CC BY
44
№ 4 (32), 2014
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.716
И. С. Калинина
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ оператора FE-ЗАМЫКАНИЯ В СЧЕТНОЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ
Аннотация.
Актуальность и цели. Функциональные уравнения - это один из наиболее распространенных способов задания функций в различных областях математики. Рассматриваются системы функциональных уравнений на множестве функций счетнозначной логики и оператор замыкания, базирующийся на существовании решения данных систем - оператор FE-замыкания. Исследуются некоторые свойства и выразительная способность оператора FE-замыкания с логическими связками и без них.
Материалы и методы. Рассматриваемый в работе оператор FE-замыкания исследуется аналогично операторам замыкания, известным ранее. Основные понятия, такие как замыкания множества, замкнутого и предполного класса, определяются аналогично другим операторам замыкания. В доказательствах используются известные факты о булевых функциях, о перестановках на множестве натуральных чисел, о классе однородных функций и о принципе сопряженности для оператора замыкания.
Результаты. Доказано, что FE-замыкание пустого множества с логической связкой дизъюнкцией совпадает с FE-замыканием тернарного дискриминатора p. Установлено, что FE-замыкание тернарного дискриминатора p и конечного набора констант совпадает с множеством всех функций, самосопряженных относительно любых перестановок с неподвижными точками, совпадающими с данными константами. Показано, что мощность семейства FE-предполных классов не менее чем континуальна.
Выводы. На основе рассмотренных свойств оператора FE-замыкания с логическими связками и без них можно сделать оценку его выразительных способностей. Рассматриваемый оператор замыкания является сильным оператором замыкания (в сравнении, например, с оператором суперпозиции), тем не менее порождает достаточно много замкнутых и предполных классов.
Ключевые слова: функции счетнозначной логики, оператор FE-замыкания.
I. S. Kalinina
ON SOME PROPERTIES OF FE-CLOSURE OPERATOR IN COUNTABLY VALUED LOGIC
Abstract.
Background. Functional equations are one of the most widely-used ways to define functions in various areas of mathematics. The article considers the systems of functional equations on multiple functions of countably valued logic and the closure operator, based on existence of a solution for the given systems - FE-closure operator. The work investigates some properties and expressiveness of the FE-closure operator with and without logical connectives.
Materials and methods. The FE-closure operator, considered in the paper, is researched similarly to the previously-known closure operators. Such main notions as closure of set, closed and precomplete class are determinedsimilarly to other closure operators. In proving the author used well-known facts about Boulean functions,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
37
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
permutations in multiple natural numbers, homogeneous function class and conjugation principle for the closure operator.
Results. It is proved that the FE-closure of an empty set with logical connective disjunction coincides with the FE-closure of a ternary discriminator p. It is established that FE-closure of a ternary discriminator p and final constant pool coincides with the set of all functions, self-conjugated relative to any permutations with fixed points coinciding with the given constants. It is shown that the strength of the FE-precomplete class assemblage is at most continuous.
Conclusions. On the basis of the considered properties of the FE-closure operator with and without logical connectives it is possible to estimate its expressiveness.
The considered closure operator is a strong closure operator (in comparison, for example, with superposition operators), and nevertheless it causes quite a lot of closed and precomplete classes.
Key words: functions of countably valued logic, FE-closure operator.
Функциональные уравнения широко применяются практически во всех разделах математики. Это один из наиболее распространенных способов задания функций в совершенно разных областях. Достаточно, например, сказать, что одна из первых формализаций понятия рекурсивной функции -формализация Эрбрана - Геделя [1-3] - базируется именно на функциональных уравнениях. Функциональные уравнения определяются на основе функциональных и предметных переменных, а также различных функциональных и предметных констант, а их отличительной особенностью является то, что в качестве решений данных уравнений рассматриваются функции и наборы функций.
Системы функциональных уравнений являются удобным средством для задания операторов замыкания. Одним из наиболее естественных является замыкание, основанное на существовании решения у системы функциональных уравнений, - FE-замыкание. В работах [4, 5] исследуется оператор FE-замыкания на множестве функций многозначной логики, а в работах [6, 7] -на множестве функций счетнозначной логики. В настоящей статье мы хотим рассмотреть некоторые свойства оператора FE-замыкания также на множестве Pn функций счетнозначной логики.
