О решении краевых задач на плоскости с прерывным пленочным включением типа трещины и завесы Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Выготский Л. С. Избранные психологические исследования: Мышление и речь. Проблема психологического развития ребенка. М.: АПН РСФСР, 1956. 519 с.

4. Голицын Г. А. Рефлексия как фактор развития / / Проблемы рефлексии. Современные комплексные исследования. Новосибирск: Наука, 1987. С. 54- 60.

5. Давыдов В. В. Содержание и структура учебной деятельности школьников / / Формирование учебной деятельности школьников / под ред. В. В. Давыдова, И. Ломпшера, А.К. Марковой. М.: Просвещение, 1982. С. 10-21.

6. Далингер В. А. Совершенствование процесса обучения математике на основе реализации внутрипред-метных связей. Омск: ОмИПКРО, 1993. 323 с.

7. Ильясова А. Б. Развитие мыслительных действий учащихся при формировании понятий на уроках математики в мла дших классах школы: дис. ... канд. пед. наук. М., 1997. 236 с.

8. Котенко В. В. Рефлексивная задача как средство повышения обучаемости школьников в процессе изучения базового курса информатики: дис. .канд. пед. наук. Омск, 2000. 166 с.

9. Лернер И. Я., Журавлев И. К. Прогностическая концепция целей и содержания образования. М.: Изд-во РАО, 1994. 120.

10. Локк Д. Опыт о человеческом разуме // Избранные философские произведения: в 2-х т. М., 1960. Т 1., 532 с.

11. Огурцов А. П. Альтернативные модели анализа сознания: рефлексия и понимание // Проблемы рефлексии. Современные комплексные исследования. Новосибирск: Наука, 1987. С. 13-19.

12. Рефлексия в науке и обучении: сборник научных трудов / под ред. И. С. Ладенко. Новосибирск: ИИФ-ФСО, 1989. 254 с.

13. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии: в 2 т. М.: Педагогика, Т.1. 1989. 488 с.

14. Семенов И. Н., Степанов С. Ю. Проблема предмета и метода психологического изучения рефлексии / / Исследования проблем психологии творчества. М., 1983. С. 154-181.

15. Щедровицкий Г. П. Система педагогических исследований (методологический анализ) / / Педагогика и логика. М., 1993. С. 16-201.

УДК 517.956 ББК В 161. 6

С. Е. Холодовский, Н. В. Игнатьева

О решении краевых задач на плоскости с прерывным пленочным включением

типа трещины и завесы

Решены краевые задачи для уравнения Лапласа на кусочно-однородной плоскости при наличии трещины и завесы в виде лучей, лежащих на прямой, когда искомые потенциалы имеют заданные особые точки, индуцирующие процесс.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, прерывное пленочное включение, трещина, завеса, кусочно-однородная плоскость.

S. Ye. Kholodovskiy, N. V. Ignatyeva

On the solution of boundary value problems on the flatness with broken film inclusion like a crack and screen

There have been solved boundary value problems for the Laplas equation on the piece-homogeneous flatness if there is a crack and screen looking as rays that lie on the straight line when potentials sought have particular given points inducing the process.

Key words: Laplas equation, broken film inclusion, crack, screen, piece-homogeneous flatness.

Рассмотрим задачу построения потенциалов установившихся динамических процессов на кусочно-однородной плоскости z = X + iy, состоящей из двух полуплоскостей < 0) и D(y > 0) проницаемости kj в Dj, когда луч L(x <—a,y = 0) является слабо проницаемой завесой, луч L2(x > a,у = 0) - сильно проницаемой трещиной, а на отрезке L0(—a < x < a, y = 0) имеет место идеальный контакт зон Dj. Искомые потенциалы имеют заданные особые точки (источники, стоки и

т. д.), индуцирующие процесс.

Перейдем на плоскости Z к эллиптическим координатам ] : X = ach% cos ], y = ash% sin t, 0 < t < ж, при этом полоса D(% е R,0 < t < ж) на плоскости Q = # + it функцией z = acos(iQ) кон-

формно отображается на всю плоскость г = х + г у с двумя разрезами в виде лучей Ц(х < -а, у = 0), Ь2(х > а,у = 0). На плоскости С завеса и трещина являются соответственно прямыми Ь(% е Я, г) = л) и Ь2(% е Я, г = 0), а области - полуполосами В(% < 0) и В(% > 0), 0 < г <л. Поставим задачу в эллиптических координатах %, г плоскости 1 или, тоже самое, в декартовых координатах плоскости С .

