О применении метода конформных отображений к решению некоторых фильтрационных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.783

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

© 2014 г. Х. С. Лайпанов

Лайпанов Хамит Сулейманович - кандидат физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Карачаево-Черкесский государственный университет им. У. Д. Алиева, ул. Ленина, 29, г. Карачаевск, КЧР, 369202, e-mail: Laipanov-777@mail.ru.

Laypanov Khamit Suleimanovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Physics, U.D. Aliev Karachay-Circassian State University, Lenin St., 29, Karachaevsk, Karachay-Circassian Republic, 369202, Russia, e-mail: Laipanov-777@mail.ru.

Рассматривается применение метода конформных отображений к решению конкретных фильтрационных задач. В этой связи разработана дробно-линейная функция применительно к геометрии конкретных задач. Получены потенциалы, описывающие течения в кусочно-однородной среде с кольцевой трещиной переменной ширины и полукольцевой трещиной переменной ширины в кусочно-однородных средах, ограниченных прямолинейным контуром питания или линией сброса.

Ключевые слова: фильтрация, среда, контур, жидкость, трещина, массив, нефтеносный, водоносный, полуплоскость, пласт.

In this regard a linear-fractional function is developed conformably to the geometry of specific tasks. Obtained potentials describing the trends in apiecewise homogeneous medium with an annular crack of variable width and variable-width semicircular crack in a piecewise-homogeneous medium limited with straight contour ofpower supply or fault line.

Keywords: filtration, medium, contour, liquid, rift, massif, oil-bearing, water-bearing, half-plane, stratum.

Решение фильтрационных задач с применением метода конформных отображений основано на однозначном отображении областей, в одной из которых течение известно, а в другой его необходимо найти. Свойства инвариантности граничных условий и сохранимости характера особых точек дают возможность для применения этого метода к решению задач фильтрации.

Пусть фильтрационный массив состоит из двух

зон Б+ и Б~, ограниченных краями Е+ и 17 трещины Б . Течения в зонах Б+ и Б~ фильтрационного массива, расположенного на физической плоскости, задаются системой комплексных потенциалов:

J w w'

= w+(z) = w (z).

(1)

Предположим, что функция ю = Я^) (2)

отображает конформно физическую плоскость г на вспомогательную плоскость ю. Границы Е+ и 17 физической плоскости г отображаются на границы

I+ и I~ вспомогательной плоскости ю ; зоны Б+ и

Б~ - в зоны ё + и ^". Системе комплексных потенциалов (1) физической плоскости г на вспомогательной плоскости ю будет соответствовать система комплексных потенциалов:

которые получены из (1) путём подстановки в них функции г = f (ю), обратной функции (2).

В случае однозначности функции (2) каждой точке плоскости г соответствует одна точка плоскости ю . Аналогично каждой линии одной плоскости соответствует одна определённая линия другой. Таким образом, линиям тока и линиям равного потенциала фильтрационного потока в плоскости г будут соответствовать вполне определённые линии тока и линии равного потенциала в плоскости ю .

Рассмотрим физическую плоскость фильтрации (рис. 1), изрезанную кольцевой трещиной переменной ширины Б с коэффициентом проницаемости

&2 на две зоны Б+ и Б~ с коэффициентами проницаемости и &3 .

Края трещины Б рассматриваются как эксцентрические окружности с радиусами Я и Я . Тече-

ние вызвано особыми точками, расположенными

во внешней зоне Б+ ; характер их соответствует

гидродинамическим особенностям комплексного потенциала

= /о (г) , (3)

задающего невозмущённое течение в однородно-изотропной среде с коэффициентом проницаемости . Определим комплексные потенциалы течения в

каждой из зон Б+ и .

Рис. 1. Физическая плоскость фильтрационной среды, изрезанной кольцевой трещиной переменной ширины Б

на две кусочно-однородные зоны и

Из условия задачи следует, что для её решения необходимо пользоваться методом однолистных конформных отображений плоскостей, кругов и внешностей кругов друг на друга. Такие отображения осуществляются посредством дробно-линейных функций [1]:

ю_(к + l)z-(kz2 + z2 ) (к-l)z-(kz'-Z2 )

(4)

где

к _

1

1 -(l + b)2

1 -(l - b)2

(l« p); Z2 и z2 -точки пересече-

R

AC

К2 1 .

Р = — =-/= = 1 - У ,

Я1 1 ^ л/а

где у - раскрытие кольцевой трещины переменной ширины;

а (1 - ь)2 -12. (1 + й)2 -12'

2j _

L + b)2

2VA"

1 ^л/A'

ния прямой Ь , проходящей через центры N и N2,

К2

с окружностью радиуса ^; й =--безразмерная

величина радиуса ^ этой окружности; I =- -

безразмерное расстояние между центрами Л1 и Л2 .

Согласно конформному отображению, осуществляемому функцией (2), физическая плоскость г отображается на вспомогательную плоскость ю (рис. 2). Точки 11, , 22 , г2 переходят соответственно в точки Ю1, ю^, Ю2, ю2 ; окружности с радиусами и ^2 - в окружности с радиусами Г1 и Г2 . При этом безразмерный радиус внутренней окружности вспомогательной плоскости ю будет определён формулой

При этом из двух значений -\/а берётся только положительный корень [2].

