Расчет теплового потока в пространственной критической точке при сверхзвуковом обтекании тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАП И С К И Ц А Г И

Т о м XX

1989

№ 4

УДК 532.526.011.55.011 6 533.6.011.8.011.6

РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ ТЕЛА

Проблема расчета теплового потока (либо температуры теплоизолированной стенки) в пространственной критической точке в рамках теории гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя приводит к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений с «лишним» граничным условием или, что то же, к задаче со связанным параметром. В работе показано, что специфика модели тонкого слоя дает возможность свести рассматриваемую проблему к решению алгоритмически более простой, чисто краевой задачи, свободной от «лишнего» условия. В работе предлагается также преобразование переменных, раскрывающее особенность уравнений тонкого вязкого ударного слоя вблизи абсолютно холодной стенки (т. е. поверхности, абсолютная температура которой равна нулю). Даются примеры расчетов тонкого вязкого ударного слоя для пространственной критической точки.

1. Вязкое гиперзвуковое обтекание лобовых поверхностей нетонких тел с достаточной практической точностью, особенно с точки зрения теплообмена, описывается теорией тонкого вязкого ударного слоя. В рамках этой модели для расчета течения в тонком слое приходится решать краевую задачу для системы дифференциальных уравнений с так называемым «лишним» граничным условием (см., например, [1]), или, другими словами, задачу со связанным параметром, каковым для рассматриваемой проблемы является неизвестная величина отхода скачка, определяемая в ходе решения. В данной работе в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя исследуется течение в окрестности передней критической точки двоякой кривизны. Уравнения, описывающие пространственное течение совершенного газа на линии торможения в тонком вязком ударном слое относительно введенной в окрестности критической точки криволинейной ортогональной системы координат 5, п, Ф, связанной с поверхностью обтекаемого тела п = 0, имеют следующий вид:

А. Л. Анкудинов

д д (м/л) дп ^ дп ’

____ д д2 р

дп дє2 ’

(1)

р (и/в)а й2Лі

Лі (Л3/5) <ЭФ2

(Йъ1ь)г>“ и^м г\с ип ии

дН 1 д ^ дН

^ дп Ие дп Рг дп ’

!ч ,1 10 П % - 1 Г /£.\

ррг» + А1р-5ф=0; />= —— рй; ** — I* (А).

Здесь безразмерные ортогональные криволинейные координаты 5, Ф направлены вдоль линий кривизны поверхности, поперечная координата п — по нормали к ней; продольная координата 5 отсчитывается от критической точки вдоль линии минимальной кривизны поверхности; Ф — окружная, азимутальная, координата (угол поворота плоскости, содержащей критическую линию 5 = 0, Ф = 0 и касательную к линии минимальной кривизны в критической точке, около оси, проходящей через критическую точку в направлении набегающего потока).

В безразмерной записи уравнений (1) принято: и, V, ш — компоненты скорости соответственно в направлениях 5, п, Ф; Ни Н3 — коэффициенты Ламе соответственно для направлений я, Ф; Ие, Рг — числа Рейнольдса и Прандтля; р, р, Н, Н — соответственно плотность, давление, энтальпия, полная энтальпия; ц, — коэффициент вязкости; х — отношение удельных теплоемкостей. Обезразмеривание величин проведено следующим образом (величины со звездочками здесь и в дальнейшем считаются размерными):

£/«, р^, К*0 , Но — соответственно скорость и плотность набегающего потока, минимальный радиус кривизны в критической точке, коэффициент вязкости при температуре торможения. Индексом „е“ в дальнейшем будут помечаться величины на внешней границе ударного слоя, индексом — величины на стенке.

В качестве граничных условий задачи на поверхности тела для определенности принимаются условия прилипания и непротекания при заданной температуре стенки:

в качестве условий на внешней границе — классические условия Рэнкина— Гюгонио:

Систему (1) тонкого вязкого ударного слоя можно получить из полных уравнений Навье — Стокса, следуя, например, работам [2—4]. Уравнения пространственного тонкого вязкого ударного слоя, исследования которого начались приблизительно около 1980 г., выписывались в различной форме разными авторами; для целей численного интегрирования использовались независимые поперечные переменные типа переменных Дородницына либо физическая поперечная координата, нормированная отнесением к неизвестной величине отхода скач-

и — 0; и = 0; = Н = Нт при га = 0,

(2)

и = ие; гсі) = іг>е; V = і)е; Н — Не; р=ре при п = пе. (3)

ка; обзор исследований по изучаемому вопросу можно найти, например, в работе [1].

