. Формулировка результата
Введём в рассмотрение функцию
С(х, *) = Жа(х - *) + ^¿^(х - ¿)]щ(х) + ^4[^«(х - *)Ых), (5)
П1 (х) = ¿0 [^1 (х)] (х)—0 № (х)] (х) , П2 (х) = ¿1 [^2 (х)] (х- [ (х)] (х) , (6) 0 = ¿0[^2(х)]£1[^1(х)] - ¿0[^1(хЖ1[Ж2(х)], „. , , Г хм-1Еаи(—Лха), если х > 0,
^ц(х) = ^ ^ п (7)
м ' \ 0, если х < 0, v у
= — функция Миттаг-Леффлера (см., например, [7; 11]).
3=0
Теорема 1. Пусть функция / (х) удовлетворяет условиям
/(х) е С[0,1], f (х) = ДО-2у(х), у(х) е ¿[0,1]
и выполнено неравенство
¿0 [^(хЖ^х)] - ¿0[^1(х)]£1 [^(х)] = 0. (8)
Тогда решение задачи существует, единственно и имеет вид
1
и(х) = /- ит(х) - |П2(х). (9)
3. Вспомогательные утверждения
Следует обратить внимание, что здесь и далее функционал I применяется к функции, зависящей от х.
Лемма 1. Пусть К (ж,*) € С ([0,1] х [0,1]) и К (ж,*) € С ([0,1] х [0,1]), I -линейный ограниченный функционал в пространстве С*[0,1]. Тогда справедливо соотношение
t
K (x,t)dt
t[K (x,t)]dt.
'10)
Доказательство. В силу условий, наложенных на K(x,t), можем записать [14, с. 222]
1
г
n L—' v ' n
i=0
K(x,t)dt = lim - V K
n
Причём К (х, П) € С *[0,1] для любого г и £[К (ж,*)] как функция переменной * является непрерывной на отрезке [0,1], поэтому [15, с. 124]
" 1
t / K(x,t)dt =t
j o
n^œ ^—' \ , n ) П
i=0
lim K
n
lim t
n
£ k
i=0
x, - ) -nn
lim t
n
i=0
K(x,-n
n
t[K (x,t)]dt.
Лемма доказана.
□
Теперь изучим некоторые свойства функции G(x,t), заданной формулой (5). Свойство 1. Функция G(x,t) непрерывна для всех значений x и t из отрезка [0,1].
Справедливость этого свойства следует из формулы (5), а также из условия (8). Свойство 2. Функция G(x,t) является решением уравнения
D^G^t) + ÀG(x, t) = 0.
Используя обозначение (5) и свойства функции Миттаг-Леффлера [11, с. 13], получаем
Dt [W(x - t)] = Dît [H(x - t)(x - t)a-1Ea>a(-À(x - t)a
= -ÀH(x - t)(x - t)a-1Ea>a(-À(x - t)a). Учитывая (7) и равенство (10), имеем
D«ti[W(x - t)]= ti[D" Wa(x - t)] Dîtto[We(x - t)]^ = to[D" Wa(x - t)]^
-Àti[W«(x - t)] -Àto[W(x -1)]
ni(x)
§ :
П2 (x) § '
Свойство 3. Функция G(x,t) удовлетворяет условиям
[D«-2G(x,t)]t=o = 0, [D«-1G(x,t)]t=o = 0.
î
î
î
î
1
С учётом (10) и свойств линейных функционалов (аддитивность, однородность) приходим к тому, что
^Т2 [Я(х - *)(х - ¿)а"1Е«'«(-Л(х - ¿Г) +
+ ¿1[Я(х - *)(х - ¿)а"1Е«'«(-Л(х - ¿)а)]
§
+ ¿0[Я(х - *)(х - ¿)а"1Е«'«(-Л(х - ¿)а)]П2(х)
§
4=0
ИЪ(х) + ¿1[^2(х)] ^ + ¿0[^2(х)] ^ = 0.
§ §
Аналогично получаем, что
£>а-1 [Я(х - *)(х - ¿)а"1Е«'«(-Л(х - ¿)а) +
+ ¿1[Я(х - *)(х - ¿)а"1Е«'«(-Л(х - ¿)а)]
§
+ ¿0[Я(х - *)(х - ¿)а"1Е«'«(-Л(х - ¿)а)]П2(х)
§
4=0
(х) + ¿1 [^1 (х)] ^ + ¿0 [^1 (х)] ^ = 0, §§
где
Я (х - = ^ 0, - функция Хевисайда.
