Оптимальная по порядку оценка решения обратной задачи тепловой диагностики для уравнения с переменным коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Доказана оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации при решении задачи восстановления температурного поля и теплового потока на границе рассматриваемой области. Получены точные по порядку оценки решения.

Ключевые слова: обратные задачи теплопроводности, метод проекционной регуляризации, оптимальные по порядку оценки.

В статье рассматривается обратная граничная задача для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом. Подобные задачи могут возникнуть при решении более сложных многомерных задач, а именно, при выполнении полярной замены аргумента для перехода от двумерной задачи на кольце к одномерной задаче на отрезке [1].

1. Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение

ди(х,£) д2и(х,£) , . , .

—д^ = -1^+«(*)*<*.«)• (1)

в котором х € [0,1], £ > 0, а(х) < 0 и а(х) € С2[0,1]. Пусть известны следующие начальные и граничные условия:

и(х, 0) = 0, х € [0,1], (2)

и(0, £) = 0, £ > 0, (3)

и(х0,£) = / (£), £ > 0; 0 < х0 < 1, (4)

... , . ди(1,£) . .

а граничные значения и(1,£) = и(£) и — --------- = г>т подлежат определению.

дх

Задача (1)—(4) является некорректно поставленной.

Предположим, что при / (£) = /0(£) € Ь2[0, то) существуют точные решения и0(£)^0 и г'0(£)^0 поставленной задачи, которые принадлежат пространству Соболева Ж2г[0, то), причем для этих решений и0(0) = 0, ^0(0) = 0 и существует число Т > 2 такое, что при £ > Т

ио(£) = 0. (5)

Кроме того, и0(£),зд(£) € Мг, где Мг = € ^^[0, то) : ||и>||^1 < г| . Однако

точное значение /0(£) нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение /(£) € ¿2[0, то) и уровень погрешности 8 > 0 такие, что

< 8. (6)

0

Требуется, используя исходные данные /, 8, и Мг задачи (1)—(4) построить приближенные решения и<5 (£) и (£), а также оценить их уклонения ||и0 — иs || ь2 и ||^о — у$ ||^2 от точных решений и0(£) и ^о(£).

Благодаря наложенным на решения задачи (1)—(4) условиям и соотношению (5), к означенной задаче можно применять преобразование Фурье на полупрямой по £ в предположении, что

и(х,£) = 0 при £< 0. (7)

2. Сведение (1)—(4) к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Учитывая (7), в качестве рабочего пространства Н возьмем комплексный вариант Ь2[0, то) над полем действительных чисел, т. е. его элементы имеют вид и(£)+гг>(£), где и, V € Ь2[0, то) и норма в нем определяется по формуле ||и + гг>||Н = Ци|Ц2 + 1МЦ2. Тогда пространство Н — гильбертово и преобразование Фурье на нем определим следующим образом:

^[м(£)] = \/ — у и(і)е гт*^і, т > 0.

о

(8)

Из теоремы Планшереля, сформулированной в [2], следует изометричность преобразования ^, определенного формулой (8).

Применяя к уравнению (1), с учетом условия (7), преобразование Фурье ^, получаем

^2и(ж, т) ^ж2

+ а(ж)и(ж, т) = гти(ж, т), т > 0, 0 < ж < 1,

(9)

где м(х,т) = ^[и(х, £)]. Для уравнения (9) поставим задачу, добавив условия

м(0, т) = 0, т > 0, (10)

м(хо,г) = /(т), т > 0, (11)

где /(т) = ^[/(£)]. Из (9)—(11) требуется определить м0(т), г;0(т), т > 0.

Очевидным образом показывается, что решение задачи (9), (10) линейно зависит от решения задачи

^2е(х, т)

^ж2

+ а(ж)е(ж, т) = гте(ж, т), т > 0, 0 < ж < 1,

е(0, т) = 0, т > 0, еХ(0, т) = 1, т > 0,

т. е. имеют место соотношения

м(ж,т) = /(т)е(ж,т) г_

{ и (и \ , т > 0, ж Є [0,1], г»(ж,т) = 1(т)е'(ж,т)

(12)

(13)

(14)

где / (т) — произвольная функция. Используя (11), находим

/(т) = , т > 0. (16)

е(жо,т)

Тогда из (15), (16) следует, что

м(т) = (^(т) ) е(1,т) е(жо,т)

^(т) = ( ) ) Є(1,т) е(жо,т)

т > 0. (17)

Далее будем рассматривать пространство Н0 = Ь2[0,ж0] над полем комплексных чисел и оператор А : Н0 ^ Н0, определяемый формулами

а2и

Аи = 2 + а(ж)и, и Є ^(А); (18)

Д(А) = {и : и, Аи Є Н0, и(0) = и(ж0) = 0}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что оператор А самосопряжен, поэтому согласно условиям и теоремам, например, из [2; 3], Яр (А) С К. Кроме того, поскольку а(ж) < 0, то нетрудно убедиться, что А ещё и отрицательно определен, в частности 0 Є Яр(А).

