CC BY
10
УДК 519.71
С. С. Марченков1, И. С. Калинина2
ОПЕРАТОР FE-ЗАМЫКАНИЯ В СЧЕТНОЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ*
На множестве Pn функций счетнозначной логики рассматривается оператор FE-замы-кания. Доказано, что всякий общерекурсивный оператор (заданный в формализме Эрбрана-Гёделя) можно реализовать в языке FE-замыкания. Установлено, что класс отношений, определимых в языке FE-замыкания, совпадает с классом Е| аналитической иерархии Кли-ни. Показано, что принадлежность FE-замкнутому классу любой нетривиальной однородной функции приводит к включению в этот класс всего множества однородных функций.
Ключевые слова: функции счетнозначной логики, оператор FE-замыкания, аналитическая иерархия Клини.
Один из распространенных способов задания функций в математике использует в качестве инструмента системы функциональных уравнений. Функциональные уравнения определяются на основе функциональных и предметных переменных, а также различных функциональных и предметных констант. Большое число примеров функциональных уравнений можно найти в дискретной математике, в частности в теории алгоритмов, теории автоматов и теории функций многозначной логики. Достаточно, например, сказать, что одна из первых формализаций понятия рекурсивной функции — формализация Эрбрана-Гёделя [1-3] — базируется именно на функциональных уравнениях.
Системы функциональных уравнений являются удобным средством для задания операторов замыкания. В свою очередь на основе операторов замыкания можно определить классификации различных множеств функций. Так, в работах [4, 5] на множестве функций многозначной логики с помощью систем функциональных уравнений введен оператор FE-замыкания. Как выяснилось [6], оператор FE-замыкания эквивалентен другим известным операторам замыкания и, по существу, порождает классификации, основанные на группах автоморфизмов.
В настоящей статье мы хотим рассмотреть действие оператора FE-замыкания на множестве Рдг функций счетнозначной логики. Множество Рдг континуально, поэтому для него не может быть таких исчерпывающих результатов, как для случая функций многозначной логики. Вместе с тем именно на множестве Рдг определяются многие эффективные операции, которые затем широко используются в теории алгоритмов. Поэтому вопросы FE-классификации множества Рдг следует рассматривать в связи с хорошо известными понятиями и результатами, лежащими в основе теории алгоритмов.
В теореме 1 мы устанавливаем связь между множествами операторов, реализуемых в формализме Эрбрана-Гёделя и в формализме FE-замыкания. В теореме 2 доказываем совпадение класса отношений, выразимых в языке FE, с классом Sj аналитической иерархии Клини. В теореме 3 мы исследуем расширения оператора FE-замыкания, получаемые с помощью нетривиальных однородных функций.
Введем необходимые понятия. Пусть N = {0,1,...}, Рдг — множество всех функций на N (множество функций счетнозначной логики). Если Q С Рдг и в ^ 1, то через Q^ обозначаем множество всех функций из Q, зависящих от п переменных. Для любых л ) 1 и г, 1 ^ г ^ п, рассматриваем селекторную функцию ef(x\,... ,Xi,... ,хп), значения которой совпадают со значениями переменной х%. На множестве Рдг предполагаем заданной операцию суперпозиции [7]. Множества функций из Рдг, замкнутые относительно операции суперпозиции, называем замкнутыми классами.
В определении языка функциональных уравнений придерживаемся терминологии работ [4-6]. Предполагаем, что каждая функция из Рдг имеет индивидуальное обозначение. Для обозначения п-
(п)
местных функций из Рдг используем символы , которые называем функциональными константами. Наряду с функциональными константами рассматриваем функциональные переменные ^ со значе-
(п)
ниями в области Р^ '. Кроме функциональных переменных используем обычные предметные переменные х\, Х2, ■ ■ ■ с областью значений N.
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ssmarchenQyandex.ru
2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: isenilovaQgmail.com
* Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 13-01-00958.
Иногда для обозначения функциональных констант мы будем использовать символы д, к (с индексами или без них), а также символы у^ для обозначения предметных переменных.
