О приближенном решении одной обратной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

В.П. Танана, А.И. Сидикова

Получена оценка для приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения в частных производных.

Ключевые слова: некорректная задача, обратная задача, параболическое уравнение

Во многих отраслях техники встречаются процессы, связанные с нагреванием твердых тел потоками жидкости или газа. Особую роль при этом играет информация о температуре на поверхности этих тел.

Как правило, единственным способом определения этой температуры является решение граничных обратных задач для уравнений теплообмена в твердых телах по результатам измерений внутри этих тел [1].

В настоящей работе решается одна из таких задач, сформулированная в [2].

1. Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение

ди(х^) д2и{х,Ь)

+ а(х)и(х,1), (1)

т дх2

в котором х € [0,1], г > 0, а(х) < 0 и а(х) € С2[0,1].

Предположим, что решение и(х, £) уравнения (1) удовлетворяет следующим начальному и граничным условиям

и(х, 0) = 0, 0 < х < 1, (2)

и( 0, ¿) = 0, ¿>0 (3)

и

и(М) = «(*), г>0. (4)

Граничное значение на правом конце отрезка нам неизвестно, а вместо него дано значение функции и(х, в точке хо е (0,1).

и(х0,г) = ф), ¿>0. (5)

Требуется определить значение и{Ь) = и(х\, где х^ < х\ < 1. Эта задача является некорректно поставленной. Потому предположим, что при = </?о(£), где щ € Ж21[0, оо),

/ л гч / ди(хди(хд2и(х,1)

существует решение задачи (1-5) такое, что щх, £), —--, —--, ——^— 6

ох т охг

С([0,1];Ь2[0,оо))и

и(хъь) = и0(ьу, Ь>0, (6) такое, что, соответствующее ьо(Ь) = и(1, {) удовлетворяет условию

1Ык2 < Г. (7)

Предположим, что решение u(x,t) задачи (1 - 4) при u(l,t) = vq(t) удовлетворяет условию

u(x0tt) =Mt), t> 0. (8)

Пусть точное значение (po(t) нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение <pg(t) 6 Х2[0, оо) и уровень погрешности S > 0 такие, что

Ы - <Рб\\ьа <6. (9)

Требуется, используя исходные данные ipg, 6 л г, построить приближенное решение ug(t) задачи (1-5) и оценить его уклонение ||tt$ — uo||l2 от точного решения uo(t).

Таким образом, задача (1 - 5) неявно определяет оператор Т, действующий из пространства ¿2[0, оо) в ¿2[0, оо), который функции (p(t) ставит в соответствие искомое значение u(t) = u(xi,t)

T<p{t) = u(t), t> 0. (10)

2. Формальное сведение задачи (1 - 5)

к задаче вычисления значений оператора

Для формального решения задачи (1-5), используем косинус Fc и синус Fs преобразования.

Умножив уравнение (1) на мнимую единицу г

.du(x,t) .d2u(x,t) . . . . .

» щ =г дх2 + тх)и{х, t), (II)

применим к уравнениям (I) и (II) синус и косинус преобразования, соответственно. После чего получим

(PF Ы

-AFc(u) = + a(a:)Fe(U), А > 0 (12)

и

AiFs(u) = + ia(x)Fc(u), А > 0. (13)

dx¿

Складывая почленно соотношения (12) с (13) и нормируя сумму, будем иметь

1

---=Х I u(x,t)(cos Xt — isinXt)dt = (14)

ут Jo

1 d2 Г f°° 1 1 f°°

= I u(x,t)(i eos Xt +sin Xt)dt -I—y=a(x) I u(x,t) (i eos Xt + sin \t)dt.

^J-K dxl IJQ J л/7Г Jq

С учетом того, что i cos At + sin Xt = ¿(cos Xt — i sin Xt), из (14) следует

a(x)ü(x, A) = iXu(x, A), (15)

1 r°°

где ü(x, A) = —7= / u{x, t) e~lXidt. V71" Jo

Из (3) и (5) будем иметь, что

ü(0,A) = 0, (16)

а

ü(x0,X) = ф(Х), (17)

1 Г°° где 0(А) = / V71" Jо

Из общего вида решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка следует, что задача (15-17) имеет решение

й(х, А) = 1(\)е(х, А); же [0,1], А > 0, (18)

где ¿(А)-некоторая функция, а е(х, А)—решение задачи (15),(16), удовлетворяющее условию 4(0,А) = 1.

