Начально-краевая задача с интегральными граничными условиями для одного класса уравнений составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Функциональный анализ и дифференциальные уравнения

УДК 517.956.6

© А.А. Алсыкова

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА1

Исследована разрешимость начально-краевой задачи для уравнения соболевского типа

Lv = Avt + Bv = f

с эллиптическим оператором А и оператором В произвольного типа с интегральным краевым условием.

Ключевые слова: начально-краевая задача, уравнение соболевского типа, априорные оценки, теоремы существования единственного решения.

© A.A. Alsykova

INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH INTEGRAL BOUNDARY CONDITIONS FOR A CLASS OF COMPOSITE TYPE EQUATIONS

Solvability of the initial-boundary value problem for an equation of Sobolev type is researched

Lv = Avtt + Bv = f

with the elliptic operator A and the operator B of arbitrary type with integral boundary condition.

Keywords: initial-boundary value problem, the equation of Sobolev type, a priori estimates, theorems of existence a unique solution.

Пусть Q - ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты, бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q - цилиндр Q х (0, T) конечной высоты T, S = Г х (0, T ) его боковая граница, av (х), b'J (x, t), bl (x, t), (i, j = 1,...,n), a(x), b(x, t), f (x,t), и K(x,y, t) - заданные при x eQ, y eQ, t e[0,T ] функции, A, B и L - операторы, действие которых на функцию v( x, t) определяется равенствами

rs . .

Av =-----(ai (x)vx ) + a(x)v,

^xi i

Bv = bli (x, t)vx x . + bl (x, t)vx + b(x, t)v, i j l Lv = Avtt + Bv

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от i до n).

Краевая задача: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lu = f (x, t) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

u( x,0) = Ut (x,0) = 0, x eQ, (2)

'(xt) |(x,t)eS = QK(xyt)u(y-t)dy l(xt)eS • (3)

и(

а

Краевые задачи с интегральным граничным условием вида (3) прежде всего для параболических и гиперболических уравнений, для (2т +1) -параболических уравнений, ультрапараболических уравнений активно изучаются в последнее время; как наиболее близкие к настоящей работе по постановке и технике отметим работы [1-7]. С другой стороны, уравнение (1) близко по типу к уравнениям составного типа и, в частности, содержит известное уравнение Буссинеска [8], но краевые задачи с граничным условием (3) интегрального вида для таких уравнений ранее не изучались.

Перейдем к содержательной части работы.

1 Работа выполнена при поддержке гранта БГУ-2012

Определим оператор М равенством

(Ми)(х,ґ) = и(х,ґ) - |К(х,у, ґ)и(у, ї)йу,

О

для удобства значение оператора М на функции и(х, ґ) обозначим как w(х,ґ) .

Пусть V есть следующее пространство функций

V = Мх, ґ): v(х, ґ) є 4(0, Т;Ж22(О)), vt (х, ґ) є L2(0, Т;Ж22(О)),

V,(х,ґ) є L2(0,Т;Ж?(О))}, норму в этом пространстве определим естественным образом

11V |ІV =1V1 |!2(0,Г;»22(О))+11 ^ 1 |!2(0,Г;»22(П))+11 ^ 1 |Л2(0,Т;йг?С0)).

Введем обозначение Ф( х, ґ, и) = | К (х, у, ґ )а( у )иґґ (у, ґ )ёу +|К (х, у, ґ) Д уиґґ (у, ґ )^у +

О О

+ | К(х, у, ґ)Буи(у, ґ)ёу -1ЛХК(х, у, ґ)иа (у, ґ)ёу - 21ЛХК (х, у, ґ)и (у, ґ^у -

О О О

| ЛхКґґ (х, у, ґ)и( у, ґ)йу -| ЕХК( х, у, ґ)и( у, ґ)Ду,

а а

где

д .. д ..

А и =-------(ау (х)и ) + а(х)и, А и =-----------(ау (у)и ) + а(у)и,

7 дУ,. 7

д .. .. .

