CC BY
60
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-377-388
Completely decomposable homogeneous quotient divisible abelian
groups
Gordeeva Ekaterina Vyacheslavovna — Moscow State Pedagogical University. e-mail: [email protected]
Fomin Aleksandr Aleksandrovich — Doctor of phvsico-mathematical sciences, Professor, Moscow State Pedagogical University. e-mail: alexander.fominQmail. ru
Abstract
L.S. Pontryagin [1], A.G. Kurosh [2], A.I. Mal'cev [3], D. Derry [4], R. Baer [5], R. Beaumont and R. Pierce [6,7] began research on abelian torsion free groups of finite rank. In particular, R. Beaumont and R. Pierce [6] introduced the notion of the quotient divisible torsion free group. The notion of quotient divisible group was extended to the case of mixed groups in the work [8]. It was also proved in [8] that the category of quotient divisible mixed groups with quasi-homomorphisms was dual to the category of torsion-free finite-rank groups with quasi-homomorphisms. A modern version of the duality [8] was obtained in [9, 10]. The categories of groups with quasi-homomorphisms were replaced by the categories of groups with marked bases and with usual homomorphisms such that their matrices with respect to the marked bases consisted of integers. The duality [8] was also extended by S. Breaz and P. Schultz [11] on the class of self-small groups. The mixed quotient divisible groups as well as the self-small groups are in the focus of attention now [12-35].
In the present paper we prove two theorems about homogeneous completely decomposable quotient divisible mixed groups. In the first theorem we show that for every basis of such group there exists a decomposition of this group into a direct sum of rank-1 groups such that the elements of the basis are the bases of the corresponding rank-1 groups. Moreover, for every two bases such decompositions are isomorphic. In the second theorem we show that every exact sequence of quotient divisible groups 0 ^ B ^ A ^ C ^ 0 is splitting, if the group A is homogeneous completely decomposable. This theorem is a dual version of the following classic result by R. Baer. Every pure subgroup of a homogeneous completely decomposable torsion free group of finite rank is a direct summand of this group.
Keywords: abelian groups, direct decompositions, dual categories.
Bibliography: 37 titles.
For citation:
E. V. Gordeeda, A. A. Fomin. 2018, "Completely decomposable homogeneous quotient divisible abelian groups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2. P. 377-388.
1. Введение
Все рассматриваемые группы являются абелевыми. Z, Q, Zp обозначают соответственно кольца целых, рациональных и целых р-адических чисел. Кольцо полиадических чисел
Z = Л Zp - это произведение колец целых р-адических чисел по всем простым числам p. Zn -р
кольцо классов вычетов по модулю п.
Под характеристикой % = (тр) понимается любая последовательность целых неотрицательных чисел и символов œ, занумерованная всеми простыми числами. Для каждой характеристики % = (тр) определяется кольцо Zx = П Кр как произведение по всем простым
р
числам р колец Кр, где Кр = Zp™P при тр < œ или Кр = Zp при тр = <х> .
Две характеристики называются эквивалентными, если они различаются не более чем для конечного числа конечных компонент. Класс эквивалентности характеристики называется типом (Бэра). Классическая теорема Р. Бэра [5] утверждает, что абелевы группы без кручения ранга 1 с точностью до изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с типами.
Абелева группа А называется факторно делимой, если она содержит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что факторгруппа А/F является периодической делимой группой. При этом сама группа А не содержит делимых периодических подгрупп. Свободный базис группы F называется базисом факторно делимой группы А. Ранг группы F называется рангом
А
Для всякой характеристики % = (тр) определим группу Rx следующим образом. Если характеристика % относится к ненулевому типу, то группа Rx состоит из всех элементов a G Zx, для которых существует пара целых чисел n = 0 и m такая, что na = ml, где 1 - единица кольца Zx. Если характеристика % относится к нулевому типу, то все ее компоненты равны нулю кроме конечного числа простых чисел pi,...,р^, для которых соответствующие компоненты т,\,..., m,k являются конечными. Тогда характеристике % соответствует целое число n = р...и мы определяем Rx = Zn ®Q. Факторно делимые группы ранга 1 были описаны О.И. Давыдовой в [12, 13].