В теореме 1 мы устанавливаем верность равенства FE&V [0] =FE[p], а
в теореме 2, что класс FE&V [max] совпадает с классом X аналитической иерархии Клини [8]. В теореме 3 доказываем, что FE-замыкание множества {р(х,y,z),a!,...,}, где ai,...,ak - константы, совпадает с классом всех функций, самосопряженных относительно любых перестановок с неподвижными точками ai,...,ak. В теореме 4 показываем, что мощность семейства FE-предполных классов не менее чем континуальна.
Введем необходимые понятия. Пусть N = {0,1,.}, Pn - множество всех функций на N (множество функций счетнозначной логики). Если Q с Pn и n > 1, то через Q(n) обозначаем множество всех функций из Q , зависящих от n переменных. Для любых n ^ 1 и i, 1 ^ i ^ n, рассматриваем селекторную функцию en (Х1,..., Xi,..., xn), значения которой совпадают со значениями переменной xt. На множестве Pn предполагаем заданной операцию суперпозиции [9].
38
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Физико-математические науки. Математика
В определении языка функциональных уравнений придерживаемся терминологии работ [3-7]. Предполагаем, что каждая функция из Pn имеет индивидуальное обозначение. Для обозначения «-местных функций из Pn
используем символы ff n\ которые называем функциональными константами. Наряду с функциональными константами рассматриваем функциональные переменные ф(п) со значениями в области Р^ . Кроме функциональных переменных, используем обычные предметные переменные xy,х^,... с областью значений N.
Пусть Q с Pn . Определим понятие терма над Q . Всякая предметная переменная есть терм над Q . Если ty,.,tn - термы над Q , fl(n') - функциональная константа, служащая обозначением функции из Q , ф(п) - функциональная переменная, то выражения f(n\ty,...,tn), ф(п^(tj,...,tn) суть термы над Q .
Равенством над Q называем любое выражение вида ty = t2, где ty, t2 -термы над Q . Равенства над Q считаем также функциональными уравнениями над Q . Пусть ф: ,...,ф: m> - все функциональные переменные, входя-
Ч lm
щие в уравнение ty = t2. Решением уравнения ty = t2 называем систему
(n ) (n )
{fJ 1 ,..., f ■ m } функций из Pn , которая после замены каждой переменной
j1 Jm
Ф(п ) соответствующей функциональной константой f(ns ) превращает урав-
ls Js
нение ty = t2 в тождество (относительно всех входящих в уравнение предметных переменных). Если Е - конечная система уравнений, то решением системы уравнений Е называем систему функций из Pn , которая является решением каждого уравнения, входящего в систему Е .
Для того чтобы с помощью решений системы уравнений определять некоторые множества функций (от одного и того же числа переменных), выделим одну из функциональных переменных системы Е , которую назовем
главной функциональной переменной системы Е. Пусть фЧ ' - главная
функциональная переменная системы уравнений Е и Q с Р^ . Говорим, что множество функций Q определяется системой уравнений Е , если Q является множеством всех тех n-местных функций, которые входят в решения системы Е в качестве компоненты по переменной ф(п) .
Пусть Q с Pn . Замыканием множества Q относительно систем функциональных уравнений (коротко: FE-замыканием) называем множество всех функций из Pn , которые определяются как одноэлементные множества системами функциональных уравнений над Q . FE-замыкание множества Q обозначаем через FE[Q]. Множество Q называем FE-замкнутым, если
Q = FE[Q].
Physical and mathematical sciences. Mathematics
39
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нетрудно убедиться в том, что FE-замыкание удовлетворяет известным аксиомам замыкания, т.е. действительно является оператором замыкания на множестве Fjy . Кроме того, для любого множества Q (в том числе при Q = 0) множеству FE[Q] принадлежат все селекторные функции и множество FE[Q] замкнуто относительно операции суперпозиции.
1. FE-замыкание с логическими связками
Расширим логические возможности языка FE: будем вносить в язык FE некоторое множество M логических связок. Полученный в результате язык обозначим через FE м . Формулы языка FE м образуем из элементарных формул (равенств термов) с помощью всех логических операций из множества M . Для языка FE м по аналогии с языком FE-замыкания вводятся понятия FEм -определимости множества функций и FE м -замыкания (см., например, [10]. Язык FE&V— c полной системой логических связок обозначим через FEC.
