CC BY
12
УДК 532.783
О ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ В РАДИАЛЬНО-АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ С ТРЕЩИНОЙ И ПРОТЯЖЁННЫМ КОНТУРОМ СВОБОДНОЙ ЖИДКОСТИ
© 2013 г. Х.С. Лайпанов
Лайпанов Хамит Сулейманович - кандидат физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Карачаево-Черкесский государственный университет им. У. Д. Алиева, ул. Ленина, 29, г. Карачаевск, КЧР, 369202, e-mail: Laipanov-777@ mail.ru.
Laypanov Khamit Suleymanovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Physics, Aliyev Karachi-Cherkess State University, Lenin St., 29, Karachayevsk, Karachi-Cherkessian Republic, Russia, 369202, e-mail: Laipanov-777@ mail.ru.
Решается задача фильтрации в среде, расположенной на полуплоскости, ограниченной прямолинейным контуром свободной жидкости, изрезанной полукольцевой трещиной на радиально-анизотропные зоны. Полученные результаты представлены в самом общем виде, позволяющем построить любые течения в 62 различных нефтяных и водоносных пластах. Иллюстрация информативности полученных результатов производится исследованием влияния геометрических и физических параметров массивов на дебит скважины.
Ключевые слова: фильтрация, среда, контур, жидкость, трещина, массив, нефтеносный, водоносный, полуплоскость, пласт.
In the article the problem of filtration in the medium, situated on the half-plane, restricted by the contour of the free liquid, cut by half-ring rift on the radial-anisotropic zones, is solved. Results received are represented in the most general view, allowing to build any streams in 62 different oil-and water-bearing strata. Illustration of the informativeness of the received results is carried out by the searching of the influence of the geometric and physical parameters of the massifs on the oil-well debit.
Keywords: filtration, medium, contour, liquid, rift, massif, oil-bearing, water-bearing, half-plane, stratum.
Рассматривается фильтрации в среде
задача плоскопараллельнои
D+ (ki r > ki9)> f D3,(k3r >k39k4rk49)
«2 ="
2
'0 '0
щины f (рис. 1).
Рис. 1. Верхняя полуплоскость фильтрационной среды (1)
Пусть аналитическая функция wo = /(z), задающая невозмущенное течение в однородно-анизотропной среде с коэффициентами проницаемости к^ , £10
вдоль главных направлений радиальной анизотропии, имеет гидродинамические особенности в зоне
+ m2
Е Aoi Fi( zi) + Си
i=1
W2(Z2) = тз ЕAoiFi(z2) +
i=0
+ mq
Е Aoi Fi( Z2) + C2i + C2i
(3)
w3 (z3) = m4
Е AoiFi( Z3) + C3i
i=0
(1)
расположенной на верхней полуплоскости, ограниченной снизу прямолинейным контуром свободной жидкости Ьх(к=ж) и изрезанной полукольцевой трещиной $ на две группы кусочно -однородных ра-диально-анизотропных зон. Границами раздела фильтрационного массива являются концентрические
полуокружности ¿1, ¿2, ¿3 , их радиусы 01 = —,
10
631 , ,
03 = ; ¿¡, ь2 - края полукольцевой тре-
щ ^4) = 2А^^) + С41 _г=0
Можно показать, что решение задачи, представленное уравнениями (3), применимо для любого конкретного течения, происходящего в фильтрационных массивах, существующих как частные варианты фильтрационного массива (1).
С целью иллюстрации информативности решения (3) обратим внимание на простейшую модель, в соответствии с которой однородный изотропный фильтрационный массив, ограниченный снизу границей
¿X (к = да), разрезан полукольцевой трещиной $ (к2) на две одинаковые по проницаемости изотропные
(4)
(5)
зоны [3] Aj(ki) и Di (ki), т. е.
D+ (ki), f ,D3 (ki)
Пусть сток 2л
- — / (z) = - zo)
мощностью Q, имитирующий в безграничной изотропной среде работу эксплуатационной скважины,
—+
расположен в точке zo зоны Dl (рис. 2). Контур питания находится на расстоянии Я от центра скважины zo . Контур скважины - окружность малого радиуса г . Обозначим значения потенциала скорости (функции напора) на контурах питания и скважины соответственно через фо и ф^. Определим дебит скважины Q по величине разности напоров фо и ф^ в точках, принадлежащих контурам питания и скважины.