Для решения задачи используем результаты работы [3] и обратное функциональное выражение

= (^2 - 22 )ю (^2 + 22 )р

(к - 1)ю - (к + 1)р по отношению к функции (4).

Если течение в безграничной однородной среде с коэффициентом проницаемости &1, расположенной на физической плоскости, описывается комплексным потенциалом (3), то этому течению на вспомогательной плоскости будет соответствовать функция

wo( z) _ /о

(kz2- z2 )p-(kz2 + z2 )p (к - l)ro - (к + l)p

(5)

Течение (5) определяется особыми точками того же типа, что и в области фильтрации, располо-

—щ l ~ 'л . © l и Ob

1 С \\ d Ц i

Рис. 2. Вспомогательная плоскость фильтрационной среды, изрезанной кольцевой трещиной постоянной ширины О

женной на физической плоскости. Причём особые точки О+ переходят в особые точки зоны ё+ . Следовательно, определяя комплексные потенциалы течения вспомогательной плоскости и переходя к переменным физической плоскости, определяем

искомые комплексные потенциалы м>+ (г) и м>~ (¿) в

зонах О+ и .

Заметим, что течение (5) записано для случая произвольного расположения прямолинейной границы Ь. В задаче рассматривается конкретный случай, а именно граница Ь проходит через точки: г2 = I + Ь . г2 = I - Ь . (6)

Следовательно, для определения искомых комплексных потенциалов переменные, содержащиеся в полученных общих выражениях, заменяются их значениями (6).

Заменяя в комплексных потенциалах [3] г на ю и Ь на р, получим

на две кусочно-однородные зоны О и О

(а1 )• О" (аз )/0 [(1 - у )2"

w+lro

(а) = fo (ffl)-G(ai )fo [ 1 ) + Fo [P)

"(z ) =

4a,

(7)

где

P =1 - J , j =

(1 + ai)(1 + аз )

2VÄ

fo (ю) + Fo(ю)

1 + л/д

Fo [£|=-Ч.

V^J 1 -a2

x SGn(a1 )• Gn(аз)f

n=1

(1 - J)

2n \

Ю

V J

Fo (ю) =

4a„

x SGnt

n=1

G(a1) = , G(a1 )=

1 + a

1 + aq

Подставляя (5) в (7) вместо функции /0(ю) и переходя затем к переменным физической плоскости, получаем

w+(z) = Vo(z) - G(a1) • Vo [1 .z *j +

+ Vo [ P.z *

-(z ) =

4ао

+ Vo (z.z

(z. z*)

(1+a1 X1 + a3 )

Vo(z)+

где

Vo(z) = fo

(kz2 - z2 )m-(kz2 + z2 )p (к - 1)ю - (к + 1)p

Vo | -.z *| = fo

(kz2 - z2 )rn - (kz2 + z2 )z * P2

(к - 1)ro - (к + 1)z * p2

Vo[P.z.U-iOL "

V z J 1 -Of n=1

S Gn (01) • Gn (аз) x

x fo

(Kzf - zf)(1 - j)2(n-1) - (Kzf + zf)z *

Vo(z.z *). = x fo

(к-1)(1 - j)2(n-1) -(K + 1)z 4a3

(1 + а1)(1 + a3)

Л v, T S Gn (01) • Gn(03) x

(1 + 01)(1 + 03) n=1

(Kzf - zf) z * (1 - j)2(n-1) - (Kzf + zf)

(к-1)z*(1 - j)f(n-1) -(K + 1)

*

(к + 1)z - (kz^ + Z2)

Z* — -,

(к - 1)z - (kz2 - Z2)

Z2 — i+ь, z2 — 1 - ь.

Предположим, что прямая линия Ь, проходящая через центры Щ и N2 на физической плоскости, является контуром свободной жидкости Ь(к = да) или линией сброса Ь(к = 0) (рис. 3).

0* 1 /о Ar /(-Я, +&С) V 1 1 1 1 1 1 1 1 j 0: дс (Ä г ♦ ДС) 1 О

ЦК а « [ЦК = 0))

Рис. 3. Физическая полуплоскость фильтрационной среды, изрезанной полукольцевой трещиной переменной ширины В на две кусочно-однородные зоны В+ и В , ограниченной контуром свободной жидкости или линией сбора

В этом случае физическая полуплоскость будет рассматриваться как фильтрационная среда, изрезанная полукольцевой трещиной ) переменной

ширины на кусочно-однородные зоны В+(к) и Д (к3) с нижней границей либо Ь(к = да), либо Ь(к = 0). Тогда течение в однородной среде с границей Ь(к = да) или Ь(к = 0), согласно [4], будет описываться комплексным потенциалом

щ>(2) = /о(г) , /0(г), (8)

где - /0 (г) описывает течение с гидродинамическими особенностями, расположение и характер которых соответствуют зеркальному изображению относительно одной из прямолинейных границ Ь(к = да) и Ь(к = 0) гидродинамических особенно-

стей функции /0 (г). Формула (8) представляет собой теорему о прямой. В случае границы Ь(к = да) берётся знак «-», в случае Ь(к = 0) - «+».