Тернарным дискриминатором назовем следующую функцию (см. [11]):
I z, если х = у,
p (х, у, z) = \
у х в противном случае.
Теорема 1. Имеет место равенство FE&V [0] = FE[p] . Доказательство. В работе [10] доказано, что FE[p] совпадает с FEC [0], а значит, FE&V [0] с FE[p]. Для доказательства обратного включения выразим дискриминатор p следующей формулой языка FE&V :
(Ф(х, х, у) = у) & ((х = у) V Ф(х, у, z) = х).
Теорема доказана.
Следствие. Имеют место равенства FE^ [0] = FE[p] и FE_ [0] = = FE[p].
Первое равенство следует из того, что булева функция х ^ у порождает (в смысле операции суперпозиции) булеву функцию х V у , второе - из того, что функции х & у и х ~ у также порождают функцию х V у .
Рассмотрим начальный класс X1 аналитической иерархии Клини [8]. Этот класс можно определить как класс всех отношений, представимых в форме
(^/m+1) • • • (^/m+l )(^х1) • • • (^хк )R( f1, • • •, fm, fm+1, • • •, fm+l, х1, • • •, хк ),
где f1 e FJVИl), •, fm e FNm\ fm+1 e Fv”m+1 \ •, fm+l e ) и R - рекурсив-
ное отношение на множестве fN”1 ) X.. .X FNnm) X FjN”m+1) X.. .X ) X Nk.
Теорема 2. Класс FE&V [max] совпадает с классом X1 аналитической иерархии Клини.
40 University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Физико-математические науки. Математика
Доказательство. Согласно теореме 1 имеет место равенство FE&V [max] = FE [max, p]. А так как функции max и p рекурсивны, то согласно теореме 2 из работы [6] класс FE[max, p] целиком содержится
v1
в классе E.
Обратно, константа 0 получается в качестве решения системы уравнений Фо( х) = Фо( y), max(9o( x), x) = x.
Далее, поскольку FE[p] = FEC[0], то x + 1 получаем как единственную функцию, удовлетворяющую следующей формуле:
(max(x, ф(x)) = ф(x)) & (x ^ ф(x)) & ((max(x, y) = y) & (x ^ y) ^
^ (max(y, ф(x)) = y).
Таким образом, мы имеем обе функции 0 и x + 1. Далее применяем теорему 2 из работы [6]. Теорема доказана.
Следствие. Класс FE&V [min] совпадает с классом E1.
Доказательство. Рекурсивность функций min и p гарантирует включение класса FE&V [min] в класс E . Обратно, функция max выражается формулой через функцию min:
(ф(x, y) = x V ф(x, y) = y) & ((ф(x, y) = x) ~ (min(x, y) = y))
(здесь эквивалентность ~ выражается через связки & и V согласно теореме 1 и результатам из работы [6]).
Следствие доказано.
2. FE-замыкание множества {p( x, y, z), 01,..., ak }
Пусть f (x1,., xn) e Pn и п - перестановка на множестве N. Функция f (x1,.,xn) = п (f(п(x1),...,п(xn))) называется сопряженной с функциейf с помощью перестановки п. Если f = fп, то функция f носит название самосопряженной с помощью перестановки п. Множество всех функций из Pn , самосопряженных с помощью перестановки п, обозначим через Sn. Легко убедиться в том, что множество Sn образует замкнутый (относительно операции суперпозиции) класс. Положим H = ^ Sn, где пересечение рассматри-
п
вается по всем перестановкам п на множестве N. Функции из множества H носят название однородных функций [11]. Из определения следует, что множество H образует замкнутый класс. Легко видеть, что классу H принадлежат все селекторные функции. В работе [6] доказано следующее утверждение:
Утверждение 1 (принцип сопряженности для FE-замыкания). Пусть система Е функциональных уравнений над множеством функций {f1,...,fs} определяет функцию f и п - перестановка на множестве N. Тогда система
Physical and mathematical sciences. Mathematics
41
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
уравнений Еп, полученная из системы Е заменой каждой функциональной константы fi ,1^ i ^ 5, соответствующей функциональной константой fn, определяет функцию fп .