Рассмотрим далее малую (по 5, Ф) окрестность критической точки, точнее, линии торможения (критической линии) и, делая естественные предположения: > 0, > 0 повсюду на линии тормо-

жения, кроме самой критической точки, где эти величины равны нулю (предположения, оправдываемые: первое — положительным ускорением продольного течения в окрестности носка, второе — выбором направления продольной переменной вдоль линии минимальной кривизны), получим из уравнения неразрывности (см. (1)) на всей критической линии (кроме самой критической точки): кх (/г3/«) ри < О,

т. е.

V < 0. (4)

Рассмотрим функцию £, введенную соотношением

¥= — 2h1(h3/s)pv, (5)

беря в дальнейшем величину £, определеную равенством (5), положительной £>0 при я>0.

Дифференцируя (5) по л и учитывая (4), можно получить для п>0:

■§-=-г-ж-*.(ад|»>0- <6>

Принимая во внимание далее, что v~0(n2) вблизи стенки (это следует из уравнения неразрывности в предположении, что и~0(п), гу~0(п) около поверхности тела, а рм, — конечная величина), из соотношения (5) получим:

С~0(«) (7)

вблизи обтекаемой поверхности.

Интегрируя полное уравнение неразрывности по замкнутому контрольному объему (0<«<§5, 0-<Ф<8Ф, 0<л-<яе) между скачком и телом и стягивая затем контрольный объем к критической

линии при 8Ф -> 0, 8$ -» 0, можно получить в пределе для критиче-

ской линии следующее приближенное соотношение с точностью до членов, не учитываемых в теории тонкого слоя:

£=1. (8)

При выводе (8) использовалась формула Остроградского — Гаусса, в которой расход газа, прошедшего через участок поверхности скачка п = пе(з,Ф), принадлежащий контрольной поверхности, заменялся эквивалентным в рамках теории тонкого слоя расходом, сформулированным в терминах набегающего потока.

Равенства (6), (7), (8) показывают, что введенную в (5) функцию

£ удобно принять за новую поперечную независимую переменную рас-

сматриваемой задачи: £ является монотонно возрастающей неотрицательной величиной, изменяющейся в изначально известных пределах

дг

0<£<£е, причем повсюду

Переходя к новым зависимым переменным в соответствии с формулами

и =» иие; те»® = а»ф г; /г3 = Л3 г; р —р0 + рг2, (9)

где ра = ре (s = 0) = const; ms = -|^; г — расстояние от поверхности

тела до прямой, проходящей через критическую точку в направлении набегающего потока, и используя в качестве новой поперечной независимой переменной величину С из (5), получим на критической линии следующую систему уравнений и граничных условий, эквивалентную задаче (1) —(3):

ри2 дие Лі ds

ї2

hi А*

дг ди дІ ds дп

2 г дг ~ 1 Г д (

hi ие ds Р ' Re [_ dC V

*Uhi

dhi

дп

др

ди

дС dn

L-XJL.

и„ І дп ’

д:

дп

2р и ие dr ds

h,

Wn>-

dr dw ф <ЭС

1

1 d2 p ho r3 дфї

ds d'Q

ри2

d2 hi

С2 dr dH

hih3

ds d£

Re

+ ■ d dZ

Re

<ЭС

ф dK_\

дп J

м. дн ас

Pr дп

Ро-

да ’

X- 1

Р Н;

дг г дС hi ~ . ие -г ~ дг

-я^^=-9!-Р®'ф + ^АзР“ -Qfi

ds дп 2 и = 0; W9 = 0; Н— Hw

при С = 0;

(10)

й = 1; да® = (яуфУг; Н= Не\ р-=(ре- р0)/г2 при С = Сг

(И)

(12)

Величину пе=п(1^е) отхода скачка (как и вообще зависимость п = п(1,)) можно найти после решения задачи (10)—(12), используя предпоследнее из соотношений (10), путем решения задачи Коши для уравнения

дп

Ж

дг * ( hi ~ . ие т ~ дг

— Ц-тР®*+ Т-Л.Ри If

ds

-і

с условием п(0) =0.

Отнесенные физические величины трения 'їф (в направлениях ь' и Ф) и теплового потока q на поверхности тела выражаются через решение преобразованной задачи (10) — (12) следующим образом:

(”s)«

ди*

дп*

* V г*У

Роо ^оо 5

ди

. Re дп .

