О прямых разложениях смешанных абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПРЯМЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ СМЕШАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

А. В. Яковлев

С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, yakovlev.anatoly@gmail.com

Все группы в этой работе — абелевы, поэтому мы обычно это не упоминаем. Для группы A через t(A) мы обозначаем подгруппу кручения группы A, т. е. множество всех ее периодических элементов, а через tp(A) — p-компоненту группы t(A) (p — простое число). Множество всех простых чисел мы обозначаем через P.

Если t(A) —конечная группа, то группа A раскладывается в прямую сумму группы без кручения A/t(A) и конечной группы t(A), так что изучение таких групп полностью сводится к изучению групп без кручения и конечных групп. Однако это уже не так, если p-компоненты группы t(A) отличны от 0 для бесконечного множества простых чисел p или если хотя бы одна p-компонента неограничена (подробнее об этом сказано в [1], главы IX, XIV).

Пусть Ab — категория всех абелевых групп; наряду с этой категорией мы будем рассматривать категорию M с теми же объектами и с группами гомоморфизмов, определенными по правилу: для любых абелевых групп A, B группа морфизмов в категории M из группы A в группу B равна факторгруппе группы Hom(A, B) обычных гомоморфизмов по подгруппе Hom(A, t(B)), состоящей из всех тех гомоморфизмов, образы которых содержатся в t(B). Мы будем обозначать через P : Ab ^ M функтор, сопоставляющий каждой абелевой группе ту же группу, рассматриваемую как объект категории M.

Пусть Abo —полная подкатегория Ab, состоящая из таких групп A, что все компоненты tp(A) группы кручения t(A) конечны, а группа без кручения t(A) имеет конечный ранг. В работе [2] было показано, что полная подкатегория Mo категории M, состоящая из групп, принадлежащих Abo, достаточно хорошо приближает саму категорию Abo, но в определенном смысле проще. Именно, было доказано, что выполняются следующие утверждения.

(1) Группы A, B из категории Abo изоморфны в категории M тогда и только тогда, когда они эквивалентны в следующем смысле: существует группа C и периодические группы U, V, такие что A ^ C ® U, B ^ C ® V.

(2) Для любых групп A, B из категории Abo группа гомоморфизмов Нотм(A, B) — группа без кручения конечного ранга.

(3) Если A — группа из категории Abo, а а — идемпотентный эндоморфизм P(A), то существует идемпотентный эндоморфизм е самой группы A, такой что

P (е) = а.

Замечание 1. Утверждение (3) показывает, что прямые разложения в категориях Abo и Mo по существу одинаковы. Оно было доказано в [2], несмотря на приведенную там неверную формулировку. Как было отмечено в [2], утверждение (2)

© А.В.Яковлев, 2010

позволяет использовать для исследования смешанных групп из Abo ту же технику, которая для абелевых групп конечного ранга без кручения была развита в [3].

Цель настоящей работы — распространить эти результаты с категории Abo на гораздо более широкую категорию Abi, которая будет описана ниже.

1. Категория M

Оказывается, сформулированные выше утверждения (1) и (2) без труда переносятся на всю категорию абелевых групп. Правда, в утверждении (1) приходится немного ослабить условие эквивалентности. Напомним, что группа A называется смешанной, если A/t(A) и t(A) —ненулевые группы. Всякая смешанная группа разложима; например, всякое конечное прямое слагаемое группы кручения выделяется прямым слагаемым во всей группе. Смешанные группы, отличающиеся друг от друга периодическими прямыми слагаемыми, достаточно близки друг к другу — почти любой содержательный результат об одной из них немедленно переносится на другую, быть может, с некоторыми оговорками. Поэтому представляется естественным не различать такие группы. Точнее говоря, мы будем считать две группы Ai, A2 эквивалентными, если существуют такие периодические группы T1, T2, что прямые суммы Ai ® T1 и A2 © T2 изоморфны.

Теорема 1. Абелевы группы A, B изоморфны в категории M тогда и только тогда, когда они эквивалентны, т. е. когда существуют такие периодические группы T, U, что прямые суммы A © U, B © T изоморфны в категории всех абелевых групп Ab.

