CC BY
10
УДК 519.716
С. С. Марченков1
ОБ ОПЕРАТОРЕ ЗАМЫКАНИЯ ПО ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ В МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ*
В многозначной логике определен оператор замыкания по перечислению (П-оператор). Доказана конечность числа П-замкнутых классов в &-значной логике. Определены все шесть П-замкнутых классов булевых функций. Устанавлены достаточные условия для представления П-замкнутых классов в виде классов сохранения некоторых отношений. Проведено сравнение П-замкнутых классов с позитивно замкнутыми классами. Определены все П-замк-нутые классы однородных функций.
Ключевые слова: функции многозначной логики, оператор замыкания по перечислению.
В вопросах классификации функций многозначной логики довольно широкое распространение получил подход, основанный на операторах замыкания. Наиболее известным из операторов замыкания является оператор суперпозиции. Он приводит к счетной классификации множества булевых функций [1, 2] и континуальной классификации множества Р^ функций &-значной логики при любом к ^ 3 [3].
Континуальная классификация счетного множества /'/■• разумеется, не может служить эффективным инструментом при исследовании множества функций &-значной логики. Гораздо предпочтительнее иметь конечную либо счетную классификацию. Такие классификации стали появляться начиная с середины 1970-х гг. Соответствующие операторы замыкания получили название сильных операторов замыкания. В настоящее время известно около десятка сильных операторов замыкания (см., например, [4-16]), которые дают несовпадающие (и даже несравнимые) классификации множеств Р^.
По-видимому, первым сильным оператором замыкания стал оператор параметрического замыкания, предложенный А. В. Кузнецовым [4] (по некоторым данным, этот оператор был известен А. В. Кузнецову уже в середине 1960-х гг.). (Стоит отметить, что первое определение параметрической выразимости появилось в работе [17].)
Все 25 параметрически замкнутых классов булевых функций были найдены А. В. Кузнецовым [4], все 2986 параметрически замкнутых классов трехзначной логики определены А. Ф. Данильченко [1719], конечность числа параметрически замкнутых классов в Р^ при любом к ^ 4 доказана в работе [20].
Особенность параметрического определения функций состоит в том, что специальными логическими формулами (содержащими только логическую связку конъюнкцию и квантор существования) определяются лишь некоторые отношения — графики искомых функций. Эта идея впоследствии была применена при введении еще нескольких сильных операторов замыкания [9], в частности оператора позитивного замыкания, где в логических формулах наряду с конъюнкцией используется также связка дизъюнкция.
В упомянутых сильных операторах замыкания логические формулы служат инструментом "распознавания" графиков определяемых функций. Вместе с тем существует еще несколько технических приемов, пригодных для определения графиков функций. К таким приемам относится прием, широко применяемый в теории рекурсивных функций. Имеется в виду определение частично рекурсивных функций путем перечисления их графиков (возможно, с повторениями) с помощью некоторых "простых" рекурсивных функций (например, примитивно-рекурсивных). Именно этот подход использован в хорошо известной книге А. И. Мальцева [21].
В настоящей работе мы хотим обратиться к этому способу определения графиков функций и ввести новый сильный оператор замыкания. Однако в отличие от рекурсивных функций, где имеются нумерационные функции, в многозначной логике перечисление графиков многоместных функций возможно только с помощью вектор-функций. Кроме того, чтобы получить оператор замыкания максимально возможной общности, мы хотим допустить перечисление "по частям", т.е. с помощью нескольких
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ssmarchenQyandex.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00958).
(согласованных) вектор-функций. Реализация этих идей приводит к понятию оператора замыкания по перечислению (сокращенно П-оператор).
Ниже мы устанавливаем верхнюю оценку к для порядка произвольного П-замкнутого класса из / '/■• в качестве следствия получаем конечность числа П-замкнутых классов в Рк- Приводим достаточные условия П-замкнутости классов и с их помощью определяем все шесть П-замкнутых классов булевых функций. Устанавливаем достаточные условия для представления П-замкнутых классов в виде классов сохранения некоторых отношений. Проводим сравнение П-замкнутых классов с позитивно замкнутыми классами и в заключение работы определяем все П-замкнутые классы однородных функций.