Для потенциалов Ыу(%, г) в В (вне особых точек) имеет место уравнение Лапласа

8%Ыу + 82ы = 0, (%, г) е Ву, у = 1,2, (1)

где 8"п = 8п/8%п . Следуя работам [1, 2], завесу (трещину) моделируем бесконечно тонким слоем с бесконечно малой (большой) проницаемостью. Для вывода условий сопряжения на завесе В(% е Я, г = л) заменим ее слоем В = В0](% < 0,1 < г < л) ^ Вш(% > 0,1 < г < л) проницаемости ■ в Вj при выполнении классических условий сопряжения: ы0 . = ы ■, к08пЫо] = 8пЫ при г = I, У = 12 и условий вида щ2(%,л) = ы0](-%,л), к28гЫ02(%,л) + к18гЫ01(-%,л) = 0, где ы0-(%, г) - потенциалы в В]. Указанные условия выражают непрерывность потенциалов и нормальных скоростей на контакте зон Ви В] , а также на разрезе Ц(х < —а, у = 0) плоскости 1, т. е.

этим разрезом можно пренебречь. Отсюда вычисляя приращения потенциала и нормальной скорости в точках, которые при вырождении слоя Б0 в завесу совпадут, и переходя к пределу при I ^ л, к0 ^ 0, (л — I)/к0 ^ А, аналогично работе [1], получаем условия сопряжения на завесе

Ц(% е Я, г = л) вида

к + к

Ы2(%> л) - Ы1( -%> л) = ~1---2 А18г Ы1(-%> л) ,

к

(2)

к28гЫ2(%,л) + к18гы1(-%,л) = 0, %> 0,

где А - параметр завесы. Рассуждая аналогично, получаем условия сопряжения на трещине Ь2(%е Я, г = 0):

Ы2(%>0) = Ы1(-£>0) ,

(3)

к28гЫ2(%,0) + к^гы^-%,0) = А2(к1 + к2)д^пи1(-^,0), % > 0,

где а - параметр трещины (к01 ^ А2 при I ^ 0, к0 ^ ж, где I - раскрытие, а к0 - проницаемость трещины ц).

На отрезке Ь0 (-а < х < а, у = 0) = Ь0(% = 0 ,0 < г < л) имеют место условия сопряжения, соответствующие идеальному контакту:

% = 0: щ = ы2 , к18%ы} = к28%ы2 , (4)

Далее полагаем, что особые точки потенциала расположены в зоне В(% > 0 ,0 < г < л) (если особые точки расположены в В , то решение строится аналогично, а в общем случае - как сумма указанных решений). Пусть на всей плоскости С = % + г г определена гармоническая функция /(% , г), которая имеет указанные особые точки в В. Функция /(%, г) является потенциалом данного течения на однородной плоскости С . Отсюда в окрестности особых точек

и2 ~ /(%, г ). (5)

Таким образом, для потенциалов Ыу в в . задача имеет вид (1)-(5). Представим решение этой задачи в виде 112

ы2(%, г) = р(%, г) + к1 (р(-%, г), Ы1(%, г) = 2\ р(%, г), (6)

к1 + к2 к1 + к2

при этом функции Ы ■ тождественно удовлетворяют условиям сопряжения (4). Отсюда для функции р(%, г) в однородной полосе В(% е Я,0 < г < л) получаем задачу

Лр = 0, р~ /(%, г), (7)

р(%л) - р-%, л) = 2А1 8р-%, л) , 8 р%, л) + 8р-%, л) = 0,

(8)

р(4, 0) = р(—£ 0), д Ж, 0) + д Р—4,0) = 2А2д 1#%, 0)

Отметим, что решение задачи (7), (8), как и решение исходной задачи (1)-(5), определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Предположим, что заданная гармоническая функция /(,, г) при г = 0 и г/ = ж разлагается в интегралы Фурье:

ад ад

/(,0) = j fiaidX’ /(,, ж) = j i = 12' (9)

0 0

где

& = sin Л4, и2 = cos Л4. (10)

Здесь и ниже по повторяющимся в одной части равенства индексам i = 1,2 суммируем. Отсюда в полуплоскостях г < 0 иг ^ ж, где функция /(,, г) не имеет особых точек, выполняются соответственно равенства

ад ад

/(4, г) = jеЛ гfudX, г < 0; /(4, г) = jеЛ(ж—г)f’uidX, г ^ж . (11)

0 0

Представляя решение задачи (7), (8) в виде разложения Фурье

ад

р(4, г) = /(4, г) + j [ a sh Л] + b ch Л(г — ж)] oi dX, 0 < г < ж, (12)

0

из условий (8) с учетом (11) находим a = [c(A Л — 1)Л+ /i](df) 1, b = — /i/c, a = Л/c, b2 = [c(1 — А2Л)/2 + /2](d2c)—, где

d = At Лc + s, s = sh Лж, c = ch Лж . (13)

Здесь в условиях (8) при сравнении коэффициентов при функциях & (10) для четырех параметров a , b получаем систему восьми алгебраических уравнений, четыре из которых выполняются тождественно. Отсюда функция (12) примет вид

р<4. г) = f(4, г) + fj [(s2 — + (А1Л — 1)s1fi ] &1 +

01 d1

+ [(А2Л Я1 + С1)/2 + (! - А2Л) С2 /2] °2 - Л - /2

^2

где с = сИ Лг, я1 = як Лг, с2 = ск Л(г - л), = як Л(г - л), ^ имеют вид (13).

