CC BY
11
Учитывая, что предложенный алгоритм решения задачи (2) приближенный, его можно рассматривать как своеобразную минимизацию составляющей скорости УI вблизи обтекаемой поверхности.
Заключение. Представлена попытка построения начальных приближений для форм аэродинамических поверхностей, обтекаемых дозвуковым потоком без
отрыва и схода вихревои пелены с торцевой кромки. Построенный алгоритм позволяет строить поверхности, пригодные для дальнейшей корректировки расположения вихревых ячеек, для ликвидации отрыва, а также дает возможность изменения формы в процессе полета. Под изменением формы понимается возможность симметричным относительно плоскости г = 0. частям поверхности, соответствующим меньшим сечениям (рис.1,2), задвигаться внутрь основной поверхности при изменении скоростного режима полета.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 2000-ЮГ № 00-01-96010.
Литература
1. Елизаров А.М. и др. Обратные краевые задачи аэродинамики. М., 1994.
2. Савицкий А.И. и др. Способ управления пограничным слоем на аэродинамической поверхности летательного аппарата. Пат. 2015941 РФ // Б.И. 1994. № 13. С. 71
Кубанский государственный технологический университет
28 мая 2002 г.
УДК 519.96
ЗАДАЧА СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ДВУМЕРНОМ МАССИВЕ С п-РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЛИНЕЙНО-АНИЗОТРОПНЫХ ЗОН
©2003 г. Х.С. Лайпанов
This article concerns the problem of stationary filtering of subterranean liquid, occurring accordingly Darcy's Linear Law. Two-dimension massif with the n-distribution of three linear-anisotropic zones and corresponding disposition of a extended cleft.
Degree of gained results generality allows recording of expressions of complex potential perturbated flow in 30 different filtering massifs systematized in corresponding tables.
плоскости (рис.1) таким образом, чтобы их оси абсцисс совпадали.
1. В статье решается задача стационарной фильтрации подземной жидкости, происходящей по линейному закону Дарси [1]. В качестве фильтрационной среды рассматривается двумерный массив с тремя параллельными границами раздела Ьг,Ь2 и Ь3. Первые две из них, являющиеся линиями разрыва линейноанизотропных зон О*(ки,к1у), £>3 (к2х,к3у), считаются краями протяженной трещины |у'|, а третья - границей раздела линейно-анизотропных смежных зон Оз(к2х>кзу), 04(к4х,к4у), расположенных справа
от указанной трещины.
Такой массив [2] следует задавать математической моделью
\р?фь.к1у МВъЦкЪх>кЪу У,Щф4хМу )] • (1)
называемой фильтрационной средой с п-распределе-нием трех прерывно-однородных линейно-анизотропных зон. Здесь через (к1Х,к1у), г = 1,3,4 обозначены коэффициенты проницаемости вдоль главных направлений анизотропии [3] соответственно в зонах
01+,£>з’,£)4 . При этом и считаются прохо-
дящими вдоль осей ординат трех систем координат ХОУ, Х1О1У1, Х2О2У2, расположенных на реальной
а
04
1 К «г
IX
0г
Рис.1 Реальная плоскость фильтрационного массива с п-распределением трех линейно-анизотропных зон
Тогда связь между ними будет выражаться соотношениями:
4
*=*м-2 + X= 1’2’3^
(1=3
где 1ц~2 ~ безразмерный параметр, кратный характерному для геометрии конкретной задачи отрезку /0. Для данного случая 1^-2 принимает два значения. В
частности, при /і = 3 его значение соответствует И раскрытию трещины, а при ц - 4 - ширине зоны £>з"(к3х,кзу), равной I.
Проекции уравнения Дарси в прямоугольных системах координат имеют вид:
(2)
тельной плоскости соответственно в ^(сс^)у/х раз.
