О разрешимости начально-краевых задач с граничным условием интегрального вида для некоторых неклассических дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.543.1

О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ С ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВИДА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ*) А. М, Абдрахманов, А. И, Кожанов

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр Пх(0, Т), 0 < Т < + го, Б = Гх(0, Т) — боковая граница ф, а^'(х), %,з = 1,..., и, а(х), N (х, у), /(х, — заданные функции, определенные при I ё О, )/ ё О, ( ё [О, Г]. Далее, пусть р — натуральное число, В^ — производная А и Ь — дифференциальные операторы, действие которых па заданной функции у(х, £) определяется равенствами

д ■■

Ау = ——(аг:1(х)ух) + а(х)у

дхг

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование в и

1т = (-1)Р+1 Б2/V - АУ.

Краевая задача I. Найти функцию и(х, являющуюся в прямоугольнике ф решением уравнения

Ьи = /(х,г) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

Би(х,*)|4=0 = о, к = о,...,р,г е(0,Т), (2)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №12-064)0277). @ 2013 Абдрахманов А. М., Кожанов А. И.

и(х,1)\г=т = 0, к=1,...,р - 1, * е( О ,Т), (3)

и{х,г)\(х,г)= J ^{х,у)и{у,Ь)йу п

.

{х,г) еэ

Краевая задача II. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2) н (3), а также условие

ди{х,

(х,4) еэ

с)у

,

(х,ь) еэ

= J ^(х,у)и(у,г) 3,у п

где = а1? (х)щ-т^-, V = (г/1,..., г/„) — вектор внутренней нормали к х

Оператор А в дальнейшем предполагается симметричным (аг° = а?1) и эллиптическим в П. В этой ситуации уравнение (1) при р = 1 будет гиперболическим уравнением второго порядка, в случае же р > 1 подобные уравнения можно назвать «квазигиперболическими» или просто уравнениями неклассического типа (авторам неизвестно какое-

либо иное название для данного класса уравнений). Краевые задачи р>

сти Б и условиями (2), (3) изучались прежде всего в работах В. Н. Вра-гова [1,2] и далее в работах II. Е. Егорова и В. Е. Федорова (см. [3]). Задачи с заданием условий интегрального вида (4) или (5) ранее не изучались.

С другой стороны, краевые задачи I и II относятся к классу задач с нелокальным граничным условием. Подобные задачи активно

изучаются в последнее время, достаточно полное представление о сор

задачи I и II изучались в [8,9]. Помимо данных работ можно отметить близкие по применяемой технике [10-12], где, в частности, рассматривались аналоги задач I и II для неклассических уравнений нечетного порядка (называемых иногда (2т + 1)-параболическими).

Пусть ^(х,у) — функция, для которой при х £ Г, у € О выполняется равенство

дМ2(х, у)

-—- = ^{х,у).

Далее, пусть Ык, к = 1,2, — интегральные операторы, действие которых па заданной функции у(х) определяется по формуле

(Ыку)(х) = у(х) - ! Мк(х,у)у(у) ¿у. п

Для у(х) определим функции

Фк(х,у) = ! Ахх, у)у(у) ¿у ^У х,у)Луу{у)3у,

п п

где

^ = ¿" + ^ = I" +

Важную роль в дальнейших построениях будут играть условия взаимной однозначности операторов Ык, к = 1,2.

Условие (Ак). Существуют положительные постоянные ток и ш\к такие, что для любой функции у(х) го пространства ^(0) выполняются неравенства

тк\\Ыку\\12(П) < \П12(П) < тк\\Ыку\\12(п). Положим

N (х, у) = Ах N (х, у) - а{у)^ (х, у).

А

ВИЯ

^{х/у) е с2(П X П), м1(х,у) = о при X е п, У е г, (6)

а'^ес1^, и=1,...,п, а(ж)еС(П). (7)

Тогда для любой функции у(х) из пространства выполняется

неравенство

п

М\Ц2(п) < с 1|ЫН\£2(П) \\(Ы^)х4),

¿=1

постоянные н е\ в котором определяются функциями N (х, у), а13 (х), г,3 = \,...,п,и а(х).

Доказательство. Прежде всего заметим, что при выполнении условия (6) имеет место

$i(x,v) = J N(x,y)v{y)dy + J агЦy)NуДx,y)vyä {y)dy. Q Q

Из этого равенства, условий гладкости (6), (7) и неравенства Гёльдера следует оценка

n

11*1 (x,v) |Ц2(П) < b0\\v\\l2(Q) WUn), (8)

¿=1

в которой числа bo и b\ определяются функциями N(x, y), aij(x), i,j = 1,... ,п,ш a(x). Используя условие (Ai), продолжим (8):

n

Pi (x,v) ||*а(П) < bomu |Mv|Lw |vxi WUü у (9)

¿=1

Имеем

i d

vxi(x) - / Nlx.(x,y)v(y)dy = —[(М^)(х)}, i=l,...,п.