Используя условие (17), определим функцию /(А) формулой

«Л> = от <19>

Из (18),(19) следует, что

й(А) = е~1(хо, Х)е{х1,Х)ф(Х); А > 0. (20)

Исследуем поведение функции 1(А), определяемой формулой (19).

Теорема 1. Для любого А > 0 функция е(хо, А) ф 0, а функция 1(А) непрерывна на полупрямой [0, оо).

Доказательство. Так как функции </?(А) и е(хо, А) непрерывны на полупрямой [0, оо), то для доказательства теоремы достаточно проверить, что для любого А > 0 е(жо,А) ф 0. Предположим противное, то есть найдется А > 0 такое, что

е(хо, Ао) = 0. (21)

Тогда рассмотрим пространство Щ = £г[0, жо] над полем комплексных чисел и оператор В, действующий из Но в Но и определяемый формулами

сРи

Ви=-^+ а(х)и, и € £>(Б), (22)

а

Б{В) = {и : и,Вие Н0, и(0) = и{х0) = 0}. (23)

Из (22) и (23) следует, что оператор В отрицательно определен и самосопряжен. Поэтому существует число Ах < 0 такое, что спектр Бр(В) оператора В лежит в полупрямой (—оо, Ах]. Так как

Ве(х, А0) = гА0е(ж, А0),

то е(ж, Ао) = 0 при любом значении х € [0, жо] и е'х(0, Ао) = 0, что противоречит определению функции е(х, А) и доказывает теорему. □

Пусть г = л/А, а е\(х, т) = е(х, А). Тогда функция е\(х,т) будет удовлетворять интегральному уравнению

вЪцохт [х вЬцо{х -£)т

ех (х,т) =--/ -а(£)е1(С,т)сг£, (24)

Мот Jo йот

где /¿о = ~т=(1 + 0>х ^ [0> 1]» а т > 0. Исследуем поведение функции |ех(ж, т)| при у2

т —> оо.

Теорема 2. Пусть а(х) € С2[0,1] и для любого х £ [0,1] а(х) < 0. Тогда существует число т\ > 0 такое, что для любого т > т\ справедливы неравенства

3 г - . -V ' /. _ з т Доказательство. Пусть е(х,т) = —ei(x,т)- Тогда из (24) следует, что

Sil UqXT

е(ж,т =1--/ ,-(25)

Мот у0 sh/ío^r

Так как

= 1 + о(1) при т —>■ оо,

вЬ /¿о^т

то из (25) следует существование числа Т1 > 0 такого, что для любого г > т\ справедливо неравенство

1 [х — £)т вЬ/^о^т

Мот-

Решение уравнения (25) будем искать в виде

Гх shno(x - £)т вЬцр^т, Jo shßo хт

< (26)

е(а;,т) = 5^ек(®,г), (27)

к-О

где £о(ж,т) = 1, а

= --Í- rSbm[X:t)TShMÍra(í)et(í,r)di. (28)

flor Jo sh мо^т

Из (26-28) следует, что для любых значений /с, т > т\ и х € [0,1]

Ых,т) |<4"*, (29)

а из (27) и (29), что для любых значений х £ [0,1] и г > т\

ОО 00

1-£4-*<|ф,т)|<]Г4-*. к=1 fe=0

Таким образом для любых значений х £ [0,1] и г > т\

1 |sh^oхт\ 4[sh^oхт\

3 г Ь|вца?,тл<3 т ■

Тем самым теорема доказана. □

Так как

хт

| 8Ъ.цохт\ = + о(1)) при т —> оо,

то из теоремы 2 следует существования числа т2 > т\ такого, что для любых значений г > и ж G [0,1]

хт хт

1 р\/2 Я Ял/2

sV<|ei(®,r)|<|i-. (30)

от 6 т

3. Доказательство метрической эквивалентности задач (10) и (20)

Пусть H = ¿2[0,оо) + ¿L2[0,00), a F—оператор, отображающий пространство Ьг[0, оо) в H и определяемый формулой

1 Г°°

F(u(t)) = -= / u{t)e~lXtdt, А > О, u(t) G L2[0,oo). (31)

V я" Л

Лемма 1. Оператор F определяемый формулой (31), изометричен.

