CC BY
16
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ИБН 1994-0408
электронный научно-технический журнал
О проблеме сопряженности в подпрямых произведениях
# 04, апрель 2013
Б01:10.7463/0413.0554654
Куликова О. В.
УДК 512.54.05
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана olga.kulikova@mail.ru
Введение
Пусть ^ ^(А) — свободная группа, порожденная конечным алфавитом А. Пусть N1
(соотв., N2) — нормальное замыкание конечного непустого множества Я1 (соответственно Я2) элементов в ^. Считаем, что множества Яг, г = 1, 2, симметризованны, т.е. все элементы множеств Яг циклически приведены и для каждого г € Яг все циклические перестановки элементов г и г-1 также лежат в Яг.
Будут использоваться следующие обозначения. Графическое (побуквенное) равенство слов и, V € ^ будет обозначаться и = V. Свободное равенство будет обозначаться и = V.
В данной работе рассматривается вопрос, какие условия на Я1 и Я2 являются достаточными для разрешимости проблемы сопряженности в F/N1 П ^.
Отметим, что данная задача естественным образом связана с подпрямыми произведениями. Напомним, что Н называется подпрямым произведением групп С1 и С2, если Н является подгруппой прямого произведения С1 х С2, которая сюръективно проецируется на каждый множитель. Рассматривая F/N1 П N2 как подгруппу прямого произведения групп F/N1 и F/N2, можно показать, что F/N1 П ^ является подпрямым произведением групп F/N1 и F/N2. И наоборот, для любого подпрямого произведения Н некоторых групп С1 и С2 существуют нормальные подгруппы N1 и ^ в некоторой свободной группе F, такие, что F/Ni = Сг (г = 1, 2) и F/Nl П N2 = Н.
Возникает естественный вопрос, следует ли разрешимость проблемы сопряженности в F/N1 П ^ из разрешимости проблемы сопряженности в F/N1 и F/N2.
Этот вопрос для подпрямых произведений некоторых групп уже рассматривался ранее. Так, К.Ф. Миллер [1] доказал, что существует подпрямое произведение Н < F х F, в котором проблема сопряженности не разрешима. Г. Баумслаг, М.Р. Бридсон, К.Ф. Миллер и X. Шот [2] доказали, что существует свободная от кручения гиперболическая группа Г
и конечно представленная подгруппа H < Г х Г, такие, что проблема сопряженности в H не разрешима. М.Р. Бридсон и К.Ф. Миллер [3] доказали, что если G является прямым произведением свободный групп и групп поверхностей, то в любой конечно представленной подгруппе группы G разрешима проблема сопряженности.
Данная работа является продолжением работ [4, 5].
1. Формулировки и доказательства
Для полноты изложения напомним необходимые определения и формулировки (см. [4]).
Пусть N — нормальное замыкание симметризованного множества R слов в свободной группе F (A).
Картинкой P над копредставлением G = (A | R) на ориентированной поверхности Т называется конечный набор вершин Vl, ..., Vn G Т вместе с конечным набором простых связных попарно непересекающихся ориентированный ребер E1, ..., Em G Т \ ({Vl, ..., Vn} U U дТ), помеченный словами из F(A). При этом ребро может соединять две (возможно совпадающие) вершины, вершину и точку на дТ или две различные точки на дТ. Более того, некоторые ребра могут не иметь ни начала, ни конца и являться циклами, такие ребра будут называться ребрами-циклами.
Ниже в работе будут рассматриваться только такие пути на Т, которые не проходят через вершины и пересекают ребра картинки P конечное число раз (более того, если путь пересекает ребро, то он действительно пересекает, а не просто касается его). При движении вдоль произвольного ориентированного пути y в положительном направлении мы встречаем последовательность ребер Ei1, ..., Eik с метками g^, .. ., gik соответственно. Эти метки образуют слово g^1 ■... ■ g^k, где £ij G {1, -1} — локальный индекс пересечения ребра Eij и пути y. Это слово будет называться словом вдоль пути y (или меткой y) и обозначаться через Lab+(Y). Движение по y в отрицательном направлении дает слово Lab-(Y) = Lab+(Y)-1.