Доказательство. Достаточность условия очевидна; докажем необходимость. Изоморфизм групп A и B в категории M означает существование таких обычных гомоморфизмов групп а : A ^ B, в : B ^ A, что гомоморфизм ва сравним с тождественным автоморфизмом группы A по модулю Hom(A, t(A)), а гомоморфизм ав сравним с тождественным автоморфизмом группы B по модулю Hom(B,t(B)). Пусть C — подгруппа прямой суммы A © B, состоящая из всех таких элементов a © b (a £ A, b £ B), что а(а) — b £ t(B); тогда и

в(Ь) — a = (ва(а) — a) — в(а(а) — b) £ t(A) + e(t(B)) С t(A).

Подмножества

A' = {a © а^) | a £ A}, B' = {e(b) © b | b £ B}, U = {0 © u | u £ t(B)}, V = {t © 0 11 £ t(A)}

группы C являются ее подгруппами. Очевидно, группа A' изоморфна группе A, группа B' изоморфна группе B, а группы U и V периодичны. Если a © b £ C, то b — а^) £ t(B) и

a © b = (a © а^)) + (0 © (b — а^))) £ A' + U,

так что C = A' + U. Далее, ясно, что A' П U = 0, и, таким образом, C = A' © U ~ A © U. Точно так же показывается, что C ~ B © V. Значит, группы A и B эквивалентны.

Теорема 2. Для любых абелевых групп A, B группа HomM (A, B) — абелева группа без кручения. Если при этом ранги групп без кручения A/t(A), B/t(B) конечны, то HomM (A, B) — абелева группа без кручения конечного ранга.

Доказательство. Обозначим через

<р : Hom(A, B) ^ Hom(A/t(A), B/t(B))

гомоморфизм, сопоставляющий каждому гомоморфизму а : А ^ В индуцированный им гомоморфизм у>(а) : А/£(А) ^ В/£(В). Ядром этого гомоморфизма является группа Нот(А,£(В)), поэтому

Иошм(А, В) = Нот(А, В)/Нот(А, £(В)) ~ 1т^> С Нот(АД(А),ВД(В)).

Но группа гомоморфизмов из одной группы без кручения в другую группу без кручения тоже не имеет кручения, причем если конечны ранги групп А/£(А), В/£(В), ранг группы гомоморфизмов тоже конечен.

2. Категория ЙЬ>1

Прежде чем дать описание категории АЬх, напомним, что если факторгруппа абелевой группы А по подгруппе ее периодических элементов г(А) имеет конечный ранг п, то факторгруппа А/Ь группы А по любой ее свободной подгруппе Ь ранга п является периодической группой. Кроме того, если Ьх, Ь2 —две свободные подгруппы ранга п группы А, то их пересечение Ьх П Ь2 является подгруппой конечного индекса в каждой из групп Ьх, Ь2, и ранг Ьх П Ь2 тоже равен п.

Периодическую группу будем называть вполне разложимой, если она раскладывается в прямую сумму (возможно, бесконечную) делимой группы и конечных циклических групп.

Абелева группа А принадлежит категории АЬх, если:

(1) А — не более чем счетная группа;

(2) группа без кручения А/£(А) имеет конечный ранг п;

(3) в группе А существует свободная подгруппа Ь ранга п, такая что для всех простых р, кроме, быть может, конечного числа, р-компонента периодической группы А/Ь вполне разложима;

(4) для каждого простого числа р в группе А существует свободная подгруппа Ьр ранга п, такая что в группе (£Р(А) + Ьр)/Ьр нет ненулевых элементов, имеющих бесконечную р-высоту в периодической группе А/Ьр.

Замечание 2. Если условие (3) выполняется для какой-то свободной подгруппы Ь ранга п группы А, то оно выполняется для любой ее свободной подгруппы Ь' ранга п. Действительно, тогда ядра канонических эпиморфизмов

А/(Ь П Ь') ^ А/Ь, А/(Ь П Ь') ^ А/Ь'

конечны, и для любого простого р, не делящего порядки ядер, эти эпиморфизмы индуцируют изоморфизмы р-компонент.

