CC BY
43
УДК 517.948
ТОЧНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КОЛЬЦЕ
А. С. Кутузов
С использованием метода проекционной регуляризации построено приближенное решение одной многомерной обратной задачи для уравнения теплопроводности и получена точная по порядку оценка этого решения.
1. Постановка обратной задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение
= Д и(х,уА (I)
ОТ
в котором х,уеК, К - кольцо, ограниченное окружностями Г, и Г2 с радиусами г} и г2 соот-
д2 д2
ветственно, г>0, Д = —У + —- - оператор Лапласа. Пусть известны следующие начальные и
дх ду
граничные условия:
и(х,у, 0) = 0, х,у е К, (2)
и\г =0, />0, (3)
11 1
“1г0=ЛО; Т0 = ^х,у е К: х2 + у2 =г02,г1 <г0 < г2|,? > 0, (4)
а граничное значение и\{ функции и(х,у\1) подлежит определению.
Будем искать решение этой задачи, являющееся осесимметричным, то есть таким, что
и(х,у,0 = г/|\/х2 +у2,/|. (5)
I 2 9
Выполним замену переменной г = ух +у . Тогда задача (1)-(4) сводится к следующей: ди{г,1) д2и{г,г) 1 ди(г,[)
—^ = +-^ ^>0, г, <г<г2, (6)
от дг г дг
4=0 =0’ Г1-2-Г2’ (?)
мЦ =0, Г>0, (8)
1<1=Го = ЛО» ^ 0, Г{ < г0 < г2, (9)
а определить требуется и\ _ =м0(г2,О,
'г~г2
Задача (6)—(9) является некорректно поставленной.
Предположим, что при /(/) = /0(/)е12[0,со) существует точное решение и0(г2,1) ^ 0 поставленной задачи, которое принадлежит пространству И/Г2 [0, со), причем для этого решения и0(г2,0) = 0 и существует число Т >2 такое, что при (>Т
и002,0 = 0. (10)
Кроме того, м0(г2,0 е Мг, где
(11)
Однако точное значение /0(?) нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение е 1^ [0,оо) и уровень погрешности 3 > 0 такие, что
1/о-/<4^ (12)
Требуется, используя исходные данные /5,д, и Мг задачи (6)-(9) построить приближенное решение иДО и оценить его уклонение |м0 — м^Ц от точного решения И0(0 = и0(г2,0.
Используя метод разделения переменных, можно показать, что к задаче (6)-(9) можно применять преобразование Фурье на полупрямой по / в предположении, что
и(г,?) = 0 при / <0. (13)
2. Сведение уравнения (6) к обыкновенному дифференциальному уравнению. Учитывая (13), в качестве рабочего пространства Н возьмем комплексный вариант /^[О,00) над полем действительных чисел, то есть его элементы имеют вид м(/) + /г(г), где и. V е [О. х] и норма в
II II 2 II ц2 п \\2 —
нем определяется по формуле |и + щ— = р|| + ||у|| . Тогда пространство Н будет гильберто-
вым, а преобразование Фурье на нем определим формулой
/У”
/’[н(?)] = Л— |и(/)е-'г(сй, г>0. (14)
*п о
Из теоремы Планшереля, сформулированной в [2], следует изометричность преобразования Р , определенного формулой (14).
Применяя к уравнению (6), с учетом условия (13), преобразование Фурье ^, получаем
'у л л
с/ и(г,т) 1 <1и(г,т) . ~
---—— +--------- ---= гт«(г,г); г>0, гх<г<гг, (15)
<1г 2 аг
где и(г,т) = /?[и(2,0].
Для уравнения (15) поставим задачу, добавив условия
и(гх,т) = 0, г>0, (16)
кг0,т) = ?(т), г > 0, (17)
где ?(г) = ^[/(0].
Из (15)—(17) требуется определить и(г2,т) = и0(т),т > 0.