Пусть С Рдг. Определим понятие терма над С}. Всякая предметная переменная есть терм над С}. Если ¿1,... ,Ьп — термы над <3, — функциональная константа, служащая обозначением функции из (2, (р^ — функциональная переменная, то выражения
суть термы над
Равенством над <3 называем любое выражение вида = 12, где 12 — термы над Равенства над считаем также функциональными уравнениями над С}. Пусть • • •, — все функцио-
нальные переменные, входящие в уравнение = ¿2- Решением уравнения = ¿2 называем систему ■ ■ ■, функций из Раг, которая после замены каждой переменной соответствующей
функциональной константой превращает уравнение = ¿2 в тождество (относительно всех входящих в уравнение предметных переменных). Если Н — конечная система уравнений, то решением системы уравнений Н называем систему функций из Рдг, которая является решением каждого уравнения, входящего в систему Н.
Для того чтобы с помощью решений системы уравнений определять некоторые множества функций (от одного и того же числа переменных), выделим одну из функциональных переменных системы Н, которую назовем главной функциональной переменной системы Н. Пусть — главная функциональная переменная системы уравнений "Е и С,) С Рд^. Говорим, что множество функций
С,] определяется системой уравнений Н, если (3 является множеством всех тех п-местных функций,
^ „ (п)
которые входят в решения системы г, в качестве компоненты по переменной щ '.
Пусть С Рдг. Замыканием множества относительно систем функциональных уравнений (коротко: РЕ-замыканием) называем множество всех функций из Рдг, которые определяются как одноэлементные множества системами функциональных уравнений над С,РЕ-замыкание множества С,] обозначаем через РЕ[(3]. Множество называем КК-чамкнутым. если = РЕ[(3].
Нетрудно убедиться в том, что РЕ-замыкание удовлетворяет известным аксиомам замыкания, т. е. действительно является оператором замыкания на множестве Рдг. Кроме того, для любого множества (3 (в том числе при (3 = 0) множеству РЕ[<3] принадлежат все селекторные функции и множество РЕ[<3] замкнуто относительно операции суперпозиции (см. также [4]).
Мы будем рассматривать еще один оператор замыкания, который также основан на системах функциональных уравнений, — оператор НС-замыкания. По существу, это оператор, который может быть определен в формализме Эрбрана-Гёделя [1-3, 8], изначально предложенного для задания (частично) рекурсивных функций. Мы несколько отступаем от канонических определений из [8] с целью приблизить определение оператора НС-замыкания к определению оператора РЕ-замыкания.
Язык оператора НС-замыкания совпадает с языком оператора РЕ-замыкания. То же самое относится к понятиям терма и равенства (уравнения). Пусть ¿1, ¿2 — термы. Частным случаем равенства ¿1 = ¿2 называем любое равенство вида = 12, где выражения 12 получаются из термов 12 подстановкой вместо всех предметных переменных некоторых элементов из N. При этом все вхождения одной и той же предметной переменной в термы ¿1, 12 замещаются одним и тем же элементом из N.
Пусть Н — конечная система равенств. Последовательность
равенств ■ ■ ■, не содержащих предметных переменных, называется выводом из системы равенств Н, если каждое равенство /•.', этой последовательности удовлетворяет одному из следующих условий:
1) /•.', есть частный случай одного из равенств системы Н;
2) для некоторого ,]< г равенство /•.', получается из равенства Е^ заменой выражения вида /(п)(а1,..., ап) элементом а, где а = 1,..., ап);
3) для некоторых ¿,1 < г равенство /•.', получается из равенства Е^ заменой выражения вида <р(п\а1,..., ап) элементом а, при этом равенство Е1 имеет вид а = <р(п\а1,..., ап).
Будем говорить, что равенство Е, не содержащее предметных переменных, выводимо из системы равенств Н, если существует вывод из системы равенств Н, который содержит Е в качестве одного
из равенств. Систему равенств Н называем корректной, если из нее невозможно вывести два равенства вида
а = 9?(п)(аь ..., ап), Ь = 9?(n)(ßi,..., ап),
где а ф Ь.
Пусть Q С Рдг, Н — корректная система равенств над Q, ip^ — функциональная переменная, входящая в Н. Говорим, что (частичная) функция д(х\,..., хп) определяется системой равенств Н по функциональной переменной <р, если для любого набора (öi, ..., ап) равенство <p^(ai,... ,ап) = а выводимо из системы равенств Н в том и только том случае, когда д(а\,..., ап) = а. Множество всех функций, определяемых системой равенств Н над Q, обозначим через H(Q). Положим
HG[Q] = (j3(Q),
где объединение берется по всем корректным системам равенств Е над Q. Множество HG[Q] мы называем HG-замыканием множества Q.
