CC BY
9
УДК 519.716
С. С. Марченков1
ОПЕРАТОРЫ ЗАМЫКАНИЯ С ПОЗИТИВНЫМИ СВЯЗКАМИ И КВАНТОРАМИ*
Проведена классификация операторов замыкания, которые базируются на логических связках &, V, кванторах 3,V и являются расширениями оператора суперпозиции. Рассмотрен оператор (&3\/)-замыкания, использующий только связку & и оба квантора. Определены основные свойства оператора (&3\/)-замыкания. Найдены все 15 (&3\/)-замк-нутых классов булевых функций.
Ключевые слова: операторы замыкания, (&3\/)-замкнутые классы.
1. Введение. Один из распространенных способов классификации множества Р^ функций fc-значной логики состоит в задании на множестве Р^ оператора замыкания и образовании на его основе замкнутых классов. Самым известным оператором замыкания является оператор суперпозиции. По отношению к этому оператору множество l 'j булевых функций разбивается на счетно-бесконечную совокупность замкнутых классов [1, 2], а множество Р^ при любом к ^ 3 — на континуальную совокупность классов [3].
Исследовать континуальную классификацию с достаточной степенью подробности практически невозможно. Поэтому с начала 1970-х годов стали появляться работы, в которых определялись операторы замыкания, дающие при любом к конечную либо счетную классификацию множества Р^. Впоследствии такие операторы получили название сильных операторов замыкания.
Первым из сильных операторов замыкания стал оператор параметрического замыкания, предложенный A.B. Кузнецовым [4] (несколько ранее идеи A.B. Кузнецова по параметрической выразимости были изложены А.Ф. Данильченко [5]). Центральная идея A.B. Кузнецова заключается в том, чтобы отношение выразимости одной функции через другие функции определять логическими средствами с использованием графиков рассматриваемых функций. В случае параметрической выразимости из логических средств используются связка конъюнкция и квантор существования (здесь мы несколько отступаем от оригинальных формулировок A.B. Кузнецова и ориентируемся на эквивалентные формулировки из работ [6, 7]).
Идею А. В. Кузнецова можно обобщать как по линии логических связок, так и по линии кванторов. Будем рассматривать стандартный набор {&, V,^} логических связок и кванторы 3, V по предметным переменным. В принципе можно определять операторы "замыкания", использующие любые из перечисленных логических связок и кванторов. Однако, если ставить целью получить оператор замыкания, являющийся расширением оператора суперпозиции (а это считается почти обязательным требованием), то в наборе логических средств должны присутствовать связка & и квантор 3. Поскольку конъюнкция и дизъюнкция выразимы друг через друга с помощью отрицания, мы приходим к следующим наборам связок и кванторов:
(&3), (&V3), (&3V), (&V3V), (&V^3V)
(в список не включен набор (& V -i3), так как при наличии отрицания квантор V выражается через квантор 3). В дальнейшем соответствующие операторы замыкания будем обозначать путем указания логического префикса: например, оператор параметрического замыкания является оператором (&3)-замыкания.
В [4] найдены все 25 параметрически замкнутых классов булевых функций (см. также [7, 8]), в [5, 9, 10] установлено, что число параметрически замкнутых классов в Р3 равно 2986, конечность числа параметрически замкнутых классов в Р^ при любом к ^ 4 доказана в [11].
Оператор (& V 3)-замыкания, названный оператором позитивного замыкания, определен в [6] (указания на возможность введения такого оператора имеются в работе [4]). Все 6 позитивно замкнутых классов булевых функций найдены в [6], там же установлено, что при любом к ^ 3 число
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ssmarchenQyandex.ru
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-01-00593.
позитивно замкнутых классов в Р^ конечно. Описание позитивно замкнутых классов в терминах полугрупп эндоморфизмов дано в [12]. Перечисление всех позитивно замкнутых классов трехзначной логики приведено в [13, 14]. Операторы (& V ЗУ)- и (& V ^3\/)-замыкания порождают одни и те же замкнутые классы [6]. В [6] также доказано, что при любом к ^ 2 каждый из (&\/3\/)-замкнутых классов взаимно однозначно определяется подгруппой группы всех перестановок на ^-элементном множестве.
