О новой математической модели трехмерного тонкого вязкого ударного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XX

1989

№ 5

УДК 532.526.011.55

О НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХМЕРНОГО ТОНКОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ

Показано, что проблема описания течения в пространственном тонком вязком ударном слое, традиционно приводящая к задаче со свободной границей (см. [1]). с помощью специального вида преобразования переменных сводится к формулированию классической краевой задачи типа пограничного слоя в фиксированной области; при решении ее могут быть эффективно использованы алгоритмы, разработанные для численного интегрирования уравнений пограничного слоя. Приводятся примеры численного расчета.

Модель тонкого вязкого ударного слоя (см. например, [1, 2]), которой посвящена настоящая работа, является достаточно распространенным и эффективным средством исследования вязких гиперзвуковых течений. Ниже уравнения тонкого вязкого ударного слоя выписаны в криволинейной ортогональной системе координат типа обычно используемых в теории пограничного слоя:

А. Л. Анкудинов

1 др____________________1_______ди

с)« Ие дп ^ дп ’

0)

(2)

_1_ др , 1 д дт

Л3 дФ Ие дп ^ дп ’

(3)

ри дН , дН . рда дН

тг -аГ + Р*Ж- + -АГ' "дФ =

дв ' дп дФ

(4)

(5)

Эта система должна быть дополнена уравнением состояния газа и соотношением для коэффициента вязкости ц, в качестве которых для демонстрационных расчетов, представляемых в работе, было принято:

Здесь 5, Ф — криволинейные ортогональные координаты, выбираемые вдоль поверхности тела, где я — расстояние, отсчитываемое от критической точки вдоль поверхности в плоскости симметрии (исследуется течение с плоскостью симметрии), Ф — азимутальный угол, отсчитываемый от плоскости симметрии; п — координата, отсчитываемая от поверхности тела по нормали к ней; и, V, ш — компоненты скорости соответственно в направлениях 5, п, Ф; р, р, Н, Н — соответственно плотность, давление, энтальпия, полная энтальпия; й3 — соответственно коэффициенты Ламе для направлений 5 и Ф; Ие и Рг — числа Рейнольдса и Прандтля; к— отношение удельных теплоемкостей. Обезразмеривание величин в уравнениях (1)—(7) проведено следующим образом (величины со звездочкой здесь и далее считаются раз-

щего потока, радиус кривизны носка тела в плоскости симметрии, коэффициент вязкости при температуре торможения; индекс „оо“ здесь и далее относится к величинам в набегающем невозмущенном потоке.

Граничные условия задачи на ударной волне п = пе{5, Ф) имеют вид (модифицированные соотношения Рэнкина — Гюгонио):

т. е. рассмотрим (для определенности) условия прилипания и непро-текания на стенке с заданной температурой; здесь и далее индекс «ш» относится к' величинам на поверхности тела. Характерной чертой, отличающей исследуемую проблему от близкой по форме задачи пограничного слоя, является наличие неизвестной внешней границы течения в тонком слое (величины отхода скачка п = пе(з, Ф)) и непосредственно связанного с неизвестной границей так называемого «лишнего»

(6)

{А = А/Яос .

(7)

где lC, pL, Ro, ую — соответственно скорость и плотность набегаю-

(8)

(9)

(10) (И)

(12)

Граничные условия на поверхности тела примем в виде: и = 0; г» = 0; а; = 0; Н На,

(13)

граничного условия задачи. Существование «лишнего» условия (таковым здесь является условие (12) из набора (8) — (13) граничных условий системы (1) — (7)) и его форма (явная зависимость от продольной и азимутальной производных искомой величины отхода скачка пе) являются факторами, серьезно осложняющими эффективное решение рассматриваемой задачи, что подтверждается практикой расчетов тонкого слоя и свидетельством чего является то, что работы, использующие традиционную математическую модель тонкого вязкого ударного слоя и корректно учитывающие «лишнее» условие (12), ограничиваются исследованием относительно небольшой по продольной координате окрестности носка (см., напр., обзор [1]), в частности, для пространственной задачи — областью до одного калибра. Одним из путей преодоления указанных трудностей представляется поиск более оптимальных переменных задачи, учитывающих ее специфику.