Q

Из этих равенств, неравенства Гёльдера и вновь условия (Ai) следует оценка

n

< hWMvWl^ + b3J2 W(Miv)Xi||2(fi). (10)

¿=1

Из (9), (10) вытекает требуемое неравенство. Утверждение доказано.

о

Пусть v(x) — функция из пространства W\{£t)- Тогда, как известно, выполняется неравенство

|МИ2(П) < |vxiИ2(П) (П)

¿=1

d

Теорема 1. Пусть выполняются условия (Äi), (6) и (7), а также условия

о'ЦтШз > ^oiei2, fco > о, X G П, е е М™, (12)

а(х) < — а0 < 0 при ж € О, (13)

3А0 > О 3^ > 0 3Мо £ [О,1}:A0>T, 2p>\ + Ö2T2 (p—),

> №cQAl, kQSl > cxAl + (1 - (14)

Тогда для любой функции f(x,t) такой, что f(x,t) £ LziQ), ft{x,t) £ L^iQ), краевая задача l разрешима в пространстве W%£pt(Q), притом единственным образом.

Доказательство. Пусть g(x,t) — заданная функция. Рассмотрим задачу: найти функцию w(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lw = g(x,t) + $1(x,M— w) (1')

и такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также условие

w{x,t) | (х es = 0. (4')

Покажем, что эта задача разрешима в пространстве 'Xpt(Q)- Воспользуемся методами регуляризации и продолжения по параметру.

Пусть £ — положительное число. Рассмотрим задачу: найти функцию w{x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lw - £Äwt = g(x, t) + Ф1 (x, M— w) (1^)

'

£

ности функции g(x, t) пространству L2(Q) эта. задача имеет решение w(x, t) такое, что w(x,t) £ W^XPt(Q), wt(x,t) £ L2(0, T; W22(fi)). Обозначим для краткости через V пространство

V= {v(x,t) : v(x,t) £ W2'XPt{Q), vt(x,t) £ L2(0,T-,W2(V))}.

Пусть p — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти фуик-w x, t Q

Lw - £Äwt= g(x, t) + p$i (x, M— w) (VE'p)

н такую, что для нее выполняются условия (2), (3), (4'). Обозначим через 0?, множество тех чисел р из отрезка [0,1], для которых задача (1^ ), (2), (3), 4' разрешима в пространстве V (при фиксированном е и принадлежности функции д(х,Ь) пространству ^(О)).

Если окажется, что множество ¡Ш непусто, открыто и замкнуто

,

,

[0,1] и даст разрешимость задачи (1^), (2), (3), (4') в пространстве V.

Множество ¡Ш непусто. Это следует из того, что число 0 принадлежит ему (см. [1-3], нетрудно также провести непосредственное доказательство, применяя метод Галёркина и используя полученные ниже априорные оценки). Открытость и замкнутость ¡Ш следует из равномерных по р оценок решений в пространстве V (см. [13]). Покажем, что искомые оценки имеют место.

Умножим уравнение {\'е р) на функцию (Ао — ^адДх,~Ь) и результат проинтегрируем по цилиндру О Используя условия (2), (3) и (4'), придем к равенству

2р — 1 Р , и , 1 Гц , и 1

' <1х<М Н— / аг-'и>т -и>т - с1х&--/ аи>2 с1х&

2 У 3 2 У

Я Я Я

----- ■ 2

+ 2 Т I " + 2 Т I (х> Т) ^х

п п

= J(Ао — ^д'Шг <1х<М + р J(Ао — ¿)Ф 1 (х, М—<1х<И. Я Я

Из этого равенства с помощью неравенства Юнга, утверждения 1, неравенства (11), очевидных неравенств

2 7 7-1 ^ гл2 / 2 ' - ^Ор I („ Р )2

J V <х & ^ Т" J ¿хсИ ^ • • • ^ Т"р J [РрV) <х&, (15)

Я Я Я

а также условий (12)—(14) нетрудно получить первую априорную оценку для решений т{х,Ь) краевой задачи (1^ ), (2), (3), (4'):

V2 йх<Л + j wX¿ йх<И + j (РР'Ю^ йх<И ^ (16)

4=1 Я Я

с постоянной R, определяемой лишь функциями g(x, t), N±(x, у), aij (x), i,j = 1,... ,n, a(x), а также областью ft и числом T.