Теорема (Давыдова) Все группы вида Rx являются факторно делимыми группами ранга 1. Любая факторно делимая группа ранга 1 изоморфна группе Rx для некоторой характеристики х-
Пусть a - элемент группы А. Для каждого простого числа р обозначим через тр наименьшее целое неотрицательное число, для которого элемент pmpa делится в группе А на любую степень числа р. Если такого числа не существует, то полагаем тр = <х>. Мы получаем характеристику (тр), которая называется кохарактеристикой элемента a в группе А и обозначается с о ch a г ( a) = (тр ). Если a - базисный элемент факторно делимой группы А ранга 1, то для любого элемента х G А имеет место неравенство cochar(х) < сochar(a), в частности кохаракеристики различных базисных элементов факторно делимой группы ранга 1 одинаковы. Кохарактеристикой факторно делимой группы ранга 1 называется кохарактеристика ее базисного элемента, имеем cochar( Rx) = х.
Мы понимаем Z-адическое пополнение А группы А как обратный предел следующего обратного спектра гомоморфизмов
к™ : А/тА ^ А/пА
для всех пар (т, п) натуральных чисел таких, что число n является делителем числа т.
<х>
Здесь n™ (a + тА) = a + пА. Элемент a = (a\, a2,...) группы П А/пА называется сетью,
П=1
если к™ (am) = an для любой пары (m, п) натуральных чисел такой, что n делит т. Легко
те ^
видеть, что все сети составляют подгруппу группы Л А/пА. Эта подгруппа А является об-
п= 1
ратным пределом данного спектра, то есть Z-адическим пополнением группы А. Для любого элемента a £ А, последовательность ц (а) = (а + А, а + 2А, а + ЗА,...) является сетью. Таким образом мы получаем естественный гомоморфизм ц : А ^ А, который мы также называем Z-адическим пополнением группы А. Заметим, что кольцо полиадических чисел Z является Z-адическим пополнением кольца целых чисел Z, а пополнение А любой группы А является также модулем над кольцом Z. Для всякой характеристики % имеем Rx = Zx.
Если ai,..., ап - элементы модуля М над коммутативным кольцом Д, то (ai,...,an)R обозначает подмодуль, порожденный данными элементами, (ai,...,an) - подгруппа, порожденная этими элементами, (ai,..., ап)* - сервантная оболочка этих элементов, которая состоит из таких элементов а £ М, для которых существует целое число m = 0, при котором та £ (а1,..., ап).
Все остальные определения и обозначения стандартны и соответствуют книге [36].
2. Основной текст статьи
Определение 1. Факторно делимая группа А называется вполне разложимой, если она раскладывается в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1. Если все эти факторно делимые группы ранга 1 изоморфны между собой, то есть определяются одной и той же кохарактеристикой % то группа А называется однородной вполне разложимой факторно делимой группой кохарактеристики %. Таким, образом,, однородная, вполне разложимая факторно делимая группа А = ф Rx полностью определяется своим, рангом п и кохаракте-
п
ристикой
Пусть А = Ai ® ... ® Ап, где Ai,...,Ап - факторно делимые группы ранга 1, и ai £ Ai,...,an £ Ап - базисы этих факторно делимых групп ранга 1. Тогда группа А сама является факторно делимой и, очевидным образом, элементы ai,... ,ап составляют базис факторно делимой группы А.
Теорема 1. Пусть А - факторно делимая вполне разложимая однородная, группа ранга п и кохара,кт,ерист,ики % = (тр), то есть А = Ai ® А2 ® ... ® Ап и Ai = ... = Ап = Rx, и ai £ Ai,... ,ап £ Ап - базисы этих факторно делимых групп ранга 1.
Пусть bi, b2,..., bn - произвольный базис факторно делим,ой группы А, тогда существуют подгруппы, Bi,B2,..., Вп группы А, т,акие что:
1. Группы, В i, В2,..., Вп являются факторно делимым,и группам,и ранга 1 коха,ра,кт,ери-стики %;
2. Элемент bi принадлежит, группе Bi и является базисом факторно делим,ой группы Bi для, любого г = 1, 2,... ,п;
3. А = Bi ®В2 ® ... ®Вп.