Введем необходимые понятия. Пусть к ^ 2, Ек = {0,1,..., к — 1} и Рк — множество всех функций на /•,'/. (множество функций &-значной логики). Функции из Р-> называются булевыми функциями. При любом к ^ 2 в множестве Р% рассматриваем селекторную функцию е"(ж1,..., ж*,..., хп), значения которой совпадают со значениями переменной х^ (1 ^ I ^ п, п = 1, 2,...). Множество всех селекторных функций из Рк обозначим через Ок- Если <3 С Рк и п ^ 1, то через будем обозначать множество всех функций из <3, зависящих от п переменных.
Предполагаем, что на множестве Рк определена операция суперпозиции [22]. Понятия порождающей системы, замыкания и замкнутого класса для операции суперпозиции предполагаем известными. В целях упрощения некоторых технических выкладок функции из Рк рассматриваем с точностью до несущественных переменных [22].
Пусть функции 51,..., дп, дп+\ принадлежат множеству Р^■ Назовем набор функций (д\,... ,дп, дп.|_1) корректным, если для любых двух наборов (а\,..., а,т), (Ь\,..., Ьт) из Е™ справедлива импликация
(51(01, • • •, ат) = дг{Ьъ ..., Ьт)) к... к (дп{аъ ...,ат) = дп{Ьъ ..., Ьт))
(дп+1(аи ■■■,ат)= дп+1(Ь1, ■ ■ -,Ьт)).
Пусть /(жь ... ,хп) € Рк и
,д\пчд1,п+\)-1 •••; {.д.ч11 ■ ■ ■ чд.чпчд.ч,п+1 )} (1)
— система корректных наборов функций из Р^ ■ Будем говорить, что система наборов (1) перечисляет (или И-определяет) функцию /, если график /(х\,..., хп) = хп+\ функции / есть объединение всех множеств
{(дп(уъ, • • • ,Ут), • • • ,5гп(уъ • • ■ ,Ут), д^п+ЛУи • • • ,Ут)) ■ 'УЪ ■ ■ ■ ,Ут £ Ек},
где г = 1, 2,..., в. Таким образом, на множестве Рк определена операция перечисления.
Из определения следует, что если система наборов (1) П-определяет функцию /, то для любого г, 1 ^ г ^ 5, справедливо тождество
1(дп(У1, • • • ,Ут), • • • ,5гп(уъ • • • ,Ут)) = дг,п+\{УЪ ■ ■ ■ ,Ут)
и, кроме того, для любого набора («1,..., ап) ич ¡-'.Ц найдется такое число г, 1 ^ I ^ в, и такой набор (ьь... ,ьп) из /•;;;. что
(дп(к, ■ ■ -,ьт),.. -,дт(к, ■ ■ -,ьт)) = («1, • • • ,ап).
Пусть С Рк. Н-замыканием множества (} (обозначение П[<2]) назовем множество всех функций, которые можно получить из функций множества С} с помощью операций суперпозиции и перечисления. Нетрудно убедиться, что введенный оператор П-замыкания удовлетворяет всем аксиомам замыкания.
Множество С} называем П-замкнутым классом, если П[<5] = Я- Понятие П-порождающей системы (для П-замкнутого класса) вполне аналогично соответствующему понятию для операции суперпозиции. Так же как и для операции суперпозиции, П-замкнутый класс будем называть П-клоном, если он содержит все селекторные функции.
Утверждение 1. При любом к ^ 2 система {0,1,..., А; — 1} всех функций-констант И-порож-дает класс Рк-
Доказательство. Для произвольной функции /(ж,..., хп) из Рк и любого набора («1,..., а,п) € € вектор-функция (01,..., ап, /(а\,..., ап)), состоящая из п + 1 функций-констант, перечисляет ровно один набор из графика функции /. Утверждение доказано.