Теорема 1. Пусть гармоническая на плоскости С = % + гг функция /(%,г) имеет произвольные особые точки при 0 < % < ж, 0 < г < л и разлагается при г = 0 и г = л в интегралы Фурье (9). Тогда функция (14) является решением задачи (7), (8).

Доказательство. При Л ^ 0 интеграл (14) сходится за счет аддитивной функции, зависящей от Л, во второй дроби под знаком интеграла. При Л ^ ж слагаемые подынтегральной функции (14)

dЛ,

(14)

имеют асимптотику вида O(ge л), где г = тт(ц,п — ц) > 0 при 0 < ц < п, ^ - соответствующий коэффициент Фурье / или /■ , причем g ^ о при Л ^ да. Отсюда интеграл (14) сходится вместе с производными до второго порядка в Б(4 е Я,0 < ц < п). Условия задачи (1)-(5) для функции (14) проверяются непосредственно.

Таким образом, решение исходной задачи (1)-(5) строится по формулам (6), (14). Полученное решение (14) содержит две квадратуры внешнюю и внутреннюю (в коэффициентах Фурье /, /') от сильно осциллирующих в бесконечности функций 0г- (10), что создает трудности при практическом использовании этого решения.

Следуя методу работ [1, 2], выразим функцию (14) непосредственно через заданную гармоническую функцию / (4 ,ц ) (без разложений Фурье). Из разложений (11) следуют равенства

да да

Г/4,ц) = |еЛгц /о у<1Л, ¥Д,п — ц) = |еЛц0, (15)

0 0

где

Р(4 , Ц) = 1 [/(4, Ц) + (—!?/(—€, ц)], 7 = 1 2. (16)

Заменяя в равенствах (15) ц на ц — г (г > 0), умножая полученные равенства на е угк и интегри-

да

руя по г е (0, да), с учетом формулы | е~(л+у)'гкйг = к! (Л + у)—к—1 , у > 0, к = 0,1 ,2,..., получаем

0

равенства

1 да да еЛц /О ■

— Ге у‘гкГ,.(4, ц — г)йг = Г---йЛ,

к! Г0 ц ' Г0(Л + у)к+1

1 > да еЛц/о

— Ге у‘гкГ,.(4,п — ц + г)йг = Г-Т^йЛ.

к! Г0 7 4 ' 0(Л + у)к+1

Отсюда, представляя дроби (14) в виде геометрических прогрессий? gjkexbv:

7 о—Лп да п —Лп(2п+1)

1 _ _________________ _ V"1 / 7 \п+1 V"1 ^к / 9 \к+1 ^__________

= Е(-!)П+І Ескп(-2уі)к

4і (Л + Гі)( 1 + Чі) п=о к=о (Л + уі)

где

д = е~2Лп{і - 2Уі І, І Чі І< І, 0 <Л<да, 1

к+І

л + у,■; ■ у = д

Скп - биномиальные коэффициенты, функцию (14) приводим к виду

да п

ср(4, ц) = /(4, ц) + £ (—1)п+1 Ё спит, ц) + Р2(4, ц) +

п = 0 к = 0

+ ф2к+1(4 ц1) — Ф1к+1(4> цз) — Ф2к+ 1(0 ^п) — 2к+1(0 ап)] , (17)

где ап = —п(2п + 1), Р(4>ц) = Фк(4>г11) + Фк(4>ц2) + фк+1(4’П2) —

— Фк(4>Лз) + Фк(4>Л4) +Фк+1(4>ц4), ц = —ц — 2пп, ц2 = 1 ~ 2п(п + 1), ц3 = ц — п(2п + 1), ц4 = —ц — п(2п +1),

Фк(4ц) = 1 е"''гк-‘г,(4.ц — гШ,

(18)

\к да

Г е~уу ‘гк—1¥( 4.п — ц + г)йг, к = 1,2,...,

(к — 1)! Г0

Фк4 ц) = У71 е~уу‘гк—1?/4, п — ц + г)йг, к = 12,...,

Ф]0 (4 ц) = Р/4, ц), фо (4ц) = Р](4>п — ц), ¥(4,ц) - заданные гармонические функции

(16). Функция (17) в отличие от (14) содержит одну квадратуру вида (18) без осцилляций.

Отметим, что по найденному решению с помощью дробно'-линейных отображений можно строить потенциалы аналогичных течений в кусочно-однородных средах, содержащих отрезок, луч или дугу окружности в виде последовательно соединенных трещины и завесы.

Список литературы

1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения / / Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 9. С. 1550-1556.

2. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах / / Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.