Отметим, что в теории алгоритмов преимущественно рассматривается множество HG[{0, х + 1}], которое в этом случае совпадает с классом всех частично рекурсивных функций [8]. Однако в формализме Эрбрана-Гёделя, как и в любом другом формализме рекурсивных функций, можно определять не только частично рекурсивные функции, но и частично рекурсивные, рекурсивные и общерекурсивные операторы. Нас будут интересовать общерекурсивные операторы (частично рекурсивные операторы, которые определены на соответствующих множествах всюду определенных функций и переводят наборы функций из указанных множеств во всюду определенные функции [9]).
Чтобы задать в формализме HG общерекурсивный оператор Ф(/^П1\..., fm™1-1) на множестве Р^1-5 х ... х следует рассмотреть систему равенств Н, которая помимо функциональных кон-
стант 0, х + 1 содержит также функциональные константы ..., fm(которые в данном случае
играют роль функциональных переменных оператора Ф) и некоторые функциональные переменные (pi,..., cpk- В случае выполнения равенства
ф (л(П1),...,/М = /
система равенств Н должна корректно определять (по главной функциональной переменной) функцию / через функции f[ni\ ..., .
Нетрудно понять, что отмеченное отношение между общерекурсивными операторами и системами корректных равенств указанного вида является взаимно однозначным соответствием. В частности, всякая корректная система равенств Н с функциональными константами 0, х + 1 и fiKl\ ..., fmm\ которая при любом выборе констант fini\...,fmm^ определяет некоторую функцию из Рдг, задает общерекурсивный оператор на множестве Р^11^ х ... х Р^"т\
Теорема 1. Для всякого общерекурсивного оператора Ф(/\,..., fm) найдется такая система уравнений (в формализме FE) с функциональными константами 0, х + 1 и fi,...,/то, которая для любого выбора функциональных констант fi, ■ ■ ■, fm определяет (по своей главной функциональной переменной) функцию Ф(/ь ..., fm).
Доказательство. Как отмечалось, оператор Ф можно задать в формализме HG корректной системой равенств Н, имеющей функциональные константы 0, х + 1 и /i,... ,/то (последние в этом случае рассматриваются как функциональные переменные). Хорошо известно [9] (это верно и для других формализаций понятия общерекурсивного оператора, например, с помощью машин Тьюринга или с использованием понятия /¿-рекурсивной функции), что для общерекурсивного оператора Ф соответствующую систему равенств Н можно выбрать так, что при действии оператора Ф на систему всюду определенных функций (/i, • • •, /то) для любой функциональной переменной cpi из системы Н выводятся все равенства, которые определяют подходящую (по переменной и единственную функцию класса Рдг. Иными словами, система равенств Н может быть выбрана так, что при вычислении функции Ф(/ь ..., /то) используются лишь всюду определенные "вспомогательные" функции.
Пусть (pi,...,(ps — все функциональные переменные системы равенств Н, a, gi,... ,gs — соответствующие им функции, которые "вычисляются" системой Н при выводе значений функции Ф(/1,...,/то) (среди них имеется и функция Ф(/ь..., fm))- Тогда, конечно, система функций
(gi,...,gs) образует решение системы уравнений Н (в формализме FE). Вместе с тем никакого другого решения у системы уравнений Н в этом случае быть не может — этот факт легко доказывается индукцией по длине вывода из системы равенств Н.
Таким образом, система уравнений Н имеет единственное решение (д\,..., gs), состоящее из всюду определенных функций, и тем самым определяет единственную функцию #(/i,...,/то). Теорема доказана.