Аоуи =-(а7 (у)иу ), Вхи = Ь (х,г)ихх + Ь (х,г)их + Ь(х,г)и,

у ду( 3 1 х 1

Вуи = Ь. (у, г)ит + Ь (у, г )ыЛ + Ь( у, г )и.

Заметим, что для функции у(х, г) из пространства V, такой, что

v( х,0) = vt (х,0) = 0, (2')

v(х, г) |5 = 0, (3')

имеют место следующие неравенства

| у2 (х, г)ёх <КХ ]Г | у2 (х, г)ёх < Я2 Е |ух2.х. (x, г)dx, (4)

а '= а ',.=!а

в которых постоянные R1 и R2 определяются областью О,

* I

V2(х,ґ) < Т|у?(х,£)4£ < Т2ЦV2 (х, г)ёгё%. (5)

0 0 0

Положим

N (х, у, ґ) = К (х, у, ґ )а( у) - ЛХК (х, у, ґ),

2

Ші = тах І I N (х,у,ґ)dydx,ш2 = тах тах І I [К(х,у,ґ)а}(у)] dydx,

0<ґ<Т 11 і,/=1,...,п 0<ґ<Т 1 1

ОО ОО

Г Г[К(х, у, ґа (у)]2dydx, ш4 = тах тах ГГК2 (х, у, ґ)dydx,

11 у і,/=1,...,п 0<ґ<Т 11 х

ОО ОО

Ш = тах тах К2 (х, у, ґ)dydx.

5 і, /=1,...,п 0<ґ<Т ^ ^ хх

Іс ---- 111X4-/4. 111С4-/Ч- І І IV,, ,,

5 і,/=1,...,п 0 - - ' 1 хіх/

ОО

Утверждение 1. Пусть w(х, г) есть функция из пространства V, для которой выполняются условия (2') и (3'), и(х, г) есть функция М~lw, и пусть выполняются условия

аи (х) е С‘(П), Ь (х, г) е С(П), Ь‘ (х, г) е С (а),., 7 = 1,..., п, а( х) е С (а), Ь( х, г) е С (а), К (х, у, г) е С 3(Пхах [0;Г ]),

Ь01w2(х,ґ)^х <|и2(х,ґ)йх <Ь11w2(х,ґ^х,

ОО

Ь0 > 0, ґ є [0;Т], и(х,ґ) є L2(0,Т;Ж22(О)). (6)

0

О

Тогда справедливо неравенство

IФ2(х, ґ, и^х < k1 ЁІ (у, ґ^у +^ ЁI (у, ґ )dy+

О i,/=1О і=1 О

ґ п ґ Т

+Ь | < (уМу+с2( 11 wТ!т(y,т)dУaТ+Ё| 11 ^у/й( уЛШ&т

',3| гуґЛ^^АУ' 1 2

О 0 О ^/=10 0 О

ґ Т ґ Т

+ Ё111 w2g( у, 4 )dyd£,d Т +111 w2|( у, 4 т ),

і=1 0 0 О 0 0 О

где k1, k2 и k3 есть соответственно величины

2т2(п2 + п)(1 + 52)(1 + 5,2), 2т3(п2 + п)(1 + 52)(1 + 532) и 2Ь1т1(1 + 51)(1 + 52)(1 + 522)[т1 + (п2 + п)(т2т5(2 + 541) +т3т4(2 + 52))], с произвольными сколь угодно малыми положительными числами 51,52, 53 и 54, С2 есть число, определяемое коэффициентами операторов А и В, числами 51, 52, 53, 54, а также функцией К(х,у,г).

Доказательство. Учитывая введенные обозначения и используя неравенства Гельдера и Юнга, нетрудно получить следующее неравенство

|Ф2(х, г,и)йх < (1 + 52)[т11и2а(х, г)ёх +

аа

п п

+ 2т2 (п2 + п) и2 х г (х, г)йх + 2т3 (п2 + п)^ | и2х г (х, г )ёх ] +

., .=1 а '=1 а

[п п ^

ЁКу (у^у+^и2 (у,0ф+|и2(у,0^у+^(у^у ,

г',У=1а г=1 а а а у

где постоянная С1 определяется лишь коэффициентами операторов А и В, а также числом 5 и функцией К (х, у, г).

