CC BY
29
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Проблема вхождения в циклическую подгруппу
в группах с условием С(3)-Т(6)
# 11, ноябрь 2013
Б01:10.7463/1113.0622536
Безверхний Н. В.
УДК 519.40
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана nbezv@mail.ru
Введение
В данной статье доказывается алгоритмическая разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в классе групп с условиями малого сокращения С(3)-Т(6).
Проблема вхождения в циклическую подгруппу решена в классах групп с условиями С(6)-Т(3) [1] и С(4)-Т(4) [2]. Здесь мы завершаем исследование для разрешимости данной проблемы в классе групп с условиями С(р) — Т(д) : (р, д) € {(6, 3), (4, 4), (3,6)}, соответствующих покрытиям плоскости регулярными мозаиками.
Основная теорема 2 сформулирована в пункте 1 статьи. Там же вводятся основные понятия теории малых сокращений и геометрическая интерпретация условий С(3)-Т(6).
В пункте 2 вводятся понятия К, К-сокращений в словах и их интерпретация на языке групповых диаграмм.
В пункте 3 показано, как строятся нормальные формы для элементов бесконечного порядка, а в пункте 4 с их помощью доказывается теорема 2.
1. Условия малого сокращения
Пусть группа О задана множеством образующих X и определяющих соотношений К. Будем считать, что X = X-1, то есть содержит инверсии всех своих элементов, а множество К, кроме того, содержит все циклические перестановки своих элементов: К = К*. При этом оба множества: образующих и определяющих соотношений — считаем конечными, и группу О с копредставлением О = (X; К) называем конечноопределенной и конечнопорожденной.
Свойства копредставлений групп изложены в монографиях [3, 4, 5]. В этой статье мы будем придерживаться общепринятой терминологии: слова равны в группе О = (X; К), если они представляют равные элементы д, к этой группы, то есть V может быть
получено из т в результате выполнения конечного числа вставок и удалений слов из Я и тривиальных соотношений вида хх-1; если в группе С верно равенство д = /-1Л/, то слова V, т представляющие элементы д, Л, сопряжены в группе С : т ~ V.
Кроме проблемы вхождения в циклическую подгруппу, рассмотрим алгоритмическую разрешимость следующих близких ей проблем: сопряженного вхождения в циклическую подгруппу, проблемы корня.
Будем говорить, что в группе С = (X, Я) разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу, если существует алгоритм, выясняющий для любых слов т,^ в алфавите X, существует ли целое число п : V = тп в группе С.
Проблема сопряженного вхождения в циклическую подгруппу разрешима, если для любых слов можно выяснить, существуют ли целое число п и слово г в алфавите X : г-1^ = тп в группе С.
Разрешимость проблемы корня означает, что для любых слова т и целого п можно выяснить, существует ли слово и : т = ип в группе С.
Все эти проблемы решаются похожими методами, использующими групповые диаграммы с Я, Я-несократимыми метками.
Проверка равенства V = тп при каждом конкретном п осуществляется с помощью алгоритма, изложенного в [4] при решении проблемы равенства в классе групп с условиями С (р)-Т(д) при (р, д) е {(3, 6), (4,4), (6, 3)} , поэтому для доказательства алгоритмической разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу достаточно ограничить сверху число |п| и конечное число раз применить алгоритм, решающий проблему равенства.
Кроме того, в случае конечной циклической группы Н =< т > перебор автоматически становится конечным. Конечность же порядка элемента, представленного словом т, может быть проверена с помощью следующего результата.
Теорема 1 (Характеристическое свойство элементов конечного порядка в группах с условиями малого сокращения [6, 7]). Пусть С = (X, Я) — группа с условиями С(р)-Т(д) при (р, д) е {(3, 6), (4, 4), (6, 3)}. Тогда если слово т в алфавите X представляет в группе С элемент конечного порядка, то существует слово г е Я вида г = 1: вр ~ т при
некотором р е {1, 2,... ,£}.