Д+ ). Тогда в однородной среде с нижней
границей Ьх(к=х), согласно [1], течение будет описываться комплексным потенциалом
F = / (z) - / (z), (2)
где /(z) - заданное течение; /(z) - течение с гидродинамическими особенностями, расположение и характер которых соответствуют зеркальным изображениям указанных особенностей относительно нижней границы полуплоскости Ьх(к=х).
Применение общих соотношений [2] к течению (2) позволяет определить искомые комплексные потенциалы, которые выражаются уравнениями:
+ 2 -1 М1 = F(Zl) - ml F(0llZl ) +
z = + i(y0 + R) (R>Ы);
z = ^0 + i(y0 + r) (r< \z J ).
(6) (7)
Рис. 2. Скважина в полуплоскости фильтрационной среды (4) с нижней границей (^ = да)
Для решения задачи используется известная модель [4] нефтяного и водоносного массивов.
Комплексный потенциал м>+ (z) системы (3) является базовым течением, имитирующим работу скважины. Учитывая изотропность массива (4) в комплексном потенциале м>+ (z), получаем
w+ (z) =®i(z)3G(ai)roi(z i) +
(i 3 j)2Nz "i
(8)
TO
TO
TO
TO
где aj = kfa1 - безразмерный коэффициент зон D+ (k1) и D-(k1) массива (4); j = (a1 - a2) • a— - без-
размерное раскрытие полукольцевой трещины $(к2); а-1 и «2 - соответственно радиусы внешнего и внут-
реннего краёв полукольцевой трещины f (k2); G(a1) = (1 — a1)(1 + a1)-1; ®1(z) = f (z) — f (z); ®i(z-1) = f (z-1) - f (z-1);
= f
(1 — j)2Nz-1
(1 — j)2Nz-1
f [(1 — j)2^"1 J.
Применение общего выражения (8) к конкретной функции (5) приводит к следующему виду течения:
2л +
--Щ (г) =
е IV у
= ln z-z0 — G(a1)ln
z — zo
+ G 2N (a1)ln п
f V Л
z — 1 z
—1
1 zo l zo J
—1
z (1 — j)
z--
2N
1 — a2
N=1 (1 — j) z--
2N
(9)
Q = ■
ln
R
2 Уо + r 2 yo + R
\
(10)
— G(a1)ln Xo + Z%i i=1
где
xo
Xo =
xo 2 2 xo + yo
\2 (
+
yo + R -отЧ
xo + yo
2
(
xo
xo
22
2
+
xo + yo
( \2 ( xo
o 2 2 xo + yo
+
yo + R + -/Ч
xo + yo 2
yo + r +
xo + yo
2
(
xo
xo 2 2 xo + yo
2
f
yor -
yo 2 2 xo + yo
2
2a „2N/ ч
X n =-2 G (a1) x
1 — af
' 12 i
xo —Y^y- + yo + R —
xo + Уо J l
Yj
o o xo + Уо
2
' 12 i xo —+ yo + R +
v xo + Уо J l
YJ Yo
2 2 xo + Уо
2
XI = (1 - у)2%; ¥о = (1-Л^Ч •
Точный числовой расчёт дебита скважины по формуле (10) не представляется возможным, так как она в знаменателе содержит бесконечный числовой ряд
ТО
Я = 2хг • (11)
I=1
В связи с этим возникает необходимость замены формулы (10) приближенной. Для этого ряд (11) с необходимой степенью точности заменяется его частичной суммой. При замене формулы (11) приближенной допускается определенная погрешность, величина которой будет зависеть как от значений параметров фильтрационной среды (4), так и от числа оставляемых членов ряда.
Показано, что величина верхнего предела допускаемой относительной погрешности при такой замене вычисляется посредством неравенства
X N
1 — G 2(a1)
-rno%
0lnp1 — G(a1)lnpo + ...+ X n—1 +"
XN
В этом случае найденные значения потенциала скорости (9), соответствующие точкам (6) и (7), позволяют записать расчётную формулу дебита скважины в виде
4л(ф0 -фс)
1 - G 2(а1)
Можно показать, что для однородной изотропной среды, ограниченной контуром свободной жидкости Ьх(к=<х>), расчетная формула дебита скважины (10)
приобретает вид Q0 =- 4л(ф0 фс У
ln
R ( О yo + r л О yo + R
V /
Для исследования зависимости относительного роста дебита скважины от параметров фильтрационной среды (4) вводим отношение вида
- во
Qo
-1oo %,
(12)
в и в0 представлены формулами (10), (12).