Рассмотрим некоторую точку р на замкнутом пути y, не лежащую ни на каком ребре картинки P. Слово, читаемое вдоль y, начиная с точки р, будет обозначаться через Labp+(Y) или через Labp-(Y) в зависимости от направления движения вдоль y. Меняя расположение точки р, мы получаем то же слово с точностью до циклической перестановки.
Для каждой вершины V картинки P рассмотрим окружность Е малого радиуса с центром в V и точку р G Е, не принадлежащую никакому ребру картинки P. Слово (Е)
называется меткой вершины V. Для окончательного определения картинки над копредставлением G = (A | R) на поверхности Т остается потребовать, чтобы метки всех вершин в P принадлежали R.
Ниже мы будем рассматривать картинки на поверхности Т, где Т — тор (торические картинки) или диск (дисковые картинки).
В картинке на диске Т граничной меткой картинки называется слово ЬаЬр+(Ё), где Ё — окружность около границы диска дТ, а р — точка на окружности Ё, не принадлежащая ребрам.
Следующая лемма — хорошо известный факт, вытекающий из результатов [6] (теоремы
1.1 и лемма 1.2 гл. V) и двойственности.
Лемма 1. Непустое слово Ш в алфавите А представляет единицу в группе С = F/N тогда и только тогда, когда существует дисковая картинка над копредставлением (А | Я) группы С с граничной меткой, равной Ш.
Диполем называются две различные вершины V и V2 картинки Р, соединенные ребром, параллельно которому можно провести простой путь ^, не пересекающий никакие ребра и не проходящий через вершины, соединяющий точки р1 и р2 на окружностях Е1 и Е2 вокруг этих вершин, так что ЬаЬР1 + (Е1) = ЬаЬР2-(Е2).
Копредставление С = (А | Я) называется аторическим (см., например, [7]), если любая связная торическая картинка над копредставлением С = (А | Я), содержащая вершины, содержит диполь.
Подробнее с картинками и связанными с ними понятиями и утверждениями можно ознакомится по работам [8, 9] и данным в них ссылкам.
В работе [4] доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть F — свободная группа, порожденная конечным алфавитом А, N и N — нормальные замыкания конечных непустых симметризованных множеств Я1 и Я2 элементов в F соответственно. Предположим, что для групп Сг = F/Nг, г = 1, 2, и С = F/N1N2 выполняются следующие условия:
а) в Сг разрешима проблема сопряженности;
б) в Сг существует алгоритм, позволяющий по несократимому слову х € F, х = 1, определить все такие г € F, что х € (г) в Сг, причем таких различных элементов г из Сг — конечное число;
в) в С разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу;
г) копредставление С = (А | Я1 и Я2) является аторическим.
Тогда в F/N1 П N разрешима проблема сопряженности.
Отметим, что для непересекающихся Я1 и Я2 условие г) теоремы 1 обеспечивает равенство N П N = [^, N2 (см., например, [10, 11]).
Напомним определения малых сокращений С(к) и Т(д) [6].
Предположим, что г1 и г2 — различные элементы из Я, такие, что г1 = Ьс1 и г2 = Ьс2. В этом случае элемент Ь называется куском относительно множества Я. Говорят, что множество Я удовлетворяет условию С(&), где к — некоторое натуральное число, если никакой элемент из Я не является произведением менее, чем к кусков.
Пусть 3 < к < д. Предположим, что г1, .. ., г^ — элементы из Я, такие, что последовательные элементы не являются взаимно обратными. Если по крайней мере одно из
произведений rlr2, .. ., rh-lrh, rhrl приведено, то говорят, что множество R удовлетворяет условию T(q).
Хорошо известен следующий результат П. Шупа [6, теорема 7.6].