Замечание 3. Легко показать, что если в условии (3) р-компонента группы А/Ь вполне разложима (р — простое число), то существует подгруппа Ьр группы А, удовлетворяющая условию (4); таким образом, достаточно потребовать выполнение условия (4) лишь для конечного множества простых чисел р, а именно, для тех р, для которых р-компонента группы А/Ь не является вполне разложимой.

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно нам не понадобится.

Замечание 4. Категория АЬо содержится в категории АЬх. Действительно, пусть А — группа из категории АЬо. Тогда группа А/£(А) имеет конечный ранг п,

а все р-компоненты £р(А) периодической части группы А конечны. Для любой свободной подгруппы Ь ранга п и любого простого числа р цоколь р-компоненты группы А/Ь конечен, и поэтому р-компонента вполне разложима. Таким образом, группа А принадлежит категории АЬх.

Теорема 3. Если А — группа из категории АЬх, а а — идемпотентный эндоморфизм Р(А), то существует группа В из АЬх и идемпотентный эндоморфизм е группы

В, такие что Р(А) ^ Р(В), причем при этом изоморфизме эндоморфизму а объекта Р(А) соответствует эндоморфизм Р(е) объекта Р(В).

Переформулируем эту теорему в других терминах, чуть усилив ее.

Теорема 4. Пусть А — группа из категории АЬх, и пусть а — такой эндоморфизм группы А, что индуцированный им эндоморфизм в группы А/£(А) идемпотентен. Тогда существует такая вполне разложимая счетная периодическая группа Z и такой идемпотентный эндоморфизм е группы А ® Z, что индуцированный е эндоморфизм группы (А ® Z)/£(А © Z) = (А ® Z)/(£(А) ® Z) = А/£(А) совпадает с в.

Доказательство теоремы 4, а значит, и теоремы 3, будет дано ниже. А этот раздел мы завершим двумя простыми утверждениями, играющими в доказательстве важную роль.

Лемма 1. Пусть А — группа из категории АЬх, и пусть Ь' — свободная подгруппа группы А, ранг которой равен рангу п группы без кручения АД (А). Далее, пусть а — эндоморфизм группы А, индуцирующий на А/£(А) идемпотентный эндоморфизм. Тогда в группе Ь' существует инвариантная относительно а подгруппа Ь конечного индекса.

Доказательство. Группа (а2 — а)Ь' конечно порождена, и она содержится в периодической части £(А) группы А, потому что индуцированный а эндоморфизм группы АД(А) идемпотентен. Следовательно, группа (а2 — а)Ь' конечна, и потому д(а2 — а)Ь' = 0 для некоторого целого д = 0. Положим Ь'' = дЬ'; группа Ь'' — тоже свободная подгруппа ранга п группы А, но теперь для любого элемента х £ Ь'' выполняется соотношение а2(х) = а(х). Подгруппы а(Ь'') П Ь'' и (1 — а)(Ь'') П Ь'' группы А инвариантны относительно а, потому что а не меняет элементы первой группы и аннулирует элементы второй. Следовательно, инвариантна относительно а и подгруппа Ь = (а(Ь'') П Ь2) + ((1 — а)(Ь'') П Ь'') группы Ь''. Факторгруппа А/Ь'' периодическая, поэтому конечно порожденные группы (а(Ь'')+Ь'')/Ь'' и ((1 —а)(Ь'') + Ь'')/Ь'' конечны, и, если к = 0 — общее кратное периодов этих групп, то

кЬ'' С ка(Ь'') + к(1 — а)(Ь'') С (а(Ь '') П Ь '') + ((1 — а)(Ь'') П Ь '') = Ь.

Таким образом, кдЬ ' = кЬ'' С Ь С Ь', но это и значит, что индекс (Ь ' : Ь) конечен.