На следующем шаге умножим уравнение (1^ р) на (Ао — t)Awt. Интегрируя по цилиндру Q используя условия (2), (3) и (4'), применяя неравенство Юнга, второе основное неравенство для эллиптических операторов [14] и учитывая, что из (16) вытекает неравенство

J Ф? (x, M— w) dxdt < R2, (17)

Q

где постоянная R определяется функциями g(x,t), N(x,y), aij(x), i,j = l,...,n, a(x), а также областью ft и числом T, получим, что для решений w(x,t) краевой задачи (1^ , р), (2), (3), (4') выполняется вторая априорная оценка

n ,,

J2J (DPtw*if dxdt + Ww\\l2(o,T-,wim + \К\\12(о) < (18)

i=1Q

R g x, t N x, у

aij (x), i,j= 1,... ,n, a(x), а также областью ft и числами Tue.

Из оценок (16)-(18) очевидным образом следует, что для решений w(x,t) краевой задачи (\'Е ), (2), (3), (4') выполняется третья априорная оценка

J(D2tpwf dxdt < R4 (19)

Q

с постоянной R4, вновь определяемой функциями g(x, t), N (x, у), aij (x) i, j , . . . , n a x T e

Оценки (16)-(19) означают, что для решений w(x, t) задачи (1^ ), (2), (3), (4') выполняется равномерная по р оценка

\\w\v < Щ.

Как говорилось выше, из этой оценки и теоремы о методе продолжения по параметру [13] следует, что задача (Ц), (2), (3), (4') при фиксированном e разрешима в пространстве V.

Покажем, что для решений ш(х, задачи (Ц), (2), (3), (4') при выполнении дополнительного условия дг(х,~Ь) € ^(О) будут выполняться априорные оценки, равномерные по е.

Прежде всего заметим, что для решений ш(х, задачи (1^), (2), (3), (4') имеет место оценка

J ш2 <х<И + ^^ J ш2х. ¿хгМ + J (Р^шУ ¿хгМ + е ^^ J wX¿í Я ®=1 Я Я ®=1 я

+ + ±1 ^Т)**¡^.ПГ¿х , Л (Ш')

п

с постоянной Д5, определяемой функциями д(х, N (х, у), аг^ (х), ъ, 3 = 1,..., п, а также областью П и числом Т. Рассмотрим равенство

— ^ (Ао — 1)(Ьш — еАшг)Ашг Я

= — J(Ао — Ь)дАш1 <1х<М — ^(Ао — (х, и)Ашг <1х<И,

ЯЯ

где и = М—ш. Интегрируя по частям как слева, так и справа, нетрудно отсюда получить

2р — 1

J + а(_0^и>)"] с1х<М + — J(Ада)2 с1х<М

Я Я

- £ I(А0-г)(Аъиг)2 сЬ& + Л° ~ Т ^{а^ ВрюХг(х,Т)ВрюХ](х,Т) Я V

+ а\ррш(х, Т)]" + [Аш(х, Т)]2 } <х = J[(Ао — Ь)д]гАш ¿х<1

Я

— (Ао — Т) J д{х,Т)Аш(х,Т) <х + J (Ао — Аш <х<И

п Я

— ^ ф1 (х, и)Аш <х& — (А0 — Т) ^ $1 (х, и(х, Т))Аш(х, Т) 3,х. (20)

Поскольку выполняются включения д(х, Ь) £ ¿(О), дДх,Ь) £ первое и второе слагаемые правой части данного равенства являются подчиненными по отношению к соответствующим слагаемым с (Ада)2 и [Ада(ж, Т)]2 левой части вследствие неравенства Юнга. Далее, также подчиненными, причем тем же самым слагаемым левой части, будут последнее и предпоследнее слагаемые правой части (21) вследствие неравенства Юнга, оценки (16') и утверждения 1. Наконец, третье слагаемое правой части (20) можно оценить с помощью неравенства Юнга, неравенств утверждения 1, (11) и (15). Суммируя и используя условия (12)—(14), получим следующую оценку решений и(х, Ь) задачи (1^), '

^Г J(DfwXi f dxdt + J (Aw)2 dxdt + е J(Awt)2 dxdt < R, (21) i=1 Q Q Q

где постоянная R определяется функциями g(x, t), Ni(x,y), aj(x), i,j = l,...,n,H a(x), а также областью П и числом T.

Из (16') и (21) вытекает очевидная оценка для производной Dtpw:

ИЧ^) < ^ (22)

в которой постоянная R определяется функциями g(x,t), N(x, y),

a

(x), i,j= 1,..., n, и a(x), а также областью О и числом T.

