НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С КОМПОЗИЦИЕЙ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 3. С. 269-277.

УДК 517.9 Б01: 10.47475/2500-0101-2021-16301

НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С КОМПОЗИЦИЕЙ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

А. Р. Волкова1", Е. М. Ижбердеева1ь, В. Е. Федоров1,2с

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "[email protected], ь[email protected], [email protected]

Исследуется однозначная разрешимость начальных задач для линейных уравнений в банаховых пространствах с композицией двух дробных производных и с ограниченным оператором в правой части. Показано, что композиции дробных производных Римана — Лиувилля и (или) Герасимова — Капуто являются производными Джрба-шяна — Нерсесяна. С помощью полученных ранее общих результатов о начальной задаче для линейного уравнения с дробной производной Джрбашяна — Нерсесяна сформулированы утверждения о существовании и единственности решения для начальных задач для исследуемых уравнений с композицией двух дробных производных. Решения представлены с использованием функций Миттаг-Леффлера. Общие результаты продемонстрированы на примере начально-краевой задачи для уравнения с многочленами от оператора Лапласа.

Ключевые слова: дробная производная Римана — Лиувилля, дробная производная Герасимова — Капуто, дробная производная Джрбашяна — Нерсесяна, начальная задача, функция Миттаг-Леффлера, начально-краевая задача.

Введение

Показано, что композиции двух дробных производных Римана — Лиувилля и (или) Герасимова — Капуто являются производными Джрбашяна — Нерсесяна [1]. С помощью общих результатов об однозначной разрешимости начальной задачи для уравнения с дробной производной Джрбашяна — Нерсесяна, полученных в [1; 2], сформулированы утверждения о существовании и единственности решения начальных задач для исследуемых уравнений с композициями двух дробных производных. Решения этих задач представлены с использованием функций Миттаг-Леффлера. Общий результат использован при исследовании начально-краевой задачи для уравнения с многочленами от оператора Лапласа по пространственным переменным и с произведением двух производных Римана — Лиувилля по времени.

Отметим работы [3; 4], в которых исследуются различные дифференциальные уравнения с производными Джрбашяна — Нерсесяна.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и ВАНТ в рамках научного проекта 21-51-54003.

1. Уравнения с производной Джрбашяна — Нерсесяна

Пусть X — банахово пространство, к : ^ X. Для 5 > 0, £ > 0, (£) := £г-1/Г(5), где Г(5) — гамма-функция, дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка 5 > 0 имеет вид

г

\5-1

£к(£) := (д, * к)(£) := / ( 5) к(в)Ж, £ > 0, ^

о

Пусть т — 1 < а < т € М, Вт — обычная производная целого порядка т € М, дробная производная Римана — Лиувилля определяется как

В^) := ^Т(дт-а * к)(£) = ^т-ак(£), £ > 0.

При а > 0 используется также обозначение В-ак(£) := к(£). Производная Герасимова — Капуто имеет вид

к(£) := (дт-а * В4тк)(£) = В4тк(£), £ > 0.

Определим дробную производную Джрбашяна — Нерсесяна [1]. Пусть {ак}0 = {а0, а1,... , аг} — совокупность вещественных чисел, таких, что 0 < а к < 1, к = 0,1,... , г € N0 := N и {0}. Обозначим Ок = Ек=0 а.? — 1, к = 0,1,... , г, следовательно, — 1 <ок < к — 1. Далее везде предполагается, что ог > 0. Определим дифференциальные операции

ВСТ0к(£) = Да0-1к(£), ВСТкк(£) = В^к-1В?к-1 В^-2 ... Ва°к(£), к = 1, 2,..., г, (1)

ВСТг называется дробной производной Джрбашяна — Нерсесяна порядка ог , ассоциированной с последовательностью {ак}0.

Замечание 1. Оператор Вак-1 является дробным интегралом Римана — Лиувилля при ак € (0,1) либо тождественным оператором при ак = 1, операторы Вак имеют вид В^при ак € (0,1) либо В^ при ак = 1. Таким образом, в выражениях вида (1) могут присутствовать, помимо возможного тождественного оператора слева, только производные первого порядка и дробные интегралы Римана — Лиувилля порядка менее 1, соседствовать с которыми могут только производные первого порядка. Обратное тоже верно: композицию производных целого порядка и дробных интегралов порядка меньше 1, в которой различные дробные интегралы не соседствуют друг с другом, можно представить в виде (1), разложив производные целого порядка в композиции производных первого порядка.