Имеет место следующее равенство

и{ (х, г) -1К (х, у, г )и( (у, г )ёу = wt (х, г) +1 К( (х, у, г )и( у, г)йу. аа Обозначим через w1(х, г) правую часть данного равенства.

Учитывая условие (6), получаем

| и (х, г)ёх < Ь11 wх (х, г)ёх.

(7)

1

ОО

2

Используя неравенство Гельдера, а также условие (6), оценим w1 (х, ґ) :

( \

12

w12 (х, ґ) =

wt (х, ґ) +1 К( (х, у, ґ )и( у, ґ )dy.

О

< 2wґ2 (х, ґ) + 2| К (х, у, ґ)dy| и 2(у, ґ)dy <

ОО

< 2wґ2 (х, ґ) + 2Ь11К (х, у, ґ)dy|w2(у, ґ)dy.

w

ОО

Отсюда

2

Справедливы равенства

|и (х, {)йх < 2Ь11w2t (у, г)ёу + 2Ь121К (х, у, t)dy|w2 (у, г^у. (8)

а а а а

иа (х, г) -1К (х, у, г )иа (у, г)йу = wtt (х, г) +

а

+ 21 Кг (х, у, г)и (у, г )ёу +1Ки (х, у, г )и( у, г)ёу,

аа

п

иХ1и (x, г) = Wxitt(x, г) + ЕI КЪ (^ У, г)иа (У, г)ёу +

г=1 а

пп

+ 2ЕIКхг(x, y, г )иг(У, г )<яу +ЕI К^г(x, У, г )и( У, г )dУ,

'=1 а г=1 а

п

их. ( x, г) = WxixJtt( x, г) + ЕI ( ^ y, г К(У, г^У +

+

2 ЕI Кх. ( X, У, г )иг( У, г )йУ + ЕI К^х/г( x, У, г )и( У, г )dУ,

^ 7=1а ^ 7=1а

из которых, используя (8), нетрудно получить следующие неравенства:

|и2(х,г^х < Ь1(1 + 522)|wх(х,г^х + d11 |wt2(х,г^х +1w2(х,г^х

а а \а а

пп

£[и2в (x,t)dx < (2+532)Е| wXXtt (x,t)dx+(2+53х)(1+52х)Ь1m41 wXX (x,t)dx+

а

+dх II wх (х, t)dx+1 w2(x, t)dx

\а а у

ЕК.(x,t)dx< (2 +542) Е! wX: х,и (х, t)dx+(2+5,) (1+522 )Ь1 т51 wх (х, г)ях+

(9)

г=1 а

г=1 а

(10)

г=1 а

+d3I I wX(x,t)dx+|w2(x,t)dx

(11)

Здесь d1, d 2 и d3 - постоянные, зависящие от функции К (х, у, г).

Используя полученные оценки (8) - (11) и неравенства (4), (5), продолжим (7)

п

IФ2(х,г,и^х < 2т2(п2 + п)(1 + 512)(2 + 52)Е|wX.y.tt(У,г^у +

а и .=1а

+ 2т3(п2 + п)(1 + 51 )(2 + 532)Ё I w2yltt (у, г Цу

+ 03 )Ё] w„,Д У,г)<яУ +

г=1 а

2 , „Ч/....... /о , 02ч

+ 2Ь1т1(1 + 512)(2 + 522)[т1 + (п2 + п)( т2т5(2 + 542) +

+

+ т3т,(2 + 532))][wх(у, г)аУ + С21 11w*T(y,т)dyd* +

а V 0 а

п г * г *

ЁШ W^У^yjй(У,|)dУd|dт + ЁIII (У, |)dУd|d* + + III ^(y, ^у^*

где постоянная С2 определяется функцией К(х,у,ґ), а также постоянными 51, 32, З3 и 34. Утверждение доказано.