При решении проблемы сопряженного вхождения в циклическую подгруппу в случае, когда порядок слова т в группе С конечен, проверка сводится в конечному числу применений алгоритма, изложенного в [4] для решения проблемы сопряженности слов в группах с условиями С(р)-Т(д) при (р, д) е {(3, 6), (4, 4), (6, 3)}. Если же порядок т бесконечен, то приходится ограничивать |п| функцией длины слова V. Это сделано в [8] в классе групп с условиями С(3)-Т(6), в [9] для групп с условиями С(6)-Т(3), в [2] для групп С(4)-Т(4).
Разрешимость проблемы корня следует из того, что для Я, Я-несократимых слов ип, т, равных в группе С, длина |ип| может быть ограничена линейной функцией длины |т|, а значит, все опять сводиться к конечному числу проверок на равенство слов в группе С. Во всех трех перечисленных классах групп эта проблема решена в работах [1], [2], [11].
Обратимся к основным понятиям теории малых сокращений.
Будем говорить, что слово п в порождающих X группы G = (X, К) с симметризованным множеством К определяющих соотношений (то есть содержащим все циклические перестановки и инверсии своих элементов) является куском, если п является общим началом двух различных слов из К.
Поясним смысл условий С(3) и Т(6). Группа О удовлетворяет условию С(3), если она обладает копредставлением О = (X, К) с симметризованным множеством К, в котором любое слово не представимо в виде произведения менее, чем трех кусков. Здесь под произведением кусков следует понимать операцию умножения в свободной группе ^ (X).
Соответственно, группа О удовлетворяет условию Т(6), если для любого натурального £ € (2; 6) и любого набора слов г1,...,г4 из К таких, что в последовательности г1, г2,..., г^, г^+1,..., г4, г1 соседние слова не являются взаимно обратными в ^(X), по крайней мере одно из произведений г1г2,..., г^1 приведено в ^ (X).
Геометрически условие С(3) означает, что в приведенной диаграмме М [4] (не содержащей зеркальных пар областей) над группой О = (X, К) любая внутренняя область содержит в граничном цикле не менее трех ребер. Условие Т(6) означает, что в диаграмме М любая внутренняя вершина имеет степень не менее шести.
Рассмотрим дополнительное условие Р, которое означает, что все куски имеют единичную длину, то есть являются элементами множества X, и ни одно соотношение г из К не является степенью: не существует к > 1, для которого г = вк для непустого слова 5, где последнее равенство означает графическое совпадение слов.
В статье [11] доказана разрешимость проблемы корня в группах с условиями С(3)-Т(6). Тем самым результат [12] усилен, поскольку доказанное в [11] утверждение о разрешимости проблемы корня оказывается верно не только для групп без кручения, но и для групп, содержащих элементы конечного порядка.
Действительно, в соответствии с характеристическим свойством элементов конечного порядка, группа О = (X, К) с условиями С(3)-Т(6) содержит элементы конечного порядка тогда и только тогда, когда в множестве К есть соотношение кручения, то есть вида г = вк, а именно таких соотношений не должно быть в К в соответствии с условием Р, фигурирующим в статье [12].
Теорема 2. Пусть О = (X; К) — группа с условиями С(3)-Т(6). Тогда в ней разрешима проблема вхождения в циклическую подгруппу, то есть существует алгоритм, выясняющий для любых слов V, и>, представляющих элементы группы О, существует ли целое п = ±1, для которого верно равенство V = и>га.
Необходимо отметить следующее свойство всех копредставлений, удовлетворяющих условиям Т(д) при д > 4. Доказательство этого свойства можно найти в статье [13], или рассмотреть в качестве простого упражнения.
Итак, если группа О = (X, К) удовлетворяет условию Т (д), д > 4, то длина любого куска равна 1.
2. Групповые диаграммы и сокращения в словах
Результаты данной работы получены методом диаграмм над группой С. Границу области О (диаграммы М) будем обозначать так: дО (дМ). Граничная метка ^(дМ) диаграммы М читается против часовой стрелки, а граничная метка ^(дМ) области О — по часовой стрелке.