Однозначная разрешимость начальной задачи для неоднородного уравнения

В°гх(£) = Ах(£) + /(£), £ € (0, Т), (2)

Вакх(0) = хк, к = 0,1,..., г — 1. (3)

при некоторых А € £(Х) (линейный ограниченный оператор), / : (0,Т) ^ X, исследована в [2]. Решением задачи (2), (3) называется функция х € С((0,Т); X), для которой В1кх € С([0,Т); X), к = 0,... ,г — 1, В^х € С((0,Т); X), выполняется равенство (2) при всех £ € (0,Т) и условия (3).

Введём обозначение для функции Миттаг-Леффлера

те

£а,ь(*0 = Е

р=0 Г(аР + Ь) '

Теорема 1. [2]. Пусть А е ¿(X), хк Е X, к = 0,1 ...,г - 1, 0 < ак < 1, к

0,1... ,г, аг > 0, а0 + аг > 1, f е С([0,Т]; X). Тогда функция

г-1

;(Ь) = ^ Ь0кЕаг^+1(ГГ А)хк + 1(Ь - в)0г-1Еаг^ ((Ь - в)0г A)f (в^в

х'Ь/ / и Еог,0к+1(Ь А)хк I / в) Еог,иг*

к=0

является единственным решением задачи (2), (3).

Если аг = 1, то утверждение теоремы справедливо и при f е С((0,Т); X) П ¿1(0,Т; X).

Доказательство. При f Е С([0,Т]; X) теорема доказана в [2]. Докажем, что утверждение теоремы 1 остаётся верным, если условие f Е С([0, Т]; X) заменить на более слабое условие f е С((0,Т); X) П Ь1(0,Т; X), если

аг - ак - 1 > 0, к = 0,1,...,г - 1. (4)

Сразу заметим, что условие (4) выполняется точно тогда, когда аг = 1. Действительно, если аг < 1, то аг - аг-1 = аг < 1. Если же аг = 1, то аг - ак > аг - аг-1 = аг = 1 при всех к = 0,1,..., г - 1.

В работе [2] введены обозначения Z0-k (Ь) := Ь°г-0к-1Е0г0г-0к (Ь0гА) при к = 0,1,...,г - 1,

г

\о>-1 ■

zf (Ь) := у (Ь - в)°г-1Еаг,аг ((Ь - в)0г А^Шв. 0

Очевидно, что при Ь ^ 0+

4-а„-ак-1

Zak (Ь) - г-Г, к = 0,1,...,п - 1. (5)

!(а„ - ак)

Доопределим f нулём вне интервала (0,Т) и, рассуждая, как в [2], получим

ЪМ = (1°пI - А)-1 ¡(11),

г

Б^г/(1) = I - А)-1/Ы, Б00г/(Ь) = | Zao(Ь - в)f (в^в.

0

В отличие от [2] теперь в силу (4) и (5)

г г

||Б00г/(Ь)||* </ ^(Ь - в)|L(x)|f(в)||хйв < Со! I|f^И*^ ^ 0

00 при Ь ^ 0+, так как f Е Ь1(0,Т; X). Поэтому Б00г/(0) = 0, далее

г

(1) = (10п I - А)-1/М, Б01 г/ (Ь) = | Zax (Ь - в)f (в^в

0

Б01 г/ (0) = 0. Продолжая этот процесс, получим г

В-/(() = / ^ « - .)МЬ, к = 0,1.....П, ^,(<» = 0, к = 0,!,...,» - 1

0

В остальном доказательство существования и единственности решения не отличается от доказательства соответствующей теоремы в [2]. □

Замечание 2. Понятно, что дробная производная Римана — Лиувилля порядка а € (т — 1,т], т € N является производной Джрбашяна — Нерсесяна порядка ат, г = т, ассоциированной с последовательностью ао = а — т +1, а1 = 1, ..., ат_1 = 1, ат = 1. При этом а0 + ат = а — т + 2 > 1, а0 = а — т, а1 = а — т +1, ..., ат-1 = а — 1, ат = а > 0 и задача (3) представляет собой задачу типа Коши.

Замечание 3. Для производной Герасимова — Капуто сБ^Л-^) := 4т_аБт^(£) порядка а € (т— 1, т], т € N также г = т и соответствующие последовательности имеют вид а0 = 1, а1 = 1, ..., ат-1 = 1, ат = а — т +1; а0 + ат = а — т + 2 > 1, а0 = 0, а1 = 1, ... , ат-1 = т — 1, ат = а > 0 и (3) являются условиями Коши.