Ниже нам понадобится второе основное неравенство для эллиптических операторов [11]

ЕI^(х *)ёх +ЕI^(x, ґ)ёх - с0 11 ^ ^(О) + С1 11 V ^(О^ (12)

'=1 О ', У=1П

в котором числа с0 и с1 определяются лишь оператором А и областью О .

Теорема 1. Пусть выполняются условия

а(х) є С1 (О), ау(х) = ау(х), і,у = 1,...,", х є О, К(х,у,ґ) є С3(ОхОх[0;Т]), ау(х)Е,£ > k0| Е |2, k0 > 0, а(х) - -а0 < 0, Е є Я", х є О, (13)

Ь01 w2(х, ґ) ёх - |и2(х, ґ) ёх - Ь11 w2(х,ґ) ёх, Ь0 > 0,

п п

т2

^2 (°,^ ; " 2

ґ є [0;Т], и(х, ґ) є £2(0,Т; Ж22(О)) (w = Ми), (14)

1 1

+— < шт

2а0 2

0

V 4к1С0 к2 4к3 У

(15)

Тогда краевая задача (1)-(3) имеет решение и(х, г), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Пусть g(х, г) есть произвольная функция из пространства Lх(Q). Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х, г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lw = £(х, г) + Ф(х, г, и), w = Ми, (16)

удовлетворяющую условиям

Н х 01( х,г е = 0 (17)

w( х,0) = wt (х,0) = 0, х е а. (18)

Уравнение (16) представляет собой уравнение "составного типа" относительно функции и(х, г) -его старшая часть представлена в виде суперпозиции двух операторов различных типов. С другой стороны, вследствие взаимной однозначности оператора М , вытекающей из условия (14), уравнение

(16) можно рассматривать как уравнение относительно функции w( х, г)

Lw = £ (х, г) + Ф( х, г, М-V). (19)

Найдя решение w(х, г) данной задачи, т.е. задачи (16) - (18), вновь вследствие взаимной однозначности оператора М , мы сможем найти и собственно функцию и(х, г) .

Пусть X есть число из отрезка [0, 1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и(х, г), являющуюся в цилиндре Q решением краевой задачи

Lw = £( х, г) + ХФ( х, г, и), (162)

и удовлетворяющую условиям (17), (18).

Обозначим для краткости:

F (х, г) = £ (х, г) + ХФ( х, г, и).

Обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для которых краевая задача (16х),

(17), (18) имеет решение w(х, г), принадлежащее пространству V для любой функции £(х, г)из Lх(Q) . Известно [9], что если множество Л не пусто, открыто и замкнуто, то оно совпадает со всем отрезком [0, 1].

Непустота множества Л следует из того, что задача (16)), (17), (18) разрешима в пространстве V [10].

Открытость и замкнутость Л следуют из априорной оценки [9]

11 w V < К.

Установим ее наличие.

Умножим уравнение (16х), записанное в переменных х и т , на функцию - wт(х,т), результат

проинтегрируем по области О и по переменной т в пределах от 0 до г :

г г г

-Awттwтdxdг =|| Bwwтdxdт - // Fwтdxdг.

0а 0а 0а

Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, а также условия (14) и (15), нетрудно получить следующее неравенство

к

П ( 1

0 Е/ w2г (х, г)dx +а01 wt2(х, г)ёх < Р11 // wT(x,т)dxdт + 1=1 а

0а

Л

32 г

+ + 3— //ф 2( х,т, u)dxdт, (20)

2

0а

+ Е// w2х (x,т)dxdт + / / £2(x,т)dxdт

^ 1=1 0 а 0 а

где число 31 - произвольное положительное число, Р1 есть число, определяющееся коэффициентами оператора В, а также областью О и числом 31.

Далее, умножим уравнение (16х), записанное в переменных х и т , на функцию - wтт(х,т), результат проинтегрируем по области О и по переменной т в пределах от 0 до г :

г г г

- // Awттwтtdxdг = // Bwwттdxdт - // Fwrтdxdг.

