Оптимальная по порядку оценка решения двумерной обратной задачи Стефана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

Предложено решение одной двумерной граничной обратной задачи с подвижной

границей оптимальным по порядку методом. Впервые для такого класса задач

получена точная по порядку оценка решения.

Ключевые слова: обратная задача Стефана, метод проекционной регуляризации, оптимальная по порядку оценка,.

Введение

Многомерные математические модели описывают реальные процессы более адекватно, чем одномерные, потому постановка и решение многомерных обратных задач математической физики крайне востребованы и имеют огромное практическое значение.

Широким классом обратных некорректно поставленных задач математической физики являются так называемые обратные задачи Стефана [1], то есть задачи, в которых границы рассматриваемых областей могут со временем менять своё положение. Подобная задача возникает, например, при исследовании процессов непрерывной разливки стали. В этом случае наблюдается фронт фазового перехода, который со временем перемещается. При этом возникает задача определения температуры на границе зоны вторичного охлаждения. Разливка осуществляется внутри цилиндрических труб, а потому ясно, что адекватное описание процесса может дать двумерная задача на цилиндре.

Одна из таких задач предложена и решена в настоящей статье. Впервые для подобной задачи получена оптимальная по порядку оценка решения.

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю

Рассмотрим дифференциальное уравнение

в котором x, y Є K, K — кольцо, ограниченное окружностями Г1 и Г2 с радиусами ri и hit) > ri соответственно (то есть внешняя граница кольца со временем перемещается), t ^ О, h(t) — непрерывная, ограниченная, строго возрастающая

(1)

функция, причём к(0) = к0 > 0, А = -7—т + -7—т — оператор Лапласа.

дх2 ду2

Пусть известны следующие начальные и граничные условия:

u(x, y, О) = О, x,y Є K,

u\r2 = О, t ^ О,

(3)

\ grad u\

(4)

Г 2

а граничное значение и|гх функции и(х,у,Ь) подлежит определению.

Будем искать решение этой задачи, удовлетворяющее условию осевой симметрии, то есть такое, что

u(x, y,t) = u^x2 + y2,

(5)

Выполнив замену переменной z = \jx2 + y2, задачу (1)-(4) можно свести к сле-

дующей:

дuiz,t) д2uiz,t) І дuiz,t)

+-------тт^ t ^ О, ri ^ z ^ hit),

at

дz2 z дz

u\t=o = О, ri ^ z ^ ho,

u\z=h(t) = О, t ^ О,

ди

(б)

(Т)

дz

z=h(t)

а определить требуется

u\z=n = Uo(ri,t).

В полученной задаче сделаем замену

u(z, t) = v(z, t) ■ z-2 ,

тогда задача (6)-(10) принимает следующий вид:

dv(z,t) d2v(z,t) 1

10)

m

дz2

+ viz,t), t ^ О, r1 ^ z ^ hit),

4z2

v\t=o = О, ri ^ z ^ ho,

v\z=h(t) = О, t ^ О,

дv

дz

Ф(і)л/hit), t ^ О,

z=h(t)

а определить требуется

v\z=ri = vo iri,t).

:ii)

;i2)

13)

;i4)

:i5)

Для исследования и решения полученной задачи (11)—(15) сделаем замену

X — Т\

аргумента 2 = ---------- и искомой функции у1(2,Ь) = у(2(к(Ь) — Т1) + т^Ь). То-

к(Ь) — т1

гда от задачи с подвижной границей можно перейти к задаче с неподвижной границей и уравнение (11) при Ь ^ 0 и 2 Е [0, 1] примет вид

дv1iz\t)

ді

І

д2 vi iz,t)

+

І

ihit) — r1)2 дz2 Affihit) — r1) + r1)2

условия (12)—(14) перепишутся в виде

v1(z, 0) = 0, z Е [0,1],

1б)

:i7)

(h(t) — r1)^(t)v/h(t), t ^ 0, (19)

vi(1,t) = 0, t ^ 0, (18)

dvi

d Z — d z b=1

а граничное условие (15) примет вид

vi(0,t) = vio (t).