Определение 1. Рассмотрим диаграмму М. Область О С М называется дэновской, если:
1) дО П дМ — последовательная часть границы дМ (то есть дО П дМ = р — подпуть в граничных циклах области О и диаграммы М [2]);
2) число внутренних ребер области О, обозначаемое через ¿(О), удовлетворяет условию
¿(О) е {0,1}.
Понятие дэновской области аналогично определяется и для карты М.
Определение 2. Будем говорить, что в слове т есть Я-сокращение, если существует такой элемент г е Я, что:
1) г = Г1Г2;
2) т = т1т2т3;
3) п = т>;
4) слово г2 либо пусто, либо является куском;
5) слова т1г2, г2т3 несократимы в свободной группе;
6) в случае замены слова т равным ему в группе С словом т1г2т3 будем говорить, что в т выполнено Я-сокращение.
Если в любой циклической перестановке слова т нет Я-сокращений, то слово т называется циклически Я-несократимым.
к
Определение 3. Полосой в диаграмме М называется поддиаграмма П = у Di со
г=1
следующими свойствами:
1) дDi П дМ = р — последовательная часть границы дМ;
2) дП П дМ — последовательная часть границы дМ;
3) если к = 3, то ¿(О1) = ¿(О2) = ¿(О3) = 2, причем соседние области имеют общее ребро, а все три области полосы имеют общую вершину; если к > 3, к = 2/ + 1, то ¿(О1) = г(О2) = ¿(Оя) = г(О2г+1) = 2, ¿(Оз) = г(Об) = ... = г(О2г-з) = ¿№-1) = 3, ¿(О4) = ¿(Об) = ¿(О21-4) = ¿(О21-2) = 2;
4) дDi П дА+1 — ребро (¿ = 1,..., к - 1).
Легко проверить, что любая полоса в диаграмме М с циклически несократимой в свободной группе, циклически Я-несократимой граничной меткой ^(дМ) являеся приведенной диаграммой.
Понятие Я-сокращения можно определять в рассматриваемом классе групп аналогично тому, как это сделано для Я-сокращения. Но из-за громоздкости такого определения в груп-
пах, удовлетворяющих условию Т(6), будем пользоваться другим, эквивалентным определением.
Определение 4. Пусть П — полоса в диаграмме М. Граничным словом области ^ С П называется метка пути П дМ, прочитанная в соответствии с ориентацией области Граничным словом полосы П называется метка пути дП П дМ, прочитанная в направлении, противоположном ориентации границы дМ. Аналогично определяется граничное слово дэновской области.
Понятиям К-, К-сокращений дадим определения, использующие только язык диаграмм, и лишенные громоздких соотношений между определяющими словами. Эти определения и будем в дальнейшем использовать.
Определение 5. Будем говорить, что в слове V есть К-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма М над копредставлением О = (X; К), в которой существует дэновская область, граничное слово которой является подсловом в V. В слове V есть К-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма М над копредставлением О = (X; К), в которой существует полоса П, граничное слово которой является подсловом в V.
Из приведенных определений следует, что для любого циклически несократимого в ^(X) слова т, не равного единице в группе О, существует циклически К, К-несократимое слово т0, сопряженное с т в О.
Действительно, в результате К, К-сокращения длина слова строго уменьшается. Поэтому, записав произвольное слово т на окружности С и выполняя в его циклических перестановках К, К-сокращения, получим либо пустое слово, что невозможно, поскольку т =1 в О, либо непустое слово т0, в циклических перестановках которого нет К, К-сокращений.
Заметим, что о единственности К-, К-несократимого представителя речь не идет.
3. Нормальные формы для элементов бесконечного порядка
В статье [14] доказаны две основные теоремы. В первой из них утверждается, что существовует алгоритм, строящий из любого циклически К, К-несократимого слова т сопряженное его степени слово, любая степень которого К-несократима.