Теорема 2. Пусть F — конечно порожденная свободная группа, R — конечное симме-тризованное непустое подмножество в F и N — нормальное замыкание множества R в F. Если R удовлетворяет одному из условий C(б), C(4)-T(4) или C(3)-T(б), то в G = F/N разрешима проблема сопряженности.
Из этого результата и результатов Н.В. Безверхнего [12], примененных к множествам с условием C(б), вытекает следующая теорема [4] (в формулировке теоремы используются обозначения из теоремы 1).
Теорема 3. Если множество Rl U R2 удовлетворяет условию C(б) и копредставление G = (A I Rl U R2) является аторическим, то в группе F/Nl П N2 разрешима проблема сопряженности.
Теперь рассмотрим множества с условием C(4)-T(4) (C(3)-T(б)). В обозначениях теоремы 1 получаем следующее утверждение.
Теорема 4. Если множество Rl U R2 удовлетворяет условию C(4)-T(4) или C(3)-T(б) и копредставление G = (A I Rl UR2) является аторическим, то в группе F/Nl П N2 разрешима проблема сопряженности.
Доказательство. Сформулированная теорема 4 вытекает из теоремы 1. Покажем это. Так как множество Rl U R2 удовлетворяет условию C(4)-T(4) или C(3)-T(б), тому же условию удовлетворяют и его подмножества Rl и R2. Поэтому для множеств Gl и G2 верно условие а) согласно [6, теорема 7.6], а также условие г) согласно [13, теорема 1] и [14, теорема 4]. Условие б) вывтекает из [14, следствие 4.1], [15, теорема 2] и (если в Gi есть элементы конечного порядка) [16, теорема 1.4] с учетом аторичности. Теорема доказана.
Нетрудно доказать (см., например, [17, теорема 6]), что условие C(p)-T(q), где 1 +1 < 1,
p q 2
обеспечивает аторичность, поэтому из теорем 3 и 4 (в обозначениях теоремы 1) вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Если множество Rl U R2 удовлетворяет условию малых сокращений C(p)-T(q), где —|— < -, то в группе F/Nl П N2 разрешима проблема сопряженности.
p q 2
Заключение
Известно [6], что если множества Ri удовлетворяют одному из условий C(б), C(4)-T(4) или C(3)-T(б), то в группе F/Ni разрешима проблема сопряженности. Из данной работы и работы [4] следует, что если к любому из этих условий на множестве Rl UR2 добавить условие аторичности копредставления (A I Rl, R2), то проблема сопряженности будет разрешима и в группе F/Nl П N2. Таким образом, данная работа завершает рассмотрение стандартных условий малых сокращений для аторических копредставлений в применении к вопросу
о резрешимости проблемы сопряженности в F/Nl П N2. В частности, в данной работе получено достаточное условие для разрешимости проблемы сопряженности в F/Nl П N2, использующее только условия малых сокращений, а именно, для разрешимости проблемы сопряженности в F/Nl П N2 достаточно потребовать, чтобы множество Rl U R2 удовлетворяло условию C(р)-Т(q), где —|— < -.
p q 2
Автор благодарна Н.В. Безверхнему за полезные обсуждения во время подготовки этой работы.
Список литературы
1. Miller III C.F. On group-theoretic decision problems and their classification. Princeton University Press, 1971. 106 p. (Annals of Mathematics Studies; no 68.)
2. Baumslag G., Bridson M.R., Miller III C.F., Short H. Fibre products, non-positive curvature
and decision problems // Comm. Math. Helv. 2000. No. 75. P. 457-477.
3. Bridson M.R., Miller III C.F. Structure and finiteness properties of subdirect products of groups // Proc. London Math. Soc. 2009. No 98 (3). P. 631-651.
4. Куликова О.В. О проблеме сопряженности в группе F/Nl П N2 // Математические заметки (в печати).
5. Kulikova O.V. On the conjugacy problem in group F/Nl П N2. Режим доступа: arXiv: 1109.1254v1 [math.GR] (дата обращения 01.02.2013).