Из [2, с. 266] следует, что в задаче Стефана граница h(t) определяется формулой

^ = -т). (20)

где ф({) определена формулой (4) (или (9)), а k > 0 — известная константа. Из (20) следует, что

t

h(t) = h0 — k j ф(т)dr. (21)

o

Так как функция ф^) известна, то из формулы (21) следует, что свободная граница h(t) также известна.

Перепишем уравнение (16) в виде

\28vi(z,t) д2vi(z,t) , 1

(вд— ri) —^ = -----------—г?vi(M)>

4 z +

h(t) - ri ri

а также переобозначим ----------------= hi(t) и получим уравнение

h(t) - ri

r2 8vi(z,t) 82vi(z',t) 1

= "^ + ‘ >0 zЕ |01]. <22>

В уравнении (22) сделаем ещё одну замену переменной, а именно, положим

t

г hi(r)

s = b(t), где b(t) = —2— dr. Новую неизвестную функцию обозначим

J ri

0

v2(z,s) = vi(Z,b~i(s)), z Е [0,1], s ^ 0. (23)

Подставив функцию v2 ( z, s), определяемую формулой (23), в уравнение (22), по-

лучим

8v2(z, s) д2v2(z,s) 1 _ . ^

~дГ~ = 8-2 + 4(z + bi(s))2v2(z-8)- s S 0 z Е |0’1]- (24)

где bi(s) = г1Л/b'(b-i(s)). Начальное и граничные условия (17)—(19) примут вид

v2(z, 0) = 0, z Е [0,1], (25)

и2(М) = 0, 5 ^ 0, (26)

^ = /(5), 5 > 0, (27)

дХ Ь=1

где f (в) = (к(Ь-1(в)) — т1)ф(Ъ-1(з))\/к(Ь-1(в)). Определению подлежит граничное значение г>2(0, в).

Наконец, в полученной задаче (24)-(27) сделаем ещё одну замену аргумента X = 1 — 2и искомой функции г>2(1 — Х,8)= и1(х, в). Тогда функция и1(х, в) будет удовлетворять следующей задаче:

тг1- ^ ‘таг"'"1 • > "■ ‘6 м- (28)

«1(х, 0) = 0, X 6 [0,1], (29)

и1(0, •) = 0, • ^ 0, (30)

'и1 = f (•), • ^ 0, (31)

х=о

дХ

где Ь2(в) = —1 — Ь1(в), а граничное значение и1(1, •) подлежит определению.

Эта задача (см. [3]) является некорректно поставленной (неустойчивой), и, как будет показано далее, изометричное преобразование приводит её к задаче вычисления значений неограниченного оператора. Кроме того, при естественных ограничениях на функцию f (•) (см. [3, с. 33]) она имеет не более одного решения.

Предположим, что при f (•) = Д)(в) Е Ь2(0, то) существует точное решение и 10 (1,в) ф 0 поставленной задачи, которое принадлежит пространству Соболева (0, то) (см. [4, с. 102]), причем для этого решения и10(1, 0) = и'10(1, 0) = 0 и существует число Т такое, что при • ^ Т и10(1,в) = 0. Кроме того, и10(1,в) Е

Мг, где Мг = |и10 Е ЭД721(0, то) : ||и10||^х ^ т2| . Однако точное значение ^(в)

нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение fs(в) Е ^^2(0, то) и уровень погрешности 8 > 0, такие, что ||^ — fs\\ь2 ^ 8. Требуется, используя исходные данные fs, 8, и Мг задачи (28)—(31), построить приближенное решение и^ (в) и оценить его уклонение ||и10 — и1г ||^2 от точного решения и10(в) = и10(1, в).