Из перечисленных выше операторов замыкания неисследованным остается оператор (&ЭУ)-замыкания. В настоящей работе мы восполняем этот пробел. Мы формулируем и устанавливаем основные свойства оператора (&3\/)-замыкания, в качестве следствия из результатов работ [4, 5, 9-11] показываем, что при любом к число (&3\/)-замкнутых классов в Р^ конечно. Кроме того, мы находим все 15 (&3\/)-замкнутых классов булевых функций и указываем отличия решетки (&ЭУ)-замкнутых классов булевых функций от "ближайших" к ней решеток (&3)- и (& V 3)-замкнутых классов.
2. Основные понятия. При определении операторов (&3)-, (&ЭУ)- и (& V 3)-замыкания мы пользуемся техническими и логическими средствами из работ [6-8, 13].
Пусть к ^ 2, Ек = {0,1,..., к — 1}, Р^ — множество всех функций на /•.),■ (множество функций &-значной логики). На множестве Р^ считаем заданной операцию (оператор) суперпозиции. Приведем определение некоторых классов булевых функций, замкнутых относительно операции суперпозиции.
Пусть Т0 обозначает класс всех функций, сохраняющих О, Т\ — класс всех функций, сохраняющих 1, Б — класс всех самодвойственных функций, £ — класс всех линейных функций. Пусть далее £> обозначает класс всех дизъюнкций (функций, которые представимы в виде ао V а\Хг V ... V а,пхп, где ао,а1,...,ап — произвольные коэффициенты из Е2), К обозначает класс всех конъюнкций (функций, которые представимы в виде щ • («1 V Ж1) • ... • (ап V хп)), II обозначает класс всех функций, существенно зависящих не более чем от одной переменной. Положим
Тн = Тз П Т\, »^о! = Б П Тз, £о = £ П То, £1 = £ П Т\, БЪ = Б П £, £01 = £о П £1, £>0 = £>П Т0, /), /)П7",. £>01 = А)П£>1, К0 = КПТ0, К1 = КГ)Т1, Кй1 = КйГ\Къ Б11 = Б П11, Л/Г 1)Г\К. Го I' П'!},. Г, ГПТ,. Г0, Г0ПГ,.
Переходя к определению оператора параметрического замыкания, зафиксируем число к ^ 2 и для класса Р^ введем язык параметрического замыкания С&з. Исходными символами языка С&з являются предметные переменные х\,х2,... (с областью значений Есимволы для обозначения п-местных функций из Рк (1 ^ г ^ кк ,п = 1,2,...), знак равенства =, знаки & и 3, левая и правая скобки и запятая.
Обычным образом вводится понятие терма языка Любая предметная переменная есть
терм; если — термы (в частности, любые предметные переменные), а — символ
т-местной функции, то //"^(¿1,..., ¿то) есть терм.
Всякий терм £ языка очевидным образом определяет некоторую функцию д из Р^ (переменная определяет тождественную функцию). Если ..., /г — все символы функций, входящие в терм то говорим, что терм £ выражает функцию д через функции ..., /г. Если 1\,12 — термы языка то выражение = 12) называем элементарной формулой языка Из элементарных формул по обычным правилам определяем остальные формулы языка Если Ф^Фг — фор-
мулы языка а Жг — предметная переменная, то (Ф1 & Ф2), (Зжг)Ф1 — также формулы языка
Всякая формула языка С&з с т свободными переменными определяет некоторое т-местное отношение на /•.'/,. Пусть С} С 1%. Ф(ж1,... ,хт) — формула языка со свободными переменными х\,... ,хт, все функциональные символы которой суть обозначения функций из <3, и формула Ф(®1,..., хт) определяет отношение р(х 1,..., хт) на Е^. В этом случае говорим, что формула Ф(жь..., хт) параметрически выражает отношение р(х 1,..., хт) через функции множества Отношение р называем параметрически выразимым через функции множества <3, если существует формула языка которая параметрически выражает отношение р через функции множества В дальнейшем помимо символов предметных переменных х\, х2,... будем также использовать символы х, у, г.