Во второй доказано существование алгоритма, строящего из циклически К, К-несократимого слова т, любая степень которого К-несократима, сопряженное ему в группе О слово т0, любая степень которого К, К-несократима.
При этом из доказательства обеих теорем следует, что очевидной является возможность построения сопрягающего слова г : т = 1.
Представитель т0 слова т, обладающий
свойством К-, К-несократимости всех своих степеней, называется нормальной формой слова т. Отметим, что мы не утверждаем единственность нормальной формы.
Теорема 3 ([14]). Пусть слово т представляет в группе О = (X; К), удовлетворяющей условиям С(3)-Т(6), элемент бесконечного порядка, причем само слово т циклически
несократимо в свободной группе и циклически R, R-несократимо. Обозначим
m = max Irl. теп
Тогда:
1) если для некоторого n' G N слово wn' R-сократимо, то существует n G N, n < m, для которого слово wn R-сократимо.
2) если число m' удовлетворяет неравенствам 1 < m' < m, и для некоторой циклической перестановки w* слово (w*)m' R-сократимо, причем ни при каком m'' < m' в слове (w*)m" нет R-сокращений, то в результате выполнения этого сокращения получается слово wo = (w*)m' (равенство в группе G), любая степень которого R-несократима.
Теорема 4 ([14]). Пусть слово w представляет в группе G = (X; R), удовлетворяющей условиям C(3)-T(6), элемент бесконечного порядка, причем само слово w циклически R-несократимо, а все его степени wn R-несократимы. Тогда:
1) если слово w2 R-несократимо, то любая степень wn R-несократима;
2) если же в слове w2 есть R-сокращение, то либо все степени слова wi = w2 (равенство в группе G), полученного из w2 в результате этого R-сокращения, R, R-несократимы, либо существует конечный алгоритм, строящий последовательность сопряженных в группе G слов w, w1,..., wt, в которой t < |w|, и слово wt R, R-несократимо вместе со своими степенями.
Фактически в этих теоремах доказано существование алгоритма, строящего по любому циклически несократимому в F (X) слову w, представляющему элемент бесконечного порядка группы G = (X; R) с условием C(3)-T(6), слово w0 ~ wm', m' < m = maxTen|r|, любая степень которого R, R-несократима.
Благодаря характеристическому свойству элементов конечного порядка (теорема 1) , нормальные формы можно строить только для элементов бесконечного порядка, как это сделано в теоремах 3,4. Для элементов конечного порядка в контексте рассмотренных задач (проблемы вхождения в циклическую подгруппу и сопряженного вхождения в циклическую подгруппу) нормальные формы не нужны: все решается конечным перебором с применением алгоритмов, построенных для решения проблем равенства и сопряженности.
4. Доказательство теоремы 2
Лемма 1 ([9]). Пусть M — приведенная, связная, односвязная диаграмма над группой
G = (X, R) с условиями C(3)-T(6), dM = a U т, ф(а) = u, ф(т) = v, где u, v — R, R-несократимые слова. Тогда существуют числа C1, C2 > 0, не зависящие от u, v, такие, что
Ci|v| < |u| < C2|v|.
Доказательство. Для доказательства теоремы 2 достаточно рассмотреть связную односвязную диаграмму M с граничными метками ф(а) = v, ф(т) = wn. Здесь слова v, w
даны, а показатель п может и не существовать. Таким образом, мы предполагаем, что элемент с представителем V принадлежит циклической подгруппе < т >.
Для применения неравенств из леммы 1 надо добиться несократимости граничных меток диаграммы М. Воспользуемся нормальными формами [14]. Пусть т0 — нормальная форма для т : и)т' = г-1т0г. Тогда
тпт' = vm,, (г-1т0^)га = vm, ,< = -1.