Используя метод разделения переменных и теорию бесселевых функций (см. [5]), можно показать, что к задаче для уравнения (6), а значит, к задаче (28)—(31) можно применять преобразование, аналогичное преобразованию Фурье на полупрямой по в в предположении, что

и1(х,в) = 0 при в< 0. (32)

2. Сведение к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Учитывая (32), в качестве рабочего пространства Н возьмем комплексный вариант Ь2(0, то) над полем действительных чисел, то есть его элементы имеют вид п(і) + іу(і), где п,ь Е Ь2(0, то), и норма в нем определяется по формуле

IIи + Ъ'иЦ'Нн = Ци|Ц2 + 1МЦ2. Тогда пространство Н будет гильбертовым, а преобразование Фурье на нем определим следующим образом:

Р Іп(і)]

— I п(і)б 0

— ІТІ

(33)

Из теоремы Планшереля, сформулированной в [6], следует изометричность преобразования Г, определенного формулой (33).

Применяя к уравнению (28), с учетом условия (32), преобразование Фурье Г, получаем

^21(Х,т)

йх2

+ В{х,т) * Щ(х,т) = ітпі{х,т), т > ° 0 ^ X ^ 1, (34)

1

где 21(Х,т) = Г[ul(X,•)], В(х,т) = Г

|_4(Х + Ь2(в))2 _

рацию свёртки по переменной т (см. [6; 7]).

, символ * обозначает опе-

Для уравнения (34) поставим задачу, добавив условия

м1(0, т) = 0, т ^ 0, йп1

йх

/(т), т ^ 0,

(35)

(36)

х=о

где /(т) = Г У (Ь)]. Из (34)—(36) требуется определить 21(1,т), т ^ 0.

Поскольку 21(х, 0) = 0, то далее будем рассматривать значения т > 0. Рассмотрим задачу Коши (34)-(36). В силу свойств дифференциальных операторов и линейных дифференциальных уравнений (см. [8]), если е1(х,т) и е2(х,т) — линейно независимые решения (34), то общее решение (34) имеет вид

21(Х,т) = С1(т )е1(Х,т) + С2(т )е2(Х,т).

Используя (35), (36), находим:

м1(0, т)

«1(0, т)

еі(0,т) Є2(0,т) е1(0,т) е2(0,т)

С1(т) С2(т )

0

/(т)

Тогда решение задачи Коши (41)-(43) определяется из равенства

1

«1(х,т) и'і(х,т)

е1(х,т ) Є2(х,т) 61(х,т) е2(х,т)

61(0, т) Є2(0, т) е1(0,т) б2(0,т)

0

/(т)

(37)

При т > 0 получаем, что

21(1,т) = e(т)f(т),

где функция е(т) получается простым перемножением всех матриц в последнем матричном равенстве и имеет вид

е2(1, т)е1 (0, т) — е 1 (1, т)е2(0, т)

6(т)

(38)

е1(0,т)е2(0, т) — е2(0, т)е1 (0, т)’

Требуется оценить сверху и снизу величину |е(т)|. Для этого найдём оценки сверху и снизу модулей всех функций, входящих в правую часть (38).

3. Первое решение задачи (34)—(36)

Рассмотрим интегральное уравнение

х

е1(х,т)= еГ^х — [ 8Ь^(х -чс) [вК т) * е1(е,т)]^е, (39)

3 Цо\/ т

о

где 1л0 = \Г% = ^(1 + %), х,£ Е [0,1], т > 0. Нетрудно убедиться, что если уравнение (39) имеет решение, то оно также будет являться решением уравнения

(34).

Для удобства вычисления свёртки, чтобы не вводить новых обозначений, будем считать е1 функцией аргумента у/т.

1 СЮ

Теорема 1. Пусть интеграл 11

Ш.