4. Доказательство теоремы
Умножим обе части уравнения (1) на функцию С(х,£) и проинтегрируем от 0 до 1 по переменной ¿, считая переменную х фиксированной:
1 1 1
У С(х,*)50Х*)^ + Л У С(х, ¿)и(£)^£ ^У /(¿)С(х,£)^. 0 0 0
Воспользовавшись формулой дробного интегрирования по частям [11, с. 15]
1 1
У = 1 ВДЯ^в)^, 7 < 0,
00
получаем
1 1 1
у ^(¿^""^(х,^ + Л у С(х,£)и(;£)^ = J /(¿)С(х,;£)^. (11)
0 0 0
Проинтегрируем по частям первое слагаемое равенства (11) и получим
1 1 1
У С(х,£)30Х;£)^ = У С^Д^и"^ ^ и"^)^-2С(х,£)^ = /1 + /2 + /3,
0 0 0
где
/1 = J и"^)^-2^«^ - = J и^^рЯ(х - ¿)(х - ¿)а-1Еа'а(-Л(х - ¿)а)(* 00
и"^-2 [(х - ¿)а-1Е«'«(-Л(х - ¿)а)] = и/(^)Даг2(х-^)а-1Е«'«(-Л(х-^)а)
-и(*)£>а-1(х - ¿)а-1 Е«'«(-Л(х - ¿)а) + / и(*)£>°(х - ¿)а-1Е«'«(-Л(х -
и(х) - и/(^)(х - ¿)Е«'2(-Л(х - ¿)а) + и(*)Еа,1(-Л(х - ¿)а)
4=0
+
4=0
+ Ц*)^(х - ¿Г-1 £«'«(-Л(х - ¿)а)(*.
Далее, используя равенство (10), получаем
/2 = I и//(¿)даг2^[ж«(х - ¿)]^ = [и(х)] -
П1(х)
§
¿1
+
Точно так же и для 1
и/(^)(х - ¿)Еа,2(-Л(х - ¿)а) щ(х)
4=0J
+ ¿1 + § ^
и(£)£«д(-Л(х - ¿)а)
4=0
+
§
¿1
и(^(х - ¿)а-1Е«'«(-Л(х -
/з = и^^Т^Я(х - ¿)(х - ¿)а-1Е«'«(-Л(х - ¿)а)]
П2 (х) §
(И
П2 (х)
и(£)£«д(-Л(х - ¿)а)
4=0
П2 (х)
и/(^)(х - ¿)Еа,2(-Л(х - ¿)а)
4=0
+
, Г М _1_ П2(х) о
+—¿0 [и(х)] + ^^¿0
Подставим /1, /2, /3 в (11):
и(*)Я°(х - ¿)а-1Е«'«(-Л(х -
и(х) - и/(¿)(х - ¿)Еа,2(-Л(х - ¿)а) + и(*)Еа,1(-Л(х - ¿)а)
4=0
+
4=0
+ / и(^(х - ¿)а-1Е«'«(-Л(х -
П1(х)
§
¿1
и/(^)(х - ¿)Еа,2( Л(х - ¿)а)
4=0
+ пМ ¿1 + § ^
и(*)£а,1(-Л(х - ¿)а)
4=0
1
1
х
х
0
х
х
х
0
0
х
4 и*)] + ^ 4
u(t)D° (x - t)a-iE„(-A(x - t)a)dt
m(*)
u'(t)(x - t)E",2( A(x - t)")
i=0J
, П2 (x)„
u(t)E",i(-A(x - t)a)
i=0J
""^0 [u(x)] + ""^0
u(i)D°(x - t)"-1Ea (-A(x - t)a)dt
Принимая во внимание свойства 1, 2, 3, после всех преобразований получаем представление решения (9). Отсюда, в частности, следует единственность решения задачи (3), (4) для уравнения (1) при выполнении условия (8). Далее будем обозначать через
x
(g * h)(x) = У g(t)h(x - t)dt
0
свёртку Лапласа функций g(x) и h(x) и, учитывая закон композиции операторов дробного интегро-дифференцирования и свойства свёртки функции, будем иметь:
dSX (/ * xa-1 Eaa (-Axa)) = DO-2 dx (dx f * x"-1E"(^))) =
d d
= DoX-2dx (/ * xa-2E„,a-i(-Axa)) = DOx-2- (D"x-2g * x""2E„>e_i(-Ax")) =
D"x-2dx (g * E",i(-Axa)) = DO;-2 (g * Ea,i(0) + g * x-1E„¿(-Ax")) =
= D"x-2g(x) - D"x-2g(x)(Axa-i)Ea,a(-Ax") = /(x) - /(x)(Axa-i)E„,«(-Ax").
