О преимуществах потоковых переменных в задаче тонкого вязкого ударного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XIX 19 88

№ 5

УДК 533.6.011.8

О ПРЕИМУЩЕСТВАХ ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧЕ ТОНКОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ

А. Л. Анкудинов

В работе предлагается специального вида форма уравнений пространственного тонкого вязкого ударного слоя, полученная из традиционной формы преобразованием переменных, связанным с функциями, описывающими течение (потоковые переменные).

Представленная в этих переменных система уравнений тонкого ударного слоя, обладает в общем случае более высокими стабилизирующими свойствами при численном решении задачи. В вырожденных ситуациях (двумерный случай, плоскость растекания) предлагаемые переменные позволяют первоначальную проблему, являющуюся в физических координатах краевой задачей со связанным параметром, сформулировать как чисто краевую задачу. Приводятся примеры расчета течения в плоскости симметрии эллиптического гиперболоида и около гиперболоида вращения, обтекаемого под углом атаки.

Модель тонкого вязкого ударного слоя является достаточно распространенным и эффективным средством исследования вязких ги-перзвуковых течений (см., например, обзор ВИНИТИ [1]). Математически эта модель описывается краевой задачей для системы уравнений в частных производных со связанным параметром (т. е. параметром-функцией, зависящим от решения через так называемое «лишнее» граничное условие); наличие упомянутого «лишнего» условия и его форма (явная зависимость последнего от производной связанного параметра, каковым является неизвестная величина отхода скачка) представляет собой фактор, существенно осложняющий численное интегрирование системы уравнений тонкого вязкого ударного слоя в традиционном ее варианте.

В настоящей статье обсуждаются различные формы связанных с потоком переменных (т. е. переменных, функционально зависящих от величин, локально описывающих течение), которые учитывают специфику модели пространственного тонкого вязкого ударного слоя и использование которых существенно упрощает вычисления, сводя в ряде вырожденных случаев (двумерная задача, плоскость растекания) проблему расчета тонкого вязкого ударного слоя к чисто краевой задаче. Форма уравнений в потоковых переменных для последнего (вырожденного) варианта может представлять и самостоятельный ин-

терес, как специфический результат теории тонкого вязкого ударного слоя.

1. Термин «потоковые» переменные адресован, вообще говоря, всем» используемым при решении аэродинамической задачи независимым переменным, функционально тем или иным образом связанным с величинами, локально описывающими изучаемое течение (поток). К таковым следует отнести, например, известные переменные Крокко, Ми-зеса, Дородницына и др. В настоящей же статье под «потоковыми» переменными понимаются введенные ниже конкретные виды таких (связанных с течением) переменных, непосредственно ориентированных на соответствующие разновидности задач тонкого вязкого ударного слоя и учитывающих специфику как собственно проблемы тонкого вязкого ударного слоя, так и упомянутых разновидностей (классов) задач внутри данной проблемы. Целью формирования этих переменных является возможность получить вычислительные преимущества в рамках рассматриваемой физической модели.

Различные авторы, занимавшиеся исследованиями проблемы, использовали различные формы представления уравнений тонкого вязкого ударного слоя в физических переменных (см., например, работы, упоминаемые в обзоре (1]). Ниже в качестве исходной будет принята запись системы уравнений пространственного тонкого вязкого ударного слоя в естественной (связанной с поверхностью) криволинейной ортогональной системе координат:

Ра ди , ди рда ди

уши дк\ р®2 дЬъ________________

Й! Л3 дФ Л3 ’д*'

1 др

1 д ди

Л, д« Ие дп ^ дп ’

(1)

, рге>2 дк3______________др '

• ” Ли ~ ,

ри2 дкх

дп 1 /г3 дп дп

рн дт

ричу дк3 /г1Л3 дв

1 др___________1_ д дт _

Л3 с)Ф ' Б!е дп^ дп ’

ри2 дкх (ЭФ

ри дН , дН

-^§7 + ^ —

ра> дН__________

дп Л3 <ЭФ

1 5 Г1 дН , 1 \ / ди , дп>\

1?е дп ^ [Рг дН + ( РГ) ( М Ш + Ш)

дН3 ри дкг Л3 рV . дкх ро> р.

