CC BY
19
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 1(9)
УДК 512.541
А.Р. Чехлов О НИЛЬГРУППАХ р-РАНГА 11
Найдены необходимые и достаточные условия, при которых группы без
кручения p-ранга 1 являются нильгруппами.
Ключевые слова: нильгруппа, связная группа, p-характеристика, p-тип.
Все рассматриваемые в статье группы - абелевы. Напомним, что функция д: A xA ^ A называется умножением на группе A, если
^(a,b+c) = ^(a,b)+^(a,c) и ^(b+c,a) = ^(b,a) + ^(c,a) для всех a,b,c є A.
Всякое кольцо (под кольцом подразумевается не обязательно ассоциативное или коммутативное кольцо, но умножение всегда дистрибутивно с двух сторон относительно сложения) на группе A задает некоторое умножение д, а именно ^(a,b) = ab, и это соответствие между кольцевыми структурами и умножениями на группе A биективно. Если д и v - умножения на группе A, то их сумма д+v определяется по правилу
(д+vXab) = д(a,b)+v(a,b) для всех a,b є A.
Относительно введенной операции сложения все умножения на группе A образуют абелеву группу, группу умножений на A, Mult A. Всякая группа A может быть тривиальным образом снабжена кольцевой структурой, если все произведения ее элементов положить равными 0. Такое кольцо называется нуль-кольцом. Нуль группы Mult A - это умножение, соответствующее нуль-кольцу на A. Группа A называется нильгруппой [1, § 120], если на A не существует никаких колец, отличных от нуль-кольца, т. е. Mult A = 0. Всякая периодическая делимая группа является нильгруппой [1, теорема 120.3]. Из [1, § 121] сразу следует, что всякая нильгруппа не содержит ненулевых делимых подгрупп без кручения. Группа без кручения ранга 1 не является нильгруппой тогда и только тогда, когда ее тип идемпотентен [1, теорема 121.1]. В [2, теорема 3] описаны сепарабельные нильгруппы без кручения, а также изучены векторные нильгруппы. Отметим, что для каждой группы A имеют место изоморфизмы:
Mult A = Hom(AAA, A) = Hom(A,£(A)+) [1, теорема 118.1].
Через Z обозначается аддитивная группа (или кольцо) целых чисел, Zp -группа (или кольцо) целых p-адических чисел, N - множество всех натуральных чисел. Если A - группа, p - простое число, то pmA = Q pnA, n(A) - множество
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.
всех простых чисел р со свойством рА ф А, гр(А) - р-ранг группы А, т.е. ранг ее фактор-группы А/рА. Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А. Подгруппа О группы А называется чистой (р-чистой), если пО = ОПпА (рпО = ОПрпА) для каждого п е N. Группа без кручения А называется квазиоднородной, если П(А) = П(О) для любой ее ненулевой чистой подгруппы О.
Обозначим через Яр класс групп без кручения и без ненулевых элементов бесконечной р-высоты при данном простом числе р. Если а е А е Яр, £ = г0 + г1р + ...
- целое р-адическое число, то через £а будем обозначать элемент группы А, являющийся пределом в р-адической топологии последовательности (г0 +...+ гпрп)а (п = 0, 1, ...). Следуя [3], р-характеристикой элемента а будем называть множество
НА (а) = {£ | £ е 1р и £а определено}.
Множество р-характеристик совпадает с множеством всех р-чистых подгрупп группы 2р , содержащих группу Z. В [3] показано, что если А,В е Яр, гр(А) = 1, а
а Е А\рА и Нр(а) с Нр(Ь) для некоторого Ь Е В, то существует единственный гомоморфизм /Ь. А^В со свойством/Ьа = Ь; в частности, если Ь Е А(Нр(а)) = {х е А | Нр(х) 2 Нр(а)}, то отображение Ь^/Ь задает изоморфизм £(А)+=А(Нр(а)). Будем говорить, что р-характеристики Н1, Н2 эквивалентны, если существуют такие п,т е N, что пН1 с Н2, тН2 с Н1. Класс эквивалентности в множестве р-характе-ристик будем называть р-типом. Группу А е Яр назовем р-однородной, если все ее ненулевые элементы имеют один и тот же р-тип т, в этом случае будем писать тр(А) = т. На множестве всех р-типов можно ввести отношение частичного порядка < Например, запись т1 < т2 означает, что существуют р-характеристики Н1 е т1, Н2 е т2, такие, что пН1 с н2 для некоторого п е N. Понятие р-типа было введено автором в ряде работ ([4 - 7] и др.). Множество р-типов всех ненулевых элементов группы А е Яр обозначим через Тр(А), а через тр(а) - р-тип элемента а Е А. Если Н1 е т1, Н2 е т2, то под Н1Н2 будем понимать р-характеристику (т. е. р-чистую подгруппу группы 2р), порожденную элементами Н1Н2, где Н1 е Н1, Н2 е Н2, а под
р-типом т1т2 будем понимать р-тип, содержащий Н1Н2. Если Н1 с Н2, то под р-характеристикой Н2 . Н1 будем понимать наибольшую р-характеристику Н, для которой НН1 с Н2. р-характеристику Н назовем идемпотентной, если Н2 = НН = Н. Отметим, что Нр(рпа) = Нр(а) для всех п е N. Групповые термины, примененные к кольцу, касаются его аддитивной группы.