Предлагаемые ниже новые независимые переменные, связанные с полем потока и отображающие неизвестную область течения в известную, позволяют изначальную краевую задачу со свободной границей (1) — (13), описывающую рассматриваемую проблему пространственного тонкого вязкого ударного слоя, трактовать как классическую краевую задачу в фиксированной области.

Общепринятым образом введем две функции тока ^ и ф в соответствии с равенствами:

Рассмотрим положительную функцию определяемую следующим соотношением:

где величина / задается равенством:

r(s, Ф)—безразмерное расстояние от поверхности тела до прямой, проходящей через геометрическую критическую точку в направлении невозмущенного потока; здесь и далее индекс «е» относится к величинам на внешней границе тонкого ударного слоя, т. е. Ie=I(s, Ф, пе) — см. (16) ne=ne(s, Ф)—отход скачка; величина (^/2 — 1е) — ^е положительна ,[см. ниже (17)].

Дифференцируя по Ф соотношение баланса массы для контрольного объема, заключенного между поверхностями Ф = 0, Ф = Ф>0, s = const, n = ne(s, Ф), получим:

где б — пренебрегаемая в приближении тонкого слоя малая величина порядка безразмерной толщины ударного слоя (в дальнейшем величина 1е, определяемая равенством (17), предполагается взятой с отброшенным членом —0(6)).

Принимая <1>|п=о = 0, непосредственно из (15) имеем:

(15)

C=i+0(b),

(17)

С|п=о = 0.

(18)

Далее, дифференцируя (15) и учитывая (14), заключаем:

при всех 0 <жле.

Из (17) — (19) следует, что величина £, определяемая равенствами

(14) — (16), является монотонно возрастающей в поперечном направлении (в направлении п) функцией, изменяющейся в конечных пределах 0<£<1. Приведенные соображения позволяют принять функцию I в качестве новой поперечной независимой переменной задачи (смысл введения такого преобразования будет прояснен ниже).

Перейдем теперь к новым независимым переменным, полагая продольную (5) и окружную (Ф) переменные неизменными, а новую поперечную переменную ^(я, Ф, п) заданной в соответствии с равенствами (14)—{16). Формулы перехода к новым переменным включают производные по старым координатам 5, Ф, п от новой поперечной независимой переменной £, т. е. величйны дудп, д^/дэ, дЦдФ. Получим выражение для функции дудп и уравнения для вычисления величин д^/дв и д1,1дФ, которые необходимы для преобразования системы уравнений и граничных условий задачи (1) — (13), кроме того нам потребуются уравнения для определения величины I, введенной в (16), и величины ф, введенной в (14). Выражение для д^дп получим, непосредственно дифференцируя правую и левую части равенства (15) и используя (14):

Дифференцирование соотношения (15) в старых переменных по 5 с учетом (14) дает выражение для величины д^/дэ:

Беря производную от правой и левой частей равенства (21) по переменной п, используя затем соотношение (14) (для исключения величины дк^кз^/дп) и переходя к новым переменным, получаем уравнение для величины д^/дз:

Дифференцируя равенство (15) по Ф и п, учитывая (14) и переходя затем к новым переменным, получим уравнение для величины дудф следующего вида:

Уравнения (22), (23) для функций д^/дф, д^/дз рассматриваются с нулевым условием на поверхности тела (при £ = 0):

(20)

2

4-2С — —

дп Я.С

ас з_

дп дз

дк3 ри . дк3 ри дя ' дп

(22)

, су гдС д [ г2 г\ дН3 ри , <?£ дИ9 ри + 1‘) Эф - + дп ’

(23)

(24)

Уравнения для функций / и ср получим непосредственно из соотношений (16) и (14) (в (14) имеется в виду последнее равенство), которые вводят эти зависимые переменные, переходя в указанных формулах к новым координатам. После упомянутых процедур уравнения для величин I и ф примут соответственно вид:

и будут рассматриваться с нулевыми условиями для функций / и ф на стенке (при £ = 0):

В основных уравнениях пространственного тонкого вязкого ударного слоя (1) — (5) переход к новым независимым переменным s, Ф, £ должен сопровождаться исключением величины и при посредстве соотношения (21). Имея в виду исследовать обтекание затупленных тел, введем, кроме того, новые зависимые переменные вида:

и = и/г, да = да/гФ0; Р = (Р-Ро)1г2; ?=ср/г; 7= //г2, (28)

где Ро — /?Ls=o = const; A3 = /z8/r, а Ф0(Ф)~Ф вблизи Ф = 0, и выпишем окончательный вид системы уравнений тонкого вязкого ударного слоя в новых переменных (зависимых (28) и независимых {s, Ф, С)), где £ задается соотношениями (14) —(16):

д[ д1(К __ ds dids ^ ’

(25)

dtf dC ________________dhi pw , dh\ pw <?C

dl дп 6Ф ‘ dr, dn

(26)

/ = 0; <p=0.

(27)

ф2 pw2 дИз______________ — 1 dri p

ds ~ hi r ds

di dp pu2 dh-i

dn h, dn

(29)

pu2 dhi P®* dh3 q#

Л] dn h3 dn

(30)

+ h3 d<S> Ф°Лз d<l> +

pw di>0w pw dw dt

, paw dh3 p u2 dhx 1 ___________ — 1 dp

Aj A3 ~ds ~ A, А, дФ % ~~ г2 Ф0Л3 (ЭФ

(31)

p и r dH A. ds

_L ($ +

hi h3\ r ds I dl dn

dH di . pwdH ,

-----------1- Фп :=--------“Г

d: dn ' A3 d<b

pw (Ш h3 di d®

_______

Re dn di

дв дг + 2 д«1 + Г дя

Граничные условия задачи на внешней границе (при £ = £,>= 1) примут вид:

Преобразованная система уравнений и граничных условий (29)— (36), (37) — (41) составлена из записанных в новых переменных уравнений (1) — (5) (кроме уравнения неразрывности (5)) и граничных условий (8) — (13) (кроме «лишнего» граничного условия (12) и условия для V в (13)); сюда добавлены также замыкающие систему уравнения (22), (23), (25), (26) и граничные условия (24), (27) (при решении задачи, разумеется, должны быть учтены и уравнения (6), (7)). Переход к новым зависимым переменным (28) раскрывает имеющую место неопределенность первоначальной (исходной) задачи (1) — (7), (8) — (13) в плоскости симметрии поля течения; при 5 = 0 (в критической точке) полученная в результате преобразования система уравнений вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Замкнутая система уравнений (29) — (36), (6), (7) и граничных условий (37) — (41) задачи позволяет вычислить все искомые функции, подлежащие определению в изначальной проблеме (1)—(13), сформулированной в физических переменных, кроме величин V и пе.

(37)

Р =

—..............-• »

(38)

(39)

(40)

Условия на поверхности (при £ = 0) запишем:

Здесь (в соотношениях (29) — (41)):

дС __и -г __________ 1

дп 2феР С ’ 2 1е'

Последние можно найти по завершении основной процедуры решения, пользуясь равенствами (20) и (21).

Ниже приводятся некоторые примеры численного решения задачи пространственного тонкого вязкого ударного слоя. Расчеты проводились в рамках изложенной выше постановки для гиперболоида вращения, обтекаемого под углом атаки, и эллиптического гиперболоида без угла атаки при следующих параметрах течения: Моо=10, х=1,4; Ке= 100; Рг = 0,7; энтальпии стенки йв = 0,5//<Х1. Рассматривались гиперболоид вращения с асимптотическим углом полураствора 31° (отношение полуосей равно 1,6643) при угле атаки 7,5° и эллиптический гиперболоид с таким же отношением полуосей в вертикальной плоскости и отношением полуосей эллипса поперечного сечения, равным 1,5. Величина , входящая в число Ие, — радиус носка гиперболоида вращения, в случае эллиптического гиперболоида /$> — меньший из радиусов кривизны носка. Отсчет азимутального угла Ф в решении идет от наветренной полуплоскости симметрии в случае гиберболоида вращения и от плоскости, содержащей меньший радиус кривизны нос-йа, в случае эллиптического гиперболоида.