Доказательство. Пусть u(t) G ¿2[0, оо). Продолжим эту функцию на отрицательную полуось, положив

u(t) = 0 при t < 0. (32)

Таким образом u(t) € ¿2(—00,00).

Обозначим через û(A) преобразование Фурье функции u(t)

û(A) = J u(t)e~iXtdt, -00 < А < 00. (33)

Из теоремы Планшереля, сформулированной в [3] на с. 412, следует, что

l|û(A)||i2 = |Ki)||L2. (34)

Из (32) и (33) следует, что

1 Г°°

/ u{t)e~lXtdt, А > 0 J о

м(Л) =

уДп Jo

Iл<0

Из (35) следует, что

(35)

roo roo_„

RA)||!2 = / |û(A)|2dA+ / |Û(A)| dX, (36)

J 0 J 0

где й(X)-функция, сопряженная функции й(Х). Так как для любого А > 0

roo

\\Û(X)\\l2 = V2 |û(A)|2dA, (37)

Jo

а из (34) и (37) следует утверждение леммы. □

Теперь введем пространства Ф, U и V. Предположим, что они являются подпространствами H и определяются формулами

ê = F[L2[0,oo)], (38)

где F-оператор, определяемый формулой (31),

Û = {û : ûeH, û(X) = е-1(жо, А) е(жь A)F[u(í)], u{t) G L2[0,00)}, (39)

a

V = {v : v E H, v(X) = е_1(жо, A) e(l, À)F[w(i)], v(t) G L2[0,00)}. (40)

Из леммы 1 следует, что пространства Ф, Ü, V, определяемые формулами (38-40), изомет-ричны пространству L2[0, оо).

Теперь запишем задачу (20) в виде

ü(A)=T0(A), (41)

где Тф(Х) = е^1(х0,Х)е(х1,Х)ф(Х); ф(А) G Ф, а «(А) € Ü.

Таким образом, из формулы (30) следует, что задача (41) является задачей вычисления значений неограниченного оператора Т, и она метрически эквивалентна исходной задаче (10).

4. Решение задачи (41)

Так как задача (41) некорректна, то для ее решения в пространстве U введем класс корректности Мг. Для определения Мг используем условие (20). Пусть L—линейный инъ-ективный оператор, действующий из U в V и определяемый формулой

Lü( А) = e_1(®i, А) е(1, А) й(А), (42)

где й(А) € Ü, a íü{X) G V. Тогда

Мг = {Ü(A) : fi(A) G Ü, ||¿u|| < г}. (43)

Далее исходные пространства Фи U разложим в ортогональные суммы

Ф = фх -i- ф2 (44)

и

Ü = &г + Ü2, (45)

где Фх = {^(А) : 0i(A) = F[<p(t)], <р G L2[0,оо), 0 < А < т|}, ф2 = {02(Л) : ф2(А) = F[<p{t)], <р G Ь2[0,оо), т| < А < оо}

и аналогично

U\ = {щ(А) : Üi(A) = e_1(a;o,A)e(xi,A)^i(A), <^i(A) G Фх},

Ü2 = {ü2(X): ü2(A) = е_1(жо,А)е(ж1,А)^2(А), ф2(Х) € Ф2}. Ортогональное разложение пространств (44) и (45) порождает разбиение задачи (41) на

две.

Первая из них

щ{Х) = Ti0i(A); щ G Uъ а фх G Фь (46)

где Ti<£i(А) = е_1(ж0, А)е(жьА)01(А).