Максимальная величина допускаемой относительной погрешности ^ всегда должна быть меньше соответствующего значения относительного роста V дебита скважины. В соответствии с этим нами вводится понятие коэффициента кратности у , определяемого как отношение роста дебита скважины к верхнему пределу допускаемой относительной по-
V
грешности у > — , в соответствии с которой его минимальное значение (нижний предел) всегда должно быть больше единицы.
Анализ результатов исследования позволяет отметить, что величина дебита скважины зависит как от фильтрационных параметров массивов, так и от геометрических конфигураций имеющихся в них трещин. В частности, в таблице проиллюстрирована зависимость коэффициента кратности относительного роста дебита скважины от параметров а, ], I фильтрационного массива (4) - числитель, в знаменателе представлены числовые результаты подобного исследования [5], проведённого в однородном изотропном фильтрационном массиве с нижней границей
ю
2
+
z
o
z
o
r
J
x
x
+
J
J
Lx (k = да), разрезанном полупротяжённой трещиной
J(k2) на две зоны Д (k{) и D3 (k{), т.е.
Di(ki),J(k2), D3(ki) . (13)
Таблица 1
Зависимость у > от параметров а, у, I фильтрационного
Л
массива (4) - числитель, (13) - знаменатель; N=2
j a l
1,0 0,50
0,0010 0,0010 1,0321 1,1378
1,0684 1,1776
0,0001 1,0471 10827 1,1590 1,1988
0,0005 0,0010 1,0320 1,1377
1,0669 1,1759
0,0001 1,0010 1,1572
1,0001 1,1908
Выводы
1. Зависимость относительного роста дебита скважины у от параметров а, ], I в фильтрационных массивах обладает общей тенденцией. При прочих равных условиях количественная картина изменений у зависит от того, какая из трещин присутствует в данном фильтрационном массиве.
2. На относительный рост дебита скважины полупротяженная трещина влияет в большей степени, чем
полукольцевая. Например, в случае трещины J при 1=0,50, у =0,0010, а1 = 0,0010 коэффициент кратности относительного роста составляет у =1,1766, а в случае полукольцевой трещины соответствующее значение
составляет у =1,1378. Отсюда очевидно сравнительное преимущество полупротяженной трещины перед полукольцевой.
3. По мере уменьшения значений параметров l и aj при постоянстве ширины раскрытия трещины (j = cons) её влияние на относительный рост дебита скважины возрастает. В частности, из таблицы следует, что если при у'=0,0005, ax =0,0010 и l = 1,00 значение коэффициента кратности составляет у =1,0321, то при таком же раскрытии трещины f убывающим значениям параметров l=0,50, aj =0,0001 соответствует коэффициент кратности у =1,1590.
4. На относительное изменение дебита скважины раскрытие трещины оказывает несущественное влияние. Например, значениям параметров 1=1,00; a=0,0010 и двум различным значениям раскрытия трещины j = 0,0010; 0,0005 соответствуют у = 1,0321 и у =1,0320.
Литература
1. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., 1972.
368 с.
2. Лайпанов Х.С. Двумерная фильтрация в массиве с n-
распределением радиально-анизотропных зон // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 4. С. 10-22.
3. Лайпанов Х.С. Обобщение модели трещины и слабопро-
ницаемой завесы в многозонной фильтрационной среде // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 106 - 108.
4. Голубева О.В. О моделировании работы скважин при
напорной фильтрации жидкости в горизонтальных пластах // Уч. зап. МОПИ им. Н.К. Крупской. М., 1961. Т. 99, вып. 5. С. 3-21.
5. Лайпанов Х.С. Об одной задаче подземной гидромеха-
ники и специальных методах её решения // Нефтепромысловое дело (OILFIELD ENGINEERING). М., 2005. С. 34-37.
Поступила в редакцию
19 апреля 2013 г.