\В(^,0)\б V'2сходится, тогда су-

00

ществует число т0 > 0 и постоянные с1 > 0, с2 > 0 такие, что для всех т ^ т0 выполняется оценка

с1е'/2^ ^ |е1(х,т)| ^ с2е. (40)

Кроме того, при т ^ т0,т ^ +то справедливо равенство

|е1 (Х,т )| = ^е (1 + о(1)). (41)

Доказательство. Выполним в уравнении (39) замену

1

^1(х,т)

б^оу/Тх

61(х,т),

тогда оно примет вид

^1(х,т) = 1 -

вЬ^ол/т(х — О

110^Г6^о^Тх

(42)

Найдём оценку для величины

зНуру/т(х — О \10^тб^х

В(£,т) * 6^^ с!£

. Из

определений гиперболического синуса и модуля комплексного числа получаем,

ут(х-£) , т ,

что при т > 0 \вЬ Ц0у/ т (х — 0\ < 6 V'2 . Кроме того, очевидно, что |еМо^ Тх| =

ут

= 6^2х. Тогда из определения и свойств свёртки на интервале (0, то) следует, что

вЬ Црл/т (х — £) \10^т6^х

х оо

-±=1 |В(Є,9)\6-Й< А

00

I 1

Таким образом, найдётся значение т0 > 0 такое, что д1 = < — для всех

'т 2

т ^ т0. Покажем теперь, что решение уравнения (42) можно искать в виде

ГО

^1(Х,т) = X! (х,т)

и=0

X

X

X

х

где £ю(Х,т) = 1, £1и+1(Х,т) = х ) В(^,т) * ^(^,т) ^

о

Применяя индукцию по V, можно показать, что (х,т)| ^ 4{, где V = 0,1, 2,...

1 СО

Поскольку д1 < —, то ряд ^ ' е1и(х,т) равномерно и абсолютно сходится при

и=0

X Е [0,1], т ^ т0 и его сумма е1 (х,т) равномерно ограничена при т ^ то. Тогда получаем оценку

С1е^ |е1 (х, т) | ^ С2е.

Здесь С1 = 1 — —^~ и с2 = 1 + ^

1 - qi 1 - qi

Продифференцируем уравнение (39) по переменной х:

X

е1(Х,т) = LioVre^X - J ch fioVr(Х - О [В(£,т) * ei(^,r)]d£.

0

Тогда при т ^ +то, используя (40) и неравенства для модуля суммы и разности, получаем, что выполняется равенство (41). □

4. Второе решение задачи (34)—(36)

Рассмотрим интегральное уравнение

V2

е2(х.т) = e-‘°^X - / sh^^- х> [вц.т) * e2«,T)]d£, (43)

J HoV т

X

где ц0 = \fi = ^(1 + i), х Е [0,1], т > 0, £ Е [х, л/2]. Легко проверяется, что если уравнение (43) имеет решение, то оно также будет являться решением уравнения (34). Как и в случае с функцией e1, чтобы не вводить новых обозначений, будем считать е2 функцией аргумента \J~r.

V2 сю

Теорема 2. Пусть интеграл I2 = J j \В(£,9)\eТ2^d9d£ сходится, тогда су-

00

ществуют число т0 > 0 и постоянные с3 > 0, с4 > 0 такие, что для всех т ^ т0 выполняется оценка

с3е~^ ^ \в2(х,т)\ ^ С4е-.

Кроме того, при т ^ т0, т ^ справедливо равенство

\е2(Х,т )\ = ^те~ (1 + 0(1)).

Доказательство. Выполним в уравнении (43) замену

£2<Х'т ) = е2(Х-Г >■

тогда оно придет к виду

л/2

Є2(Х,Т) = 1 -

вЬ ^оу/г(С - х)

/10 л/тв-^0^Тх

В(С,т) « е-^Єі&тЯ <Є

Далее действуем аналогично предыдущей теореме и находим с3 = 1 —

42

С4 — 1 +

42

1 — 42

и

1 — 42

□

Всюду в дальнейшем будем считать, что условия доказанных теорем выполнены, кроме того, примем за т0 > 0 то значение, начиная с которого выполняются все оценки из доказанных теорем.

5. Оценка величины |е(т)|

Следствие 1. При с2 — 2, с4 — 2 и т ^ т0 найдутся постоянные с5, с6, с7 и с8 такие, что справедливы оценки:

(44)

с7л/те ^х ^ \е2(х,т)\ ^ с8Л/те Доказательство сразу же следует из теорем 1 и 2, если принять с5

се

1 — сі 2

, св

1 + сі. 2

1-с2

Следствие 2. При т ^ т0 и с!с7 = с4с6 решения в1(х,т) и в2(х,т) линейно независимы, а значит, образуют фундаментальную систему решений уравнения (34).