При этом реальным зонам Д+ (к1х,к1у), Б3(к3х,к3у), ^(кАх,кЛу) на вспомогательной плоскости будут
Ых = (а;, )*(Э<рг / Эх,-) = ду/1 / 3У1 /Эу,) = -Эу/,- /Эх,-(1=1,2, 3,4;У=2), где
(0£];)х = ки /(а^)у = к!у /- безразмерные коэффициенты проницаемости, соответствующие линей- соответствовать зоны О^ЦкХх-к{у), 03Цк3х -к3 ),
но-анизотропным зонам реальной плоскости. За харак- ________ ’
терную физическую величину принимается прони- Б4ЦкАх -кАу) с границами раздела 11,£2,£3. Новые
цаемость трещины; - квазипотенциал скорости -
системы координат ХОК.Х.О.К, , оси ординат
фильтрации и функция тока; и у(>, — проекции век-
, которых совпадают с Ь,,Ь,,Ь,, будут связаны между
тора скорости фильтрации на оси координат в соответ- ~ 1 1 3 •' ■'
ствующей г-й зоне. Квазипотенциал скорости фильтра- собой соотношениями:
ции связан с приведенным давлением по формуле <р-{р + У1)1У, где р - давление; ъ - геометрическая
высота; V- вязкость; у-удельный вес жидкости.
2. Применение метода изотропирующего преобразования [2]
4 _
* = х,*-г+ 2^-2 - У = У, (? = 1,2,3),
и=г ■
(5)
X = л](ар\іхх (І =2)
Хрі-2 = т](аМх)у/*хм-2 («' = /*). У = Уп (і = 1, 2, 3,4;у = 2; ц = 3, 4; г = 1, 2, 3),
(3)
ГДе ^ц-2 “ л](а2(р-1))у!х1ц-2 •
Из (5) следует, что при /і = 3 / = й, а при
II = 4 = ^(а2(ц-і) У • Следовательно, в результа-
те преобразований (3) раскрытие трещины остается неизменным и равным Л, а ширина зоны принимает
^ г- -
т.е. осуществление в уравнениях системы (2) замены значение л](сс23)у/х1 переменных по соотношениям (3) приводит к условиям Коши-Римана
у£* = у1(ал)ху(д(Р,/Эх,) = ЭуА,./ЭУі ^аіі)хіу^у = ^ал)ху(.д(Р, !Ъуд = -дщ /Эх,,
После перехода на вспомогательной плоскости к одному комплексному переменному по формуле
4 _
г = гР-2+2^-2 (6)
11=2
задача фильтрации в массиве (1) с п-распределением где {(Хр)ху={к1х1к])'(к1у1к]), (а^)х1у~(к1х/к^/(к1у/к^. трех прерывно-однородных линейно-анизотропных зон
Следовательно, преобразование (3) дает возмож- сводится к задаче о фильтрации в среде (4) с п-
ность описывать фильтрацию в массиве (1) с п-распре- Распределением трех прерывно-однородных изотроп-
делением трех линейно-анизотропных зон в среде ных зон и будет формулироваться следующим образом.
3. Пусть гидродинамические особенности анали-
<4> ФУ»™™/® №> = Т®>, расположенные
с п-распределением некоторых прерывно-однородных в произвольно выбранной зоне О, ‘ ^'1) вспомо-
изотропных зон аналитическими функциями ком- гательной плоскости, задают невозмущенное течение
плексных переменных г = х + />’, zм-2=:Jcfl_2+iyм_2 в .линейно-анизотропной среде с коэффициентами
(/1 = 3, 4). Плоскость (рис. 2), на которой расположи проницаемости вдоль ее главных направлена среда (4), называется вспомогательной, а величины Н1™- Необходимо построить потенциалы возмущенно-
п-----:— , , го течения, соответствующие зонам среды (4).
^-к,у - эффективными значениями заданных ко- Последовательное применение метода отображе-
эффициентов (ки, к1у), / = 1, 3, 4. инй особых точек [4] к трем параллельным границам
теоремы о прямой [5] дают решение задачи
Ї1
ОМкцКі/і 0 л (ЛнКву) {VіКчхКчд )
0 0А о,
Рис. 2. Вспомогательная плоскость фильтрационного массива с п- распределением трех линейно-анизотропных зон
С геометрической точки зрения преобразование реальной плоскости по системе (3) означает растяжение (или сжатие) реальных зон £>;+ (к1х, к1у),
£>4 (к4х,к4у) при переходе к вспомога-
(г) = /(г) - /«і /(£, ) + т2 м2(г) = т3 и^(г) = от4 Щ (г) = т5
2А/(£ г) + еі
"і=і
)
2 л2/(£з) + 2аі/(£>) + Є] +£2) ;
пх =0 Л(=1 I
' -
2А2/(1з) + £)
.,=0
1А2м3) + 82 , «1=0
где е, = 2 X Х(-1)2",+”2~"з ■А1-А3 -А4/(£4),
П(=1л2=1 л3=1
£2=Х X £с-1)2"1+"2“"3-а2-а3-л4/с^5).