Лс • Ли ' " *

(2)

(3)

(4)

(5)

Эта система уравнений должна быть дополнена уравнением состояния газа и соотношением для вязкости, в качестве которых для демонстрационных расчетов, представляемых в работе, было принято:

*. — 1 , /> = — ^

\

к

^ Н~'

(6)

(7)

Здесь з, Ф — криволинейные ортогональные координаты, выбираемые вдоль поверхности тела; п — координата, отсчитываемая от поверхности тела по нормали к ней; и, V, ш — компоненты скорости соответственно в направлениях 5, п, Ф; р, р, к, Н — соответственно плотность, давление, энтальпия, полная энтальпия; /ц, /г3 — соответственно коэффициенты Ламе для направлений 5 и Ф; Ие и Рг — числа Рейнольдса и Прандтля; х — отношение удельных теплоемкостей. Обез-размеривание величин в (1) — (7) проведено следующим образом (величины со звездочкой здесь и далее считаются размерными): и —

где р^, RI, \>-*й — соответственно скорость и плотность набегаю-

щего потока, радиус кривизны носка тела в плоскости симметрии при нулевом угле атаки, коэффициент вязкости при температура торможения; индекс «оо» здесь и далее относится к величинам в набегающем невозмущенном потоке.

В дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, что имеет место течение с плоскостью симметрии (хотя результаты работы могут быть перенесены на общий случай обтекания).

В этом случае полагаем, что величина s ассоциируется с продоль-цым направлением вдоль поверхности (начало отсчета — от критической точки), Ф — с окружным направлением (начало отсчета — от плоскости симметрии).

Граничные условия на ударной волне п = пе имеют вид (модифицированные условия Рэнкина—Гюгонио):

т. е. рассмотрим для примера условия прилипания на непроницаемой стенке заданной температуры; здесь и далее индекс «ш» относится к величине на поверхности тела.

Характерной и специфической особенностью системы уравнений тонкого вязкого ударного слоя (1)—(13) является наличие в наборе граничных условий задачи, так называемого «лишнего» граничного ус-

(8)

Р = P°ovi;

, ч м. dw

Роо v„ (w — Woo) = ш ;

(9)

(10)

(12)

Граничные условия на поверхности тела примем в виде: и — 0; w = 0) t/ = 0; Н = Hw,

(13)

ловия (каковым является условие (12) —см., например, [1]), которое не позволяет рассматривать исследуемую задачу как чисто краевую («лишнее» условие — условие, которое невозможно удовлетворить свободным порядком дифференциального уравнения).

Исследуемая проблема может быть математически охарактеризована как задача со связанным параметром, т. е. параметром (в данном случае в качестве такового выступает величина отхода скачка), являющимся не свободной величиной, которую позволительно задавать с достаточным произволом, а сугубо связанной с искомым решением, иными словами, величиной, выбор которой определяется некоторой связью или условием (в данном случае — расходным условием (12)). Форма «лишнего» условия (явная зависимость его от производной связанного параметра, т. е. от производной искомой величины отхода скачка) заставляет ожидать вычислительных неприятностей при численном решении задачи, что и подтверждается счетной практикой (и особенно чувствительно — для областей течения, достаточно отдаленных от окрестности критической точки и характеризующихся существенно более высоким темпом роста отхода скачка). Это заставляет искать какие-то пути и возможности преодоления вычислительных трудностей. Одним из таких путей является поиск переменных, упрощающих численное исследование проблемы.

2. Итак, оставляя прежними координатами вдоль поверхности я и Ф, т. е. полагая

5 = в; Ф=Ф, (14)

рассмотрим в качестве новой поперечной независимой переменной задачи связанную с полем течения величину:

и=те)112- (15)

Здесь г|) — первая функция тока, определяемая следующими соотношениями:

Ё = /гвР«; |=-Мзр®-?. й = йл1 р®’ (16)

— значение первой функции тока на внешней границе тонкого ударного слоя; ф — вторая функция тока.

(Отметим, что для двумерного случая переменная типа (15) в задачах тонкого вязкого ударного слоя была применена в работе [2], позднее — в ряде работ автора).

Введем также преобразование зависимых переменных (чтобы получить вид системы уравнений с разрешенной при 5=0 и Ф = 0 неопределенностью) следующего вида:

и — иг; 70 = ?£>фФ0г; ® = <рг;

Р = Ро + РГ2; 1\, = фег1+''; А3 = Л3 г\

Здесь г — расстояние от поверхности тела до прямой, проходящей через критическую точку в направлении набегающего потока; Ф0 — некоторая функция от окружной переменной Ф, пропорциональная величине Ф в окрестности Ф = 0 (т. е. Ф0(Ф) ~Ф; ра=р(з = 0) =сопз1:).