Доказательство. Достаточно доказать, что определитель Вронского, составленный из этих решений, не равен нулю.

W (еье2)

е1(Х,т) е2(Х,т)

е1(х,т) е2(х,т)

еі(х,т )е2(х,т) — е2 (х.т )е1(х,т )•

Воспользуемся оценками модуля суммы и разности, тогда из теорем 1, 2 и формул (44) следует, что

\[Г\C1C7 - С4Сб| ^ № (в! ,в2)\ ^ л/т(С2С8 + С4С6).

Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение. □

Заметим, что выполнения условия с!с7 = с4с6 всегда можно добиться в силу произвольности выбора констант д! и д2 из теорем 1 и 2.

Следствие 3. Для функции в(т) при т ^ то и с!с7 = с4с6 имеет место оценка

ф-

Доказательство. Следует из формулы (38), теорем 1 и 2, а также формулы (44), если применить неравенства для модуля суммы и разности и обозначить

С2С4 С2С4

Со, — ---- ------, Сю — --------г. □

С2С8 + С4С6 |С1С7 — С4С6 \

Из следствия 3, в частности, получаем, что при т ^ т0 выполняется е(т) — 0.

6. Метод проекционной регуляризации

и оптимальная по порядку оценка решения

Рассмотрим интервал 0 < т ^ то и будем считать, что для таких т функция /(т) — 0. Выполним в задаче Коши (34)-(36) замену

и1(Х,т) = ез(Х,тШт), т € (0,то], X € [0,1].

Тогда получаем

Л т) + в(Х,т) * /(т)ез(Х,т) — гтез(Х,т), т € (0,то], 0 ^ X ^ 1,

ЛХ2 /(т)

ез(0,т) — 0, т € (0,то],

Лез 1 /п и

=о=1, т € <0-то1-

Данная задача Коши имеет единственное решение, а потому выполнено равенство м1(1,т) — ез(1,т)/(т). Кроме того, задача вычисления значений м1(1,т)

при т € (0,т0] является корректной и справедлива оценка |м1^ — м10|| ^ с11 8, где

С11 = sup |Єз(1, т)|2

ут Є(0,то]

Используя формулу (44) и обозначив і1(1,т) = i1 (т), перепишем нашу задачу в виде операторного уравнения

{,] \ І1 (т) при т Є (0, тэ];

eзl<1’т)

—-іа(т) при т Є [т0, +ж), є(т )

где A1 : H ^ H.

Пусть і10(т) Є W2(0, ж) — точное решение полученной задачи, соответствующее точно заданной правой части /0(т), тогда по условию задачи найдется постоянная r > 0 такая, что |i10||2 + ||i10|||2 ^ r2.

оо

- Да -• t

Как и ранее, определим i10(т) = \ — u10(t)e гт dt. Тогда

0

__ СО

2 f ' -гті „

і10(т) = гт\/-J u10(t)e гт dt = гтІ10(т).

0

И потому для точного решения справедливо неравенство (1 + т2)||и0||2 ^ г2.

При т € [0, т0] задача решена, оценка решения найдена выше, потому далее будем рассматривать следующую некорректную задачу при т ^ т0 (задачу вычисления значений неограниченного оператора):

Аи1(т) — —Ц- «1(т) — %(т), (46)

е(т)

где А : Н ^ Н.

Поскольку функция е(т) — 0, из формулы (46) следует инъективность операторов А и А*, поэтому в силу леммы 6, сформулированной в работе [9], существует изометрический оператор Q : Н ^ Н такой, что Аи1(т) — QCu1(т), где

1

Си\(т)

иі{т), (47)

е(т)

то есть оператор С положителен и самосопряжён.

Таким образом, уравнение (46) может быть приведено к виду

Си1(т) — и (т), (48)

"и и \е(т) \

в котором /и(т) — Q*и(т), а Q* — оператор, сопряженный с Q(т) — —.