Выполнив все К, К-сокращения в слове получим равное ему в группе О несокра-
тимое слово По определению нормальной формы слово и>П тоже несократимо. Значит, для этой пары слов применима лемма 1 (существование диаграммы М следует из леммы Ван Кампена). Из леммы 1 делаем вывод об ограниченности длины слова тП : | тП | < С2^0|, а значит, п < |тП| < C2|v0|, и конечным перебором с помощью известного алгоритма [2], решающего проблему равенства слов в рассматриваемом классе групп, можно выяснить, существует ли п с указанным свойством. Теорема доказана.
Заключение
В этой статье получен результат, завершающий исследования в трех классах групп с малыми сокращениями С(р)-Т(д), проведенные в следующих направлениях: доказательство разрешимости проблем корня, вхождения в циклическую подгруппу и сопряженного вхождения в циклическую подгруппу.
Открытым остается четвертое направление для трех рассмотренных классов групп: решить проблему степенной сопряженности, которая состоит в следующем. Для любых слов т, V выяснить, существуют ли целые числа т, п : тп ~ vm.
Список литературы
1. Безверхний Н.В. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием С(6) // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 4, №1. С. 39-46.
2. Безверхний В.Н., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием С(4)-Т(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. науч. трудов. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2001. С. 120-139.
3. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп: пер. с англ. М.: Наука, 1974. 456 с.
4. Линдон Н., Шупп П. Комбинаторная теория групп: пер. с англ. М.: Мир, 1980. 448 с.
5. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989. 448 с.
6. Безверхний H.B. О кручении о и разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C (б). M., 1995. Деп. в BИHИТИ, № 2G33-B95.
7. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of Edinburg Math. Soc. Ser. II. 1992. Vol. 35, no. 1. P. 1-39. DOI: 1G.1G17/SGG13G915GGGG529G.
В. Безверхний H.B. Проблема сопряженного вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(3)-T(б) // Дискретная математика. 2G12. Т. 24, вып. 4. С. 27-47.
9. Безверхний H.B. Слабая проблема степенной сопряженности в C(б)-группах // M., 1999. Деп. в BИHИТИ, № 596-B99.
1G. Паршикова E.B. Проблема слабой степенной сопряженности в группах с условием C(4)-T(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. науч. трудов. Тула: Изд-во ТГПУ им. Ë.H. Толстого, 2GG1. С. 179-1В5.
11. Безверхний H.B. Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием C(3)-T(б) // Известия ТулГУ Естественные науки. 2G12. Bbm. 2. С. 5-12.
12. I.Kapovich Small cancellation groups and translation numbers // Amer. Math. Soc. 1997. Vol. 349, no. 5. P. 1В51-1В75.
13. Gersten S., H.Short Small cancellation theory and automatic groups // Invent. math. 199G. Vol. 1G2, no. 1. P. 3G5-334. DOI: 1G.1GG7/BFG123343G.
14. Безверхний H.B. ^рмальные формы для элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(3)-T(б) //Известия ТулГУ. Естественные науки. 2G1G. Bbm. 1. С. 6-25.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Occurrence problem in a cyclic subgroup in groups with small cancellation conditions C(3)-T(6) # 11, November 2013 DOI: 10.7463/1113.0622536 Bezverkhny N. V.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation nbezv@mail.ru
In this paper the author proves that in groups with small cancellation conditions C(3)-T(6) an occurrence problem in a cyclic subgroup is solvable; in other words, for any elements (g, h) of such a group one can determine whether there exists an integer n = ±1 : gn = h. This result is the latest in a series of theorems on groups with small cancellation conditions C(p)-T (q), proved by the author: on resolvability of a root problem, on resolvability of a problem of conjugated appearance in a cyclic subgroup, on the norm forms of elements in the infinite order and on the characteristic property of elements in the finite order. The results were obtained with the use of the group diagram method. As a direction for further development, it is planned to solve a problem of power conjugation in the specified class of groups.
References
1. Bezverhnij N.V. Razreshimost' problemy vhozhdenija v ciklicheskuju podgruppu v gruppah s usloviem C(6) [On the solvability of the general word problem for a cyclic subgroup of a group with condition C(6)]. Fundamental'naia iprikladnaia matematika, 1999, vol. 5, no. 1, pp. 39-46.