Теорема 1. При любом к ^ 2 произвольный И-клон из Рк И-порождается множеством всех своих функций, зависящих не более чем от к переменных.
Доказательство. Пусть <3 — П-клон из /'/■• функция /(х\,... ,хп) принадлежит клону <3 и п > к. Возьмем произвольный набор (а\,..., ап) из ЕПусть этот набор содержит т различных значений (т ^ к) и ¿1,...,гт — номера т различных элементов в наборе (а\,..., ап). Заменим в функции /(х\,... ,хп) произвольную переменную ж г переменной х^, где индекс ] удовлетворяет равенству а^ = щ (строго говоря, в этой замене мы пользуемся селекторной функцией е™, принадлежащей П-клону (3). В результате образуется функция /'(х\,..., хт) из клона (}. Нетрудно видеть, что /(й1, ..., ап) = /'(а^,..., щт). Если указанный выше переход от I к ] осуществляется посредством функции /г,, то, согласно определению функции /', будет выполняться тождество ¡(хН1),..., ж/г(п)) = /'(®1,..., хт). Отсюда следует, в частности, что вектор-функция
(4Г(1)(УЬ • • • , Ут), • • • , ецп)(уъ • • • , Ут), /'(УЬ • • • , Ут)) (2)
с компонентами, принадлежащими клону (3, перечисляет часть графика функции /, содержащую набор (й1, ..., ап). Поэтому система вектор-функций (2), построенная для всех наборов (01,..., ап), будет П-определять функцию /. Теорема доказана.
Следствие. При любом к ^ 2 число П-клонов в Р^ конечно.
Пусть д С Р^т) и / € Р^ ■ Говорят, что функция / сохраняет множество функций (3, если для любых функций <71,...,<7п из (3 (в списке возможны повторения) функция /(д 1(х\,... ,хт),... ... ,дп(х 1,... ,хт)) также принадлежит множеству (3. Множество всех функций из /'/■• сохраняющих множество (3, обозначим через Ро1(<3). Отметим, что сохранение множества функций является частным случаем сохранения отношения.
Теорема 2. Пусть (3 — П-замкнутый класс функций из Р^ и для некоторого т в множестве £("*) найдутся такие функции 51, • • • ,дк, что для некоторых элементов «1,..., ат из /•,'/,. выполняется соотношение
{51(01, • • • ,ато),.. . ,Ыаъ ■ ■ ■ ,ат)} = Ек. (3)
Тогда ¡3 = П^™)] = Ро1(д(т>).
Доказательство. Включения П[(3(то^] С <5 и § С Ро1(<3^) очевидны. Установим включение
Ро1(д(™)) с п[д(™)].
Пусть функция /(ж1,..., хп) сохраняет множество Возьмем произвольный набор (¿>1,..., Ьп)
из Согласно равенству (3), найдутся такие числа из множества {1,2и такие
элементы сц,..., а,т из /•-'/.. что будет справедливо равенство
(5*1(01,... ,ато),... ,5гп(аь ... ,ато)) = (Ьь ... ,Ь„). Из условия / € Ро1(д(™)) следует, что функция
5(ж 1, . . . , Жто) = f(gi1 (ж1, . . . , Хт), . . . , 5гп (Ж1, • • • , Хт)) (4)
принадлежит множеству Из равенства (4) следует далее, что вектор-функция
($¿1 (ж1, • • • , хт), • • • , 5гп (Ж1, • • • , хт), д(х1, • • • , Хт)) (5)
перечисляет часть графика функции /, содержащую, в частности, набор (¿>1,..., Ьп, /(Ь\,..., Ьп)). Значит, совокупность вектор-функций (5), образованная для всех наборов ,..., Ьп) ич /•.]!. будет П-определять функцию /. Теорема доказана.
Следствие. Для любого П-клона (3 из Рк имеют место равенства
д = п[д«] = Ро1(д«).
Доказательство. В доказательстве теоремы 2 в качестве функций д1,...,дк следует взять функции е|,..., е|, а в качестве набора («1,..., ат) — набор (0,..., А; — 1).