0а 0а 0а

Интегрируя по частям и оценивая правую сверху, используя неравенства (4), (5), неравенство Юнга, условия (13), (14), получаем следующую оценку

кп

ЕЯwXтт(x,т)dxdт + — //wT(x,т)dxdт <322//w'1тт(x,т)dxdт +

1=1 0 О

0а

0а

( П г г ^ 1 г

Р21 ЕЯ w2X (x,т)dxdт +ГГ £ 2( x,т)dxdт +-----------/ / Ф 2( х,т, u)dxdт. (21)

хх>*-. +// £ (х,

ч 1,;=10 а 0 а у ”0 0 а

Теперь для получения оценок умножим уравнение (16х), записанное в переменных х и т , на Awт и затем на Awтт, интегрируя и используя неравенство Юнга, имеем

( 1 Л г

/(Awt (х, г))2 dx < 1 +—^ |//(а^( х,т))2 dxdт +

а V 31 У 0 а

[г г Л г

Я w2x■x■ (x,т)dxdт + // £ 2( x,т)dxdт + 312//ф 2( х,т, u)dxdт, (22)

0а

1 г г

— //(Awтт(х, т))2дхйт < 322//(Awтт(х,т))2дхйт

2 0 О 0 О

( п г г Л 1 г

+ Р21 Е//w2 х. (x,т)dxdт +//g2(x,т)dxdт +— //ф2(х,т, u)dxdт. (23)

у 2 0 О

+л £“(х,

0а

■ +

х^. . . +11 ^ ( X

V^>=10 а 0 а

Здесь 32 - произвольное положительное число, числа Р2 и Р3 определяются аналогично числу Р1. Зафиксируем 32

1 ап

32 = тт|-:-°

Г 2

Тогда из (20) - (23) вытекает неравенство

п п ґ

к0ЕIw2x■ ґ(х,ґ)ёх +а01w2t (х,ґ)ёх + к0ЕII(х,т)ёхёт

+

О

ґ

+00 11 «т

4 11 т

0О

ґ

- Р4 І I1«

0О

11

+ 1 Н “

V 8 у

О

'= 0 О ґ

11(х, т)ёхёт +1 (Awґ (х, ґ))2 ёх + — 11 (Awгт(х, т))2 ёхёт -

0О

Р41{{ (х,т)ёхёт + Е {{ w2XixJ (х,т)ёхёт + 11 g 2( х,т)ёхёт

',у=1 0 О

0 О

+

1 +—12 [[{(Awт (х, т))2 ёхёт

(їх2

+

0 О

8+±+1111*

2 2а 2

0О

Полученное неравенство можно продолжить, используя утверждение 1

+

кп Е | ґ (х, ґ )ёх +а01 wx (х, ґ )ёх + к0 Е || (х,т)ёхёт +

'=! О О '=! 0 О

ґ 1 ґ

11 «Іт (х, т)ёхёт +1 (AWґ (х, ґ))2 ёх + — 11 (AWтт (х, т))2 ёхёт -

0 О О 4 0 О

' ґ п ґ ґ I

Р4 |Л «1( х,т)ёхёт + wx. х. (х,т)ёхёт + 11 g 2( х,т)ёхёт

0 о у

п ґ

1 ЕЯ «2,, тт( у,т)ёуёт

',у=!0 О ґ

Е11 М'2утт(У,т)ёУёг + к II «ТТ( у,т)^у^т + к4 II «т2(у,Т)ёуёТ +

0 / , j ""х^'

'=! О

+ 00

- р II I «(х.

„0 О

1 I

1+8 Ц^^т))2 ёхё

V 1 У0 О

+

'=1 0 О

0 О

0О

ґ І п ґ 2

2

+ к5 Ц «2(у,т)ёуёт + С2 I ЕШ«ЯУу«(У,Е)ёУёЕёт

V ^ у=' 0 0 О

+

0О

ґ 2

ґ 2

\

+ Е///w2y^^( У,E)dyd£,dт+/// w2|( y,E)dyd£,dт . (24)

1=1 0 0 О 0 0 О У_

Число Р4 определяется числами Р2 и Р3. Уменьшим число 31 так, чтобы выполнялись неравенст-

ва

38, 1 1

Л

- +---------1----

2 2а0 2у

к^3 > 0, к — к2

^38 1 О

—^ +----------+_

2 2а0 2 у

> 0,

о.?2

4

382 1 1

-------1--------1---

2 2а 2

Л

к1с0 > 0

(25)

(это возможно в силу условия (15)).