Чтобы не сосредотачиваться на ненужных деталях, мы до конца статьи будем допускать следующую вольность речи. Если д : и ^ V — гомоморфизм групп, а С — эндоморфизм и, то мы будем говорить, что £ индуцирует на V эндоморфизм 0, вместо того чтобы сказать более подробно, что д — эпиморфизм, Кегд — инвариантная относительно £ подгруппа и, и д£ = 0д. Точно так же, вместо того, чтобы сказать, что V Э Ш — инвариантные относительно £ подгруппы и, а £ — индуцированный £ эндоморфизм группы У/Ш, мы будем говорить просто, что эндоморфизм £ индуцирует эндоморфизм £ группы .

Следующее утверждение хорошо известно; его доказательство является простым упражнением и здесь не приводится.

Лемма 2. Пусть и — группа, V = VI © ... © Уп — ее подгруппа. Для каждого *,

1 < * < п, обозначим через и* факторгруппу группы и по сумме всех подгрупп Vj, кро-

ме группы V;. Если ех, . .., еп — идемпотентные эндоморфизмы групп их, ..., ип, индуцирующие на их общей факторгруппе и/V один и тот же эндоморфизм в, то существует такой идемпотентный эндоморфизм е группы и, что эндоморфизмы, индуцированные им на факторгруппах и/V, их, ..., ип, равны, соответственно, в, ех, . .., £п.

3. Совершенные эпиморфизмы

Всюду в этом разделе р — фиксированное простое число. Для абелевой группы X и натурального числа п мы обозначаем через X (п) группу всех таких элементов х £ X, что пх = 0. Если X — вполне разложимая р-группа, то существует такое ее разложение

Х = X © (*)

что Xо —делимая р-группа, а при любом * > 1 группа X* раскладывается в прямую сумму циклических групп порядка р;. Эпиморфизм п : X ^ У вполне разложимой р-группы X на другую абелеву группу У будем называть совершенным, если разложение (*) можно выбрать так, что Кегп не содержит ненулевых делимых подгрупп, и для любого * > 1

п^) = п^(р;)), X, П Кегп С pXi.

Предложение 1. Пусть X — вполне разложимая р-группа, и пусть п — эпиморфизм группы X на не более чем счетную группу У. Тогда существуют не более чем счетная вполне разложимая р-группа Z и вполне разложимые подгруппы X', Z' прямой суммы Ш = X © Z, такие что Ш = Z ' © X', ограничение гомоморфизма п © 0 : X © Z ^ У на X' является совершенным эпиморфизмом X' на У, а ограничение того же гомоморфизма на Z ' является нулевым гомоморфизмом.

Доказательство. Вполне разложимая р-группа X представляется в виде X = Xо © (ф^>lXj), где для любого * > 1 группа X, раскладывается в прямую сумму циклических групп порядка р;. Для любого элемента х из группы X будем обозначать через (х) циклическую подгруппу группы X, порожденную х. Пусть * > 1 и пусть X, = хя), где все хя —элементы порядка р; из группы X. Группа п^ (р;)) является подгруппой периода р, группы У и, как всякая ограниченная периодическая группа, она раскладывается в прямую сумму циклических групп:

п^ (р;)) = 0^ Ы,

где у £ У — элементы, порядок каждого из которых делит р;, а —не более чем счетное множество. Для удобства записи мы будем обозначать двойные прямые суммы по всем * > 1, в £ £; (соответственно, £ £ Т;) через 0м и Ф;,г

Обозначим через Zj прямую сумму Zj = ф(•£() циклических групп (2() порядка р;. Положим Z = ,> -^, Ш = X © Z и обозначим через п ' эпиморфизм п © 0 : X © Z ^

У.