(17)

С учетом (16), (17) система уравнений (1) —(5) в новых переменных запишется следующим образом:

+ №Ь ¥ Р®Ф « + Ч® Р®Ф 6 Ц ~ Ч3 Р®| =

I 1 — ^ ~ йы 1 >>~%да /1й\

+ Йё71Рм^1гРм^ Йё !* ? и 5^ ; {18)

\Г9т&+Фпф>2Ф = (19)

^^гри^ + Ш12т^Ри^ф- В№зч*Ри£^? + #4ч»р2Ф ^ +

об <77) ¿Ф

+ и?18Ч«р< + \РА-Г13рЪгйф 1^итг)3рм2 =

ЙУ)

ПТ- Ч , 1 ~ д ~ дйф 1 , ^ дп)ф

«-^б^+^чри^н»«-^ —^«ч>*и**г; (2°)

^ ЙГ-Я^.Ч2* ^ + ^4’13®ф =

= -^№“2^ ^ц№Щ- ш^(* -¿)р“5+^17^)+

+ 2^7г“£)(1-Гг)^Р“^Г1бИ~2+ ^П‘5’2ф); (21)

р« | _ ВГ1# ч ^5 - Г!9 ^ - 0; (22)

т‘ри Щ ~~ (■*> ^ “ Р“) 6 + С^и — ^20 Г1 рч — ри = 0; (23)

Ф.-!.-тЦй"«. (24)

О

где 5 —ср + 732(^Ф1?/'1+7^5)/г; С==(<?фв/<#Ф)/фв; в = <?т}/о>Ф;

^*= &* = ^*Ф,; А = 1 - 20-

Коэффициенты являются параметрами, зависящими в конечном счете от координат на поверхности в, Ф; г = 0 и 1 в плоском и осесимметричном случае соответственно.

Граничные условия на внешней границе примут вид:

Условия на поверхности запишем

и = 0; ®ф = 0; Я = Яш; 9 = 0; 0 = 0.

(29)

По поводу полученной формы уравнений тонкого вязкого ударного слоя (18) — (29) можно сделать следующий краткий поясняющий комментарий. В записи системы (18) — (24) опущен ряд внепорядковых членов (в том числе содержащих величину у), которые формально появляются после реализации преобразования переменных (14)—(17) (отметим, что все члены, содержащие величину V в изначальной системе уравнений (1) — (5) —порядковые). Преобразованные уравнения не содержат величину V, т. е. функция V полностью из них исключена. Соотношение (24) является своеобразным эквивалентом «лишнего» граничного условия (12) первоначальной системы.

Итак, величина поперечной скорости V естественным образом выпадает из рассмотрения, освобождая от необходимости удовлетворять при решении задачи «лишнему» граничному условию в его изначальном виде, содержащем в своей структуре зависимость от производной искомой величины отхода скачка. Эквивалент «лишнего» условия (24), включающий уже интегральную зависимость от неизвестной функции фе, несомненно повышает вычислительные качества преобразованной системы, что подтверждается также и счетной практикой. Рассмотренная форма уравнений позволила для случаев, которые могут быть просчитаны в рамках теории тонкого вязкого ударного слоя, без осложнений неограниченно продолжать расчет по продольной координате.

В случае плоскости симметрии поля течения в уравнениях системы (18) — (24) величина (<Зг]/дФ)=0, и уравнение (23) является тождеством.

В двумерном случае (плоском или осесимметричном) имеет место '¡&ф = 'р = в = 0 и уравнения (20), (22), (23) вырождаются в нулевые тождества, соотношение же (24) превращается в тривиальное равенство:

и соответственно двумерная задача тонкого вязкого ударного слоя в переменных (14) — (17) трансформируется в чисто краевую задачу.

Таким образом, система уравнений (18) — (24) и граничных условий (25) — (29), описывающих тонкий вязкий ударный слой, с точностью до некоторых членов, пренебрежимых в рамках этой модели, эквивалентна системе уравнений (1)—(5) и граничных условий (8)—

Смысл же преобразования переменных (14)—(16) может быть в общих чертах сформулирован следующим образом: введение функций тока г|), ф (одной фактически в качестве независимой, другой — в качестве зависимой переменной), исключающих из уравнений величину и, заставляет по существу переформулировать «лишнее» граничное условие, при этом эквивалент «лишнего» условия в новых переменных избавляется от неудобной дифференциальной связи с решением, заменяя ее на интегральную, что существенно повышает устойчивость численных процедур интегрирования уравнений.

(30)

(13).