Пусть т — 1 <а < т, п — 1 < в < п. Тогда композиции производных Римана — Лиувилля и Герасимова — Капуто Б^Б^, ^^Б^ и сБаБв также представляют собой производные Джрбашяна — Нерсесяна при г = т + п, ат+га = а + в > 0 (см. таблицу). При этом а0+ат+га = в — п+2 > 1, а0+ат+га = а — т+2 > 1 и а0+ат+га = а + в — т — п + 2 соответственно. В последнем случае условие а0 + ат+га > 1 может не выполняться. Кроме того, понятно, что Б^ = сВа+1Вв_1 = сва_кБв+к при I € Н, к = 0,1,..., т.

Рассмотрим композицию Б^Б^ производных Герасимова — Капуто и Римана — Лиувилля Б^. Заметим, что в силу полугруппового свойства дробного интеграла Римана — Лиувилля БаСБв = Б™^0^^Бп = Б4тБ^. Если 5 = т+п—а—в—1 > 0, т > 1, то Б4аСБ4в = Б4т41+гБ? = Б,т_14Щ = Б,т_2Б^Б^ и получается дробная производная Джрбашяна — Нерсесяна с г = т + п - 1, ат+га_1 = а + в, а0 + ат+га_1 = 2 > 1 (см. таблицу). В этом же случае при т = 1 производная Джрбашяна — Нерсесяна с г = п, ага = а+в, а0 + ап = а + в — п + 2 > 1 имеет вид Б^Б^ = Б^41+гБ^ = Б_гБ^ и ассоциирована с последовательностью, указанной в табл.

Последовательности, с которыми ассоциированы композиции производных

ао а1 ап-1 а„ а„+1 ат+п-1 ат+п

в — п + 1 1 1 а — т +1 1 1 1

00 01 0П-1 0п 0П+1 0т+п-1 0т+п

в — п в — п + 1 в — 1 а + в — т а + в — т + 1 а + в — 1 а + в

ао а1 а„-1 а„ а„+1 ат+п-1 ат+п

1 1 1 в — п + 1 1 1 а — т +1

00 0П-1 0п 0П+1 0т+п-1 0т+п

0 1 п — 1 в в + 1 в + т — 1 а + в

ао а1 ап-1 ап ап+1 ат+п-1 ат+п

в — п + 1 1 1 1 1 1 а — т +1

00 01 0П-1 0п 0П+1 0т+п-1 0т+п

в — п в — п + 1 в — 1 в в + 1 в + т — 1 а + в

£ > 0, т > 1 ао а1 а„-1 а„ а„+1 ат+п-1

1 1 1 а + в — т — п + 2 1 1

00 01 0П-1 0п 0П+1 0т+п-1

0 1 п — 1 а + в — т +1 а + в — т + 2 а + в

£ > 0, т =1 а0 а1 а„-1 а„

1 1 1 а + в — п +1

00 01 0п-1 0п

0 1 п — 1 а + в

£ < 0 а0 а1 а„-1 а„ а„+1 ат+п-1 ат+п

1 1 1 а + в — т — п +1 1 1 1

00 01 0П-1 0п 0П+1 0т+п-1 0т+п

0 1 п — 1 а + в — т а + в — т + 1 а + в — 1 а + в

Наконец, в последнем случае 8 < 0, т.е. а + в — т — п Е (—1, 0), композиция является производной Джрбашяна — Нерсесяна при г = т + п, ат+п = а + в > 0 (см. таблицу). При этом ао + ат+п = 2 > 1.

Из теоремы 1, учитывая значения элементов }0, указанные в таблице, сразу получим следующие утверждения.

Следствие 1. Пусть А Е £(Х), т — 1 <а < т € N п — 1 <в < п Е М, / Е С ((0,Т); X) П ¿1(0, Т; X). Тогда при любых хг Е X, I = 0,1,...,п — 1, ук Е X, к = 0,1,..., т — 1, существует единственное решение задачи

В?Ввх(г) = Ах(г) + /(г), г Е (0,Т), (4)

В4в—п+х(0) = XI, I = 0,1,..., п — 1, (5)

Ва—т+кБвх(0) = ук, к = 0,1,..., т — 1, (6)

при этом оно имеет вид

п— 1 т—1

х(г) = ^ п+ Еа+/3>/3—п+1+1(га+в А)хг + ^ г+в+к—1тЕа+13,а+1з+к+1—т(га+в А)ук+ 1=0 к=0

г

+ /(г — 1Еа+в,«+в ((г — А)/ 0

Следствие 2. Пусть А Е ¿(X), т — 1 <а < т Е М, п — 1 <в < п Е М, / Е С ([0, Т ]; X). Тогда при любых хг ЕX, I = 0,1,..., п — 1, ук ЕX, к = 0,1,..., т — 1, существует единственное решение задачи

