О преобразованиях булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

2-неотличимое состояние 5' е и обратно, для любого состояния 5' е существует 2-неотличимое состояние я е . Непосредственно из определе-

2

ния неотличимости следует, что А « В. □

Автору представляется весьма перспективным изучение аффинных классов автоматных кривых с целью исследования неотличимости автоматов.

УДК 512.532

П. М. Хрусталев О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

В данной работе исследуется один класс взаимно-однозначных отображений на множестве булевых функций п переменных. Доказывается, что этот класс образует группу относительно композиции, мощность которого равна 2". Показывается, что отображения класса сохраняют линейность и самодвойственность булевых функций, а также сохраняют их нелинейность и несамодвойственность. Исследуются ядра отображений класса.

Замена аргумента х, в булевой функции его отрицанием х,- в общем случае изменяет функцию, т.е. =/(х1,...Д,,...гх„)

Выбор /'-го аргумента х, (1</<и) определяет отображение Q¡:Fn-* Рп на множестве Р„ п таких отображений:

.Дх,,..., х„) ® >Дх,,..., х„),

Ахи - , хп) вя >ДХ], ..., х„).

Функции (Дх,,...,х„...,х,,)) = ..¿сп), 1 <i<n, построены из

функций у(*1,...,х„) и, следовательно, сохраняют некоторые свойства последней, иными словами, являются ее приближенными "копиями" (проекциями).

По такой же схеме из полученных функций построим новые: 6Д6< (/(*ь-Л,"г*п))) =/(*ь-,*,.....х],...гхП), и так далее.

Целью данной статьи является исследование класса всех отображений на множестве /*■„, порожденных отображениями ■■■,£)„ с помощью суперпозиции 5.

Для исследования удобен алгебраический подход и другая индексация базовых (порождающих) отображений.

Базовые отображения будем обозначать 0(о,|.....1).....ба,...,1,о) соответственно, элементы класса - <2(а......где а,- е {0,1}, 1 < г < и, а суперпозицию 5(б(р,.....Рл),б(а,,...,«„)) = б(у,,...,?„) заменим операцией о, Где

<2(а1,...,а„)°<2ф......р„) = б(т,.....уп)'

Введя обозначения х = (х,,...^с„), а = (а,,...,ап), р = (р1,...,р„), у = (у1,...,ул), ха =(х,а'.....хив") = (л:, <->а„), исследуем класс

^о|ае{0Д}п))гдееа(/М) = /(ха), (ба °6рХ/)= бр(&(/))•

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Класс {()а} является собственным подклассом класса всех отображений }на множестве Рп.

Доказательство. | {а}| = 2", | {к}\ = тт, где т = 22 . Поэтому

Ш^Ы-а

Следствие 1. Мощность класса |<2а |а е {0,1}" | равна 2". □ ТЕОРЕМА 1. Класс {<2а} всех обращений аргументов является фуппой относительно композиции о.

Доказательство. Согласно определению, отображения Qa всюду определены на множестве Рп.

Покажем, что класс {ба} замкнут относительно композиции о.

{а, ° о* Ы*)У= д. (ва (/ (*)))== М*а )))== /(V1)=)== Ог (/ (*)).

где у = а <-» Р = а^, а,р,у е {ОД}".

Но так как множество всех двоичных векторов замкнуто относительно операции эквиваленции, т.е. у = а <-> р е {0,1}", то класс {<2а}, ае{0,1}", замкнут относительно композиции о.

Операция о на множестве {(Эа} - ассоциативна, поскольку верно, что

ба °(бр °<2у)=(<2а °6р)°6г, так как а (Р <-» у) = (а <-» р) <-» у.

Операция ° на множестве - коммутативна, потому что

0а °0р = 6(аоР) = бр ° ба ■

Следовательно, ({2а},о) является абелевой полугруппой. Элемент = 6(1,. ..ц относительно ° является нейтральным элементом, так как Qa0Q\=Q\°Qa=Qa верно для любого ае{0,1}", поскольку а1 =а<->1 = 1<->а = а,где а <-» 1 = (а1,...,а„)°(1,...,1) = (сх, <-»1,...,а„

Для каждого элемента полугруппы {()а} с единицей Q^ существует обратный элемент Qa 1=£)а, ибо £>а ° £)а = = .

Таким образом, ({()а}, °) - группа. □

Следствие 2. Если <2а°£>р=<2у, то £а = £?р ° £?у и Qf,=Qa° <2У, где

у = а<->Р, а = Р<->у, р = а<->у.

Справедливость этого утверждения обусловлена тем, что в группах разрешимы уравнения:

а °и = с,и- а 'ос;

У°6 = С,У = СоЬ '

ТЕОРЕМА 2. Класс линейных функций замкнут относительно любого преобразования из группы }.

Доказательство. Пусть Дх\,...^сп)еГ„ - линейная функция, а значит она представима в виде...,*„) = а0®а1Х1Ф...ФалхЛ.

Тогда функция £?0 (/(*)) = 0(а......,а„)(/(*1 >-,*„)) = /(*,«',-Х") =

аоФа^Фа,®!) Ф..Фа„(х„ФапФ1) =Дх) Фс есть линейная функция. □

Следствие 3. Класс нелинейных функций замкнут относительно любого преобразования ()а

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 2, с учётом взаимной однозначности отображения <2а.

ТЕОРЕМА 3. Класс самодвойственных функций замкнут относительно любого отображения <2а.

Доказательство. Если _/(*!>—¿О - самодвойственная функция, то /(*,, ... , хп) = /(*,,...,х„). Тогда функция ... , х„) = ()а(/(хь..., х„)) =

= /(х/1',..., хпа" )является самодвойственной, так как /(х,"1,..., хп°" ) =

Из теоремы 3, учитывая, что <2а - взаимно однозначно, следует, что любая самодвойственная функция имеет образ при отображении Qa, который не может быть несамодвойственной функцией. Однако Qa является своим обращением относительно операции ° (теорема 1). Поэтому образом несамодвойственной функции не может быть самодвойственная функция. Таким образом, имеем:

Следствие 4. Класс несамодвойственных функций замкнут относительно любой операции обращения аргументов. □

Отображениями ()а на множестве порождаются ядерные эквивалентности еа = Кег0а : <=> еа(/) = {)а (Я) ■

Из того, что £}а Рп -> является взаимно-однозначным отображением, следует, что (\/а,р)(еа = ер = е0), где е0 - тождественная эквивалентность: е0 с , причем Jг0g <=>/ = £•

Таким образом, классы соответствующего е0 разбиения Д0 = {{/} | / б Рп} являются одноэлементными множествами, число которых 2я

равно 2 . □