'

пизации процедуры предельного перехода в семействе задач (1^), (2), '

флексивности гильбертова пространства, выполнение для предельной '

Итак, при выполнении всех условий теоремы для любой функции д(х,Ь) такой, что д(х,Ь) £ Ь2(О), дг{х,Ь) £ Ь2{0), задача (1'), (2), (3), (4') имеет решение ю(х,Ь), принадлежащее пространству О).

Выберем функцию д(х,Ь) специальным образом: д(х, Ь) = (МЯ(х,<). Заметим, что если для функции /(х,Ь) выполняются включения /(х,Ь) £ ¿2(0)5 /«(х,Ь) £ Ь2(О), то вследствие условия (А1) такие же включения будут выполняться и для функции д(х, Ь). Пусть ад(х, Ь) — решение задачи (1'), (2), (3), (4') именно с такой функцией д(х, Ь). Тогда для

функции u(x, t), равной M— w, и для функции f{x,t) выполняется равенство

Mx{Lu - /) =0.

Условие (Ai) и это равенство потачают, что функция u(x,t) является решением уравнения (1).

Принадлежность функции u(x, t) пространству Xp(Q) следует

w x, t

условия (Ai). Выполнение для функции u(x,t) условий (2)—(4) очевид-

u x, t

краевой задачи I.

Единственность решений вытекает из оценки (16), поскольку эта оценка справедлива и в случае е = 0 и при /(x,t) = 0 выполняется g(x,t) = 0 и R = 0. Теорема доказана.

Перейдем к анализу разрешимости краевой задачи II. Положим

N2(x,y) = AxN2(x,y) - a(y)N2(x,y).

Утверждение 2. Пусть выполняются условия (A2), (7), а также

Ni (х,у) £ С3 (П х П). (6')

Тогда для любой функции v(x) из пространства Wf (Л), удовлетворяющей условию (5), выполняется оценка

n

11*2 (x,v)\\l2{a) < c, \\M2v\\l(fi) + || (M2v) xi\\l2(Q),

i=l

постоянные С и С в которой определяются функциями N (x, y), aij (x), i,j = l,...,n,n a(x).

Доказательство. Имеет место равенство

$2 (x,v) = J N (x,y)v{y)dy - J alj{ y)N2 x,y)vyj {y) dy Q Q

+ J N2(x, y)^J dsy.

Отсюда с помощью неравенства Гёльдера нетрудно вывести требуемую оценку. Утверждение доказано.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (А2), (6'), (7), (12), (13), а также условие

ЗА0 > 0330 > 0 : А0 > Т, 2р > 1 + ^Т2(р—), а0^ > 3,А2. (14')

Тогда для любой функции /(х,Ь) такой, что /(х,1) € ^(О), /ь{х,Ь) € Ь^О), краевая задача II разрешима в пространстве Ш^^р^О), притом единственным образом.

Доказательство. Вновь воспользуемся техникой, основанной на сведении рассматриваемой задачи к вспомогательной задаче для функции ш = Ми. Именно, рассмотрим задачу: найти функцию ш{х,Ь), являющуюся в цилиндре О решением уравнения

Ьш = д(х,г)+ Ф2(х, М— ш), (1'')

где д(х,Ь) — заданная функция, н такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также условие

ди

= 0. (5')

( х,г) еБ

Разрешимость задачи (1''), (2), (3), (5') в пространстве Ш^О) устанавливается практически дословным повторением рассуждений, с помощью которых была доказана разрешимость задачи (1'), (2), (3), (4'), с использованием методов регуляризации и продолжения по параметру, доказательством наличия соответствующих априорных оценок, лишь с тем отличием, что неравенство (11) не используется.

В силу разрешимости задачи (1"), (2), (3), (5') разрешимость краевой задачи II вновь устанавливается с помощью специального выбора функции д(х, £) и использования условия (А2). Теорема доказана.

Замечание. Условия (14) и (14') теорем 1 и 2 представляют собой некоторые условия малости. Они заведомо выполняются, если функция Ы\(х,у) достаточно мала (в норме пространства С1^} х Л)), либо Та

ЛИТЕРАТУРА

1. Врагов В. П. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Диф-ференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

2. Врагов В. П. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 5-13.

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР, Вычислительный центр СО АН СССР, 1995.

4. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

5. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. I. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 26. 2007.

6. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 33. 2009.

7. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Самарск. гос. ун-т, 2012.

8. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений // Докл. РАН. 2005. Т. 404,№ 5. С. 589-592.

9. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

10. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Мат. журн. (Казахстан). 2009. Т. 9, № 2. С. 78-92.

11. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-12.

12. Абдрахманов А. М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнения нечетного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 2. С. 163-172.

13. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Уфа, г. Новосибирск

21 октября 2013 г.