Выполним замену
и(г,т) = у(г,т)-г 2, (18)
предложенную в [5, с. 131], чтобы привести уравнение (15) к нормальному виду.
После преобразований задача (15)—(17) сводится к следующей:
с12у(2,т) 1 ~ ~
---— + —^у(г,т) = 1ту(г,т); т> 0, гх<г<г2, (19)
сЬ~ 42
У(г],т) = 0, г > 0, (20)
= г>0. (21)
г-в + г{, v(в + r{,т)-w(в,f). (22)
Далее, пусть
Тогда из (19>—(22) имеем
с12\у(0 г) 1 ^ л
+---------------^Н0,т) = пу^(0,т); г > 0, О<0<г2-ги (23)
с/в 4 (в + гхУ
Ц0,т) = 0, т> 0, (24)
м>(г0-г],т) = /(т)фъ’ г>0,г, <г0 <г2. (25)
В работе [1] указано, что решение задачи (23), (24) линейно зависит от решения задачи
2
+--------------?—-е(9,т) = пе(0,т); т> 0, 0 <в<г2-п, (26)
с!в2 4(0 +г,)2
e(0,r) = 0, r>0, е'в{0,т) = \, т> О,
(27)
(28)
то есть имеет место соотношение
w(0,T) = 1(т)е(в,т), г>0,#є[0,г2 -г,],
(29)
где /(г) - произвольная функция. Используя (25), находим
г > 0.
(30)
Из (18), (22), (29), (30) следует, что
e(z-rx,r)z 2, ze[rx,r2], г >0.
(31)
Теорема 1. Функция /(г), определенная формулой (30) непрерывна при т > 0.
Доказательство. Так как /(г) и е(г0 -гх,т) непрерывны при г>0, то для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что для любого г > 0 е(г0 - гх, г) ф 0.
Предположим противное, т.е. найдется число г0 > 0 такое, что е(г0 - гх ,г0) = 0.
Рассмотрим пространство Н0 = Ь2\$,га -/]] над полем комплексных чисел и оператор Ах:Н0-> #0, определяемый формулами
Из (32), (33) следует, что оператор Ах самосопряжен, поэтому согласно [2] его спектр
Sp(Ax)cz Е.
Из (26) следует, что Ахе(6>, т0) = іт0е(в,г0); 0 < 0 < г0 - гх,
Точка іт0 не принадлежит спектру оператора Ах, следовательно, уравнение [Ах-іт0і)е(в,т0) = 0 имеет единственное решение е{0,т(]) = 0 при всех 0< в <г0- г]. Значит и е V;(0,r0) = 0 , что противоречит условию (28). Теорема доказана.
Замечание: при доказательстве теоремы мы считали, что нулевая точка не принадлежит спектру оператора Ах. Следуя теоремам и определениям из [2, 3], для этого достаточно, варьируя
гх, добиться выполнения одного из неравенств: inf (Ахи,и) > 0 или 8ир(Л,и,и) < 0.
IMH ни
3. Оценка по порядку для решения задачи (26)-(28). Перепишем уравнение (26) в виде
^ е(^’r) _ ixe{9, г) =--------------І—^-е(в, т). Решая полученное уравнение методом вариации постоян-
d6 4 (9 + гх)
ных и, используя условия (27), (28), сведем задачу (26)-(28) к следующему интегральному уравнению
(32)
D(AX )-[и:и,АхиеН0, м(0) = и(г0 - гх) = 0}.
(33)
(34)
Теорема 2. Существуют числа Л^ > 0, с, > 0, с2 > 0 такие, что для любого Я > Яд выполняет-
0
я
ся неравенство: с, - < \ех {в, Л)| < с2 ——
я
//0Я
Доказательство. Выполним замену є(0,Л) =——-----------е] (в. Л), тогда уравнение (34) придет к
бЬ /л$Лв
виду
є(в,Я) = 1- 1—
^ 4(£ + г,)
(35)
Функция
с > 0 такая, что
непрерывна при всех #є[0,г2 - г, ]. следовательно, найдется постоянная
4(<9 + г,)‘
<с.