Для каждых * > 1, £ £ элемент у принадлежит п^(р;)); поэтому существует такой элемент и £ X, что рги = 0, п(м4) = у4. Положим х£ = и © 24; тогда (х£) — циклическая группа порядка р;, и, кроме того, X + (х£) = X + (2(), X П (х£) = 0, так что мы можем заменить прямое слагаемое (2^) в разложении

Ш = X © Z = X © (0,4(24))

на слагаемое (х£). Произведя такую замену для всех * > 1 и всех £ £ Т/, мы получим прямое разложение

Ш = X © (0 ^),

где X ,' = Фгет ( х£) —прямая сумма циклических групп порядка р;. Для каждого £ £ Т/ п '(хг) = (п © 0)(иг © 2г) = п(иг) = п(иг) = Уг,

так что п'(X/) совпадает с подгруппой группы У, порожденной элементами уг, £ £ Т;. Но эта подгруппа равна

п^(р;)) = (п © 0)(X(р;) © Z(р;)) = п '(Ш(р;)).

Пусть Z0 —максимальная делимая подгруппа ядра Кегп. Ясно, что Z0 —подгруппа Xо, и она, как и всякая делимая подгруппа, выделяется из Xо прямым слагаемым, так что Xо = X0 © Z0 для некоторой делимой группы X0.

Далее, для любого * > 1 и любого в £ 5; элемент хя £ X; имеет порядок р;, поэтому п'(х8 © 0) = п(х8) © 0 £ п^(р;)) = п'(X/). Значит, существует такой элемент г>8 £ X/, что п '(хя ©0) = п '(«я). Положим 2^ = (хя ©0) — «я; тогда п '(,г£) = 0, (2^) —циклическая группа порядка р/, и, кроме того,

(0i>хX*') + ^ = (0i>хX^) + (х«), (0i>хX^) П (20 = 0, так что мы можем заменить прямое слагаемое (хя) в разложении

Ш ^ © (0.,8(х8)) © (0.>хXi)

на слагаемое (2^). Произведя такую замену для всех * > 1 и всех £ £ Т;, мы получим прямое разложение

Ш ^ © (0.,8(г^)) © (0i>хX^) = (Z0 © (0М(2О)) © (^ © (0i>хX^)).

Положим Z ' = Z0 © (0;,8(.г£)), X' = X0 © (0i>хXг'); разложение X © Z = Z' © X' удовлетворяет требованиям предложения 1.

Предложение 2. Пусть X — вполне разложимая р-группа, и пусть п : X ^ У — эпиморфизм группы на не более чем счетную группу У. Далее, пусть а — эндоморфизм группы X, а в — идемпотентный эндоморфизм группы У, такие что па(х) = вп(х) для любого х £ X. Тогда существуют не более чем счетная вполне разложимая р-группа Z = 0;>х Zj и идемпотентный эндоморфизм е группы X © Z, такие что п 'е = вп ', где через п ' обозначен гомоморфизм п © 0 : X © Z ^ У.

Доказательство. Случай 1: X —прямая сумма циклических групп порядка р;. Поскольку в2 = в, группа У раскладывается в прямую сумму подгрупп Ух = 1тв и У2 = Кегв; на первой из них в действует тождественно, а вторую подгруппу в аннулирует. Поскольку р/У = 0, группы Ух и У2 раскладываются в прямые суммы циклических групп

У = 0,€5 ЙН>. У2 = 0,€т (У.<2)>.

порядок каждой из которых делит р;. В однородной группе X можно выбрать такой базис |х^, индексирующее множество J которого содержит 5 и Т, что

Обозначим через X! подгруппу X, порожденную элементами хя, в £ 5, а через X2 — подгруппу X, порожденную остальными элементами базиса х^-, ] £ J \ 5. Тогда X = Xl © X2. Эндоморфизм е группы X, тождественный на Xх и аннулирующий X2, идемпотентен, и при этом пе(х) = п(х) = вп(х), если х £ Xl, пе(х) = 0 = вп(х), если х £ X2.

Случай 2: п — совершенный эпиморфизм. Пусть X = Xо © (фi>хXj) —разложение группы X, удовлетворяющее условиям из определения совершенного эпиморфизма п. Эндоморфизм а группы X индуцирует эндоморфизм ео ее характеристической подгруппы Xо. Подгруппа (е2 — ео)^о) группы X является вместе с Xо делимой группой; в то же время ввиду сделанных предположений

Но по определению совершенного эпиморфизма ядро гомоморфизма п не содержит делимых подгрупп; следовательно, (е0 — ео)(Xо) = 0, т. е. ео —идемпотентный эндоморфизм Xо.