П! =0 пг~I п3=1
Причем под переменными в комплексных потенциалах н’з(г),н'‘(г) следует понимать их значения (6).
Из общих выражений системы (7) видно, что члены рядов представляют произведения коэффициентов интенсивности т1,...,т5, Д,...,Л4 фильтрационных потоков (составленных из коэффициентов проницаемости среды (4) по схеме [2]) на аналитические функции:
7(^)=7сЖ>; /(&); /(&); Я&) = дЕ); /(&)•
Последние являются функциями от аргументов:
= -г; £2 = -г + 2и,/г; £3 = г + 2и,/г;
=-1 + 2п1И + 2п21; = г + 2л,/г + 2п2/ , получае-
мых зеркальным отображением координат особых точек функции / (г) от трех параллельных границ При этом исходная функция /(г) берется
для зоны 0*(^к1х -к1у ), в которой расположены особые точки течения. Достоверность полученного ре-
шения (7) обеспечивается возможностью точной проверки соблюдения граничных условий:
к = <Рг+\к ; ^ л ^
'('+1,)аї
а* ия,+|
(/= 1, 2, 3), которые выражают соответственно равенство квазипотенциалов и непрерывность составляющих вектора скорости фильтрации на границах
Выделяя действительные и мнимые части в комплексных потенциалах (7), находим выражения для квазипотенциала скорости фильтрации и функции тока на вспомогательной плоскости. Нахождение их выражений для реальной плоскости, приводящее к решению задачи в заданной прерывно-однородной линейно-анизотропной среде (1), осуществляется посредством замены переменных по соотношениям системы (3).
Найденное в работе общее решение (7) может быть с успехом применено для различного вида областей фильтрации. Возможное при этом разнообразие вида массивов и физических условий в них (разнообразие значений коэффициентов фильтрации) систематизировано в таблице.
Фильтрационный массив с п-распределением трех линейно-анизотропных зон
Вариант Зоны Вариант Зоны
А+ аГ Щ
1 kix, k,v кдх, k4V 16 ki k, кдх» k4V
2 кзх. кзу ku, kiy 17 k, k3x. k3y к4
3 k3x, k3v 18 kix, klv k3 к4
4 kix, k[v kix, kiv 19 ki кз 0
5 klx, klv k-)X, k3v 0 20 ki кз ОО
6 kix, kw 21 ki к, к4\, к^v
7 k3x, k1v oo 22 ki kix, к3у к,
8 kix, kw 23 kix» kiv к3 кз
9 к, k3x, k,v k4x, k4v 24 k, к3 IQ
10 kix, kiv k3 25 ki ki к4
И k3„ k3v k4 26 k, кз к|
12 к, 0 27 ki к3 кз
13 kix, kjv k3 28 ki к, к|
14 к. k3x> k3v oo 29 ki к, ОО
15 kix. kiv k3 30 ki к, ОО
Аналогично решается задача, если особенности аналитической функции Дг) будут расположены в
одной из зон Б3ЦкЪх -к3у), /)4 ЦкАх -к4у ) или одновременно во всех трех (или двух) зонах. В последнем случае решение соответствующей задачи в силу линейности уравнений Дарси находится как суперпозиция решений задач, соответствующих распределению особенностей в отдельных зонах. В этом смысле все зоны фильтрационной среды равнозначны и к ним применима произвольность выбора.
Литература
1. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., 1972.
2.Лайпанов Х.С. Фильтрационные процессы в кусочнооднородных изотропных и кусочно-однородных анизотропных массивах с трещиной (слабопроницаемой завесой). Ставрополь, 1999.
3. Голубева О.В. Н Проблемы теоретической гидродинамики. Тула, 1977. Вып. 4. С. 3-9.
4.Костицына Л.И. II Уч. зап. МОПИ им. Н.К. Крупской. 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 28-37.
5. Голубева О.В. И Изв. АН СССР. 1966. №1. С. 235-241.
Карачаево-Черкесский государственный педагогический университет
7 мая 2002 г.