6. Линдон Р., Шуп П. Комбинаторная теория групп: пер. с англ. Ю.А. Бахтурина / под ред. В.Н. Ремесленникова и В.А. Романькова. М.: Мир, 1980. 447 с. [Lindon R.S., Schupp P.E. Combinatorial group theory. Berlin-Heidelberg-NewYork: Springer-Verlag, 1977.]
7. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 446 с.
8. Pride S.J. Identities among relations of group presentations // Proceedings of the Workshop on Group Theory from a Geometrical Viewpoint / E. Ghys, A. Haefliger, A. Verjovski, eds. Singapore: World Scientific Publishing, 1991. P. 687-717.
9. Bogley W.A., Pride S.J. Calculating Generators of n2 // Two-dimensional Homotopy Theory and Combinatorial Group Theory / C. Hog-Angeloni, W. Metzler, A.J. Sieradski, eds. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. P. 157-188. (London Math. Soc. Lec. Notes; vol. 197.)
10. Gutierrez M.A., Ratcliffe J.G. On the second homotopy group // Quart. J. Math. Oxford. 1981. Vol. 32, iss. 1. P. 45-55. DOI: 10.1093/qmath/32.1.45
11. Kulikova O.V. On intersections of normal subgroups in free groups // Algebra and discrete mathematics. 2003. No. 1. P. 36-67.
12. БезверхнийН.В. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группе с условием C(6) // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 39-46.
13. Безверхний Н.В. Проблема вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(3)-Т(6) //Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. (в печати).
14. Безверхний Н.В., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(4)-Т(4). Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп // Межвузовский сборник научных трудов. Тула: изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2001. С. 120-139.
15. Безверхний Н.В. Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием C(3)-Т(6) // Известия ТулГУ Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 5-12.
16. Bogley W. A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2). 1992. Vol. 35, iss. 1. P. 1-39. DOI: 10.1017/S0013091500005290.
17. Куликова О.В. Об аторических относительный копредставлениях // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. Журн. 2011. №11. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/251232.html (дата обращения 11.11.2011).
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
On the conjugacy problem in subdirect products
# 04, April 2013
DOI: 10.7463/0413.0554654
Kulikova O. V.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation olga.kulikova@mail.ru
The conjugacy problem is one of the three fundamental algorithmic problems of the group theory, formulated by M. Dehn in 1912. The negative answer to this problem was obtained by PS. Novikov in 1955: he created a finitely presented group with an unsolvable word equality problem; so he proved that in the class of finitely presented groups the conjugacy problem is also unsolvable. After that one began to study the conjugacy problem in particular classes of finitely presented groups and their subgroups. In 1971 C.F. Miller III constructed a subdirect product of free groups with the unsolvable conjugacy problem. This subdirect product is almost never finitely presented. In 2000 G. Baumslag et al. proved that there exist torsion-free word hyperbolic groups the direct product of which contains a finitely presented subgroup with the unsolvable conjugacy problem. For a direct product of free and surface groups M.R. Bridson and. C.F. Miller III proved in 2009 that any finitely presented subgroup of this direct product has a solvable conjugacy problem. The present paper is a sequel of the paper in which the conjugacy problem for subdirect products was studied with the use of pictures; and, in particular, it was proved that solvability of the conjugacy problem for subdirect products follows from atoricity and the small cancellation condition C(6). Pictures are geometric objects dual to van Kampen diagrams. In 1968 P. Schupp was the first to use van Kampen diagrams to solve the conjugacy problem in a group under the nonmetric conditions C(p) and T(q). In this paper it is proved that under atoricity and the condition C(4)-T(4) or C(3)-T(6), the conjugacy problem for subdirect products is solvable. Also in this paper the sufficient condition for solvability of the conjugacy problem for subdirect products is expressed with small cancellation conditions only.
References
1. Miller III C.F. On group-theoretic decision problems and their classification. Princeton University Press, 1971. 116 p. (Annals of Mathematics Studies; no. 68.).