Отсюда и из неравенства (12) следует, что (24) можно привести к виду

к

п

0 ЕI ґ (х, ґ )ёх +а01 «ґ (х, ґ )ёх +

'=! О

V V

382 1 1

-------1--------1---

2 2а 2

к3 І II«22(х,т)ёхйт + +!^«ґ(х,ґ))2ёх+1 ІI(Aw22(x,т))2ёхёт

0 2У У 0 О О 4

ґ

Р41 II«2(х,т)ёхёт + ЕЦ(х,т)ёхёт + 11 g 2( х,т)ёхёт

-

0О

+

а

0

4

1

+

^ 1 Л 1 (3Я2 1 1 Л 1

1+^2 //(ЛнДхт))2dxdг^—^- +-—+ — k1с0 //(Амт.т(х,т))2 dxdг ++

0

V “1 /0 о V _ 0 0 о

(35—2 10 -

1 +-+ —

л л л | ^2 ^0 1 ^0

2 2а0 2 У

V 0 У 0 о

В результате, учитывая неравенство (25), получим

1 к 2 - М С0 //(х,т))2 dxdт.

к0 ЁI WX■ 1 (х, 1 )dX +а01 н] ( х, t х +а1 / / н^т (х, т)dxdт +

г'=1 о о 0 о

1 (1 +1(Ан1 (х, 1))2dx + а2И(Антт(х,т))2dxdт <Р4I / /(x,т)dxdт

'=1 о о 0 о

1 /" 1

2, , (А,1М млыт<1Л1 , Iн^(x,т)dxdт +

о 0 о V 0 о

п 1 1 'А ( 1 Л1

и/ н2х (x,т)dxdт + //ё2(x,т)dxdт 1 + 1 1 +—- I//(Ант(х,т))2dxdт.

11 V 31 У 0 о

', 1=10 о 0 о У

Имеет место представление

т 4

х1х1 (X т) =/ (^ =//(х,п¥¥4.

= , нхх4(х,4Ж =11 ^

0 0 0

Из этого равенства, вновь из второго основного неравенства для эллиптических операторов и леммы Гронуолла, следует оценка

1

/(Ан1 (х, 1))2dx + //(Антт(х,т))2dxdт <К0 . о 0 о

Эта оценка и дает требуемую оценку

II н \\у< К

Как уже говорилось выше, этого достаточно для разрешимости краевой задачи (16) - (18). Возьмем функцию ё (х, 1) специальным образом: ё (х, 1) = М/ (х, 1). Имеем

1Ми = М/ + Ф

или

М(Ьи - /) = 0. .

В силу взаимной однозначности оператора М отсюда следует

Ьи = /.

Выполнение условий (2) и (3) для функции и( х, 1) очевидно. Единственность решений также очевидна.

Теорема доказана.

Приведем еще один вариант теоремы о разрешимости задачи (1) - (3).

Теорема 2. Пусть выполняются условия (13) и (14) теоремы 1, и пусть также выполняется условие

интегральное уравнение

у( х, 1) = Л/ К (х, у, 1 ^(у, 1)а|у + (р( х, 1) (14')

о

однозначно разрешимо в пространстве Ь2^) для всех 1 из отрезка [0,Т] и для всех Л из отрезка [0; 1], и при этом для всех Л из отрезка [0; 1] выполняется неравенство

11 V ^2®) < ^1 11 ^^2®)

с некоторым фиксированным числом Я1. Тогда краевая задача (1) - (3) имеет решение и(х, 1), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть Л есть число из отрезка [0; 1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти решение урав-

нения (1), для которого выполняются условия (2), а также условие

и(x,01(= Л{к(хУ,^У?ОФ 1;^е . (3л)

□

Обозначим через Л множество тех чисел Л , для которых краевая задача (1), (2), (3Л) разрешима в пространстве V для произвольной функции f (х, t) из пространства L2(Q) . Если будет доказано, что множество Л не пусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем отрезком [0,1] [9].