вії )лй/1(0 - £) эЬ /^0Я^
/^ЯзЬ/гдЯб1 эЬ ЦйЛ(0
■ 0, поэтому для любого а > О найдется А$ > 0 та-
ц^Л^Ъ цйЛ0
< а .
Далее, при Л-> со
кое, что для всех Л > Л0
в
Обозначим 9=|
о
иметь: q < ас(г2 - г}). Поскольку а - любое, то его можно подобрать таким образом, чтобы величина д оказалась строго меньше 1/2.
СО
Покажем, что решение уравнения (35) можно искать в виде е(0, Л) = еу (0, Л), где
!лйЛ{0 - цйЛ£, 1
//0Д э Ь /и0Л9 Щ + г/
усі^. Тогда в силу полученных оценок будем
У=О
£О(0,Л) = 1, гу+1(0,л) = -р
зЬІцоЛ(0-^)зЬ/иоЛ^ 1
-єу(£,Л)<і4.
о ^Л^\цоЛ0 4 (£ + г,)2
Применяя индукцию по V , можно показать, что \єу(9,Л)\ < ду, где V = 0,1,2,...
СО
Поскольку #<1, то ряд £єу(0,Л) равномерно и абсолютно сходится при <9є[0,г2 -г,],
у=0
Я > Лд и его сумма е(0,Л) равномерно ограничена при Я —» го, Таким образом, получаем:
\-д 1-ц
(36)
Поскольку ^^^^(0,Я) = Є)(0,А) и
/и0Л
вії уЫцЯ#
/лйЛ
яв
я
при Я -> оо , то из (36) находим:
~я -~л
е'Я-
С\ —— < \ех(в, Л) | < с2
А А
Теорема доказана.
4. Оценка приближенного значения функции /(г). В силу изометричности преобразования Фурье F, определенного формулой (14) и в силу оценки (12) имеем
/*(*■)-/о (г)і
<5,
(37)
где
ш=р[№)],?0{т)=р[т].
П 7 ( \ Уо(Т^\[*Ъ ; / ч /<?(г’)'\/^Ь т
Далее, пусть /0(г) = —^^-, /Дг) = . Тогда
е(г0-гит) е(г0-гх,т)
Дз ^ Л 2 00 ^^.2
||^(г)-/о(г)||^2= 1^7”^----:Л(г)-/о(^) ^т+ -----Л(т)“/0(т)
2 0 е ('о-'Ь*) . 4 е'('Ь-П.1’)
Поскольку функция <?(г0-г],г) непрерывна для всех г > 0 и из теоремы 1 следует, что она
'о
нигде не обращается в нуль, то -у
е (г0 -н,т)
непрерывна при г <
°Л
значит на этом отрезке
она достигает своего наибольшего значения, то есть
<с.
2 — ^3 5
е (г0-гит)
где
с3 = max.
гє[ол2]і<? (г0-гьт)\
Тем самым из (37) следует
Л)
ь
Ло
о e"(r0-rlsr) Из теоремы 2 следует, что
ЛО)-/0(г)
<
ГлГ
(ro с,е^~^
при г є
4),°°
(38)
. Так как
■ 0, то при г -» оо функция
/лГ
такая, что
ограничена, то есть существует с4 > О
ГпТ
<СЛ
с,е
Л(г0-г|)7г 4
Тем самым
К)
JlT-^-------:|Л(Г)-Л(Г)
2*2
с1т<с4 S
Из (38), (39) следует, что
(39)
(40)
5. Метод проекционной регуляризации. Используя формулу (29) и обозначив w(r2 -Г],т) = w(r), перепишем нашу задачу в виде операторного уравнения
1
Aw(t) = ■
(41)
е(г2-Г1,г) где А:Н Н .