Понятие параметрической выразимости перенесем с отношений на функции. Именно, если д(х 1,... ,хт) — функция из Рк, а формула Ф(жь ... языка £-¿¿3 параметрически выража-
ет отношение д(х\,... ,хт) = у (график функции д) через функции множества то говорим, что формула Ф параметрически выражает функцию д через функции множества Совокупность всех функций, параметрически выразимых через функции множества называем параметрическим замыканием множества Параметрические замыкания множеств функций называем параметрически замкнутыми классами.
Известно [4, 7, 8], что всякий параметрически замкнутый класс содержит все селекторные функции и замкнут относительно операции суперпозиции. Кроме того, существует ровно 25 параметрически замкнутых классов булевых функций:
0 гт1 гр гр л л т т т О Т Т ТЛ ТЛ
1 -2• -¿0; 01; 5 ¿>01; М)Ъ и 1 М);
(1)
К, К о, К1, Кои II, Би, ДУ1 . С/о, 171, СДц.
При определении операторов (&ЭУ)- и (& V 3)-замыкания сначала, как и выше, вводим языки £&зу и уз - В первом случае к языку С&з добавляем квантор V, во втором случае — связку V. Соответствующим образом расширяем понятие формулы: для языка С&зу добавляем пункт (\/жг)#1, для языка £&уз — пункт (#1 V Фг). Все остальные определения переносим с языка С&з на языки уз без изменений.
Поскольку каждый из языков С&зу, £&уз является расширением языка каждый из (&ЭУ)-или (&\/3)-замкнутых классов будет также являться параметрически замкнутым классом. Отсюда, в частности, следует, что при любом к ^ 2 число (&ЭУ)- и (к\/3)-замкнутых классов в Р^ конечно. Для булевых функций все (к V3)-замкнутые (позитивно замкнутые) классы суть Р2, Т0, Тх, Б, Т01, 501 (см. [6-8, 13]).
3. Оператор (&3\/)-замыкания. Пусть /(ж1,... ,хп) € 1%. тт — перестановка на множестве /•-'/. и 7г-1 — перестановка, обратная к тт. Функция
Г{ХЪ ...,Хп)= 7Г_1(/(7Г(Ж1), ... ,7г(ж„)))
называется сопряженной с функцией / относительно перестановки тт. Функция / называется самосопряженной относительно перестановки 7г, если = /. Множество всех функций из /'/,• самосопряженных относительно перестановки тт, обозначим через
Стандартными алгебро-логическими средствами устанавливается справедливость следующего утверждения (для параметрической и позитивной выразимости соответствующие утверждения установлены в [7, 8, 13]).
Утверждение 1 (принцип сопряженности для (&3\/)-выразимости). Пусть тт — перестановка на /•-'/,.. д,...,дт € Рк и формула Ф языка £&зу выражает функцию д через функции д 1,... ,дт. Тогда функция дж (кЗУ)-выразима через функции д\,... формулой Ф71", которая получается из формулы Ф заменой символов функций д\,..., дт соответственно символами функций 5?,...,
Следствие 1. Для любой перестановки тт множество является (&3\/)-замкнутым классом.
Утверждение 2. Любой параметрически замкнутый класс функций из /'/.. содержащий все константы, является (кЗУ) -замкнутым классом.
Доказательство. В самом деле, для произвольной (&3\/)-формулы Ф(ж,у) со свободной переменной х имеет место эквивалентность
(Уж)Ф(ж, у) = Ф(0, у) к Ф(1, у) к ...к Ф (к - 1, у).
Данная эквивалентность позволяет исключать кванторы общности из любой формулы языка £&зу. Утверждение доказано.
Следствие 2. Параметрически замкнутые классы Ь, I), К, и, М11 булевых функций являются (&3\/)-замкнутыми классами.
Утверждение 3. Параметрически замкнутые классы Ьа, Ь\ булевых функций являются (&ЗУ) -замкнутыми классами.