Доказательство. Рассмотрим Z-адическое пополнение у : А ^ А группы А. Обозначим а° = ц,(а) для элементов а £ A Z-модуль А = (а\® ... ® (o-n)z = © ... © ап^х
является также свободным модулем над кольцом Zx. Из равенства aiai + ... + апа°п = 0 следует, что все коэффициенты ai,...,an £ Zx равны нулю. В силу этого, отображение ai ^ Ъ\,..., а°п ^ Ь°п продолжается до ^-модульного эндоморфизма f : А ^ А. Покажем, что эндоморфизм f : А ^ А является автоморфизмом.
По теореме о вложении (Теорема 3.3 в [15]модуль А порождается элементами Ь\,..., Ь°п, так как элементы bi,..., bn составляют базис факторно делимой группы А. Следовательно,
гомоморфизм f : А — А является сюръективным отображением. Осталось доказать его инъ-ективность.
Заметим, что Z-адическое пополнение любой группы раскладывается в прямое произведение р-адических пополнений по всем простым числам р, А = ^ Ар. Если обозначить через
р
ер £ Z = Л Zq полиадический идемпотент, v которого р-компонента равна единице, а осталь-q
ные компоненты равны нулю, то мы получаем Ар = ерА. В нашем случае при характеристике % = (тр) р-адическое пополпение группы А имеет вид Ар = £ра°Кр ф ... ф ерй^Кр, где Кр = Zprnp, если тр < ^и Кр = Zp, если тр = го. При этом Ар является свободным Кр-модулем со свободным базисом £ра°,..., £ра°п. Эндоморфизм f : А — А индуцирует эндоморфизмы Zp-адических модулей fp : Ар — Ар для всех простых чисел р. Так как элементы Ь°,..., Ь^ порождают Z-модуль -А, то элементы ерЬ°,..., ерЬ^ порождают Кр-модуль Ар для каждого простого числа р. Поэтому все гомоморфизмы fp : Ар — Ар сюръективны. Рассмотрим два случая. В первом случае, тр < го, сюръективность гомоморфизма fp : Ар — Ар равносильна его инъективности и биективности в силу конечности модуля Ар. Во втором случае, тр = го, сюръективность гомоморфизма fp : Ар — Ар также влечет его инъективность. Действительно, элементы ерЬ°, . . . , £pb^ линейно выражаются с целыми р-адическими коэффициентами через элементы £ра°,..., ерато есть имеет место матричное равенство
(f(e pаl),..., Я £рап)) = (ЬЪ ..., £РЬп) = (£ра°ъ ..., £pаn)мp,
где Мр - некоторая матрица размера п х п с целыми р-адическими элементами. Но так как элементы ер Ь°,..., ер Ь^ порожда ют Zp-модуль Ар, то аналогичным образом имеет место матричное равенство
(£ pа°, ..., £ра°п) = (£р b°, ..., £pb°n)Np
для некоторой матрицы Np размера пхп^щыми р-адическими элементами. Из этих двух равенств следует равенство (£ра°,..., £ра°п) = (£ра°,..., Spti^MpNp, которое означает, что матрицы Мрш Np являются взаимно обратными. Обратимость матрицы Мр в свою очередь означает обратимость гомоморфизма fp : Ар — Ар. Так как Zp-модульные гомоморфизмы fp : 'Ар —у 'Ар обратимы для всех простых чисел р, то и Z-модульный гомоморфизм f : А — А обратим, то есть является автоморфизмом.
Если характеристика % относится к ненулевому типу, то гомоморфизм Z-адического пополнения ß : А — А является мономорфизмом и мы можем осуществить отождествление вдоль него так, что а° = а для любого элемента а £ А. Тогда получим, что группа А совпадает с сервантной оболочкой любого своего базиса в аддитивной группе А, более детально см. [15]. Таким образом, мы имеем А = (а°,..., ап}* = {Ь°,..., Ьп)* С А. Автоморфизм f модуля А индуцирует групповой автом орфизм f : А — А, при котор ом f(а°) = Ь°,..., /(ап) = Ъп. Полагая В° = f(А°),..., Вп = /(Ап), мы получаем все три утверждения теоремы.