Воспользовавшись последним равенством, докажем, что функция u(x), определяемая равенством (9), действительно является решением задачи (1), (3), (4):
д
/ * W"(x) + ¿i[/ * Wa(x)]^ + 4[/ * Wa(x)] ^ - ui^ - U0n2(x)
tf
tf
tf
tf
+
+A
/ * Wa(x) + £i[/ * Wa(x)]+ W * Wa(x)]^ - ui^M - u0n2(x)
tf
tf
tf
tf
/(x).
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что построенное решение удовлетворяет условиям (3) и (4). С учётом того, что
■М/ * Wa (x)]
1 +
¿i[W2(x)]^0[Wi(x)] - li[Wi(x)]lp[W2(x)] ¿0[W2(x)]^i[Wi(x)] - ¿0[Wi(x)]^i[W2(x)]
0,
получаем [u] = u0.
Аналогично находим, что ¿i[u] = ui, так как
¿i[/ * W" (x)]
1 +
lp[Wi(x)]li[W2(x)] - ¿0[W2(x)]^i[Wi(x)] ¿0[W2(x)]^i[Wi(x)] - ¿0[Wi(x)]^i[W2(x)]
x
0
x
0
5. Случай, когда нарушается условие разрешимости
Покажем, что если условие (8) нарушается, т. е.
¿о[W2(x)Ki[Wi(x)] - [W2(x)] = 0, (12)
то решение однородной задачи не единственно. Рассмотрим функцию
u(x) = Cini(x) + С2П2 (x),
где Ci и C2 — произвольные постоянные, ni(x) и n2(x) определяются равенством (6). Тогда из (12) следует, что функция u(x) является решением однородной задачи
d0X u(x) + Au(x) = 0, = 0, ¿i[u] = 0.
Список литературы
1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003.
2. Килбас А. А. Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка: курс лекций // Методологическая школа-конференция «Математическая физика и нанотехнологии». Самара, 2009.
3. НовоженоваО. Г. Биография и научные труды Алексея Никифоровича Герасимова. О линейных операторах, упруго-вязкости, элевтерозе и дробных производных. М. : Перо, 2018.
4. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М. : Наука, 1966.
5. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. New York : Academic Press, 1974.
6. СамкоС.Г., Килбас А. А., МаричевО.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987.
7. KilbasA.A., Srivastava H. M., TrujilloJ.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam : Elsevier, 2006.
8. Bagley R. L., Torvik P. J. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures // AIAA Journal. 1985. Vol. 23, no. 6. P. 918-925.
9. HilferR. Applications of fractional calculus in physics. River Edge : World Scientific, 2000.
10. УчайкинВ.В. Метод дробных производных. Ульяновск : Артишок, 2008.
11. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М. : Наука, 2005.
12. Barrett J.H. Differential equations of non-integer order // Canadian Journal of Mathematics. 1954. Vol. 6, no. 4. P. 529-541.
13. ДжрбашянМ. М., НерсесянА.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Армянской ССР. Математика. 1968. Т. 3, № 1. С. 3-28.
14. Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма — Лиувилля // Изв. АН Армянской ССР. 1970. Т. 5, № 2. С. 71-96.
15. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Мат. сборник. 2011. Т. 202, № 4. С. 111-122.
16. Гадзова Л. Х. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54, № 2. С. 180-186.
17. Гадзова Л. Х. Нелокальная краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования // Мат. заметки. 2019. Т. 106, № 6. С. 860-865.
18. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969.
19. ГадзоваЛ.Х. Задача для обыкновенного дифференциального уравнения с общим краевым условием // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2021. T. 21, № 2. С. 9-14.