Пусть теперь * > 1. Группа X (р;) —характеристическая подгруппа группы X, по-

этому а^(р;)) С X(р;), а значит, в(п^(р;))) = па(X(р;)) С п(X(р;)). Но п^,) =

п(X(р;)). Группа X; является прямой суммой циклических групп порядка р;; применяя утверждение, доказанное в первом случае, к эпиморфизму X; ^ п^;) и к ограничению в на п^;), мы найдем такой идемпотентный эндоморфизм е; группы X;, что пе;(х) = вп(х) для любого х £ X;. Идемпотентный эндоморфизм е = ф^=ое* прямой суммы X = Ф~ '0X4 удовлетворяет всем требованиям предложения 2.

Отметим, что в рассмотренных двух случаях достаточно взять Z = 0, а в первом из них не понадобилось даже, чтобы эндоморфизм в поднимался до какого-то эндоморфизма группы X.

Общий случай. По предложению 1 существуют счетная вполне разложимая р-группа Z и разложение X © Z = X' © Z', в котором X', Z' — вполне разложимые подгруппы прямой суммы X © Z, причем ограничение гомоморфизма п ' = п © 0 : X © Z ^ У на X' является совершенным эпиморфизмом X' на У, а ограничение того же гомоморфизма на Z' является нулевым гомоморфизмом. Как мы доказали в случае 2, существует идемпотентный эндоморфизм е ' группы X', такой что п 'е'(х ') = вп'(х ') для всех х' £ X'. Продолжим эндоморфизм е' группы X' до эндоморфизма прямой суммы X' © Z', положив е равным 0 на подгруппе Z'. Эндоморфизм е группы X' © Z ' = X © Z идемпотентен вместе с эндоморфизмом е' группы X'. Если х £ X, 2 £ Z, то существуют такие элементы х ' £ X', 2 ' £ Z ', что х © 2 = х ' + 2', и потому

(е0 — ео)^о) = (а2 — а)^о) С (а2 — а)^) С Кегп.

п 'е(х © г) = п 'е(х' + 2 ') = п 'е(х ') + п 'е(г') = п 'е(х') = вп'(х') = вп'(х ' + 2 ') = вп'(х © 2).

4. Доказательство теоремы 4: 1-й случай

Пусть А — группа из категории АЬх, а а — такой эндоморфизм группы А, что индуцированный им эндоморфизм в группы А/£(А) идемпотентен. В этом разделе мы построим группу Z и идемпотентный эндоморфизм е группы А © Z, удовлетворяющие требованиям теоремы 4, в предположении, что только одна компонента £р(А) группы кручения £(А) отлична от 0 (р — простое число).

Пусть п — ранг группы А/£(А); согласно условию (4) из описания категории АЬх в группе А существует свободная подгруппа Ьр ранга п, такая что в группе (£р(А) + Ьр)/Ьр нет ненулевых элементов, имеющих бесконечнуюр-высоту в группе А/Ьр. Иначе говоря, последнее условие означает, что если элемент а £ £р(А) таков, что для любого * > 1 существует элемент а; £ А, такой что а — р;а; £ Ьр, то а = 0. Отсюда сразу следует, что если Ьр — подгруппа конечного индекса группы Ьр, то и в группе (£р(А) + Ьр)/Ьр тоже нет ненулевых элементов, имеющих бесконечную р-высоту в группе А/Ьр. Согласно лемме 1 эту подгруппу Ьр можно выбрать так, чтобы она была инвариантна относительно а.

Периодическая группа А/Ьр раскладывается в прямую сумму своей р-компоненты Ар/Ьр и суммы Б/Ьр остальных компонент. Группы Ар и Б инвариантны относительно а. Поскольку £(А) = £р(А) С Ар, пересечение Б П £(А) нулевое, и поэтому (а2 — а)Б С Б П £(А) = 0. Таким образом, а индуцирует на Б идемпотентный эндоморфизм; идемпотентным будет и эндоморфизм ц группы Б/Ьр, индуцированный

а.