При расчетах использовался метод четвертого порядка точности по поперечной координате, предложенный для задач типа пограничного слоя в {3]. Результаты расчетов (распределения некоторых величин по поверхности гиперболоида) представлены на рис. 1—5, где рис. 1—4 относятся к гиперболоиду вращения, а рис. 5 — к эллиптическому гиперболоиду.

На рисунках обозначено:

где £*г—коэффициент теплопроводности, Т* — температура; х — безразмерное (отнесенное к Я5) расстояние, отсчитываемое вдоль прямой, проходящей через критическую точку в направлении набегающего потока.

Как показывают полученные результаты, в некоторой области около носка обтекаемого под углом атаки гиперболоида вращения тепловой поток нарастает при возрастании азимутального угла Ф (см. рис. 3), при этом на небольшом участке поверхности тепловой поток к телу превосходит величину теплового потока в критической точке; можно отметить (см. рис. 2) также у подветренной стороны поверхности вблизи носка наличие области возвратного течения по азимутальной координате (области, где ^><0). Результаты для эллиптического гиперболоида свидетельствуют о заметном нарастании величины теплового потока при увеличении азимутального угла (в сечении х=1,25, например, тепловой поток при Ф = я/2 более чем в два раза превосходит его значение при Ф = 0).

В заключение укажем на основные конкретные преимущества предлагаемой математической модели течения в тонком вязком ударном слое (в сравнении с традиционным подходом), состоящие: 1) в простоте использования для ее численной реализации эффективных средств вычислительного обеспечения задач теории пограничного слоя; 2) в ее высоких стабилизирующих свойствах при маршевом расчете. Дадим некоторый комментарий.

По первому пункту: исследуемая исходная задача со свободной границей сводится здесь по существу к задаче классического погра-

12)

УШ!

о

--------1________I-------1-------1--------1-------1--- T-j p.

0 0,2 0,4 0,8 0,8 1,0 1,2 x Рис- 5

ничного слоя (и даже в некотором смысле более простой, чем последняя, так как поперечная область интегрирования в новых переменных конечна и фиксирована) и формализуется для численного расчета по стандартам эффективного вычислительного аппарата, разработанного для задач типа пограничного слоя (см. [3]), без какой-либо (в общем случае нетривиальной) адаптации этих средств, необходимой при традиционном подходе и вызванной наличием нетипичного для теории пограничного слоя дополнительного («лишнего») граничного условия (12); таким образом, существенно упрощается этап программирования расчетов.

По второму пункту: используемая математическая модель позволяет нейтрализовать главный дестабилизирующий (при традиционном подходе) фактор маршевого расчета, а именно, избежать необходимости удовлетворять порождающему маршевую неустойчивость «лишнему» условию (12) (имеющему вид дифференциальной — по s и Ф -связи между‘функциями решения), которое заменяется некой эквивалентной ему интегральной связью, выполняющейся уже автоматически в силу системы уравнений, рассчитываемой по стандартному (см. выше) алгоритму; указанные обстоятельства, упрощая (ускоряя) расчет в традиционно обсчитываемых носовых областях, дают возможность существенно увеличить протяженность (в маршевом направлении) области, доступной для расчета в рамках физической модели тонкого вязкого ударного слоя, тем самым увеличивая эффективность самой этой модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзву-

ковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса. — Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкоЛи и газа, т. 19, 1985.

2. С h е n g Н! К. The blunt body problem in hypersonic flow at low

Reynolds number. — IAS Paper, N 63—92, 1963.

3. Анкудинов А. Л. Об одной разностной схеме расчета вязкого

ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2107.

Рукопись поступила 29/VI 1988 г..