Если характеристика % относится к нулевому типу, то Rx = Zm ф Q и Zx = Zm для некоторого целого положительного числа т. Группа А имеет вид А = Z^ ф V, где А = Zа V - это векторное прстранство над полем рациональных чисел размерности п. В этом случае наши элементы имеют вид а° = а° + v°,... ,ап = а°п + vn; Ъ° = Ь° + и°,..., Ьп = Ъ°п + ип, где v°,..., vn и и°,..., ип - два базиса векторного пространства V. Как это было сделано выше, мы строим автоморфизм f : А — А, при котором f(а°) = Ь°,..., f(а= Ь°п. Потом мы его расширяем до автоморфизма группы А, определяя так, что f(v °) = и°,..., f(vn) = ип. Получаем автоморфизм f : А — А, при котором f(а°) = Ь°,..., /(ап) = Ьп. Подгруппы В° = f(А°),..., Вп = ¡(Ап) удовлетворяют всем трем утверждениям теоремы, что завершает доказательство. □
Следствие 1. Пусть а € А элемент, вполне разложимой однородной, факторно делимой, группы кохара,кт,ерист,ики х. Тогда:
• соскаг(а) < х.
• Если элемент, а принадлежит какому-либо базису факторно делим,ой, группы А, то соскаг (а) = х.
А
гда для любых двух базисов а\,... ,ап и Ь1,..., Ьп факторно делимой группы А существует автоморфизм / : А Л А, при котором ¡'(а1) = Ь1,..., ¡(ап) = Ьп.
Нашей задачей теперь является перенос на случай смешанных факторно делимых групп классического результата Р. Бэра [5] о том, что любая сервантная подгруппа вполне разложимой однородной группы без кручения конечного ранга выделяется прямым слагаемым, см. [36] Лемма 86.8.
Прежде всего заметим, что сервантная подгруппа однородной вполне разложимой факторно делимой группы не обязательно выделяется прямым слагаемым. В [14] показано, что периодическая часть факторно делимой группы ранга 1 не выделяется прямым слагаемым, если в кохарактеристике х = (тр) этой группы бесконечное количество компонент удовлетворяет условию 0 < тр < го. Мы ползаем, что для такой характеристики х периодическая
х
сервантной подгруппой, во-первых, сама не является факторно делимой группой и, во-вторых, не выделяется прямым слагаемым.
Чтобы дуализировать теорему Бэра, мы переформулируем ее на языке коротких точных последовательностей. Условие сервантности подгруппы В группы А в теореме Бэра равносильно условию, что факторгруппа А/В является группой без кручения. Теорема Бэра приобретает следующий вид. Если в короткой точной последовательности групп без кручения конечного ранга 0 Л В Л А Л С Л 0 группа А является однородной вполне разложимой, то эта последовательность расщепляется. Такая формулировка подсказывает нам формулировку нашей теоремы.
Теорема 2. Пусть 0 л В Л А А С л 0 - короткая точная последовательность
А
то эта последовательность расщепляется и, все три группы являются однородным,и, вполне разложимыми одной, и, той же кохара,кт,ерист,ики.
Доказательство. Фиксируем произвольные базисы Ь\,..., Ьк и Ск+1,..., СпЪ факторно делимых группах В и С соответственно. Рассмотрим элементы а\ = /(Ь\),... = /(Ьк) € А, а также произвольные элементы ак+1,... ,ап € А, удовлетворяющие условию д(ак+1) = Ск+1,..., д(ап) = сп. Как показано в [9], Лемма 1, элементы а1,... ,ап составляют базис факторно делимой группы А. Тогда по Теореме 1 мы получаем, что А = А1 ®... ® Ап, где А1,..., Ап - изоморфные между собой факторно делимые группы ранга 1 и а1 € А1,... ,ап € Ап - базисы этих факторно делимых групп.