к АН)

т дп* jw

Р* U*3 г оо оо

(хф)та

дп*

L (■ s ) д™'

. Re д“,

’ф сК_ dn

1

Re Рг

dH <к

d' dn

здесь (и далее) &т — коэффициент теплопроводности, Т* — абсолютная температура.

Как можно видеть, рассмотренная для окрестности критической точки первоначальная задача (1)—(3) тонкого вязкого ударного слоя, имеющая (за счет связанного параметра пе) превышение количества граничных условий над порядком системы уравнений, при по-

средстве новых переменных переформулируется в замкнутую чисто краевую задачу (10) — (12) типа Пограничного слоя с исключенной величиной поперечной скорости и. Предложенная переменная £ (5) применима для более широкого круга задач тонкого вязкого ударного слоя на критической линии.

Новая переменная сохраняет свой вид в случае разнообразных комбинаций иных, кроме рассмотренных, краевых условий, в качестве которых могут быть приняты модифицированные условия Рэнкина — Гюгонио на внешней границе — скачке и различные условия на поверхности обтекаемого тела: теплоизолированная стенка, теплоизолированная излучающая поверхность и т. д. Подобным же образом (с использованием переменной £) может быть исследована и задача течения реагирующей смеси газов. В случае вдува с поверхности, однако, новая поперечная переменная должна быть трансформирована, например, следующим образом: = (pv — pwvw)|(peve — pwvw)\ монотон-

ность этой функции £ (при выполнении естественных прежних предположений ди/дз>0, дха/дФ>0 и условия реие — рюУш<0) непосредственно следует из уравнения неразрывности после подстановки в него величины ри, определенной из вышеупомянутого соотношения, вводящего новую переменную £ для задачи со вдувом.

Смысл предлагаемого преобразования переменных (или, что то же, отличие новой переменной £ (5) от физической координаты п) в том, что при выполнении последнего неизвестная (в физическом пространстве) область интегрирования 0<я<яе, где пе — искомая величина, отображается в изначально известную область изменения новой поперечной переменной £, а именно 0<£<£е, где £е= 1; другими словами, для проблемы с неизвестной границей удалось указать в качестве новой поперечной независимой переменной связанную с потоком функцию £, которая изменяется уже в заданных пределах, и первоначальная (алгоритмически более сложная) задача со свободной границей переформулируется в (соответственно более простую) краевую задачу для фиксированной области независимых переменных, что дает существенные вычислительные преимущества перед традиционными подходами (это позволяет, например, эффективно использовать для решения рассматриваемой задачи алгоритмы расчета пограничного слоя без соответствующей их адаптации).

2. Рассмотрим теперь задачу о тонком вязком ударном слое (1) — (3) с условием абсолютно холодной стенки (7^ — 0), т. е. примем в соотношениях (2)

А« = 0, (13)

полагая при этом, что давление р является конечной величиной во всем поле течения, а зависимость вязкости от температуры задается степенной функцией

ц(Л)~йш (ю>0). (14)

Построим для этого случая преобразование переменных, раскрывающее в решении особенность, имеющую место на поверхности с нулевой абсолютной температурой.

Задаваясь некоторым степенным разложением искомых функций и, Н, ио вблизи л=0, можно установить, что условие конечности величин тф, тв и <7 на абсолютно холодной поверхности определяет характер поведения решения, т. е. функции и, ш, к около стенки пропорциональны величине я1/(“+1). Отметим, что для случая <о=1 структура

течения вблизи поверхности, имеющей нулевую абсолютную температуру, выявляется преобразованием переменных типа Дородницына,

Из уравнения неразрывности и уравнения состояния [см. (1)], нетрудно получить для величины £ [см. (5)] вблизи поверхности тела

дг2

оценку: -0(1), т. е.

Имея в виду использование для исследования течения на линии торможения тонкого вязкого ударного слоя около абсолютно холодной стенки (13) переменной вид'а £(5) и учитывая (15), сформируем новую, регуляризующую, поперечную переменную задачи £ следующим образом:

Вводя вместо переменной £ (5) новую независимую переменную | (16) и преобразуя зависимые переменные в соответствии с формулами [см. также (9)]:

С2~ л.

(15)

£ = С2/(“+1).