Пусть Н/Ьр С Ар/Ьр — группа элементов бесконечной высоты р-группы Ар/Ьр. Подгруппы Н, Н + £(А) группы А инвариантны относительно а; обозначим через в эндоморфизм группы Ар/(Н + £(А)), индуцированный а. Поскольку в индуцируется также идемпотентным эндоморфизмом в группы А/£(А), эндоморфизм в и сам является идемпотентным.

В р-группе Ар/Н нет элементов бесконечной высоты; вместе с группой А она счет-на и поэтому по теореме Прюфера вполне разложима (только для этого нам и нужно, чтобы группы из АЬх были счетными). Следовательно, по предложению 1 существуют вполне разложимая счетная р-группа Z и идемпотентный эндоморфизм £ группы (Ар/Н) © Z, индуцирующий на факторгруппе

((Ар/Н) © Z)/((Ар/(Н + £(А))) © Z) = Ар/(Н + £(А))

эндоморфизм в.

Напомним, что А/Ьр = А/Ьр © Б/Ьр; поэтому

(А/Н) © Z = ((Ар/Н) © Z) © Б/Ьр.

Обозначим через £ идемпотентный эндоморфизм группы (А/Н) © Z, ограничение которого на (Ар/Н) © Z равно £, а ограничение на Б/Ьр равно ^.

По определению группы Ьр пересечение групп £(А) + Ьр = £р(А) + Ьр и Н равно Ьр; отсюда следует, что НП£(А) С Ьр. Но НП£(А) содержится также и в £(А), а пересечение свободной группы Ьр и периодической группы £(А) нулевое, поэтому Н П £(А) = 0, так что Н + £(А) = Н © £(А). Применяя лемму 2 к группе А © Z, ее подгруппе (Н © 0) © (£(А) © Z) и идемпотентным эндоморфизмам £, в групп

(А/Н) © Z = (А © Z)/(Н © 0), А/£(А) = (А © Z)/(£(А) © Z),

индуцирующим тот же эндоморфизм их общей факторгруппы А/(Н + £(А)), что и в, мы найдем идемпотентный эндоморфизм е группы А © Z, индуцирующий на А/£(А) эндоморфизм в.

5. Доказательство теоремы 4: 2-й случай

В этом разделе теорема 4 доказывается в случае, когда в А существует инвариантная относительно а свободная подгруппа Ь ранга п, такая что для всех простых р р-компоненты Ар/Ь периодической группы А/Ь вполне разложимы.

Группы Ар/(Ь + £р(А)) являются р-компонентами группы А/(Ь + £(А)), и индуцированные идемпотентным эндоморфизмом в эндоморфизмы £р этих групп тоже идем-потентны. По предложению 2, примененному к каноническому эпиморфизму вполне разложимой р-группы Ар/Ь на ее факторгруппу Ар/(Ь + £р(А)), существуют счетная вполне разложимаяр-группа Zp и идемпотентный эндоморфизм 7р группы (Ар/Ь)©Zp, индуцирующий на факторгруппе

((Ар/Ь) © Zp)/(((Ь + £р(А))/Ь) © Zp) = Ар/(Ь + £р(А)) эндоморфизм ^р. Положим Z = фрер Zp и обозначим через 7 эндоморфизм группы

(А/Ь) © Z = фрер((Ар/Ь) © Zp), ограничения которого на все р-компоненты (Ар/Ь) © Zp равны соответствующим 7р. Эндоморфизм 7 идемпотентен, и индуцированный им эндоморфизм группы

А/ (Ь +£(А)) = фрерАр/(Ь + £р(А)) совпадает с эндоморфизмом £, индуцированным на той же группе эндоморфизмом в.