Пусть 7г — перестановка па /•,'/.; тг 1 — перестановка, обратная к ж; / — функция из Р^ ■ Функция /п(х1,..., хп) = 7г_1(/(7г(ж1),..., ж(хп))) называется сопряженной к функции / относительно перестановки тт. Если / = /7Г, то функция / называется самосопряженной относительно перестановки тт. Нетрудно видеть, что если функция / является самосопряженной относительно перестановок 7п и тгг, то / будет самосопряженной относительно произведения перестановок 7Г1, Ж2- В частности, множество всех перестановок, относительно которых функция / является самосопряженной, образует группу (группа автоморфизмов функции /).
Утверждение 2 (принцип сопряженности). Если ж — перестановка на Ек, ..., /¡} С Рк и функция / из Рк выражается через функции с помощью операций суперпозиции и пере-
числения, то функция Р выражается с помощью этих же операций через функции •
Доказательство. Для операции суперпозиции принцип сопряженности (двойственности) хорошо известен [22] и выводится из легко проверяемого факта:
если д(х1, ...,хп)= 50(51(^1, • • -,хп),.. .,дт(х 1, .. .,хп)),
то д (х\,..., хп) = д0 (х\,..., хп),..., дт(хх,..., хп)).
Для операции перечисления необходимо дополнительно убедиться, что если вектор-функция {дъ, ■ ■ ■ -.дп-.дп+г) перечисляет часть графика функции д, то вектор-функция (д^,..., д^+1) перечисляет соответствующую часть графика функции дж. Следует также отметить, что само построение функции из функций /1 ,..., ¡1 повторяет аналогичное построение функции / из функций /1,..., /г (с сохранением порядка выполнения операций суперпозиции и перечисления). Утверждение доказано.
Если О — группа перестановок на множестве /•.'/,, то пусть Б с обозначает множество всех функций из Рк, самосопряженных относительно всех перестановок группы О.
Следствие. Для любой группы перестановок О множество Бс образует П-клон.
Для любого элемента а из /•.'/. обозначим через Та множество всех функций / из Рк, сохраняют,их а (т. е. удовлетворяющих равенству /(а,..., а) = а).
Утверждение 3. Для любого а, € Ек множество Та является И-клоном.
Доказательство. Хорошо известно [22], что все селекторные функции принадлежат классу Та и класс Та замкнут относительно операции суперпозиции. Если теперь функции д 1,... ,дп,дп+\ принадлежат классу Та, то для вектор-функции (д\,... ,дп,дп+1) будем иметь
(дг(а, ...,а),.. .,дп(а,.. ,,а),дп+1(а,..., а)) = (а,.. ,,а,а),
т.е. определяемая вектор-функцией (д\,... ,дп,дп+1) функция сохраняет а. Утверждение доказано.
Введем обозначения для некоторых замкнутых (относительно суперпозиции) классов булевых функций. Обозначения Т0 и Т\ введены выше. Пусть далее Б есть класс самодвойственных функций и Т01 = Т0 ПТ1, бщ = ПТ0. Отметим, что все пять введенных классов являются клонами.
Теорема 3. Класс содержит ровно шесть П-клонов:
-Рг, Т0, Тх, Б, Т01, ¿>01. (6)
Доказательство. П-замкнутость классов Т0, Т1, Б установлена в утверждениях 2, 3, а классы Т01, ¿>01 П-замкнуты как пересечения П-замкнутых классов.
Рассмотрим далее функцию Ж1Ж2\/Ж1ЖзХ/жгЖз, которая, как известно (см., например, [23]), образует базис по суперпозиции в классе ¿>01. График этой функции можно перечислить с помощью трех вектор-функций, компоненты которых суть селекторные функции (для упрощения записи оставляем только существенные переменные):
(х1,х1,х3,х1), (х1,х2,х1,х2), (х1,х2,х2,х1).
Таким образом, любой П-клон в Р2 целиком содержит класс ¿>01 • Вместе с тем в Р2 имеется ровно 6 замкнутых (относительно суперпозиции) классов, целиком включающих класс ¿>01 [23] — это в точности классы (6). Теорема доказана.