Обозначим через Гм группу всех перестановок на N с неподвижными точками из M, а через Ем обозначим класс всех функций, самосопряженных относительно любых перестановок из группы Гм .
Теорема 3. FE-замыкание множества {p(x,y,z),ai,.,ak}, где ai,.,ak -константы, совпадает с классом всех функций, самосопряженных относительно любых перестановок с неподвижными точками a^...,ak .
Доказательство. Рассмотрим Ea ^ - класс всех функций, отвечающих группе rai ак . Согласно принципу сопряженности класс Eai ак
FE-замкнут, а FE-замыкание системы с функциональными константами p( x, y, z), ai,., ak содержится внутри Ea а (поскольку функции
p(x,y,z), ai,...,ak являются самосопряженными относительно всех перестановок группы rai,.,ak ).
Докажем обратное включение. Выберем из класса Eai . ak произвольную функцию g(xi,...,xn). Пусть (ai,.,an) - набор из множества Nn . Если g(ai,.,an)e {ai,.,ak}, то в силу включения gе Eai . ak для любой пере-
становки п из Гл
должно выполняться равенство g(n(ai),.,n(an)) =
g (ai , ., an ).
Если же g(ai,.,an)g{ai,.,an}, то для некоторого i должно быть g (ai,., an) = ai. При этом, конечно, g (n(ai),., n(an)) = n(az-), если только ne ra a .
ai ,.,ak
С использованием полной системы логических связок и констант ai,.,ak можно построить логические формулы, которые однозначным образом распознают тип набора (ai,.,an): определяют, есть ли в наборе элементы ai,.,ak и в каких позициях они расположены, какие элементы набора равны между собой и какие нет.
Пусть Ф1(xi,.,xn),.,Ф/(xi,.,xn) - все такие логические формулы. К примеру, если переменные xi, x2 принимают равные значения, отличные от значений ai,.,ak, переменные x^,.,xn-2 - попарно различные значения, также отличные от значений ai,.,ak, а переменные xn-i,xn - соответственно значения ai,a2, то некоторая формула Фг- будет истинной на наборах данного типа и ложной на наборах всех остальных типов.
Как отмечено выше, на всех наборах одного и того же типа функция g(xi,.,xn) либо совпадает с некоторой из констант ai,.,ak, либо с некоторой переменной из числа xi,...,xn . Для формулы Фг- (и задаваемого ею типа
42
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Физико-математические науки. Математика
наборов) обозначим через h/ ( , xn) соответствующую ей функцию (часть
переменных здесь может быть фиктивной). Тогда функцию g можно определить следующей формулой языка FEC:
(Vxj)_(VXn) (Ф1( xb_, Xn )&(ф( xb_, Xn) = h( xi,_, Xn)) v _
_уФ; (xi,_, xn )&(ф( xi,_, xn) = hi (xi,_, xn))).
Поскольку каждая из функций h/(xi,_,xn) либо является одной из констант Oi,_,0^, либо равна одной из переменных xi,_,xn , получаем, что функция g принадлежит FE-замыканию множества {p,ai,_,ak} . Теорема доказана.
Характеристической функцией отношения р(xi,_,xn) назовем функцию %(xi,_, xn), которая принимает лишь значения 0 и i, причем значение i - только на наборах, удовлетворяющих отношению р . Характеристическую функцию отношения xi = x2 обозначим через %= .
Следствие. FE-замыкание множества {%=} совпадает с классом всех функций, самосопряженных относительно любых перестановок с неподвижными точками 0,i.
Доказательство. Пусть класс E - класс всех функций для группы Го i.
Согласно принципу сопряженности класс E FE-замкнут, а FE-замыкание системы с функциональной константой %= содержится внутри E (поскольку функция х= является самосопряженной относительно всех перестановок
группы r0,i).
Докажем обратное включение. Сначала с помощью функции %= получим константы 0,i (в нижеследующей системе уравнений они отвечают функциональным переменным ф0, ф!):
Ф0( x) = Ф0( у), 4>i( x) =Х= (x, x), ф( x, x, y) = x,
Ф(Ф0 (x), ф (x), y) = y, Ф0 (x) = x= (ф0 (x), ф (x)).