_ е(т)

Из сказанного выше следует, что при /0(т) — Q*/0(т) уравнение (48) имеет точное решение и10(т) € ЕБГ, где Бг — {7 : 7 € Н, ||и|| ^ г}, т ^ т0, а

Е7(т) — /л 1 2l(т), т ^ то, 7(т) € Н■ (49)

л/1 + т2

Из формул (47)-(49) следует, что Е — д(С), где функция д(а) является строго возрастающей, непрерывной, удовлетворяющей условию д(0) — 0 (см. [9; 10]). Используя следствие 3, легко доказать, что имеет место эквивалентность

д(а) ~ ^ 1п-2 ^^ при а ^ 0. (50)

Используя метод проекционной регуляризации, предложенный в [9], регуля-ризуем исходные данные задачи (/ (т), 8), то есть определим функцию / [т, <7(8)] следующим образом:

• при условии II/ II > 38 определим / [т,7(8)] — | 0(т) при , где

со

<7(8) удовлетворяет уравнение У \/г(т)\2Лт —982;

<Ь(Г)

• при условии ||/ || ^ 38 определим /г[т, <и(8)] = 0.

При выполнении этих условий функция /г [т, 7(8)] определяется однозначно даже в случае неединственности решения уравнения из первого условия (см. [9; 10]). Далее, приближенное решение пи(т) уравнения (48) определим как и1г(т) —

С-1 /ё[т, 7(8)], где оператор С определен формулой (47). В силу леммы 13 из работы [9] найдется постоянная С12 такая, что справедлива оценка

1171,5 — 710 | ^ С12 1п-2 ^0 . (51)

Постоянная С12 определяется соотношением (50) и условием леммы 13 из работы [9] следующим образом: с12 — 12Л • ^ — 6Л, где Л ^ г||Е|| ^ 1. Так как ||Е|| —

1 г

—. , то выбираем Л ^ ^ 1.

V1 + то2 V1 + то2

Из теоремы, сформулированной в работе [9], следует, что оценка (62) является точной по порядку на классе ЕБГ, а соответствующий метод проекционной регуляризации оптимален по порядку на этом классе решений.

Далее, соберём воедино обе полученные оценки для корректной и некорректной задачи и получим для всех т ^ 0 и при 8 ^ 0

|171г — 71о|| ^ С121п 2 ^8

Чтобы окончательно получить приближенное решение и1г(в), применим обратное к Г преобразование Г-1 и тогда и1г(в) — Ке{Г-1[и11г(т)]}. Поскольку преобразование Г изометрично, то для приближённого решения и1г (в)последняя оценка остается в силе. Остаётся только выполнить все проведённые замены аргументов в обратном порядке.

Теорема 3. Если интегралы 11 и 12 сходятся, то метод проекционной регуляризации для решения граничной обратной задачи Стефана (1)-(4) является

оптимальным по порядку на классе ЕБГ1, где радиус г1 связан с радиусом г и их

связь устанавливается при проведении обратных замен аргумента.

Список литературы

1. Гольдман, Н. Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения / Н. Л. Гольдман. — М. : Изд-во МГУ, 1999. — 294 с.

2. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. — М. : Мир, 1968. — 427 с.

3. Алифанов, О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, Л. Я. Савельев. — М. : Наука, 1988. — 285 с.

4. Лаврентьев, М. М. Теория операторов и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. — Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 1999. — 702 с.

5. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций. I / Г. Н. Ватсон. — М. : Иностр. лит., 1949. — 748 с.

6. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1972. — 496 с.

7. Зорич, В. А. Математический анализ. II / В. А. Зорич. — М. : Наука, 1984. — 640 с.

8. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. — М. : Наука, 1969. — 529 с.

9. Танана, В. П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В. П. Танана // Сиб. журн. вычисл. математики. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 117-132.

10. Танана, В. П. Методы решения операторных уравнений / В. П. Танана. — М. : Наука, 1981. — 160 с.