Теперь установим одно свойство функции /(т), определенной формулой (16).

Теорема 1. Функция /(т), определенная формулой (16), непрерывна при т > 0.

Доказательство. Так как /(т) и е(ж0,т) непрерывны при т > 0, то для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что для любого т > 0 е(ж0, т) = 0.

Предположим противное, т. е. найдется число т0 > 0 такое, что е(ж0, т0) = 0. Рассмотрим в пространстве Н0 = Ь2[0,ж0] оператор А : Н0 ^ Н0, определенный формулами (18). Из (12) следует, что Ае(ж,т0) = іт0е(ж,т0); 0 < ж < ж0.

Точка іт0 не принадлежит спектру оператора А, что обосновано выше, следовательно, уравнение (А — гт0/)е(ж, т0) = 0 имеет единственное решение

е(ж,т0) = 0 при всех 0 < ж < ж0. Значит, и е'Х(0,т0) = 0, что противоречит

условию (14). □

3. Оценка величин |е(ж,т)| и |е'(ж,т)|

а2е(ж т)

Перепишем уравнение (12) в виде --------------іте(ж,т) = —а(ж)е(ж,т).

аж2

Решая полученное уравнение методом вариации постоянных и используя условия (13), (14), сведем задачу (12)—(14) к интегральному уравнению

Х

вЬ^Аж [ вЬ^А(ж — £)

еі(ж, А) = ------ ^ \^ а(Є)еі(Є,А)аЄ, (19)

^А ] ^)А

где ^0 = —р(1 + і), ж, £ Є [0,1], А = —т > 0, е1(ж, А) = е(ж, т). у2

Лемма 1. При ж > 0 |вЬ^0Аж| < еV'2, |еЬ^0Аж| < в'/2 и справедливо равенство

1 ./2лх 1 „Ллх 1

сс8У2Аж.

4 4 2

|вЬ^0Аж|2 = -в^Хх + -е л/2Лх — -ссв^Аз

Доказательство следует из определений гиперболических функций, формулы Эйлера и модуля комплексного числа.

Теорема 2. Существуют числа Ао > 0, С1 > 0, с2 > 0, с3 > 0, с4 > 0 такие, что для любого А > А0 выполняются оценки

X Д X Д

е%/2 ^%/2 _х Д , _Х Д

С1 - < |в1 (х, А) | < С2 г , Сзе ^2 < |е1 (х, А) | < С4в ^2 .

АА

Доказательство. Выполним замену е(х, А) = —е1(х, А), тогда уравнение

вп ^оАх

(19) придет к виду

X

[ вЬ ^оА(х - £)вЬ ^оА^ . . . . , ,

е(х,А) = 1 - а(£ )£(^,А)^С- (20)

J ^оА вп ^оАх

о

Функция а(х) непрерывна при всех х € [0,1], следовательно, найдется постоянная с > 0 такая, что |а(х)| < с. В частности, можно положить с = тах |а(х) |.

х€[о ,1]

Далее, из приведенной леммы следует, что

Ііт

Л—>оо

вЬ ^0А(ж — £) вЬ ^0А£

^0А вЬ ^0Аж

0,

поэтому для любого а > 0 найдется Ао > 0 такое, что для всех А > Ао, вЬ^оА(х — £) вЬ ^оА£

^0А вЬ ^0 Аж Обозначим д

< а.

Х

вЬ ^0А(ж — £) вЬ ^0А£

^0А вЬ ^0Аж

1а(С)|аС- Тогда в силу полученных

оценок будем иметь: д < ас. Поскольку а — любое, то, в частности, можно взять а = 2~, тогда д < 2, а соответствующее значение А0 нетрудно подобрать, зная а. Покажем, что при А > А0 решение уравнения (20) можно искать в виде

ГО

є(ж, А) = еп(ж, А). Здесь е0(ж, А) = 1,

п=0

[ вЬ^оА(х — £)вЬ^оА^ , . , .

еп+1(х,А)= — а(£)ега(£,А)^.

J ^оА вп ^оАх

о

Применяя индукцию по п, можно показать, что |ега(х, А)| < д", где

ГО

п = 0,1, 2,... Поскольку д < 1, то ряд ега(х, А) равномерно и абсолютно

га=о

сходится при х € [0,1], А > Ао и его сумма е(х, А) равномерно ограничена при А ^ то. Тогда получаем оценку:

1 — —— < |е(ж, А)| < 1

1 — д

1 — д

(21)

Так как д < 2, то оценка снизу — ненулевая.