Пересечение свободной группы Ь и периодической группы £(А) нулевое, поэтому Ь + £(А) = Ь © £(А). Применяя лемму 2 к группе А © Z, ее подгруппе (Ь © 0) © (£(А) © Z) и идемпотентным эндоморфизмам 7, в групп

(А/Ь) © Z = (А © Z)/(Ь © 0), А/£(А) = (А © Z)/(£(А) © Z),

индуцирующим на общей факторгруппе А/(Ь + £(А)) один и тот же эндоморфизм £, мы найдем идемпотентный эндоморфизм е группы А © Z, индуцирующий на А/£(А) эндоморфизм в.

6. Окончание доказательства теоремы 4

Пусть А — произвольная группа из АЬх, а — ее эндоморфизм, индуцирующий идемпотентный эндоморфизм в группы А/£(А), и пусть п — ранг группы А/£(А). По лемме 1 в группе А существует инвариантная относительно а свободная подгруппа ранга п, такая что ограничение а на Ь — идемпотентный эндоморфизм Ь.

По условию (3) из описания категории АЬх и по следующему за этим описанием замечанию 2 существует подмножество Ро множества простых чисел Р, дополнение |дх,..., дг} которого конечно, такое что р-компоненты периодической группы А/Ь вполне разложимы для всех простых р £ Ро. Пусть £о(А) = фрер0 £р(А); тогда

£(А) = £о(А) © £д1 (А) © ... © (А).

Обозначим через через Ао, А^. (1 < ] < г) факторгруппы группы А по сумме всех слагаемых предыдущей прямой суммы, кроме £о(А) (соответственно, ^ (А)). У каждой из групп А^. (1 < ] < г) нетривиальна лишь одна компонента группы кручения £(А), а в группе Ао есть свободная и инвариантная относительно а подгруппа Ь, равная образу Ь при естественном эпиморфизме А ^ Ао, все р-компоненты факторгруппы по которой вполне разложимы. (Последнее очевидно, если р £ Ро. Если же р £ Ро, то р-компонента группы г(Ао) равна 0, так что р-компонента группы А о/Ь изоморфна подгруппе группы АД (А) и потому ее цоколь конечен; мы снова получаем, что р-компонента группы Ао/Ь вполне разложима). Но для всех таких групп теорема уже доказана в предыдущих разделах, так что существуют счетные вполне разложимые периодические группы Zо, Zqj и идемпотентные эндоморфизмы ео, групп А о ©Zо, Ащ ©Zqj, каждый из которых

индуцирует на их общей факторгруппе АД (А) эндоморфизм в. Положим Z = Zо © Zql © ... © Zqr; по лемме 2 существует идемпотентный эндоморфизм е группы А © Z, индуцирующий на факторгруппе

(А © Z)/(*(А) © Z) = АД(А) эндоморфизм в. Этим завершается доказательство теоремы 4.

7. Заключительные замечания

Как сказано выше, тот факт, что для групп из категории АЬх выполняются теоремы 1-4, позволяет практически без изменений перенести теорию, развитую в [3] для абелевых групп конечного ранга без кручения, на группы из категории АЬх. Чтобы не увеличивать объем статьи, мы отложим этот перенос до следующей публикации.

Хотя в категорию АЬх входят многие смешанные группы, в том числе некоторые нерасщепимые группы, у которых группа кручения — бесконечная р-группа (р — простое число), объектами этой категории не исчерпываются все интересные группы. В частности, даже не все счетные смешанные группы А, такие что АД (А) —группа конечного ранга, а группа £(А) раскладывается в прямую сумму конечных циклических групп, входят в эту категорию. Не кажется вероятным, что в точности такие же результаты, как полученные в этой работе, могут быть распространены на какой-то класс, содержащий все описанные только что группы, так что для их изучения, скорее всего, потребуются принципиально новые идеи.

Литература

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.

2. Яковлев А. В., Камара Н’Фамара. Смешанные абелевы группы и их прямые разложения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 1993. Вып. 2. С. 57-61.

3. Яковлев А. В. Абелевы группы конечного ранга без кручения и их прямые разложения // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1989. Т. 175. С. 135-153.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.