Так как, на основании теоремы 1, функция е"1(хо, А)е(ж1, А) непрерывна на отрезке [0, г|], то существует число ci > 0 такое, что для любого A G [0, т|]

1е_1(жо> A)e(®i, А)| < с\. (47)

Из (47) будет следовать ограниченность оператора Ti и, соответственно, корректность задачи (46).

Приближенное решение задачи (46) обозначим через йх,г(А) и определим формулой

ЙМ(А) = Тхфг^Х), (48)

где 0М(А) = 0 < А < т|.

Из (9), (47), (48) и леммы 1 будет следовать оценка

||«1,«5 - «1,01| < сг5, (49)

где «1,0(А) = Т101,о(А), а у>1,о(А) = 0 < А < т|.

Вторая задача будет иметь вид

«2(А) = Т2ф2(Х); й2ей2, а ф2 € Ф2, (50)

где Т2ф2{Х) = е_1(жо, А) е(жь А) ф2{А), А > т|, а

£>(Т2) = {ф2(А) : ф2(А) € Ф2, Т2ф2(Х) € С/2}.

Из теоремы 2 следует, что оператор Т2 неограничен и потому задача (50) некорректна. Предположим, что а > т| и определим оператор Т^, отображающий пространство Ф2 в ?72, формулой

Т2>2(А) = {^2(А)'ПрИТ2^А^а' (51)

0 , при А > а.

Приближенное решение задачи (50) будет иметь вид

(А) = Т2ф2^(Х), (52)

где ф2,5(Х) = Р[<р5(% т| < А < оо. Таким образом,

К, - «2,0II < ||«2)(5 - «2,о11 + Ко - «2,0 II, (53)

где й2,0(А) = Т2ф2, о (А), и£0(А) = Т?ф2,0(Х), а <£2)0(А) = Р[щ(г)], т2 < А < оо.

Так как - «?|0|| < ||Т2«|| • а ||й£0 - й2)0|| < ДхИ,

где А^(а) = вир|У |й(А)|2е(А : й 6 Мг то из (53) следует, что

< А1И + ||Т2а||-<5. (54)

Из (30), (50) и (51) следует, что

< ||т2а|| < 16е(Х1-Хо)^; а > т|. (55)

Перейдем к оценке величины Ах (а) .Из (43) следует, что, если й(А) 6 Мг, то

|й(А)|2<и < оо (56)

г

¿а

и

г оо

„-1

/

¿а

е~1(хи А)е(1, А)| |й(А)| ¿А < г2. (57)

Так как А > а, то из (30) и (57) следует, что

^ \е-1(х1,Х)е(1,Х)\2\й(\)\2ёХ> ^ \й{Х)\2йХ (58)

Из (56 - 58) следует, что

||й(А)|| < Ше^1'1^

и, соответственно,

Ах (а) < Ше^1'1^. (59)

Если, используя схему М.М. Лаврентьева [4], параметр а выбрать из условия

16ге(я1-1)/1 = , (60)

то из (54 - 60) будет следовать оценке погрешности

Ий2,{/} - й2,о|| < (61)

где а(5) решение уравнения (60). Если положить

йхДА), при 0 < А < г|,

щ{ А) = <

>2,У (А)' ПРИ А > т|,

то из (49) и (61) следует, что

— ;cq 1 — х 1

ЦйДА) - û0(A)|| < dô + 32r i-«o ¿i—o, (62)

где «о(А) = Тфо(Х), а 0О(А) = F[ip0(t)].

Пусть ug(t) = |^_1[йг(А)]|, тогда из (62) и леммы 1 следует, что

а?1 —gQ 1—х\

IMi) - «o(i)|| < Cl5 + 32r 0 ¿1—0,

где uo(t) = T<p0(t).

Работа проводилась при финансовой поддержке гранта р-урал-а е 07-01-96001.

Литература

1. Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О.М. Алифа-нов, Е.А. Артюхин, C.B. Румянцев. - М.: Наука, 1988.

2. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В.П. Танана // Докл. РАН. - 2006. - Т. 407, № 3. -С. 316 - 318.

3. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. - М.: Наука, 1972.

4. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. - Новосибирск: Наука, 1962.

Кафедра вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 29 февраля 2008 г.