Лемма 1. Пусть А и В - группы из Яр р-ранга 1. Если тр(а)<тр(Ь) для некоторых 0 ф а е А, 0 ф Ь е В, то Н = Иош(А,В) является группой из Яр р-ранга 1 и тр(Ь) . тр(а) е Тр(Н). В противном случае Иош(А,В) = 0.
Доказательство. Ясно, что Н е Яр. Если Нр(а) с Нр(Ь) (можно считать, что а е А\рА, Ь е В\рВ), то существует единственный гомоморфизм/ А^В со свойством /а = Ь. Если £Нр(а) с Нр(Ь) (£ е 2р \ р2р), то Нр(а) с £-1Нр(Ь) = Нр(£Ь).
Поэтому существует гомоморфизм ф: A^B, фа = £b. Ясно, что ф = f т.е. Hp( f) 2 Hp(b) : Hp(a). Пусть теперь nf 6 H для некоторого n 6 Zp \ pZp . Имеем
(nf)a = nb. Отсюда Hp(a) £ Hp(nb) = n-1Hpb) и nH>(a) £ Hp(b), т.е. n £ Hp(b) : Hp(a) и, значит, Hp(f = Hp(b) : Hp(a). Если ya = x для x 6 B\pB, то x = Zb для некоторого Z £ Zp \ pZp . Откуда Z-Va = b, значит, Z-V = f или у = f В частности, rp(H) = 1.
Если A и B - группы из Rp p-ранга 1, то G = A®B - группа без кручения p-ранга 1. Необязательно G 6 Rp, однако для a 6 A и b 6 B следует, что xp(a®b + pmG) > Tp(a)Tp(b).
Лемма 2. 1) Кольцо S' из Rp p-ранга 1 либо является нуль-кольцом, либо изоморфно некоторому p-чистому подкольцу кольца Z .
2) Группа A 6 Rp p-ранга 1 не является нильгруппой тогда и только тогда, когда для некоторых Ti,T2 6 Tp(A) найдется т 6 Tp(A) со свойством TiT2 < т.
Доказательство. 1) вытекает из того, что S+ можно рассматривать как p-чистую подгруппу в Zp , а всякое умножение на S продолжается до умножения кольца Zp .
2) Если a,b 6 A, a,b Ф 0, и £ 6 Hp(a), n 6 Hp(b), то £n(ab) = (£a)(nb). Откуда следует, что Hp(a)Hp(b) £ Hp(ab), т.е. Tp(a)Tp(b)<Tp(ab).
Обратно, допустим, что t1t2 < t. Согласно лемме 1, E(A)+ является группой из Rp и t = т: т1 6 Tp(E(A)+). Тогда т2 < t. Следовательно, Mult A = Hom(A,E(A)+) Ф 0. Отметим, что (поскольку в кольце из Rp p-ранга 1, не являющегося нуль-кольцом, нет делителей нуля) в качестве т1 и т2 могут участвовать любые p-типы из Tp(A).
Лемма 3. Пусть A 6 Rp - группа p-ранга 1. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
1) A содержит элемент с наименьшей p-характеристикой;
2) A изоморфна аддитивной группе некоторого p-чистого подкольца кольца Zp , содержащего кольцо Z;
3) A содержит элемент с идемпотентной p-характеристикой.
Доказательство. 1)^2). Пусть a 6 A\pA - элемент с наименьшей p-характеристикой. Тогда A = A(Hp(a)) = E(A)+, где E(A) можно рассматривать как p-чистое подкольцо в Zp (лемма 2).
Импликация 2)^3) очевидна, так как в кольце из Rp с 1 имеем Hp(1)=Hp(1)Hp(1).
3)^1). Пусть a 6 A\pA - элемент с идемпотентной p-характеристикой. Если b 6 A, то b = £a для некоторого £ 6 Hp(a). Так как £Hp(a) £ Hp(a), то Hp(a) £ £-1Hp(a) = Hp(£a), т.е. Hp(a) £ Hp(b) для любого b 6 A.
В леммах 4, 5 и в теореме 6 используются идеи доказательств некоторых результатов § 96 из [1].