Непустота Л очевидна, т.к. число 0 принадлежит ему. Покажем, что множество Л будет открытым. Пусть Л есть число из множества Л. Покажем, что при малых | Л | число Л0 + Л также будет принадлежать Л.

Определим множество V :

У0 = (у(х, t): у(х, t) е V, у(х,0) = 0, vt (х,0) = 0 при х е □}.

Очевидно, что множество V0 есть подпространство пространства V .

Пусть у(х, t) есть произвольная функция из пространства V0. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, t) являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1), такую, что для нее выполняются условия (2), а также условие

и(х 0 = Л | К(х У, |(x,t)еS +Л{ У, t)v(У,t)dУ |(x,t)еS . (3Л. )

□ □

Покажем, что эта задача разрешима в пространстве V .

Пусть у0 (х, ^ есть функция, являющаяся решением интегрального уравнения

V (х, t) - Л, |К(х, У, t)Vo (У, ^У = к(х, У, t)v(У, ^ёу. (26)

□ □

Заметим, что функция у0(х, t) определена корректно, она будет принадлежать пространству V, и при этом будут выполняться равенства у0(х,0) = 0, v0t (х,0) = 0 (вследствие условий (13) и (14'), а также равенств v(х,0) = 0, vt(х,0) = 0). Положим

w = (х, t) = и(х, t) - и0(х, t), f (х, t) = f (х, t) - IV0(х, t) .

Имеют место равенства

Lw = (х, t), (х,t) е Q, w(х,0) = wt(х,0) = 0, х е □,

^t) |(x,t)еS = Л1к(х У, t)w(У, ^ёУ1 (x,t)еS .

□

Эти равенства представляют собой краевую задачу (1), (2), (3Л 0); поскольку функция f (х, t) принадлежит пространству L2 ^) и поскольку число Л0 принадлежит множеству Л, то данная краевая задача разрешима в пространстве У0. Возвращаясь к функции и(х,t), получим, что краевая задача (1), (2), (3^ v) имеет решение и(х^), принадлежащее пространству V0. Другими словами, данная краевая задача порождает оператор G , переводящий пространство У0 в себя: G(v) = и . Покажем, что при малой величине | Л | у оператора G имеются неподвижные точки.

Пусть ^(х, t) и v2(х, t) есть произвольные функции из пространства V0.

Положим и1 = С(^), и2 = 0^2), и = и1 - и2, v = v1 - v2. Имеют место равенства

Lu = f (х, t), и(х,0) = и((х,0) = 0, х е □, и(х, t) |(хД)еs -Л01К(х, у, t)u(у, ^ = Л |К(х, у, t)v(y, ^ёУ.

□□

Перейдем к функции w(х^). Имеем

Lw(х, t) = -^0 (х, t), w(х,0) = wt (х,0) = 0, х е □.

Справедливо неравенство

Мк — (27)

в котором число Я0 определяется коэффициентами операторов А и В, а также областью О и числом Т (доказательство теоремы 1).

Оценим || Lv0 ||Ь(д) . Имеем

V) (X, ^ -А |К(х, у, t)v0 (у, г)йу = Х|К(х, у, ^(у, г)йу. (28)

О О

Из условия (14') и уравнения (26) следует справедливость оценки

11 Vо \\ь2(£) —1 А 1 Я2 ^ v Уь2(д) .

Переходя от уравнения (28) к уравнению для производных v0t (х, t), v0x (х, t), V, (х, t) и т.д., полу-

чим, что аналогичные оценки справедливы и для производных. Отсюда следует, что имеет место неравенство

К||г —|Х|Лз|М|„ . (29)

Постоянная Я3 в этом неравенстве определяется числом Я1, а также коэффициентами операторов А и В, областью О и числом Т .

