О расщеплении идемпотентов в предтриангулированных категориях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 1

О РАСЩЕПЛЕНИИ ИДЕМПОТЕНТОВ В ПРЕДТРИАНГУЛИРОВАННЫХ КАТЕГОРИЯХ*

А. И. Генералов

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, general@pdmi.ras.ru

Посвящается 60-летию замечательного математика Николая Александровича Вавилова

В настоящей заметке мы распространяем основную теорему статьи [1] на пред-триангулированные категории. А именно, справедлив следующий результат.

Теорема 1. Пусть V — предтриангулированная категория, и пусть (До, V0) — ограниченная ¿-структура на V. Тогда любой идемпотентный эндоморфизм в V расщепляется.

Напомним определения некоторых из используемых понятий. Аддитивная категория V с функтором сдвига Т = [1] и набором Т Т-последовательностей называется предтриангулированной, если удовлетворяются аксиомы ТШ-ТИЗ (в обозначениях из [2-4]), т.е. в V, возможно, не выполняется аксиома октаэдра ТИ4. Т-последовательности из Т называются треугольниками. Для краткости предтри-ангулированную категорию называем Р-категорией.

Основной пункт нашего доказательства теоремы 1 — это наблюдение того, что в доказательстве из [1] можно избежать использование аксиомы октаэдра.

Пусть С — аддитивная категория, е: X ^ X — идемпотентный эндоморфизм (= идемпотент) в категории С. Говорим, что е расщепляется, если существуют мор-физмы и,у в С такие, что е = уи и иу = (для некоторого У).

Факт 1. Рассмотрим морфизм треугольников в Р-категории V

X

X

-► У -► Z

еу еЕ

У -► £

в которой ех, еу, е2 — идемпотенты. Если ех и еу расщепляются, то и е2 расщепляется.

Этот факт доказан в [1, предложение 2.3], поскольку, как отмечают сами авторы, в соответствующем доказательстве не используется аксиома ТИ4.

Ь-структура на Р-категории V задаётся парой строго полных подкатегорий (До, V0}, удовлетворяющих аксиомам (И)-(13) (мы используем обозначения из [5]). При этом для ¿-структуры (^0, V0) удобно ввести (строго полные) подкатегории Vn = V0[—n], Vп = V0[-n] (п еТ).

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00635). © А.И.Генералов, 2013

Пусть B — полная подкатегория аддитивной категории C. Полную подкатегорию в C, определяемую классом объектов {X G C | Home (B,X) = 0} (соответственно {X G C I Home(X, B) = 0}), обозначим через BЛ (соответственно через Лб).

Факт 2. Пусть {Do, Do) — t-структура на P-категории D. Тогда Dn+1 = (Dn, Dn = ^(Dn+1 ). В частности, подкатегории Dm и Dm, m G Ж, замкнуты относительно расширений.

См. [5, предложение 3.3].

Факт 3. Пусть (Do, Do) — t -структура на P-категории D, A := Do П D — сердцевина этой t-структуры. Тогда A — абелева категория.

Этот факт доказан в [5, теорема 3.6].

Замечание 1. На самом деле, в [5], кроме фактов, связанных с понятием t-структуры, на случай предтриангулированных категорий распространена теория локализации Вердье [2, 3], а также некоторые результаты из «теории склейки» ( «recollement») (см. [6]).

Факт 4. Пусть (Do, Do — t -структура на P-категории D. Тогда:

а) для любого n G Ж функтор вложения i : Dn ^ D имеет правый сопряжённый функтор Tn : D^Dri;

б) для любого n G Ж функтор вложения i : Dn ^ D имеет левый сопряжённый функтор tn : D ^ Dn ;

в) для любого X GD и любого n G Z существует треугольник вида

TnX ^ X ^ Tn+1 X ^ .

См. [5, предложение 3.1].

Факт 5. Пусть (Do, Do — t -структура на P-категории D, и пусть m ^ n (m, n G Ж). Тогда для любого X GD имеется изоморфизм TmTnX ^ TnTmX.

См. [5, предложение 3.5].

Факт 6. Пусть (Do, Do — t -структура на P-категории D, и пусть m ^ n (m, n G Ж). Тогда Tn(Dm) cDm П Dn, Tm(Dn) cDn П Dm.

Доказательство. Пусть X G Dm. Ввиду [5, следствие 3.3.2] X ~ TmX, следовательно, TnX ~ TnTmX ~ Tm(TnX) G Dm, и, таким образом, Tn(Dm) G Dn П Dm. Второе включение доказывается аналогично. □

t-структура (Do, Do) называется ограниченной, если для любого объекта X gD существуют m,n G Ж такие, что m ^ n и X G Dn П Dm. Легко видеть, что ограниченная t-структура невырождена, т. е. р|n£Z Dn = {0} и р|n£Z Dn = {0} (см. [1]).

Далее мы всегда предполагаем, что (Do, Do) —ограниченная t-структура на P-категории D. Для ненулевого объекта X gD мы, следуя [1], определим

b(X) := max{n G Z | X G Dn}, t(X) := min{n G Z | X G Dn}.

Шириной (ненулевого) объекта X назовём w(X) := t(X) — b(X) +1. Ясно, что ширина w(X ) определена корректно и w(X ) ^ 1.

Доказательство теоремы 1. Для удобства читателя мы здесь воспроизведём с небольшими изменениями рассуждения из завершающей части доказательства основной теоремы работы [1]. Пусть X —ненулевой объект в V, е: X ^ X — идемпотент в V. Индукцией по ) мы докажем, что е расщепляется. Пусть А = Vо ПV0 — сердцевина данной ¿-структуры ^0, V0). Если ) = 1, то X е А[-г], где г = X) = Ь(X). Так как А абелева (см. факт 3), то и А—%] абелева, а тогда, очевидно, е расщепляется. Сделаем индуктивное предположение, что наше утверждение справедливо для всех объектов У с т(У) ^ п, и предположим, что ) = п +1. Пусть Ь(X) = т; тогда ¿(X) = т + п. Из факта 6 вытекает, что тт(X) е Vm П Vт = А—т]; при этом тт(X) = 0 (иначе ввиду факта 4,в) X ^ тт+1 (X), что невозможно). Так как тт+1 (X) е Vm+1, то Ь(тm+1(X)) > т +1, и тогда )) < п. С использованием

факта 4 строится следующий морфизм треугольников

г(Х )

Tm(e)

г(Х )

X

X

m+1

т m+1(e)

_V тm+1

(X)

(X)

e

Здесь тт(е), тт+1 (е) —идемпотенты, и по индуктивному предположению они расщепляются. Используя факт 1 (в сочетании с аксиомой ТИ2), получаем, что е расщепляется. □

Литература

1. Le J., Chen X.-W. Karoubianness of a triangulated category //J. Algebra. Vol.310. 2007, N 1. P. 452-457.

2. Verdier J.-L. Categories derivees // Lect. Notes Math. Vol.569. 1977. P. 262-311.

3. Verdier J.-L. Des categories derivees des categories abeliennes // Asterisque. Vol.239. 1996.

4. Гельфанд С. И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. Т. I. М.: Наука, 1988.

5. Генералов А. И. Локализация предтриангулированных категорий // Алгебра и анализ. Т. 11. 1999. №3. C. 20-52.

6. Beilinson A. A., Bernstein J., Deligne P. Faisceaux pervers // Asterisque. Vol.100. 1982. Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.