(16)

переформулируем задачу (10) —(12) применительно к случаю /1ю = 0 (абсолютно холодной стенки):

Соотношения (18) для и, и)Ф, И (граничные условия задачи на стенке) получены из уравнений импульса и энергии при £ = 0 из условия конечности величин трения и теплового потока на поверхности тела.

Таким образом, уравнения (17) с условиями (18), (19) описывают течение на критической линии в тонком вязком ударном слое с использованием переменной £ (16), раскрывающей математическую особенность, имеющую место в пространстве физических координат вблизи абсолютно холодной поверхности. Как и в случае общей задачи (10)—(12), рассмотренной в п. 1, для частной задачи (17)—(19) с к1О=0, сформулированной в п. 2, сохраняются преимущества используемой поперечной независимой переменной, исключающей из уравнений величину V и освобождающей исследуемую проблему от «лишнего» граничного условия.

Рассмотренная особенность, определяющая поведение параметров потока вблизи абсолютно холодной стенки (Тш=0), характерна не только для тонкого вязкого ударного слоя, а и для любой модели течения с вязкостью (например, для уравнений Навье — Стокса, пограничного слоя и др.), и, таким образом, регуляризующая переменная для задачи тонкого вязкого ударного слоя с абсолютно холодной поверхностью, типа может иметь более широкое приложение.

Отметим, кстати, что, как следует, например, из [5], режим вязкого обтекания с Гю = 0 представляет интерес ввиду отсутствия при этом условии (абсолютно холодной стенки) передачи возмущений вверх по потоку.

3. Приведенные ниже результаты численного решения задачи тонкого вязкого ударного слоя на линии торможения соответствуют режиму течения, описываемому следующими параметрами:

*=1,4; Рг = 0,7; » = 1; Ие=Ю0,

где Моо — число Маха набегающего потока.

Величина Оя = /?ф//?5, где Яф—радиусы кривизны поверхности в критической точке соответственно в продольном и окружном (азимутальном) направлениях, изменялась в пределах от £)л = 0,25 до /)д=100. Рассматривался ряд значений температурного вектора кю/Не в диапазоне от 0 до 0»5.

Численный расчет проводился с использованием конечно-разност-ного метода повышенной точности, предложенного в работе [6]. На рис. 1 и 2 представлены рассчитанные для критической точки зависимости величин теплового потока на стенке ^ = дюуКе и безразмерного отхода скачка пе в функции от величины О)?2 при различных (из указанного выше диапазона) значениях температурного фактора кт/Не как параметра. Как показывают результаты расчетов, с ростом Бц величина теплового потока на поверхности, убывая, довольно быстро приближается к асимптотическому значению, соответствующему плоскому случаю Лд1 =0, при убывании же температуры стенки (кю-^0) тепловой поток асимптотически стремится к своему максимальному значению для абсолютно холодной поверхности /гю = 0.

Таким образом, можно заключить, что в довольно большом диапазоне значений 1/2 <(Ля)^1/2 и Ню<(кт)0, ограниченном условными числами {Нш)0, течение вблизи пространственной точки тор-

можения в тонком вязком ударном слое с достаточной (с точки зрения теплообмена) точностью описывается предельными решениями, т. е. решением соответствующей плоской задачи (при О#12<(0^)о~1/2)

и решением задачи для абсолютно холодной поверхности (при hw<(hw)о). В рассмотренном случае значения (DJ?)^1/2 и (hw)0 равны (Dft)^112 = 1/6, (hw)o=0,05He при точности соответствия предельному решению порядка 1—2%.

На рис. 1 для сравнения нанесен результат, полученный по предложенной в [7] корреляционной формуле для пограничного слоя (штриховая кривая).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тир-ский Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса. —

Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкости и газа, 1985, т. 19.

2. С h е n g Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number. — IAS Paper, (N 63-92, 1963.

3. Анкудинов A. JI. Расчет вязкого гиперзвукового обтекания при умеренных числах Рейнольдса. — Труды ЦАГИ, 1968, вып. 1106.

4. Магомедов К. М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом, —Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 2.

5. Ней л а нд В. Я- Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа. — Успехи механики, 1981, т. 4, № 2.

6. Анкудинов А. Л. Об одной разностной схеме расчета вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2107.

7. Ермак Ю. Н. Расчет тепловых потоков на лобовой поверхности выпуклого тела при пространственном обтекании гиперзвуковым потоком газа. — Труды ЦАГИ, 1968, вып. 1105.

Рукопись поступила 14/VI1 1987 г.