Согласно теореме 3 из работы [7] FE-замыкание системы {%= ,0,i} содержит все однородные функции, а значит, и функцию p(x,y, z). Следствие доказано.
3. FE-предполные классы
Исследуем FE-предполные классы. Определение FE-предполного класса вводится вполне аналогично понятию предполного класса относительно оператора суперпозиции (см. [6]).
Разобьем множество N на счетное число попарно не пересекающихся неупорядоченных пар (/), /'2). Пусть п - перестановка на N, которая переставляет местами элементы / и /'2 каждой пары. Обозначим через П множество всех таких перестановок п. Множество П , очевидно, континуально.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
43
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Обозначим через Sn класс всех функций, самосопряженных относительно перестановки п из П .
Лемма 1. Для любой перестановки пеП класс Sn FE-предполон
в PN .
Доказательство. По принципу сопряженности для FE-замыкания класс Sn является FE-замкнутым. Очевидно также, что он отличен от класса Pn . Докажем теперь, что класс Sn FE-предполон в Pn .
Возьмем произвольную функцию f (х^...,xn) е Pn \ Sn . Тогда существует такой набор (aj,...,an), что f (n(aj),...,n(an)) Фп(f (aj,...,an)).
Обозначим через Q FE-замыкание системы {f(xj,.,xn)uSn} и исследуем этот класс.
Построим функцию g(х) следующим образом: если n = 1, то пусть g (х) = f (х), а если это не так, то выберем в классе Sn такие функции g2(х),..., gn (х), чтобы при любом j (2 ^ j ^ n) выполнялись равенства
gj (ai) = a j, gj (n(aj)) = n(a j).
Тогда g(х) = f (х,g2(х),...,gn(х)) . Из определения следует, что функция g (х) принадлежит классу Q , но не входит в класс Sn .
Для функции g возможны два случая: либо g(aj) = g(n(aj)), либо найдутся такие неравные пары (kj, ^2), (lj, /2), что g(aj) е {kj, ^2},
g(n(aj))е {/j,/2}, т.е. значения g(aj) и g(n(aj)) попадают в разные пары выбранного разбиения.
Построим функцию q(х) следующим образом: если выполнен первый случай, то пусть q(х) = g (х), иначе выберем в классе Sn такую функцию h(х), чтобы, например, выполнялись равенства h(g(aj)) = h(g(n(aj))) = 0.
Тогда функция q(х) = h(g(х)) будет удовлетворять первому случаю и также принадлежать классу Q.
Используя функцию q(х), образуем в классе Q константу b = f (aj). Для этого выберем в классе Sn такую функцию d (х), чтобы каждая пара вида (ij,/'2) отображалась функцией d в пару (aj,n(aj)). Тогда q(d(х)) есть искомая константа b .
Если теперь r(х^...,хт) - произвольная функция из класса Pn , то в классе Sn имеется такая функция r'(у, Xl,..., хт), что справедливо тождество r '(b, хь..., хт ) = Г (хь..., хт ).
Значит, r(х^...,хт)е Q, и поэтому класс Q совпадает с классом Pn . Иными словами, класс Sn является FE-предполным в Pn . Лемма доказана.
В работе [4] исследуется мощность FE-замкнутых классов. Следующая теорема дает нижнюю оценку для числа FE-предполных классов.
Теорема 4. Мощность семейства FE-предполных классов не менее чем континуальна.
44
University proceedings. Volga region
№ 4 (32), 2014
Физико-математические науки. Математика
Доказательство. Поскольку класс П состоит из континуального числа перестановок, для доказательства теоремы достаточно установить, что для любых двух различных перестановок Пу и ^ из класса П соответствующие им классы функций Sny и S%2 различны.
Пусть пара (ly,^) из разбиения перестановки щ не является парой разбиения перестановки П2 . Тогда найдутся такие различные числа my,m2, что разбиению перестановки ^ принадлежат различные пары (ly,ту) и (I2, m2). Возьмем в классе Sny функцию f (х), которая переставляет элементы ly,I2 и тождественна на множестве N\{ly,l2} . Покажем, что функция f не принадлежит классу S%2 .
Предположим, что это не так. Тогда из определения функции f и самосопряженности ее относительно перестановки Л2 вытекают соотношения
f (П2 (ly)) = ^2), f (ту) = m2.