Обозначим Н = А1 ® ... ® Ак- Точность последовательности, в частности, означает, что Кег(д) = /т(/). Мы хотим доказать, что Н = 1т(/). Предположим, что не выполняется включение Н С /т(/). Тогда подгруппа С = Н П 1т(/) отлична от группы Н и факторгруппа Н/С отлична от нуля. Рассмотрим подгруппу Р = {а1 ,...,ак) С Н. Имеют место включения Н Э С Э Р. По теореме об изоморфизме Н/С = (Н/Р)/(С/Р). Так как элементы а1,..., ак составляют базис факторно делимой группы Н, то факторгруппа Н/Р является
Н/ С
периодической делимой группой. Рассмотрим ограничение гомоморфизма д : А ^ С на подгруппу Н. По другой теореме об изоморфизме гомоморфизм д : Н ^ С индуцирует мономорфизм ~д : Н/Кег(д) ^ С, то есть ненулевая делимая периодическая группа Н/G = Н/Кег(д) вкладывается в группу С. Это противоречит тому, что группа С является факторно делимой. Таким образом, должно выполняться равенство Н = G, что равносильно включению Н С Im(f) = Кег(д). Из этого включения следует, что группа Im(f) раскладывается в прямую сумму Im(f) = Н ® Т^е Т С ® ... ® Ап. Заметим, что элементы бесконечного порядка в группе ® ... ® Ап имеют ненулевые образы при гомоморфизме д : А ^ С. Поэтому группа Т является периодической подгруппой факторно делимой группы ®... ®Ап
Т
ты Ь\,..., bk составляют базис факторно делимой группы В, то факторгруппа В/(Ь\,..., bk) является периодической делимой группой. В силу изоморфизма f : В ^ Im(f), факторгруппа Im(f)/(а\,..., ük) = В/(b\,..., bk) также является делимой периодической группой. С другой стороны, эта группа
Im(f)/F = (Н ® Т )/F = (Н/F) ® Т Т
Таким образом, мы доказали, что Т = 0, откуда следует, что Н = Im(f). В результате мы получаем, что В = А\ ® ... ® Аk, С = А^+i ® ... ©АгаиА = В ®С. Теорема доказ ана. □
3. Заключение
Рассмотрим категорию, объектами которой являются абелевы группы без кручения конечного ранга, а морфизмами - обычные гомоморфизмы этих групп. Для групп А и В группа Нот(А, В) сама является группой без кручения конечного ранга и может быть устроена довольно сложно. Для этой категории у нас нет функтора двойственности в категорию смешанных факторно делимых групп. Зато мы имеем такие функторы для двух близких категорий.
Во-первых, это категория, объектами которой являются абелевы группы без кручения ко-
А В
физмами из А в В называются элементы группы Q ® Нот(А,В). В данном случае группа О = Q ® Нот(А, В) является делимой оболочкой группы Нот(А, В). Для этой категории в [8] был построен функтор двойственности в категорию смешанных факторно делимых групп с квазигомоморфизмами. Однако с помощью этой двойственности затруднительно переносить на смешанные группы результаты о почти вполне разложимых группах, которые составляют значительную часть современной теории абелевых групп без кручения конечного ранга, так как в данной категории почти вполне разложимые группы не различаются от вполне разложимых.
Более тонким инструментом является третья категория, объектами которой являются абелевы группы без кручения конечного ранга с отмеченными базисами (максимальными линейно независимыми системами элементов), а морфизмами - обычные гомоморфизмы, у которых матрицы относительно отмеченных базисов состоят из целых чисел. Группа мор-физмов Р из А в В в этом случае является свободной подгруппой того же ранга группы Нот(А,В). Таким образом, морфизмы трех категорий связаны между собой следующим образом: Р С Нот(А, В) С О. Для этой третьей категории имеется функтор двойственности в категорию смешанных факторно делимых групп также с отмеченными базисами, см. [9, 10].
В силу различности этих трех категорий перенос классических результатов теории абелевых групп без кручения конечного ранга на случай смешанных факторно делимых групп при помощи двойственности не является непосредственным. Это, в частности, показывает наша статья, а также теоремы О.И. Давыдовой [12, 13]. Тем больший интерес представляют теоремы подобного рода.