По ряду характеристик к оператору П-замыкания довольно близко расположен оператор позитивного замыкания [9]. Кратко напомним основные понятия, связанные с позитивным замыканием.
Вначале определим язык Роб. Исходными символами языка Роб являются символы предметных переменных х\,х2,... (с областью значений Ек), символы для обозначения функций из знаки равенства =, конъюнкции дизъюнкции V, квантора существования 3, левой и правой скобок и запятой.
Термы языка Роб определяем по индукции. Символ предметной переменной есть терм; если — термы, а — символ функции из Рто //"^(¿1,..., 1т) есть терм. Всякий терм языка Роб очевидным образом определяет некоторую функцию из Рк-
Если ¿1, ¿2 — термы, то выражение = 12) называем элементарной формулой языка Роб. Из элементарных формул по обычным правилам с помощью связок V и квантора 3 определяются остальные формулы языка Роб.
Всякая формула языка Pos с m свободными переменными задает некоторое m-местное отношение на /•-'/.. Пусть Q С / Ф(ж1,... ,хт) — формула языка Pos со свободными переменными х\,... ,хт, все функциональные символы которой суть обозначения функций из Q, и формула Ф(ж1,..., хт) определяет отношение r(xi,... ,хт) на /•-'/,.. В этом случае говорим, что формула Ф позитивно выражает отношение г через функции множества Q. Понятие позитивной выразимости переносим с отношений на функции. Именно, если д(хi,... ,хт) — функция из /'/■• а формула Ф(ж1,... ,хт,у) языка Pos позитивно выражает отношение д(хi,... ,хт) = у (график функции д) через функции множества Q, то говорим, что формула Ф позитивно выражает функцию g через функции множества Q. Совокупность всех функций, позитивно выразимых через функции множества Q, называется позитивным замыканием множества Q и обозначается Pos[Q]. Множества вида Pos[Q] называются позитивно замкнутыми классами. Известно [9], что всякий позитивно замкнутый класс содержит все селекторные функции и замкнут относительно операции суперпозиции.
Утверждение 4. Любой позитивно замкнутый класс является И-замкнутым.
Доказательство. Достаточно установить, что всякий позитивно замкнутый класс замкнут относительно операции перечисления. Пусть вектор-функция (gi,..., дп,дп-ц) с компонентами из Ркт^ перечисляет часть графика функции f(xi,... ,хп). Тогда эту часть графика функции / можно определить с помощью позитивной формулы
(3yi) • • • (3ym)((xi = gi(yu ... ,ут)) k ... k (xn = gn(yu ... ,ym)) k (xn+1 = дп+\{уъ ■ ■ -,Ут)))- (V
Дизъюнкция формул (7), образованная для всех вектор-функций (д1;..., дп, gn+i), перечисляющих части графика функции /, дает искомую позитивную формулу, определяющую график функции /. Утверждение доказано.
Из теоремы 1 и утверждения 4 вытекает, что всякий позитивно замкнутый класс состоит из конечного числа П-клонов. Согласно работе [9], все позитивно замкнутые классы в Р2 исчерпываются классами (6). Таким образом, в этом случае позитивно замкнутые классы не "распадаются" на П-клоны. Верно ли это при любом k ^ 3 — неизвестно.
При исследовании сильных операторов различного типа [9, 10, 12, 13, 15] важную роль играют однородные функции [24]. Функция / из Р)~ называется однородной, если / является самосопряженной относительно любых перестановок на /•-'/,. Множество всех однородных функций из Р^ обозначим через ///,. При любом k ^ 2 множество ///, содержит все селекторные функции и замкнуто относительно операции суперпозиции, т. е. является клоном. В множестве ///,. выделим ряд "ключевых" функций:
I z, если х = у, i х, если х = у,
p(x,y,z) = < d(x,y,z) = <
I х в противном случае, I z в противном случае,
{xi, если значения xi,... ,хп попарно различны, хп в остальных случаях,
fxk, если {жь ... ,xk-Uxkj = Ek, rk(x i,.. .,xk-i) = <
I x\ в остальных случаях.