Лемма 4. Пусть A = П шAi, B = Пj6JB, где Ai и Bj - квазиоднородные группы и rp(A,) = 1, rq(Bj) = 1 для некоторых p 6 n(A,), q 6 n(Bj). Тогда если n: A^-B - не-
нулевой гомоморфизм, то т!<т2 для некоторых т е Тр(А) и т2 е Тр(В]), где р е ЩА^ПЩВ,) и 1е1,}еЗ.
Доказательство. Найдется jеJ, для которого композиция гомоморфизмов A^B^Bj не равна нулю. Следовательно, можно считать, что В = Bj■ - квазиодно-родная группа р-ранга 1 для некоторого р е П(В). Если В = 2р, то доказывать нечего. Пусть В - узкая группа и ца ф 0 для а е А. Запишем а в виде а = (., а, .), где а, е А,. В силу квазиоднородности группы В можно считать, что А, е Яр. Соберем в одно слагаемое те А,, для которых совпадают р-характеристики Нр(а,). Пусть
1—г 2^0
ТН =11 я ( ) = НА . Тогда А = П НТН. Сомножителей ТН не более чем 2 (груп-
Н р ( а1) ~ Я
^ К
па 2р имеет мощность 2 0 , а всякая группа из Яр р-ранга 1 изоморфна некоторой подгруппе группы 2 р). Поэтому найдется конечный набор Нь ..., Нк, для которого пТН1,...,пТНк * 0, но п(П'ТН) = 0 (штрих означает, что Нф Нь ..., Нк). Представим элемент а в виде а = (..., аН, ...), где аН е ТН. Тогда па = ПаН1 + ••• + ПаНк • Если, например, паН1 * 0 , то тр (паН ) > тр (аН ), где тр (аН ) входит в TА(AI■) любой группы из произведения ТН1 , а паН1 е В.
Если А е Яр - р-однородная группа р-ранга 1 и 0 ф а,Ь е А, то /а = пЬ при некоторых / е Е(А) и п е N. Отсюда следует, что А - ^-однородная группа для каждого д е П(А).
Лемма 5. Пусть А = П ,е1 А, где каждая А , - р-однородная группа р-ранга 1 для некоторого р е П(А,). Тогда если О - квазиоднородное прямое слагаемое в А д-ранга 1 при некотором д е П(О), то О - д-однородная группа и найдется группа А, со свойством тд(О) = тд(А,).
Доказательство. Для каждого р е П(А) соберем группы А, одного и того же р-типа т и р-ранга 1 так, чтобы каждая группа соответствовала только одной паре (р, т); обозначим через АТ =Пт (А) = тА, произведение таких групп А,; групп в
2К0 „
этом произведении не более чем 2 . Можно считать, что О ¥ 2р ни для какого
р. Поэтому О - узкая группа. Следовательно, для проекции п. А^-О, А = О©С, найдется не более чем конечное число ненулевых образов пА1,..., пАТк, а произведение остальных групп Ат гомоморфизм п переводит в нуль. Следовательно, это произведение содержится в С и А © ... © АТк = О © С' для некоторой подгруппы
С' с С. Так как ВО ф 0 (и пА1; * 0) для некоторой проекции . А ^ Аг1
(I = 1, ..., к), то для каждого р е П(А,) следует, что р е П(О) и Тр(О) содержит р-тип т;. В частности, О - также р-однородная группа р-типа т и согласно замечанию перед леммой тд(О) = тд(А,) для данного простого д е П(О).
Теорема 6. Если А = П тАт = П т Вт е Яр, где Ат и Вт - прямые произведения р-однородных р-типа т групп р-ранга 1, а т пробегает различные р-типы, то Ат = Вт для каждого т.
Пусть AT = П i 61 At = Пj 6 JBj, где Ai - p-однородные p-типа т группы p-ранга 1, а Bj - квазиоднородные группы p-ранга 1. Тогда все группы Bj p-однородны и имеют p-тип т. Более того, при одном из следующих условий:
1) справедлива обобщенная гипотеза континуума;
2) Ai Ш Zp для каждого i, а множество I неизмеримо, выполняется равенство | I | = | J |.
Доказательство. Пусть п^: A^AT и рт: A^BT - проекции. В силу леммы 4
AT £ П s > т Bs. Элемент aT 6 AT запишем в виде aT = bT + ст, где bT 6 BT, ст 6 П s > т Bs. Снова по лемме 4 nTcT = 0 = pTcT. Откуда aT = nTaT = nTbT и bT = pTbT = pTaT. Таким образом, композиция гомоморфизмов AT ——^ BT ——^ AT есть тождественное
отображение группы AT. Согласно лемме 5, все Bj - p-однородные группы, поэтому в силу симметрии получаем изоморфизм AT^BT.