2. Bezverhnij V.N., Parshikova E.V. Reshenie problemy vhozhdenija v ciklicheskuju podgruppu v gruppah s usloviem C (4)-T (4) [The solution of problems of integration in a cyclic subgroup of a group with condition C(4)-T(4)]. Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp: mezhvuz. sb. nauch. trudov [Algorithmic problems of the theory of groups and semigroups: interuniversity collection of scientific papers]. Tula, Tolstoi TSPUPubl., 2001, pp. 120-139.
3. Magnus W., Karras A., Solitar D. Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations. John Wiley and Sons, Inc., New York-London-Sydney,
1966. 444 p. (Russ. ed.: Magnus W., Karras A., Solitar D. Kombinatornaja teorija grupp. Moscow, Nauka, 1974. 456 p).
4. Lyndon R., Schupp P. Combinatorial group theory. Springer-Verlag, Berlin, 1977. (Russ. ed.: Lyndon R., Schupp P. Kombinatornaja teorija grupp. Moscow, Mir, 1980. 448 p.).
5. Ol'shanskij A.Ju. Geometrija opredeljajushhih sootnoshenij v gruppah [Geometry of defining relations in groups]. Moscow, Nauka, 1989. 448 p.
6. Bezverhnij N.V. O kruchenii o i razreshimostiproblemy vhozhdenija v ciklicheskujupodgruppu v gruppah s usloviem C(6) [Torsion and solvability of the general word problem for a cyclic subgroup of a group with condition C(6)]. Moscow, 1995. Dep. VINITI no. 2033-V95.
7. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations. Proc. of EdinburgMath. Soc. Ser. 2, 1992, vol. 35, no. 1, pp. 1-39. DOI: 10.1017/S0013091500005290.
8. Bezverhnij N.V. Problema soprjazhjonnogo vhozhdenija v ciklicheskuju podgruppu v gruppah s usloviem C(3)-T(6) [The power conjugacy search problem in a cyclic subgroup in groups with the condition C (3)-T (6)]. Diskretnaja matematika, 2012, vol.24, iss. 4, pp. 27-46. (English Translation: Discrete Mathematics and Applications, 2012, vol. 22, iss. 5-6, pp. 521544. DOI: 10.1515/dma-2012-036).
9. Bezverhnij N.V. Slabajaproblema stepennoj soprjazhjonnosti v C(6)-gruppah [Weak power conjugacy problem in C(6)-groups]. Moscow, 1999. Dep. VINITI no. 596-V99.
10. Parshikova E.V. Problema slaboj stepennoj soprjazhjonnosti v gruppah s usloviem C(4)-T(4) [The problem of weak power conjugacy in groups with condition C (4)-T (4)]. Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp: mezhvuz. sb. nauch. trudov [Algorithmic problems of the theory of groups and semigroups: interuniversity collection of scientific papers]. Tula, Tolstoi TSPUPubl., 2001, pp. 179-185.
11. Bezverhnij N.V. Transljacionnye chisla i problema kornja v gruppah s usloviem C(3)-T(6) [Translational numbers and problem of root in group with C(3)-T(6) condition]. Izvestija TulGU. Estestvennye nauki, 2012, iss. 2, pp. 5-12.
12. I.Kapovich Small cancellation groups and translation numbers. Amer. Math. Soc., 1997, vol.349, no. 5, pp. 1851-1875.
13. Gersten S., H.Short Small cancellation theory and automatic groups. Invent. Math., 1990, vol. 102, no. 1, pp. 305-334. DOI: 10.1007/BF01233430.
14. Bezverhnij N.V. Normal'nye formy dlja jelementov beskonechnogo porjadka v gruppah s uslovijami C(3)-T(6) [Normal forms for elements of infinite order in group with C(3)-T(6) condition]. Izvestija TulGU. Estestvennye nauki, 2010, iss. 1, pp. 6-25.