Неравенства (27) и (29) дают оценку

|М|Ко —|Х|ЯоМ|г. (30)

Если теперь число А настолько мало, что выполняется неравенство | А | Я, < 1, то оператор G будет сжимающим.

Как известно, сжимающий оператор имеет единственную неподвижную точку. Другими словами, существует функция и(х,t), принадлежащая пространству V) и такая, что G(u) = и. Очевидно, что для функции и( х, t) выполняются равенства

Ьи = f (х, t), и(х,0) = и (х,0) = 0, х е О,

u(x, t) |(x,t)еS = (Х0 + А){K(x,У,t)u(У,^У | (х^ )еS.

О

Другими словами, функция и(х, t) является решением краевой задачи (1), (2), (3А +^~), принадлежащим пространству V . А это и означает, что число А0 + А при выполнении указанного выше нера-

венства | А | Я0 < 1, будет принадлежать множеству Л, и далее - что множество Л открыто.

Докажем, что множество Л замкнуто.

Пусть {Ат } есть последовательность точек из множества Л такая, что Ат ^ Аэ при т ^ да. Покажем, что число А0 также принадлежит Л .

Поскольку каждое число Ат принадлежит Л , то существует функция ит (х, t), принадлежащая пространству V и являющаяся решением задачи (1), (2), (3А ). Обозначим

™тк (х, 0 = ит (х, t) - ик (х, t). Для функций wmk (х, t) имеют место равенства

Ь™тк = 0 Wmk (х,0) = Wmkt(х,0) = 0, х е О,

М’тк(X, t) и^ = Ат|К(Х У, t)wтк(У, ОФ |(x,t)еS +(Ат - Ак )|К(Х У, ^Пк (У, ОФ |(x,t)еS .Повторяя доказательст-

ОО

во неравенства (30), получим оценку

|| Wmk ||V — Я0 | Ат - Ак | .

Отсюда следует, что последовательность {ит (х, ^} будет фундаментальной в пространстве V. Следовательно, существует функция и(х,t), принадлежащая пространству V и являющаяся пределом последовательности {ит (х, ^}. Для предельной функции и( х, t) будут выполняться уравнение (1), условие (2), а также условие (3а ). А это означает, что число А0 будет принадлежать множеству Л .

128

Принадлежность множеству Л любой его предельной точки и означает, что Л - замкнуто. Итак, множество Л не пусто, открыто и замкнуто. Как уже говорилось выше, множество Л будет совпадать со всем отрезком [0; 1]. А это означает, что краевая задача (1) - (3) разрешима в пространстве V . Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в теореме 1 требуется однозначная разрешимость интегрального урав-

Q

лишь при X = 1, а в теореме 2 - при всех X из отрезка [0; 1], но при этом в первой теореме требуются условия малости (15), во второй таких условий нет.

Литература

1. Пулькина Л.С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. - С. 231 - 239.

2. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического

уравнения на плоскости // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск:

ИМ СО РАН, 2007. - С. 232 - 236.

3. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений // ДАН. 2005. - Т.404. - №5. - С.589 - 592.

4. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения.

- 2006. - Т.42. - №9. - С. 1166 - 1179.

5. Абдрахманов А.М., Кожанов А.И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №5. - С. 3 - 12.

6. Абдрахманов А.М. О разрешимости краевой задачи с интегро-дифференциальным граничным условием для некоторых классов уравнений составного типа // Мат. заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 18. -Вып. 2. - С. 3 - 10.

7. Лукина Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для ультрапараболиче-ских уравнений // Мат. заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 18. - Вып. 2. - С. 113 - 127.

8. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. - Новосибирск: Научная книга, 1998. - 456 с.

9. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.

10. Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. - Баку: Элм, 1985.

11. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973.

Алсыкова Аюна Андреевна, аспирант кафедры математического анализа и методики преподавания математики Бурятского государственного университета, e-mail: 888552@mail.ru

Alsykova Ayuna Andreevna, postgraduate student, department of mathematical analysis and teaching methodology of mathematics, Buryat State University, e-mail: 888552@mail.ru

нения