В заключение отметим, что в [34, 35] разработаны методы дуализации при помощи двойственности [9, 10] результатов о почти вполне разложимых группах на примере групп А.Л.С. Корнера [37] с аномальными прямыми разложениями.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Понтрягин Л. С. Теория топологических коммутативных групп // УМН 1936. Vol. 2, №1. Р. 177-195.
2. Kurosh A. G. Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen von endlichen Range // Ann. of Math 1937. Vol. 38, m. P. 175-203.
3. Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб. 1938. Vol. 4, №1. Р. 45-68.
4. Derrv D. Uber eine Klasse von abelschen Gruppen // Proc. London Math. Soc. 1938. Vol. s2, №43.' P. 490-506.
5. Baer R. Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. 1937. Vol. 3, №1. P. 68-122.
6. Beaumont R. A., Pierce R.S. Torsion free rings // 111. J. Math. 1961. Vol. 5, №1. P. 61-98.
7. Beaumont R. A., Pierce R. S. Torsion free groups of rank two // Mem. Amer. Math. Soc. 1961. Vol. 38, №1. P. 1-41.
8. Fomin A.A., Wickless W.J. Quotient divisible abelian groups // Proc. A.M.S. 1998. Vol. 126, №1. P. 45-52.
9. Fomin A. A. Invariants for Abelian groups and dual exact sequences //J. Algebra 2009. Vol. 322, Ж. P. 2544-2565.
10. Яковлев А. В. Двойственность категорий абелевых групп без кручения конечного ранга и факторно делимых групп // Зап. научн. сем. ПОМИ 2010. Vol. 375, №1. Р. 195-202.
11. Breaz S., Schultz P. Dualities for self-small groups // Proc. A.M.S. 2012. Vol. 140, №1. P. 69-82.
12. Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундамент, и прикл. Матем. 2007. Vol. 13, №3. Р. 25-33.
13. Давыдова О. И. Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга 1 // Фундамент, и прикл. Матем. 2015. Vol. 20, №5. Р. 57-60.
14. Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. I // Фундамент, и прикл. Матем. 2012. Vol. 17, №8. Р. 153-167.
15. Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. II // Фундамент, и прикл. Матем. 2015. Vol. 20, №5. Р. 157-196.
16. Wickless W. J. Direct sums of quotient divisible groups // Communications in Algebra 2003. Vol. 31, №1. P. 79-96.
17. Albrecht U., Breaz S., Vinsonhaler C., Wickless W. Cancellation properties for quotient divisible groups // Journal of Algebra 2007. Vol. 317, №1. P. 424-434 .
18. Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторноделимые группы // Алгебра и анализ 2006. Vol. 18, №4. Р. 198-214.
19. Любимцев О. В. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с УА-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки 2015. Vol. 98, №1. Р. 125-133.
20. Wickless WT. Multi-isomorphism for quotient divisible groups // Houston J. Math. 2006. Vol. 31, №1. P. 1-19.
21. Царев А. В. Модуль псевдорациональных отношений факторно делимой группы // Алгебра и анализ 2010. Vol. 22, №1. Р. 223-239.
22. Царев А. В. Псевдорациональный ранг факторно делимой группы // Фундамент, и прикл. матем. 2005. Vol. 11, №3. Р. 201-213.
23. Царев А. В. Т-кольца и факторно делимые группы ранга 1 // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. Vol. 24, №4. Р. 50-53.
24. Крючков Н. И. Компактные группы, двойственные факторно делимым абелевым группам // Фундамент, и прикл. матем. 2015. Vol. 20, №5. Р. 113-119.
25. Любимцев О. В. Об определяемости вполне разложимых факторно делимых абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов // Изв. вузов. Матем. 2017. Vol. 10, №1. Р. 75-82.
26. Files S., Wickless W. Direct Sums of Self-Small Mixed Groups //J. Algebra 1999. Vol. 222, №1. P. 1-16.
27. Albrecht U., Wickless B. Finitely generated and cogenerated QD groups // Rings, modules, algebras, and abelian 2004. Vol. 236, №1. P. 13-26.