Поскольку ——е(ж, А) = е1(ж,А) и

(21) находим:

^0А

вЬ ^0Аж

^0А

1 Ах -вч/2

А

при А ^ то, то из

1 — 2д где Сі = —л 7, С2

х \ х \

е^2Л . . л.. е^2Л

Сі а < |еі(ж, А) | < С2 а ,

1

2(1 — д) 2(1 — д)

Продифференцируем (19) по ж:

е1(х, А) = сЬ^оАх — J сЬ^оА(х — £)а(£)е^£, А)^£.

о

Тогда, с учетом полученной выше оценки, при А > Ао имеем

Лх X

. Лх с2е ^2 Г Лх / С2С\ Лх

|е1(х, А)| < е75 + ^^ |а(еМ < е75 (4 + < С4в75.

Здесь С4 = ( 1 + С2С А0

С другой стороны, |еі (ж, А) | >

|еЬ^Аж| — у |еЬ^)А(ж — £)ІК£)£||еі(£, А)|^£

о

>

>

Ах Х Ах С2е ^2 Г

е^ I |а(еМ

А

0

Ах

> е V*

-21 — Т

> -зе ^2, где -3 =

-21 — А0

В силу

произвольности выбора Ао всегда можно добиться выполнения условия с3 = 0. □

Возвращаясь к переменной т, получаем, что при т ^ +то имеют место оценки

-і----— < |е(ж,т)| < -2

-зе< |е'(ж,т)| < -4е. (22)

4. Оценка величины ||/^(т) — 10(т)ц2

В силу изометричности преобразования Фурье ^, определенного формулой (8), и в силу оценки (6) имеем

ИЛ(т) — Л(т)ЙІ2 < <5.

(23)

Х

Х

гДе /г(т) = F[/г(*)], Уо(т) = F[/o(i)]. ^

Далее, пусть /о(т) = /о(т\ , /г(т) = /г(т\ . Тогда

е(хо,т) е(хо,т)

\ 2 Л0

т)— «т )Щ = / 1л(т >— лм|2<*т+ / ]е(хо;т)12 |л <т )— Ло<т >|2йт-

о Д0

Поскольку функция е(хо,т) непрерывна для всех т > 0 и из теоремы

1 следует, что она нигде не обращается в 0, то —-----------------— непрерывна при

|е(хо,т )|2

т € [0, А2], значит, на этом отрезке она достигает своего наибольшего значения,

т. е. —------— < с?, где с5 = тах < —----------— 1. Используя (23), получаем:

|е(хо, т) |2 5’ ^ 5 те[о,Л2]\ |е(хо ,т)|2] У ^ У

2

Л0

1 1 /г(т) - fo(т)|2^т < с^2- (24)

о

|е(хо,т )|2

1 т

Из теоремы 2 следует, чт^— ------------— < -F- при т £ [Л0, то]. Так как

|б(ж0,т )|2 фЛА 0

тт

lim --F—— = 0, то при т ^ то функция-F—— ограничена, т. е. существует

т ——ю c2e 2x^v^ C2e 2xovT

т

постоянная c6 > 0 такая, что -F—— < c6. При этом в качестве с6 можно

C^^v 2xovT

выбрать sup < --=—— >. Тем самым

т€[Л8.;«Д cfe'/2x»'/T )

Ю

1 — ' ~ ' |2 / „2г2

Л0

|е(хо,т )|2

|/г(т) - /о(т)|2dT < с2^2. (25)

Из (24), (25) следует, что ||/г(т) - /о(т)|La < + c^.

5. Применение метода проекционной регуляризации

Используя формулы (15), перепишем нашу задачу в виде операторных уравнений

Аім(т) = 1 м(т) = /й(т), А2^(т) = ,1 ' £(т) = /й(т), (26)

6(1,т ) б'(1,т )

где A1, A2 : H ^ H.

Пусть м0(т),^0(т) £ W^fO, то] — точные решение задачи (26), соответствующие правой части /0(т), тогда пусть найдется постоянная r > 0 такая, что

IML + Kill < г2 и |Ы|22 + ||^oli2 < r2.

оо _____ со

Определим и0(т) = \! — j Мо(і)е Тогда и0(т) = ¿ту — j и0(і)е гт ^ =

о о

¿тм0 (т). Значит, для точного решения м0(т) справедливо неравенство

(1 + т2)|м0Ц2 < г2. Аналогично получаем, что (1 + т2)|г'0Ц3 < г2.