2. Baumslag G., Bridson M.R., Miller III C.F., Short H. Fibre products, non-positive curvature and decision problems. Comm. Math. Helv., 2000, no. 75, pp. 457-477.
3. Bridson M.R., Miller III C.F. Structure and finiteness properties of subdirect products of groups. Proc. London Math. Soc., 2009, no. 98 (3), pp. 631-651.
4. Kulikova O.V. O probleme sopriazhennosti v gruppe F/N R N2 [On the problem of conjugate in the group of F/N1 R N2]. Matematicheskie zametki (in print).
5. Kulikova O.V. On the conjugacy problem in group F/N1 R N2. Available at: arXiv: 1109.1254v1 [math.GR], accessed 01.02.2013.
6. Lindon R.S., Schupp P.E. Combinatorial group theory. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1977. (Russ. ed.: Lindon R., Shup P. Kombinatornaia teoriia grupp. Moscow, Mir, 1980. 447 p.).
7. Ol’shanskii A.Iu. Geometriia opredeliaiushchikh sootnoshenii vgruppakh [Geometry of defining relations in groups]. Moscow, Nauka, 1989. 446 p.
8. Pride S.J. Identities among relations of group presentations. In: Ghys E., Haefliger A., Ver-jovski A., eds. Proceedings of the Workshop on Group Theory from a Geometrical Viewpoint. Singapore, World Scientific Publishing, 1991, pp. 687-717.
9. Bogley W.A., Pride S.J. Calculating Generators of n2. In: Hog-Angeloni C., Metzler W., Sieradski A.J., eds. Two-dimensional Homotopy Theory and Combinatorial Group Theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. (London Math. Soc. Lecture Notes Ser.; vol. 197), pp. 157-188.
10. Gutierrez M.A., Ratcliffe J.G. On the second homotopy group. Quart. J. Math. Oxford, 1981, vol. 32, no. 1, pp. 45-55. DOI: 10.1093/qmath/32.1.45.
11. Kulikova O.V. On intersections of normal subgroups in free groups. Algebra and discrete mathematics, 2003, no. 1, pp. 36-67.
12. Bezverkhnii N.V. Razreshimost’ problemy vkhozhdeniia v tsiklicheskuiu podgruppu v gruppe s usloviem S(6) [On the solvability of the general word problem for a cyclic subgroup of a group with condition C(6)]. Fundamental’naia iprikladnaia matematika, 1999, vol. 5, no. 1, pp. 39-46.
13. Bezverkhnii N.V. Problema vkhozhdeniia v tsiklicheskuiu podgruppu v gruppakh s usloviem S(3)-T(6) [The problem of occurrence in a cyclic subgroup at the groups with condition C(3)-T(6)]. Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU]. (in print)
14. Bezverkhnii N.V., Parshikova E.V. Reshenie problemy vkhozhdeniia v tsiklicheskuiu podgruppu v gruppe s usloviem C(4)-T(4). Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp [The solution of problems of integration in a cyclic subgroup of a group with condition C(4)-T(4). Algorithmic problems of the theory of groups and semigroups]. Mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov [Interuniversity collection of scientific papers]. Tula, Tolstoi TSPU Publ., 2001, pp. 120-139.
15. Bezverkhnii N.V. Transliatsionnye chisla i problema kornia v gruppakh s usloviem S(3)-T(6) [Normal forms of elements of infinite order in a group with C(3)-T(6) conditions]. Izvestiia TulGU. Estestvennye nauki, 2012, no. 2, pp. 5-12.
16. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations. Proc. Edinburgh Math. Soc. (Series 2), 1992, vol. 35, no. 1, pp. 1-39. DOI: 10.1017/S0013091500005290.
17. Kulikova O.V. Ob atoricheskikh otnositel’nykh kopredstavleniiakh [On atorical relative presentations]. Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 11. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/251232.html, accessed 11.11.2011.