Последнее равенство невозможно, поскольку числа ту, m2 не принадлежат множеству {ly,lj} . Теорема доказана.
Список литературы
У. Herbrand, J. Sur le probleme fondamental de la logique mathematique / J. Her-brand // Compt. rend. Soc. Sci. Lettr. Vars. Classe III. - 1931. - Vol. 24. - P. 12-56.
2. Herbrand, J. Sur la non-contradiction de l'arithmetique / J. Herbrand // J. reine und angew. Math. - У93У. - Vol. У66. - S. У-6.
3. Godel, K. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und ver-wandter Systeme. I / K. Godel // Monatsh. Math. und Phys. - У93У. - Vol. 38. -
S. У73-У98.
4. Марченков, С. С. Оператор замыкания в многозначной логике, базирующийся на функциональных уравнениях / С. С. Марченков // Дискретный анализ и исследование операций. - 20У0. - № 4. - С. У8-3У.
5. Марченков, С. С. FE-классификация функций многозначной логики / С. С. Марченков // Вестник Московского университета. Сер. У5. Вычисл. матем. и кибернет. - 20УУ. - № 2. - С. 32-39.
6. Марченков, С. С. Оператор FE-замыкания в счетнозначной логике / С. С. Марченков, И. С. Калинина // Вестник Московского университета. Сер. У5. Вычислит. матем. и кибернет. - 20У3. - № 3. - С. 42-47.
7. Калинина, И. С. О действии оператора FE-замыкания на множестве функций счетнозначной логики / И. С. Калинина // Вестник Московского университета. Сер. У5. Вычислит. матем. и кибернет. - 20У4. - № 3. - C. 46-5У.
8. Rogers, H. Theory of recursive functions and effective computability / H. Rogers. -Mc Graw-Hill, New York, У967.
9. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. -М. : Наука, У986.
У0. Марченков, С. С. Определимость в языке функциональных уравнений счетнозначной логики / С. С. Марченков // Дискретная математика. - 20У3. - № 4. -С. У3-23.
УУ. Марченков, С. С. Однородные алгебры / С. С. Марченков // Проблемы кибернетики. - Вып. 39. - М. : Наука, У982. - С. 85-У06.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
45
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
References
1. Herbrand J. Sur Compt. rend. Soc. Sci. Lettr. Vars. Classe III. 1931, vol. 24, pp. 12-56.
2. Herbrand J. J. reine und angew. Math. 1931, vol. 166, pp. 1-6.
3. Godel K. Monatsh. Math. undPhys. 1931, vol. 38, pp. 173-198.
4. Marchenkov S. S. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsi [Discrete analysis and research of operations]. 2010, no. 4, pp. 18-31.
5. Marchenkov S. S. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 15. Vychisl. matem. i kiber-net. [Bulletin of Moscow University. Series 15. Calculus mathematics and cybernetics]. 2011, no. 2, pp. 32-39.
6. Marchenkov S. S., Kalinina I. S. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 15. Vychislit. matem. i kibernet. [Bulletin of Moscow University. Series 15. Calculus mathematics and cybernetics]. 2013, no. 3, pp. 42-47.
7. Kalinina I. S. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 15. Vychislit. matem. i kibernet. [Bulletin of Moscow University. Series 15. Calculus mathematics and cybernetics]. 2014, no. 3, pp. 46-51.
8. Rogers H. Theory of recursive functions and effective computability. Mc Graw-Hill, New York, 1967.
9. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction into discrete mathematics]. Moscow: Nauka, 1986.
10. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2013, no. 4, pp. 13-23.
11. Marchenkov S. S. Problemy kibernetiki [Problems of cybernetics]. Issue 39. Moscow: Nauka, 1982, pp. 85-106.
Калинина Инна Сергеевна аспирант, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)
E-mail: isenilova@gmail.com
Kalinina Inna Sergeevna Postgraduate student, Moscow State University named after M.V. Lomonosov (1 Leninskie gory street, Moscow, Russia)
УДК 519.716 Калинина, И. С.
О некоторых свойствах оператора Fe-замыкания в счетнозначной логике / И. С. Калинина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 4 (32). - С. 37-46.
46
University proceedings. Volga region