К проблеме FE-замыкания довольно близко примыкают вопросы выразимости отношений в языке функциональных уравнений. Именно будем рассматривать функциональные уравнения над множеством функциональных констант {0, ж + 1}. Тогда, согласно теореме 1, всякий общерекурсивный оператор (а в частности и всякую общерекурсивную функцию) можно определить подходящей системой функциональных уравнений. Однако с помощью функциональных уравнений можно определять и отношения R на множествах вида Р^1^ х... х pj™"^. В самом деле, рассмотрим систему функциональных уравнений Н с функциональными переменными
«Л1) ЛПш) (Пт+l) (Пт+l)
Yl 1 ■ ■ ■ 1 Wm 1 г ш+1 ' ' ' ' ' r'm+l '
из которых переменные ■ ■ ■, <ртт^ будем считать "главными" переменными. Будем далее считать, что система Н определяет отношение R на множестве Рjf'1^ х ... х pj^m\ если для любого набора функций (,fini\ ..., /™т)) из P^ni) х ... х Р^'п) найдется такой набор функций (/^ ™i+1\..., из х ... х Р^т+'\ что при замене функциональных переменных ..., системы
уравнений Н соответствующими функциональными константами ..., полученная систе-
ма равенств будет тождественно истинной (относительно всех входящих в систему предметных переменных) в том и только том случае, когда отношение R истинно на наборе (fiKl \ • • •, fm"^)-
Обозначим через RFE класс всех отношений (на декартовых произведениях множеств вида pffl), которые определяются в указанном выше смысле системами функциональных уравнений над множеством функциональных констант {0, ж + 1}. Далее мы хотим сравнить класс RFE с начальным классом Sj аналитической иерархии Клини (см. [9, глава 16]), который будем рассматривать только для отношений на множествах вида Р^1^ х ... х pj^mK Этот класс можно определить как класс всех отношений, представимых в форме
(Э/m+l) • • • (3/m+i)(V®i) . . . (V®fc)i2(/i, • • • , /то, /то+1, • • • , fm+hX 1, . . . , Хк), (1)
где
f с p("l) f cz p(nm) f rz p("m+l) f , с p(«m+f)
J 1 c 1 j\T ' ' ' ' ' '» c N ' Jm+1 c 1 N i ■ ■ ■ i Jrn+l c 1 jy
и R — рекурсивное отношение на множестве
>>
Определения классов RFE и Sj имеют довольно много общего. Это подтверждает следующая Теорема 2. Классы отношений RFE и Sj совпадают.
Доказательство. Включение RFE С Sj почти очевидно: система уравнений языка FE, определяющая отношение на множестве Р^11^ х ... х pj^m\ представляет собой, безусловно, простейший тип рекурсивного отношения на множестве Рjj1'1^ х ... х х Nk.
Обратно, чтобы установить включение Sj С RFE, обратимся к формализму Эрбрана-Гёделя и определим рекурсивное отношение R, входящее в формулу (1), с помощью системы равенств Н над множеством функций {0, ж + 1}, которое содержит "главные" функциональные переменные
(р..., (рт т\ "вспомогательные" функциональные переменные (p^+VK ■ ■ ■, <Pm+i+'^ и предметные переменные х\,..., хк. Это можно сделать на основе теоремы 1, поскольку формализм Эрбрана-Гёделя позволяет, в частности, определять рекурсивные отношения рассматриваемого типа. Теорема доказана.
Пусть /(ж 1,..., х„) G Pjv и 7г — перестановка на множестве N. Функция
Г(хъ ...,хп)= 7г_1(/(7г(ж1),... ,тг(жп)))
P{Nni) х ... х Р^ X P{Nnm+l) х ... х х NK
называется сопряженной с функцией / с помощью перестановки ж. Если / = /7Г, то функция / носит название самосопряженной с помощью перестановки ж. Множество всех функций из Рдг, самосопряженных с помощью перестановки ж, обозначим через Бж. Легко убедиться в том, что множество Бж образует замкнутый (относительно операции суперпозиции) класс. Положим
Н = Р^тт,
7Г
где пересечение рассматривается по всем перестановкам ж на множестве N. Функции из множества Н носят название однородных функций (см. [10]). Из определения следует, что множество Н образует замкнутый класс. Легко видеть, что классу Н принадлежат все селекторные функции. Определим еще ряд однородных функций:
, ч Г г, если х = у,
7){Х V Z) == N
(ж в противном случае,
,, ч (х, если х = у, г в противно
1"П 1; ■ ■ ■ ; %П ) —
в противном случае,
XI, если значения х,\,..., хп попарно различны, хп в остальных случаях
(п = 3,4,...). Однородность приведенных функций можно установить как непосредственно с использованием исходных определений, так и с учетом того, что значениями данных функций являются значения переменных, которые выбираются в соответствии с отношением равенства/неравенства между переменными.
Доказательство утверждения 1 вполне аналогично доказательству соответствующего утверждения из работы [4] для функций многозначной логики.
Утверждение 1 (принцип сопряженности для КК-чамыкания). Пусть система Н функциональных уравнений над множеством функций ..., определяет функцию / и ж — перестановка на множестве N. Тогда система уравнений Н71", полученная из системы Н заменой каждой функциональной константы /¿, 1 ^ г ^ 5, соответствующей функциональной константой , определяет функцию /7Г.
Следствие 1. Для любой перестановки ж класс в к является КК-чамкнутым.