свасвгвх(г) = Ах(г) + /(г), г е (0,Т),

В\х(0) = хг, I = 0,1,..., п — 1, х(0) = ук, к = 0,1,..., т — 1,

при этом оно имеет вид

п— 1 т— 1

х(г) = ^ г1 Еа+в,г+1(га+в А)хг + ^ гв+к Еа+/3>/3+к+1(га+в А)ук+

г=о к=о

г

+ /(г — 1Еа+в,«+в ((г — ¿)а+в А)/(¿0^. о

Следствие 3. Пусть А Е ¿(X), т — 1 <а < т Е М, п — 1 <в < п Е М, / Е С ([0,Т]; X). Тогда при любых хг Е X, I = 0,1,...,т + п — 1, существует, единственное решение задачи

сваввх(г) = Ах(г) + /(г), г е (0,Т),

Вгв—п+гх(0) = хг, I = 0,1,..., т + п — 1,

при этом оно имеет вид

т+га— 1

х(*) = X] ^Е+в.в—га+шГ+в+ /(*- 1Е«+в,«+в((*- з)а+вА)/(в)^.

1=0

Следствие 4. Пусть А е £(Х), т — 1 < а < т € N п — 1 < в < п е М а + в — п — т > —1, / е С((0,Т); X) П (0,Т; X). Тогда при любых х1 е X, I = 0,1,..., п — 1, е X, к = 0,1,..., т — 1, существует единственное решение задачи

ДаСДвх(*) = Ах(*) + /(*), * е (0,Т), ^х(0) = XI, I = 0,1,..., п — 1,

х(0) = ук, к = 0,1,..., т — 1,

при этом оно имеет вид

га— 1 т— 1

х(*) = ^ I1 Е«+в,1+1 (*а+вА)Х1 + тЕ«+в,«+в+к+1—т(*а+вА)ук+

1=0 к=0

+ / (* — 5)а+в—1Е«+в,«+в((* — з)а+вА)/

Следствие 5. Пусть А е ¿(X), т — 1 < а < т е N \ {1}, п — 1 < в < п е М, а + в — п — т < —1, / е С((0,Т); X) П Ь1(0,Т; X). Тогда при любых х1 е X, I = 0,1,..., п — 1, е X, к = 0,1,... ,т — 1, существует единственное решение задачи

х(*) = Ах(*) + /(*), * е (0,Т), ДГх(0) = х1, I = 0,1,..., п — 1, т+1+кс^вх(0) = ук, к = 0,1,... ,т — 1, при этом оно имеет вид

х

га—1 т—1

(*) = ^ ¿г£«+в,1+1Г+в А)хг + ^ *а+в+к+1—тЕ«+в,«+в+к+2—т Г+в А)ук+ 1=0 к=0

+ / (* — в)а+в—1Е«+в;«+в((* — в)а+вА)/

Следствие 6. Пусть А е ¿(X), 0 <а < 1, п — 1 <в < п е М, а + в — п < 0, / е С([0,Т]; X). Тогда при любых х1 е X, I = 0,1,..., п — 1, существует единственное решение задачи

х(*) = Ах(*) + /(*), * е (0,Т), ДЛх(0) = х1, I = 0,1,..., п — 1,

г

Г

Г

при этом оно имеет вид

га-1 1

= ^ А)хг + / (* - ¿0а+в-1£а+/8>а+/8((* - А)/(в)^.

хч

1=0

Замечание 4. Из рассуждений данного параграфа видно, что любая конечная последовательность производных Герасимова — Капуто и Римана — Лиувилля является производной Джрбашяна — Нерсесяна. При этом условие а0 + аг > 1 может не выполняться, как для в случае а + в — т — п < -1.