Поступила в 'редакцию 06.10.2021. После переработки 28.02.2022.
Сведения об авторе
Гадзова Луиза Хамидбиевна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 1. P. 20-29.
DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17102
GENERALIZED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION OF FRACTIONAL ORDER
L.Kh. Gadzova
Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardino-Balkar Scientific Center
of the Russian Academy of Sciences, Nalchik, Russia
For an ordinary differential equation of fractional order, a problem with general conditions is formulated and solved. A representation of a solution of the problem under study is found. The uniqueness theorem of a solution is proved. The boundary conditions are given in the form of linear functionals, which allows us to cover a fairly wide class of linear local and non-local conditions.
Keywords: fractional order equation, functional, Gerasimov — Caputo fractional derivative, Mittag-Leffler function.
References
1. Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. (In Russ.).
2. KilbasA.A. Teoriya i prilozheniya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka: kurs lektsiy. Metodologicheskaya shkola-konferentsiya «Matematicheskaya fizika i nanotekhnologii» [Theory and applications of fractional differential equations: course of lectures. Methodological school-conference "Mathematical Physics and Nanotechnologies"]. Samara, 2009. (In Russ.).
3. Novozhenova O.G. Biografiya i nauchnye trudy Alekseya Nikiforovicha Gerasimova. O lineynykh operatorakh, uprugo-vyazkosti, elevteroze i drobnykh proizvodnykh [Biography and scientific works of Alexey Nikiforovich Gerasimov. On linear operators, elastic viscosity, eleutherosis and fractional derivatives]. Moscow, Pero Publ., 2018. (In Russ.).
4. Dzhrbashyan M.M. Integral'nye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti [Integral transformations and representations of functions in the complex domain]. Moscow, Nauka Publ., 1966. (In Russ.).
5. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. New York, Academic Press, 1974.
6. SamkoS.G., KilbasA.A., MarichevO.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications]. Minsk, Nauka i Tekhnologii, 1987. (In Russ.).
7. KilbasA.A., Srivastava H.M., TrujilloJ.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier, 2006.
8. BagleyR.L., TorvikP.J. Fractional Calculus in the Transient Analysis of Viscoelastically Damped Structures. AIAA Journal, 1985, vol. 23, no. 6, pp. 918-925.
9. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. River Edge, World Scientific, 2000.
10. UchaykinV.V. Metod drobnykh proizvodnykh [The method of fractional derivatives]. Ulyanovsk, Artishock Publ., 2008. (In Russ.).
11. PskhuA.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka Publ., 2005. (In Russ.).
12. Barrett J. H. Differential equations of non-integer order. Canadian Journal of Mathematics, 1954, vol. 6, no. 4, pp. 529-541.
13. Dzhrbashyan M.M., Nersesyan A.B. Drobnye proizvodnye i zadacha Koshi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order]. Izvestiya Academii Armyanskoy SSR. Matematika [News of the Academy of Armenian SSR. Mathematics], 1968, vol. 3, no. 1, pp. 3-28. (In Russ.).
14. Dzhrbashyan M.M. Krayevaya zadacha dlya differentsial'nogo operatora drobnogo poryadka tipa Shturma — Liuvillya [A boundary value problem for a differential operator of fractional order of Sturm — Liouville type]. Izvestiya Academii Armyanskoy SSR. Matematika [News of the Academy of Armenian SSR. Mathematics], 1970, vol. 5, no. 2, pp. 71-96. (In Russ.).
15. Pskhu A.V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 4, pp. 571-582.
16. Gadzova L.Kh. Boundary value problem for a linear ordinary differential equation with a fractional discretely distributed differentiation operator. Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 2, pp. 178-184.
17. Gadzova L.Kh. Nonlocal boundary-value problem for a linear ordinary differential equation with fractional discretely distributed differentiation operator. Mathematical Notes, 2019, vol. 106, no. 6, pp. 904-908.
18. NaimarkM.A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear differential operators]. Moscow, Nauka Publ., 1969. (In Russ.).
19. Gadzova L.Kh. Zadacha dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya s obshchim krayevym usloviyem [Problem for an ordinary differential equation with a general boundary condition]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk [Reports of Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences], 2021, vol. 21, no. 2. pp. 9-14. (In Russ.).
Article received 06.10.2021.
Corrections received 28.02.2022.