Из теоремы 1 и формулы (41) следует инъективность операторов /4 и А*, поэтому в силу леммы 6, сформулированной в работе [4], существует изометрический оператор ():Н -> Н такой, что Ам?(т) - ()См>(т), где
Cw(r) =
w(r),
е(г2-гьт)
то есть оператор С положителен и самосопряжен.
Таким образом, уравнение (41) может быть сведено к виду
(42)
См?(т) = 1з(т),
в котором 1$(т) = ()*13(т), а $ - оператор, сопряженный с 0г)
(43)
_| е(г2~гит)\
е(г2~гьт)
Пусть и'о(г) е 1¥2 [0,оо] - точное решение задачи, тогда пусть найдется постоянная а> О та-
< а2 . Значит, в частности
2 , _ 2
кая, что И^О + ^0
^2 ^2
< а
ІІ2
/У'[2°°
Определим м>о(т) =. — 1щ(/)е~'т‘с/1. Тогда ^^(г) = г'т. — 1н’0(1)е~'т,с/1 = 1т\ро(г).
V п о V п 0
л ц, —
Таким образом, при 1о(т) = <2 10(т) уравнение (43) имеет точное решение (т)еВЗа, где = ^у:уеН, у <а| и Ву(т) = ^-у(т), г>0.
Из последнего равенства и леммы 6, сформулированной в работе [4] следует существование изометрического оператора ()1 :Н Н такого, что Ву(т) = В^у(т), где у(т) еЯ,а
Вхр{г) = -р{х), г >0, р(т)еН. (44)
г
Таким образом, в силу изометричности точное решение М>о(т) еВ^а-Из (43), (44) следует, что
В{=§(С). (45)
X X
Из теоремы 2: С ~ ■— при г -»со. Переобозначив а - — и используя (44) и (45), получим
g(a) ~ 1п 1 — I при а -» 0.
(46)
Используя метод проекционной регуляризации, предложенный в [4], регуляризуем исходные данные задачи {1#(т),8^, то есть определим функцию 1§ т,а(8) следующим образом:
\1д(т) при т<а(8)
1) при условии
І8
> 3 л] с 2 + 5 1$
т,а(8)
О
при г > а(8)
, где а(8) удовлетво-
ряет уравнению | |Ъ(т)
а{8)
' СІТ =9(с32+с42)82
2) при условии
\1з
<3^с2+с28 1з\г,а(8)
= 0.
При выполнении условий 1)-2) функция 1ё уг,а(8) определяется однозначно даже в случае неединственности решения уравнения в условии 1).
Далее, приближенное решение м^(г) уравнения (43) определим формулой
т,а(8) 1,
у*б{т) = С~118\т,аЩ, (47)
где оператор С определен формулой (43), а 1$ т,а(8) -условиями 1), 2).
В силу того, что м>о(т)е и (45), (46), найдется постоянная с5 такая, что справедлива
оценка
\м>д - м>0
<с51п 11 -
(48)
Из теоремы, сформулированной в работе [4] следует, что оценка (48) является точной по порядку на классе Д , а соответствующий метод проекционной регуляризации оптимален по порядку на этом классе решений.
Чтобы окончательно получить приближенное решение ий (?) исходной задачи (6)-(9) (а значит и (1)—(4)), используем сначала формулы (18), (22) и выведем оценку
из - иО
1
<^=1п
и
а затем, применив обратное к Р преобразование ^ ', получим ид^) = Къ1Р 1 из(т)
По-
скольку преобразование Р изометрично, то для приближенного решения и8 (I) последняя оценка остается в силе.
Литература
1. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В.П. Танана// Докл. РАН. -2006. - Т. 407, № 3. — С. 316-318.
2. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1972. - 496 с.
3. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969.-529 с.
4. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В.П. Танана // Сиб. журн. индустр. матем. - 2004. - Т. 7, № 2. - С. 117-132.
5. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая / Г.Н. Ватсон. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. - 748 с.
Поступила в редакцию 29 мая 2007 г.