Каждая из задач (26) распадается на две: первая из них — на отрезке т Є [0, Л2] = [0,т0], вторая — при т Є [т0, +то). Вторые задачи некорректны. Для первых же задач сразу находим оценки Цгхг — м0|| < с5с7$, где

і і

2 / \ 2 22

с7 = тах |е(1,т)|2 и ||Тб — Т0|| < с5с8£, где с8 = тах |б/(1,г)|

\г€[0,го] у ут €[0,го ]

Найдем решения вторых задач. Из теоремы 1 и формул (26) следует инъек-тивность операторов А, А2, А 2 и А2, поэтому в силу леммы 6, сформулированной в работе [4], существуют изометрические операторы Рь^2 : Н ^ Н такие, что А.1и(т) = ^С^т) и А2г(т) = ^С^т), где

С'ім(т)

е(1,т)

м(т ), С^т )

е/(1,т)

(27)

т. е. операторы С1 и С2 положительно определены и самосопряжены. Таким образом, уравнения (26) могут быть записаны в виде

С1Т(т )= Т (т), С^т )= /б (т), (28)

где /б(т) = ^/б(т), 1б(т) = Р2/б(т), а ^1,^2 — операторы, сопряженные соответ-

Р ( N |е(1,т)| Р ( \ |е/(1,т)|

ственно с рцт) = —-------- и ^2 (т) = ------- .

е(1, т) е/(1, т)

Из сказанного выше следует, что при /0(т) = /0(т) /0 (т) =

Р2/0(т) уравнения (28) имеют точные решения Т0(т),Т0(т) € В^г. Здесь

= {го : го € Н, ЦгТЦ < г}, т > т0, а

Вго(т) = , гТ(т), т > т0, гТ(т) € Н. (29)

у1 + т2

Из формул (27)—(29) следует, что В = ^1(С1) и В = ^2(С2), где функции #1(7), $2(^) являются строго возрастающими, непрерывными, удовлетворяющими условиям ^1(0) = 0,д2(0) = 0 [4].

Используя оценки (22) и формулы (27), (29), можно показать, что имеют место эквивалентности:

^1(а) ~ - 1п-2 Г—^

2 )71 при 7 ^ 0. (30)

~ ^-2(

Используя метод проекционной регуляризации, предложенный в [4], регуля-ризуем исходные данные (/б (т), $), т. е. определим функцию /б [т, <Т($)] следующим образом:

1

1

— при условии ||/fII > Зс65 определим /f[т, а(5)] = I Щ(т) при Т < ,

[ 0 при т > а(5)

СЮ

где а(5) удовлетворяет уравнению J Щ(т)|2dT =9c|^2;

a(f )

— при условии ||/f || < Зс65 определим [т, а(5)] = 0.

При выполнении этих условий функция [т, а (5)] определяется однозначно даже в случае неединственности решения уравнения из первого условия. Аналогичным образом регуляризуем исходные данные (/$(т),5).

Далее, приближенные решения щ(т) и щ(т) уравнений (28) определим формулами щ(т) = С-1/й[т, а(5)], Щ(т) = C'2_1Zf [т, а(5)]. В силу леммы 13 из работы [4] найдется постоянная с9 такая, что при т > то справедливы оценки

||Щ - Щ|| < С9 ln-^С”^) , - Що11 < С9 ln-2 ^С”^) ■ (31)

Постоянная Сд определяется соотношениями (30) и условием леммы 13 из работы [4] следующим образом: cg = 12b^ = 6b, где b > r||B|| > 1. Радиус r известен из

и и ” r

постановки задачи. Находим ||В|| = — , тогда выбираем b > — > 1.

у1 + то2 V1 + т02

Из теоремы, сформулированной в работе [4], следует, что оценки (31) являются точными по порядку на классе BSr, а соответствующий метод проекционной регуляризации оптимален по порядку на этом классе решений.

Чтобы окончательно получить приближенные решения «г (t) и Vf (t) исходной задачи (1)—(4), применим обратное к F преобразование F-1 и получим uf (t) = Re {F-1 [щ(т)]} и Vf (t) = Re {F-1 [щ(т)]}. Поскольку преобразование F изометрично, то для приближенных решений «f (t) и Vf (t) для любого t > 0 при

5 ^ 0 справедливы оценки

||uf - Uo| < Сд ln-2 ( -1 ) , ||Vf - Vo|| < Сд ln-2 ( -1

\Сб5 J \Сб5

Список литературы

1. Кутузов, А. С. Точная по порядку оценка приближенного решения обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце / А. С. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика. Физика. Химия.— 2007.— Вып. 9, № 19 (91).— C. 30—36.

2. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа /

А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.— М. : Наука, 1972.

3. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк.— М. : Наука, 1969.

4. Танана, В. П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В. П. Танана. Сиб. журн. вычисл. математики.— 2004.— Т. 7, № 2.— С. 117—132.