2. Приложение к исследованию

одного класса начально-краевых задач

Приведём пример использования полученных абстрактных результатов. Пусть Рв(Х) = Е с,А-7, д,(А) = Е фА-7, С,-, ^ е С, ^ = 0,1,..., в е N0, с, = 0,

7=0 7=0

П С К — ограниченная область с гладкой границей дП; переменные в этой области обозначаются как £ = , £2,...,£^). Пусть оператор Л1 е С/(Ь2(П)) с областью определения Дл1 = Н(П) := {V е Н2(П) : ^(£) = 0, £ е дП} представляет собой оператор Лапласа

^ :=А = £ —

г=1 ^

2

Рассмотрим начально-краевую задачу

Дв-1-1 щ(£,0) = щ(£), I = 0,1,...,п — 1, £ е П, (7)

щ(£,0) = ^(£), к = 0,1,...,т — 1, £ е П, (8)

«(£,*) = 0, к = 0,1,...,в — 1, (£,*) е дП х (0,Т), (9)

Ре(А)щ(£,*) = де(А)и(£,^) + д(£,¿), (£,*) е П х (0,Т), (10)

где т — 1 <а < т е М, п — 1 < в < п е М, А — дробные производные Римана — Лиувилля по переменной ¿, д : П х (0,Т) ^ С. Возьмём

У = {V е Н2,(П) : г>(£) = 0, к = 0,1,..., в — 1, £ е дП},

2 = А(П), Ь = Р,(А), М = д,(А) е £(У; 2).

Пусть {Ак} — спектр оператора Л1, Ре(Ак) = 0 при всех к е М, тогда существует обратный оператор Ь-1 е £(2; У) и задача (7)-(10) представима в виде (4)-(6), где X = У, А = Ь-1М е £(Х), х = щ(■), I = 0,1,..., п — 1, = (■), к = 0,1,... ,т — 1, /(¿) = Ь-1д(-,£). В силу следствия 1 существует единственное решение задачи (7)-(10) при всех щ е X, I = 0,1,..., п — 1, ^ е X, к = 0,1,..., т — 1, если д е С((0,Т); Ь2(П)) П Ь1(0,Т; Ь2(П)) (в этом случае Ь-1д е С((0,Т); X) П Ь1(0,Т; X)).

Список литературы

1. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. Акад наук Армян. ССР. Математика. 1968. Т. 3, № 1. С. 3-29.

2. Fedorov V. E., PlekhanovaM. V., Izhberdeeva E. M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan — Nersesyan derivative in Banach spaces // Symmetry. 2021. Vol. 13, no. 1058.

3. ПсхуА.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН. Сер. мат. 2009. Т. 73, вып. 2. C. 141-182.

4. ПсхуА.В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. C. 1078-1098.

Article received 21.07.2021 Corrections received 28.08.2021

Сведения об авторах

Волкова Анастасия Романовна, студент математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected]. Ижбердеева Елизавета Монировна, аспирант математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет; научный сотрудник лаборатории функциональных материалов, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 3. P. 269-277.

DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16301

INITIAL VALUE PROBLEMS FOR EQUATIONS

WITH A COMPOSITION OF FRACTIONAL DERIVATIVES

A.R. Volkova1'", E.M. Izhberdeeva1b, V.E. Fedorov12c

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "[email protected], [email protected], [email protected]

We study the unique solvability of initial problems for linear equations in Banach spaces with a composition of two fractional derivatives and with a bounded operator on the right side. It is shown that the compositions of fractional derivatives of Riemann — Liouville and (or) Gerasimov — Caputo are derivatives of Dzhrbashyan — Nersesyan. With the help of the previously obtained general results on the initial problem for a linear equation with the Dzhrbashyan — Nersesyan fractional derivative, statements are formulated about the existence and uniqueness of a solution for initial problems to the equations under study with a composition of two fractional derivatives. The solutions are presented using the Mittag-Leffler functions. The general results are demonstrated by the example of an initial boundary value problem for an equation with polynomials with respect to the Laplace operator.

Keywords: Riemann — Liouville fractional derivative, Gerasimov — Caputo fractional derivative, Dzhrbashyan — Nersesyan fractional derivative, initial value problem, Mittag-Leffler function, initial boundary value problem.

Поступила в 'редакцию 21.07.2021 После переработки 28.08.2021

References

1. Dzhrbashyan М.М., Nersesyan А.Б. Drobnye proizvodnye i zadacha Koshi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order]. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoy SSR. Matematika [News of Academy of Sciences of Armenian SSR. Mathematics], 1968, vol. 3, no. 1, pp. 3-29. (In Russ.).

2. FedorovV.E., Plekhanova M.V., Izhberdeeva E.M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan — Nersesyan derivative in Banach spaces. Symmetry, 2021, vol. 13, no. 1058.

3. PskhuA.V. The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order. Izvestiya: Mathematics, 2009, vol. 73, iss. 2, pp. 351-392.

4. PskhuA.V. Fractional diffusion equation with a discretely distributed differentiation operator. Siberian Elektronic Mathematical Reports, 2016, vol. 13, pp. 1078-1098.

The work was carried out with the support of the RFBR and VAST within the framework of the scientific project 21-51-54003.