Если множество I конечно, то | I | = rp(AT) = | J |. Допустим, что I - бесконечное множество. Тогда если выполняется условие 1), то из равенств 2^ | = | AT | = 2| J |
К
(учесть, что | Ai |, | Bj | < 2 0) следует равенство | I | = | J |. Если выполняется условие 2), то, учитывая узкость групп Ai, для каждой группы R^Ai получаем
Hom(AT,R) = ® i61 Hom(A,,R) = ® j 6 J Hom(Bj,R).
(Неизмеримость | I | влечет неизмеримость 2| I | = 2| J | и, значит, неизмеримость | J |). Согласно лемме 1, последние прямые суммы имеют p-ранги | I | и | J | соответственно.
Напомним, что группа без кручения A называется связной, если для всякой ее ненулевой чистой подгруппы B факторгруппа A/B делима; это эквивалентно тому, что A - квазиоднородная группа и rp(A) = 1 для каждого p 6 n(A).
Пусть A = П ieiAi, где Ai - связные группы. Для p 6 n(A) через Qp(A) обозначим множество Qp(A) = {Tp(A) | At 6 Rp, i6I}. Если V и W - группы p-ранга 1 из Rp, то будем писать Tp(V)<Tp(W), если т1<т2 для некоторых т1 6 Tp(V) и т2 6 Tp(W) (это эквивалентно существованию ненулевых гомоморфизмов V-^-W).
Теорема 7. Пусть A = П i6I A, где At - связные редуцированные группы и для всех i6I иp 6 n(A) множество J(p)= {j6I | Tp(Aj)<Tp(Ai), p 6 n(A,)nn(Aj)} неизмеримо. Группа A является нильгруппой тогда и только тогда, когда для всех p 6 n(A) и любых т1,т2,т 6 Qp(A) выполняется неравенство т1т2 ^ т.
Доказательство. Воспользуемся изоморфизмом Mult A = Hom(A,E(A)+). Если A - нильгруппа, то, как ее прямые слагаемые, все Ai являются нильгруппами, в частности среди Ai не встречаются группы, изоморфные Zp . Имеем E(A)+ =
= Hom(AA) = П ieiHom(A,A,) [1, теорема 43.2]. Зафиксируем i6I и выберем некоторый p 6 n(A,). Запишем A в виде A = B,®Ch где Bt = Пj6JA, Ct = П S6І\JAS, J = {j6I | p 6 n(Aj) и Tp(Aj)<Tp(At)}. В силу связности групп As из леммы 4 следует, что HomCA) = 0. Поэтому Hom(AA,) = Hom(Bi,Ai). А так как все At - узкие группы, то HomBA) = ®jeJHom(Aj,^i) [1, следствие 94.5]. Здесь каждая группа Hom(AjA) является связной, множество p-типов ненулевых элементов которой
содержит p-тип T(p) : T(pj), где T(p> 6 Tp(Ai), T(pj) 6 Tp(Aj) (т(р) > T(pj)). Из вышесказанного следует, что E(A )+ можно рассматривать как подгруппу прямого произведения таких связных групп. Поэтому вновь по лемме 4 Hom(A,E(A)+) Ф 0 тогда и только тогда, когда т1^ < Tp) : Tp) или, эквивалентно, тр)t(S) < Tp) для некоторых
ij,S6I.
В работах [8 - 11] автор изучал проективно инвариантные подгруппы абелевых групп.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.
2. Чехлов А.Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 3(7). С. 64 - 67.
3. Иванов А.М. Об одном свойстве p-сервантных подгрупп группы целых p-адических чисел // Матем. заметки. 1980. Т. 27. № 6. С. 859 - 867.
4. Чехлов А.Р. Об абелевых группах без кручения, близких к квазисервантно инъективным // Абелевы группы и модули. 1985. С. 117 - 127.
5. Чехлов А.Р. О некоторых классах абелевых групп без кручения, близких к квазисер-вантно инъективным // Изв. вузов. Математика. 1985. № 8. С. 82 - 83.
6. Чехлов А.Р. Абелевы CS-группы без кручения // Абелевы группы и модули. 1988. С. 131
- 147.
7. Чехлов А.Р. О прямых произведениях и прямых суммах абелевых QCPI-групп без кручения // Изв. вузов. Математика. 1990. № 4. С. 58 - 67.
8. Чехлов А.Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76 - 82.
9. Чехлов А.Р. О подгруппах абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Фундамент. и прикл. матем. 2008. Т. 14. № 6. С. 211 - 218.
10. Чехлов А.Р. О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 31 - 36.
11. Чехлов А.Р. Сепарабельные и векторные группы, проективно инвариантные подгруппы которых вполне инвариантны // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50. № 4. С. 942 - 953.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 26.10.2009г.