Следствие 2. Класс Н однородных функций КК-чамкнут.
Однородные функции играют важную роль в универсальной алгебре и теории функций многозначной логики. В связи с этим интерес представляют КК-чамкнутыо классы, включающие однородные функции. Выясним, какие нетривиальные (неселекторные) однородные функции могут содержать РЕ-замкнутые классы.
Теорема 3. Любой РЕ-замкнутый класс, содержащий нетривиальную однородную функцию, целиком включает класс Н однородных функций.
Доказательство. В работе [10] установлено, что класс Н порождается (в смысле операции суперпозиции) тернарным дискриминатором р. Кроме того, в [10] доказано, что любой замкнутый (относительно суперпозиции) класс функций из //. отличный от класса селекторных функций, содержит либо функцию й, либо хотя бы одну из функций 1п. Поэтому теорема 3 будет доказана, если мы установим, что каждая из функций й, 1п РЕ-порождает функцию р.
Начнем с функции й. Рассмотрим систему функциональных уравнений
ср(х,х,у) = у, (р(х,у,х) = х, ср(х,у,у) = х, ср(х,у,4(х,у,г)) = х.
Первые три уравнения этой системы правильно определяют функцию р на всех наборах, содержащих не более двух различных значений. Четвертое уравнение определяет функцию р, в частности, на наборах (х,у,г), где х ф у. Отметим, что четвертое уравнение согласовано с первыми тремя на наборах, содержащих не более двух значений.
Покажем далее, что функция 13 РЕ-порождает функцию й. Соответствующая система функциональных уравнений имеет следующий вид:
(р(х,х,у) = х, (р(х,у,х)=х, ср(х,у,у)=у, 13(х, (р(х, у, г), г) = г, 13(у, (р(х, у, г), г) = г.
Первые три уравнения данной системы правильно определяют функцию d на всех наборах, содержащих не более двух различных значений. Остальные два уравнения обеспечивают равенство d(x, y,z) = z на наборах, состоящих из трех различных значений. Нетрудно также убедиться, что последние два уравнения согласованы с первыми тремя уравнениями на наборах, содержащих не более двух различных значений.
Для завершения доказательства теоремы остается показать, как при n ^ 3 из функции ln+í получить функцию 1п. Выпишем сначала систему уравнений, которая обеспечивает второй пункт определения функции 1п ( "в остальных случаях" ) :
(f(x 1, . . . , Xi — 1, Xj , ,..., хп ) — хп, 1 íí i <С jíí п.
Затем добавим к ней уравнение, которое "отвечает" за первый пункт определения функции 1п:
<p(ln+1(xi,.. ,,xn+i),x3,.. .,xn+i) = ln+г{хъ .. ,,xn+i).
Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Herbrand J. Sur le problème fondamental de la logique mathématique // Compt. Rend. Soc. Sci. Lettr. Vars. Classe III. 1931. 24. P. 12-56.
2. Herbrand J. Sur la non-contradiction de l'arithmétique // J. Reine und Angew. Math. 1931. 166. S. 1-6.
3. G5del K. Über formai unentscheidbare Sátze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I // Monatsh. Math, und Phys. 1931. 38. S. 173-198.
4. Марченков С.С. Оператор замыкания в многозначной логике, базирующийся на функциональных уравнениях // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. 17. № 4. С. 18-31.
5. Марченков С. С. FE-классификация функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2011. № 2. С. 32-39.
6. Марченков С. С. О классификациях функций многозначной логики с помощью групп автоморфизмов // Дискретный анализ и исследование операций. 2011. 18. № 4. С. 66-76.
7. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
8. К лини С. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.
9. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.
10. Марченков С. С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики. Вып. 39. М.: Наука, 1982. С. 85-106.
Поступила в редакцию 11.01.13
THE FE-CLOSURE OPERATOR IN COUNTABLE-VALUED LOGIC
Marchenkov S. S., Kalinina I. S.
The FE-elosure operator is considered on the set PN of countable-valued logic functions. It is proved that every general recursive operator (specified in Herbrand-Godel formalism) can be realized in FE-closure language. It is established that the class of all relations definable in FE-closure language coincide with the class in Kleene's analytic hierarchy. It is shown that if any nontrivial homogeneous function belongs to a FE-closed class than all homogeneous functions belong to this class.
Keywords: countable-valued logic functions, FE-closure operator, Kleene's analytic hierarchy.