28. Albrecht U., Breaz S., Wickless W. Self-small abelian groups // Bulletin of the Australian Mathematical Society 2009. Vol. 80, №2. P. 205-216.
29. Fomin A. A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/Т(G) finite rank divisible // Communications in Algebra 1998. Vol. 26, №11. P. 3563-3580.
30. Albrecht U., Breaz S., Wickless WT. Purity and Self-Small Groups // Communications in Algebra
2007. Vol. 35, №11. P. 3789-3807.
31. Zemlicka J. WThen Products of Self-Small Modules are Self-Small // Communications in Algebra
2008. Vol. 36, m. P. 2570-2576.
32. Breaz S., Zemlicka J. WThen every self-small module is finitely generated //J. Algebra 2007. Vol. 315, №2. P. 885-893.
33. Albrecht U., Breaz S. A note on self-small modules over ДМ-domains //J. Algebra and Its Applications 2014. Vol. 13, №1. P. (8 pages).
34. Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups // Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A. L. S. Corner, de Gruvter, Berlin - New York 2008. Vol. 1, №1. P. 147-167.
35. Фомин А. А. Почти вполне разложимые группы // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Матер. XIII Международной конференции, посвященной 85-летию профессора С.С. Рышкова, Тула, 25-30 мая 2015 г.,Тула: Изд-во ТГПУ им.Л.Н.Толстого 2015. Р. 49-52.
36. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы // М.: Мир, т.1, т.2. 1974, 1977.
37. Corner A. A note on rank and direct decomposition of torsion-free abelian groups // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1969. Vol. 66, №1. P. 239-240.
REFERENCES
1. Pontrvagin, L.S. 1934, "The theory of topological commutative groups", Ann. of Math, vol. 13, no. 1, pp. 361-388.
2. Kurosh, A.G. 1937, "Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen von endlichen Range", Ann. of Math, vol. 38, no. 1, pp. 175-203.
3. Malcev, A.I. 1938, "Torsionsfreie Abelsche Gruppen vom endlichen Rang", Ree. Math. [Mat. Sbornik] N.S., vol. 4, no. 1, pp. 45-68.
4. Derrv, D. 1938, "Uber eine Klasse von abelschen Gruppen", Proc. London Math. Soc., vol. s2, no. 43, pp. 490-506.
5. Baer, R. 1937, "Abelian groups without elements of finite order", Duke Math., vol. 3, no. 1, pp. 68-122.
6. Beaumont, R. A., Pierce, R. S. 1961, "Torsion free rings", III. J. Math., vol. 5, no. 1, pp. 61-98.
7. Beaumont, R. A., Pierce, R. S. 1961, "Torsion free groups of rank two", Mem. Am,er. Math. Soc., vol. 38, no. 1, pp. 1-41.
8. Fomin, A.A., Wickless, W.J. 1998, "Quotient divisible abelian groups", Proc. A.M.S., vol. 126, no. 1, pp. 45-52.
9. Fomin, A. A. 2009, "Invariants for Abelian groups and dual exact sequences", J. Algebra, vol. 322, no. 7, pp. 2544-2565.
10. Yakovlev, A. B. 2010, "Duality of the categories of torsion-free Abelian groups of finite rank and quotient divisible Abelian groups", J. Math. Sei., vol. 171, no. 3, pp. 416-420.
11. Breaz, S., Schultz, P. 2012, "Dualities for self-small groups", Proc. A.M.S., vol. 140, no. 1, pp. 69-82.
12. Davvdova, O.I. 2008, "Rank-1 quotient divisible groups", J. Math. Sei., vol. 154, no. 3, pp. 295-300.
13. Davvdova, O.I. 2018, "Homomorphisms of Rank-1 Quotient Divisible Groups", J. Math. Sei., vol. 230, no. 3, pp. 389-391.