Доказательство. Будем использовать схему доказательства параметрической замкнутости класса Ь из работ [7, 8, 13]. Далее рассматриваем только класс при рассмотрении класса Ь\
применяем принцип сопряженности. Пусть формула Ф(ж1,..., хп,у) языка у выражает отношение /(ж1,..., хп) = у через функции класса Ьа. Предположим сначала, что формула Ф не содержит кванторов. Очевидно, что термы, составленные из линейных функций класса Ьа, реализуют линейные функции класса Ьа. Поэтому будем считать, что формула Ф представляет собой конъюнкцию формул вида
51(2:1,... ,2Р) = д2{и)г, ••• ,«><г), (2)
где д 1, д2 — линейные функции класса Ьа и {21,..., 2Р, т\,..., и)я} С {хх,..., хп, у}. Перенося в формуле (2) слагаемые из правой части в левую и проводя сокращения, получим эквивалентную формулу вида
5(2 Ь...,2Г) = 0, (3)
где д — линейная функция класса Ьа и {21,..., 2Г} С {х\,... ,хп,у}. Можно предполагать, что функция д не равна тождественно нулю. Если функция <7(2:1,..., 2Г) не зависит существенно от переменной у, то формула (3) дает нетождественное линейное соотношение между независимыми переменными х\,...,хп, что невозможно. Таким образом, далее будем предполагать, что в (3) функция 5(21,...,2Г) существенно зависит от переменной у. В силу этого (3) можно переписать в эквивалентном виде
у = Цх 1,...,жп), (4)
где к — линейная функция класса Ьа. Если из формулы Ф указанным выше способом можно получить формулу вида (4) с другой функцией /1, то вновь приходим к нетождественному линейному соотношению между переменными х,\,... ,хп. Значит, все формулы вида (4) имеют одну и ту же функцию к. В этом случае функция /(х\,..., х„), выразимая формулой Ф(ж1,..., хп,у), очевидно, совпадает с функцией к{х,\,..., хп).
Покажем теперь, как можно элиминировать кванторы из формулы Ф. Рассмотрим сначала квантор 3. Пусть область действия квантора З2 состоит из конъюнкции т формул вида (2), содержащих переменную 2. Как и выше, преобразуем г-ю формулу (2) к эквивалентному виду 2 = ..., ггп.), где hi — линейная функция класса Ьа. Далее замечаем, что при т ^ 2 формула
эквивалентна формуле
а при т = 1 — тождественно истинна.
Остается заметить, что при любом т формула
тождественно ложна (напомним, что функции ..., 1гт от переменной 2 не зависят). Утверждение доказано.
Теорема 1. Параметрически замкнутые классы
Р2, Б, Ь, ¿1, БЬ, Ь01, Р), К, и, Б11, М11, С/о, СД, С/01 (5)
булевых функций являются (&ЗУ) -замкнутыми классами.
Доказательство. Из следствий к утверждениям 1, 2 и утверждения 3 вытекает (&3\/)-замкнутость классов Б, Ь, Б, К, II, Ь0, Оставшиеся классы из списка (5), отличные от класса Р2, представимы в виде пересечений некоторых из выписанных классов и потому (&3\/)-замкнуты. Теорема доказана.
Теорема 2. Все (&ЗУ)-замкнутые классы булевых функций исчерпываются 15 классами списка (5).
Доказательство. Покажем, что (&3\/)-замыкание любого из параметрически замкнутых классов списка (1) принадлежит списку (5). Имеем
(ж = 1) = (Уу)(х V у = х), {х = 0) = (Уу)(х Уу = у).
Решетка (&3\/)-замкнутых классов булевых функций
Из этих эквивалентностей следует, что (&3\/)-замыкание любого из классов D0i, -Do, Г)i совпадает с классом D. Соображения двойственности показывают, что (&3\/)-замыкание любого из классов KQÎ, KQ, К1 совпадает с классом К. Далее, эквивалентность
(у = х) = (Vz)(xy V xz V yz = х ф у ф z)
показывает, что (&3\/)-замыкание класса Soi дает класс S, а замыкание классов Toi, Т0, Т\ класс Р-2 ■ Решетка (&3\/)-замкнутых классов представлена на рисунке. Теорема доказана.
На примере булевых функций интересно сравнить влияние связки V и квантора V на строение соответствующих решеток (&V3)- и (&3\/)-замкнутых классов. Если сравнивать число замкнутых классов в решетке, то оператор (& V 3)-замыкания представляется более сильным, чем оператор (&3\/)-замыкания. Вместе с тем в решетке (& V 3)-замкнутых классов есть классы Т0 и Ti, которые отсутствуют в решетке (&3\/)-замкнутых классов, а последняя решетка содержит 13 классов, которые не принадлежат первой решетке.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Post E.L. Introduction to a général theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43. N 4. P. 1G3 185.
2. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic / / Annals of Math. Studic:s. Vol. 5. Princeton: Princeton Univ. Press, 1941. P. 1 122.
3.Янов Ю.И.. Мучник A. A. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих базиса // ДАН СССР. 1959. 127. № 1. С. 44 4G.
4. Ку знецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости // Логический вывод. М.: Наука. 1979. С. 5 33.
5. Данил ьчен ко А. Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики // Алгебра и логика. 1977. 16. № 4. С. 397 41G.
6. Марченко в С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках // Дискретная математика. 1999. 11. № 4. С. 110 126.
7. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит. 2000.
8. Марченков С. С. Основы теории булевых функций. М.: Физматлит. 2014.
9. Данильченко А.Ф. Параметрически замкнутые классы функций трехзначной логики // Известия АН МССР. 1978. 2. С. 13-20.
10. Danil'cenko A. F. On parametrical expressibility of the functions of k-valued logic // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1981. 28. P. 147-159.
11. Barris S., Willard R. Finitely many primitive positive clones // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. 101. N 3. P. 427-430.
12. Марченко в С. С. Задание позитивно замкнутых классов посредством полугрупп эндоморфизмов // Дискретная математика. 2012. 24. № 4. С. 19-26.
13. Марченков С. С. Операторы замыкания логико-функционального типа. М.: МАКС Пресс, 2012.
14. Марченков С. С. Позитивно замкнутые классы трехзначной логики // Дискретный анализ и исследование операций. 2014. 21. № 1. С. 67-83.
Поступила в редакцию 02.09.16
УДК 519.711.3
H. П. Варновский1, В. А. Захаров2, А. В. Шокуров3
О ДЕДУКТИВНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ЗАПРОСОВ К БАЗАМ КОНФИДЕНЦИАЛЬНЫХ ДАННЫХ В СИСТЕМЕ ОБЛАЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ*
Рассматриваются простейшие математические модели баз конфиденциальных данных в системах облачных вычислений. Для этих моделей предложено понятие дедуктивной безопасности запросов к базам данных. Установлены необходимые и достаточные условия дедуктивной безопасности и описаны некоторые классы запросов, удовлетворяющие этим условиям.
Ключевые слова: облачные вычисления, гомоморфная криптосистема, база данных, дедуктивная безопасность, симметрическая функция.
I. Введение. Открытие стойкого вполне гомоморфного шифрования [1] создало теоретические предпосылки решения задачи обеспечения информационной безопасности систем удаленных вычислений, включая системы облачных вычислений. За последние годы было предложено несколько подходов к построению гомоморфных криптосистем [2-4], проводятся исследования практических способов их реализации [5, 6], рассматриваются возможности применения гомоморфного шифрования для информационной защиты облачных вычислений [7] и баз данных [8, 9]. Но, как показано в работе [10], впечатление, что благодаря гомоморфным криптосистемам проблема защиты информации в облачных вычислениях может считаться решенной в принципе, неверно: даже в том случае, когда проводится лишь вычисление функций от хранящихся на облаке конфиденциальных значений аргументов, защита данных невозможна уже для системы с двумя пользователями. Чтобы избежать этого ограничения, в статье [11] была предложена специальная модель облачных вычислений, в состав которой помимо облачного сервера входят криптосерверы, на которых реализуется пороговая не вполне гомоморфная криптосистема с открытым ключом (Threshold Somewhat Homomorphic Encryption, TSHE). В статье [12] показано, что если TSHE является стойкой, и доля криптосерверов, контролируемых противником, не превосходит некоторого заданного порога, то предложенная система облачных вычислений является стойкой для вычислений ограниченной глубины.
Доказанная в [12] стойкость облачных вычислений не отменяет, тем не менее, возможности противника компрометировать конфиденциальные данные пользователей. Например, располагая
1 Институт проблем информационной безопасности МГУ, ст. науч. сотр., e-mail: barnaba.npQgmail.com
2 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: zakhQcs.msu.su
3 Институт системного программирования РАН, вед. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: shokQispras.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-01-00714.