Если рассматривать клоны (по отношению к операции суперпозиции), лежащие в ///,.. то при k = 2 их имеется ровно 4, при k = 3 — 8, при k = 4 — 14 и при k ^ 5 — 4к — 3 [24, 25]. Мы хотим получить аналогичные результаты для П-клонов однородных функций.
Теорема 3 дает два П-клона н IIj — S и Soi- В работе [9] установлено, что при любом к ^ 3 позитивное замыкание класса Ок совпадает с Ок. Следовательно, в силу утверждения 4 получаем п [Ок) = Ок.
Определим при к = 4 еще один позитивно замкнутый класс L4 однородных функций. Для этого зададим на множестве Е4. коммутативную операцию + так, чтобы алгебра {Е4; +) образовала абелеву 2-группу с нейтральным элементом 0 (т. е. при любом a G Е± выполняется равенство а + а = 0). Кроме того, пусть, например,
1 + 2 = 3, 1 + 3 = 2, 2 + 3 = 1.
Тогда класс L \ состоит из всех функций, которые с точностью до фиктивных переменных предста-вимы в виде суммы нечетного числа переменных. Можно проверить, что класс L \ состоит только
из однородных функций [24] и, кроме того, позитивно замкнут [26]. С использованием утверждения 4 получаем, что класс \ является П-клоном.
Определим в классе функцию /о равенством /а(х\,х2,хз) = х\ + х2 +
Теорема 4. При любом к ^ 3, к ф 4, в классе ///, имеется только два П-клона — Ок и I//,. При к = 4 к ним добавляется И-клон 1. \.
Доказательство. Согласно результатам из [24, 25], любая неселекторная функция из ///, порождает (в смысле операции суперпозиции) хотя бы одну из функций й, 13, г3 при к = 3, одну из функций й, /4, /о при к = 4 и одну из функций й, 1к при к ^ 5. При любом к ^ 3 функции р, г^ образуют базис по суперпозиции в классе ///,. а функция /0 — в классе 1.л [24, 25]. Поэтому теорема будет доказана, если мы установим, что каждая из функций й, Iк П-порождает функции р, г к.
Прежде всего, с помощью функции й (и селекторных функций) перечислим график функции р:
(ж1,ж1,ж3,ж3), (х1: х2, ¿.(хг, х2, х3), хг).
Далее получим функцию р через функцию 1к. Если к > 3, то сначала последовательно определим функции 1к-1, ■ ■ ■ ,1з- Именно при 3 < п ^ к график функции 1п-\ перечисляется следующими вектор-функциями:
(ж!, . . . , Х-1 — 1, Х^, Жг-)_1, • • • , Xj — l, Х^, ■ ■ ■ , Хп — 1, Хп — 1), 1 ? <С ^ И 1,
(Н\(Ж1, • • • , Хп ),..., Нп — \ (Ж1, • • • , Хп ), 1~1п (Ж1, • • • , Хп ) ),
где при 1 ^ т ^ п — 1
hm 1! ■ ■ ■ ! Xп ) —
hn(xi,..., хп) —
хт, если значения х\,... ,хп попарно различны,
хп в противном случае,
х\, если значения х\,... ,хп попарно различны,
хп в противном случае,
а функции ..., Ь,п, согласно результатам из [24], могут быть получены суперпозициями функции 1п. Теперь перечисляем график функции р с помощью функции 13:
(х1,х1,хз,хз), (х1,х2,х1,х1), {Х1,Х2,Х2,Х\), (х1,1з(х2,х1,хз),хз,х,1).
Далее перечисляем график функции р с помощью функции г3:
(х1,хг,хз,хз), (х1,х2,х1,хг), (х1,х2,х2,х1), (хг, х2, гз(хг, х2), хг).