14. Fomin, A. A. 2014, "To Quotient Divisible Group Theory. I", J. Math. Sei., vol. 197, no. 5, pp. 688-697.
15. Fomin, A.A. 2018, "On the Quotient Divisible Group Theory. II", J. Math. Sei., vol. 230, no. 3, pp. 457-483.
16. Wickless, W. J. 2003, "Direct sums of quotient divisible groups", Communications in Algebra, vol. 31, no. 1, pp. 79-96.
17. Albrecht, U., Breaz, S., Vinsonhaler, С. k, WTickless W. 2007, "Cancellation properties for quotient divisible groups", Journal of Algebra, vol. 317, no. 1, pp. 424-434 .
18. Tsarev, A.V. 2007, "Modules over the ring of pseudorational numbers and quotient divisible groups", St. Petersburg Math. ,J., vol. 18, no. 4, pp. 657-669.
19. Lvubimtsev, O. V. 2015, "Completely decomposable quotient divisible abelian groups with UA-rings of endomorphisms", Mathematical Notes, vol. 98, no. 1, pp. 130-137.
20. Wickless, W. 2006, "Multi-isomorphism for quotient divisible groups", Houston J. Math., vol. 31, no. 1, pp. 1-19.
21. Tsarev, A. V. 2010, "The module of pseudo-rational relations of a quotient divisible group", St. Petersburg Math. ,J., vol. 22, no. 1, pp. 163-174 .
22. Tsarev, A. V. 2007, "Pseudorational rank of a quotient divisible group", J. Math. Sci., vol. 144, no. 2, pp. 4013-4022.
23. Tsarev, A. V. 2013, "T-rings and quotient divisible groups of rank 1,", Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., vol. 24, no. 4, pp. 50-53.
24. Krvuchkov, N. I. 2018, "Compact Groups That Are Duals of Quotient Divisible Abelian Groups", J. Math. Sci, vol. 230, no. 3, pp. 428-432.
25. Lvubimtsev, O.V. 2017, "Characterization of completely decomposable quotient divisible abelian groups by their endomorphism semigroups", Russian Math. (Iz. VUZ), vol. 61, no. 10, pp. 65-71.
26. Files, S., Wickless, W. 1999, "Direct Sums of Self-Small Mixed Groups", J. Algebra, vol. 222, no. 1, pp. 1-16.
27. Albrecht, U., Wickless, B. 2004, "Finitely generated and cogenerated QD groups", Rings, modules, algebras, and abelian, vol. 236, no. 1, pp. 13-26.
28. Albrecht, U., Breaz, S. k, Wickless, W. 2009, "Self-small abelian groups", Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 80, no. 2, pp. 205-216.
29. Fomin, A. A., Wickless, W. 1998, "Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible", Communications in Algebra, vol. 26, no. 11, pp. 3563-3580.
30. Albrecht, U., Breaz, S. k, Wickless, WT. 2007, "Purity and Self-Small Groups", Communications in Algebra, vol. 35, no. 11, pp. 3789-3807.
31. Zemlicka, J. 2008, "WThen Products of Self-Small Modules are Self-Small", Communications in Algebra, vol. 36, no. 7, pp. 2570-2576.
32. Breaz, S., Zemlicka, J. 2007, "WThen every self-small module is finitely generated", J. Algebra, vol. 315, no. 2, pp. 885-893.
33. Albrecht, U., Breaz, S. 2014, "A note on self-small modules over EM-domains", J. Algebra and Its Applications, vol. 13, no. 1, pp. (8 pages).
34. Fomin, A. A. 2008, "Quotient divisible and almost completely decomposable groups", Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A. L. S. Corner, de Gruyter, Berlin - New York, vol. 1, no. 1, pp. 147-167.
35. Fomin, A. A. 2015, "Almost completely decomposable groups", Proceedings of the XIII International conference devoted to the 85-th Birthday of Professor S.S. Ryshkov, May 25-30, 2015, Tula, pp. 49-52. (Russian)
36. Fuchs, L. 1970, 1973 "Infinite Abelian Groups", New York: Academic Press, vol. 1, vol. 2.
37. Corner, A. 1961, "A note on rank and direct decomposition of torsion-free abelian groups", Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 57, no. 1, pp. 230-233.
Получено 16.06.2018 Принято в печать 17.08.2018