Для рассматриваемого случая функция (8) запишется в виде

(kz2 - Z2)m-(kz2+ Z2)р (к - l)ro - (к + l)p

w0(z) — f0

(kz2 - Z2 )m-(kz2 + Z2 )p

fo

(к - l)ro - (к + l)p

(9)

Течение (9) на вспомогательной полуплоскости (рис. 4) определяется особыми точками того же типа, что и в области фильтрации на физической полуплоскости.

d+ IL- I Г л 'd ©

/ / Tl 1 й>± и

I _ilj2 ^^^^ ^^ 012 1

L(K = 00) (L(K = 0))

Рис. 4. Вспомогательная полуплоскость фильтрационной среды, изрезанной полукольцевой трещиной переменной ширины В на две кусочно-однородные зоны В+ и В , ограниченной контуром свободной жидкости

или линией сбора

+

+

Особые точки зоны В+ переходят в особые точки зоны ё +. Следовательно, определяя комплексные потенциалы течения в зонах и ё- вспомогательной полуплоскости и переходя к переменным физической полуплоскости, находим комплексные

потенциалы течения в зонах В+ и В- .

Для решения задачи используем функцию (9) и являющиеся решением задачи [3] комплексные потенциалы течения. Заменяя в последних г на ю и Ь на р, получаем

w+(ro) — wo(ю)-G(ai)woI - 1 + FoI -

(z ) —

4a я

где p — 1-j , j —

(l + ai)(l + a3 )

2л/Д

11+F (-1

ю j Vffi o (ю) + F0 (ю)

(10)

l+VÄ:

vo(ю) — fo(ю)- fo(ю)

wo i 11 — fo i 1 | - fo i 1

V ю J V ю J V ю

F f-l —

4a,

.ю; l-a2 ^ _

Z Gn (al )• Gn (a3 )fo

n—l

(l - j)

2n 1

ю

v ;

Fo(ю) —

4a

3

w+(z)—lo (z )-G(al >lo [ l, Z *| +

+?o VZ. Z *

w_(z)—

4a^

+ l(z, z*)

(l + al)(l + a3 )

•lo (z ) +

где

lo f1.Z *l —

— fo

fo

(kz2 - Z2 )ю - (kz2 + Z2 )z * p2 (к - 1)ю - (к + l)z * p2

(kz2 - Z2 )ю - (kz2 + Z2 )z * p2 (к - 1)ю - (к + l)z * p2

lo jj, Z *l —

— zGn(al)• Gn(a3) lo,z*

1 - af n=l V z

lo V Z ,Z*l —

— fo

fo

(kz2 - Z2)(1 - j)2(n"1) - (kz2 + Z2)Z * (к-1)(1 - j)2(n"1) -(k + 1)Z* _

(kz2 - Z2)(1 - j)2(n-1) - (kz2 + Z2)Z *

(к-1)(1 - j)2(n"1) -(k + 1)Z.

lo (z, z *) —

4a,

(1 + a1)(1 + a3)

x z Gn (al) • Gn (a3) lo (z, j, z *)

n=1

|o (z, j, Z *) —

= fo

fo

Z* —

(1 + а1)(1 + а3)

да г-,

х2 Оп («1). Оп (аз )/0(1 - ] )2" ю

П=1

Подставляя (9) в (10) вместо функции ^(ю) и переходя затем к переменным физической полуплоскости, получаем

17 ( 1

(kz2 - Z2)Z * (1 - j)2(n-1) - (kz2 + Z2) (к-1)Z*(1 - j)2(n-1) -(к +1)

(kz2 - Z2)Z * (1 - j)2(n-1) - (kz2 + Z2)

(к-1)Z*(1 - j)2(n~1) -(k + 1)

(к +1) Z - (kz2+ Z2) (к 1)Z - (kz2 - Z2) '

г 2 = I + Ь , г2 = I - Ь .

В случае границы Ь(к = да) берётся знак «-», в случае Ь(к = 0) - «+».

Метод конформных отображений значительно расширяет круг решаемых практических задач в теории фильтрации, гидро- и аэродинамики, теории упругости, теории теплового, магнитного, электростатического полей и других наук, лежащих в основе современного технического прогресса.

Литература

1. Лаврентьев М.А. Конформные отображения с при-

ложениями к некоторым вопросам механики. М., Л., 1946. 160 с.

2. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформ-

ных отображений: пер. с нем. М., 1963. 408 с.

3. Лайпанов Х.С. Исследование воздействия трещин

(слабопроницаемых завес) на двумерную фильтрацию : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Карачаевск, 1977.

4. Голубева О.В. К движению особых точек вблизи пре-

пятствий // Уч. зап. МОПИ им. Н.К. Крупской. 1970. Т. 227, вып. 9.

Поступила в редакцию

22 сентября 2014 г.

+

+

x

+

x

+

x

x

+

+