Наконец, определяем функцию гк через функцию р:
(ж!, . . . , Х-1 — 1, Х-1, Жг-)_1, • • • , Xj — l, Х-1, ■ ■ ■ , Хк — \ ,Х\), 1 ^ i <1 j ^ к 1,
(Мжь .. .,хк),.. .,кк-г{х1,.. ,,хк),хк),
где при 1 ^ г ^ к — 1
{х%, если значения х\,... ,хк попарно различны, хк в противном случае,
а функции ..., 1гк-1, согласно результатам из [24], получаются суперпозициями функции р. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Post Е. L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43. P. 163-185.
2. Post E. L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Annals of Math. Studies. Vol. 5. Princeton: Princeton Univ. Press, 1941. P. 1-122.
3. Янов Ю.И., Мучник А. А. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих базиса // ДАН СССР. 1959. 127. № 1. С. 44-46.
4. Кузнецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости. Логический вывод. М.: Наука, 1979. С. 5-33.
5. Голунков Ю.В. Полнота систем функций в операторных алгоритмах, реализующих функции fc-значной логики // Вероятностные методы и кибернетика. 1980. 17. С. 23-34.
6. Тайманов В. А. О функциональных системах fc-значной логики с операциями программного типа // ДАН СССР. 1983. 268. № 6. С. 1307-1310.
7. НгуенВанХоа. О структуре самодвойственных замкнутых классов трехзначной логики Р3 // Дискретная математика. 1992. 4. № 4. С. 82-95.
8. Марченков С. С. Основные отношения S-классификации функций многозначной логики // Дискретная математика. 1996. 8. № 1. С. 99-128.
9. Марченков С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках // Дискретная математика. 1999. 11. № 4. С. 110-126.
10. Марченков С. С. S-классификация функций трехзначной логики. М.: Физматлит, 2001.
11. Тарасова О. С. Классы fc-значной логики, замкнутые относительно расширенной операции суперпозиции // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. 2001. № 6. С. 54-57.
12. Марченков С.С. Операторы замыкания с разветвлением по предикату // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. 2003. № 6. С. 37-39.
13. Марченков С.С. Оператор замыкания в многозначной логике, базирующийся на функциональных уравнениях // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. 17. № 4. С. 18-31.
14. Марченков С. С. FE-классификация функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2011. № 2. С. 32-39.
15. Марченков С. С. О классификациях функций многозначной логики с помощью групп автоморфизмов // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. 18. № 4. С. 66-76.
16. Марченков С. С. Операторы замыкания логико-функционального типа. М.: МАКС Пресс, 2012.
17. ДанильченкоА. Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики / / Алгебра и логика. 1977. 16. № 4. С. 397-416.
18. Дани ль чен к о А. Ф. Параметрически замкнутые классы функций трехзначной логики // Известия АН МССР. 1978. 2. С. 13-20.
19. Danil'cenko A. F. On parametrical expressibility of the functions of k-valued logic // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1981. 28. P. 147-159.
20. Barris S., Willard R. Finitely many primitive positive clones // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. 101. N 3. P. 427-430.
21. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. M.: Наука, 1986.
22. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
23. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит, 2000.
24. Марченков С. С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики. Вып. 39. М.: Наука, 1982. С. 85-106.
25. Марченков С. С. О замкнутых классах самодвойственных функций многозначной логики // Проблемы кибернетики. Вып. 36. М.: Наука, 1979. С. 5-22.
26. Марченков С. С. Дискриминаторные позитивно замкнутые классы трехзначной логики // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2007. 14. № 3. С. 53-66.
Поступила в редакцию 22.09.14
ON ENUMERATING-CLOSURE OPERATOR IN MANY-VALUED LOGIC Marchenkov S. S.
The enumerating-closure operator (Il-operator) in many-valued logic is defined. It is proved that the number of Il-closed classes in Pf, is finite. All 6 Il-closed classes of Boolean functions are defined. The sufficient conditions for representation of Il-closed classes as classes preserving some relations are given. The Il-closed classes are compared with positive closed classes. All Il-closed classes of homogeneous functions are defined.
Keywords: many-valued logic functions, enumerating-closure operator.