Преимущества переменных (14) — (16) в общем случае трехмерной задачи не столь наглядны, как в двумерном ее варианте, тем не менее они вполне очевидны. Об этом свидетельствует к тому же и достаточно обширная практика расчетов тонкого вязкого ударного слоя по преимуществу в плоскости симметрии поля течения, проведенных как для традиционных параболоидов и гиперболоидов, так и для приближенной формы реального летательного аппарата. Отметим попутно в последнем случае хорошее соответствие результатов с полученными другими авторами при решении задачи в более общей постановке — вязкого слоя. (Это обстоятельство, кстати, является еще одним свидетельством достаточной практической эффективности модели тонкого вязкого ударного слоя при использовании последней в рамках ее применимости).

Укажем еще вариант потоковых переменных для случая собственно плоскости растекания (дш[дФ>0 во всей плоскости симметрии течения). Введение величины определяемой уравнением

2Кд£ + 2гКрз + 1г, й3р1> = О,

в качестве поперечной независимой переменной дает возможность получить форму задачи тонкого вязкого ударного слоя, полностью свободную от «лишнего» граничного условия (или его эквивалента), как и в случае (30) двумерного вырождения общего преобразования

(14) — (16), т. е. опять-таки свести проблему к чисто краевой задаче типа пограничного слоя.

3. Ниже приводятся некоторые иллюстративные результаты расчетов тонкого вязкого ударного слоя для трех случаев. Два варианта из них соответствуют плоскости симметрии поля течения около эллиптического гиперболоида без угла атаки и около гиперболоида вращения, имеющего некоторый угол атаки а (надо заметить, что ограничение протяженности приведенных расчетов по продольной переменной было обусловлено лишь произволом вычислителя и решение могло быть беспрепятственно продолжено дальше). Третий демонстрационный вариант соответствует трехмерной области лобовой поверхности гиперболоида вращения, обтекаемого под углом атаки. В приведенных примерах координата 5 отсчитывается от геометрической критической точки вдоль поверхности в плоскости симметрии поля течения; в качестве координаты Ф принят азимутальный угол (угол поворота упомянутой плоскости симметрии около оси, проходящей через критическую точку в направлении набегающего потока).

При численном решении задачи использовался алгоритм [3]. Расчеты проводились для следующих параметров течения: число Моо = 8, х=1,4, Рг = 0,7, \1~Н, /г№ = 0,5Нос, асимптотический угол полураствора гиперболоида со = 31° (для эллиптического гиперболоида это угол в рассматриваемой плоскости симметрии; отношение полуосей (с/Ь) эллиптического гиперболоида было взято равным (с/Ь) = 1,5, где Ь— полуось гиперболоида, лежащая в рассматриваемой плоскости, с — в плоскости, к ней ортогональной). В варианте 1 (эллиптический гиперболоид, плоскость симметрии поля течения) было принято: угол атаки а = 0; Ке=100. В варианте 2 (гиперболоид вращения, плоскость симметрии поля течения) предполагалось: а = 30°; Ие=102; 104; 106. Вариант 3 (гиперболоид вращения, лобовая поверхность) считался при а= 10°; 1?е= 100.

Результаты расчетов представлены соответственно на рисунках

w

10.1.

ХеЧГ

'м' '10'

Be = W

'їв 'да*

»

i'.i’

is

Рйс. 2

ii^nsio

7—«Ученые записки» № 5

97

Рис.

На рисунках обозначено:

" - (■< 1 и«'**=О** £)/Щ/ р»

ХФ = (^) УШ1?1и2,

\ дп* /и>

где — коэффициент теплопроводности; Г* — температура; индексом «да» отмечаются значения величины на стенке. Кривые распределения вдоль поверхности в плоскости растекания величин и (см. рис. 2) обнаруживают прежде всего значительно большую степень влияния числа Ре на та, чем на д, и, кроме того, указывают на существенное сближение данных по . тепловому потоку при разных 1?е в конце расчетного интервала.

Можно видеть, что в некоторой области около носка гиперболоида вращения (см. рис. 3) тепловой поток увеличивается от наветренной части поверхности к подветренной при возрастании азимутального угла Ф, при этом на небольшом участке поверхности в окрестности носка тепловой поток к телу превосходит величину теплового потока в кри-

тической точке; это превышение, вообще говоря, растет с увеличением угла атаки.

На рис. 5 можно наблюдать наличие области возвратного течения по азимутальной координате (область отрицательных значений *ф).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса. — Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкости и газа, 1985, т. 19.

2. Cheng Н. К- The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number. — IAS Paper, 1963, N 63—92.

3. Анкудинов А. Л. Об одной разностной схеме расчета вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2107.

Рукопись поступила 16/1V 1987 г.