Гиперзвуковое обтекание острого конуса с массообменом на поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 1993 №3

УДК 533.6.011.8

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ОСТРОГО КОНУСА С МАССООБМЕНОМ НА ПОВЕРХНОСТИ

А. Л. Анкудинов

Рассматривается течение вязкого совершенного газа в гиперзвуковом тонком ударном слое около кругового острого конуса при наличии массооб-мена через его поверхность в предположении равномерно распределенной вдоль поверхности интенсивности массообмена, постоянной температуры стенки и линейного закона вязкости. В постановке задачи используются переменные, существенно упрощающие ее математическую формулировку и облегчающие ее численную реализацию. Формулируются параметры подобия задачи. Приводятся некоторые результаты численного расчета.

Вдув или отсос газа через поверхность является одним из эффективных средств управления вязким течением вблизи тела при обтекании его гиперзвуковым потоком. Достаточно распространенным и признанным аппаратом исследования таких течений является модель тонкого вязкого ударного слоя (см., например, [1 — 3]), причем сфера приложения этой модели ограничивается по преимуществу затупленными телами. Общие принципы математической постановки задачи со вдувом через проницаемую стенку для тел с острым носком были намечены в работе [7]. Ниже проблема тонкого вязкого ударного слоя для заостренных тел с массообменом на их поверхности рассматривается применительно к простейшей аэродинамической форме — круговому острому конусу и идеализированной модели газа (совершенный газ, линейный закон вязкости и др.), позволяющим выявить основные параметры, характеризующие массообмен у стенки в тонком вязком ударном слое около хорошо изученного в аэродинамике класса конических тел.

Как и для случая аэродинамических форм с притуплением, существенные преимущества в постановке задачи тонкого вязкого ударного слоя около заостренных тел дают связанные с потоком переменные (типа переменных Мизеса и их модификаций, см. [4, 5]), которые позволяют исключить из прямого анализа дополнительное граничное условие, характерное для проблемы [1].

Очевидные трудности прямого использования переменных указанного класса для задач тонкого вязкого ударного слоя с массообменом

на поверхности (что вызвано особенностями формулирования для такого рода задач паевого условия на стенке) преодолеваются соответствующим преобразованием первоначальной (т. е. введенной при отсутствии вдува — отсоса) поперечной независимой переменной, которое будет сделано ниже.

Относительно проблемы тонкого вязкого ударного слоя для тел с острым носком отметим, что в окрестности носка заостренного тела имеет место существенная особенность, вызванная прежде всего принимаемым в теории предположением о присоединенное™ скачка к острому носку. Она отличается от особенности около затупленного носка и требует специфических средств для ее раскрытия. Ниже вводятся новые зависимые и независимые переменные задачи тонкого вязкого ударного слоя, которые позволяют исследовать проблему массообмена для тел с острым носком. Эти переменные, во-первых, реализуют упомянутые выше преимущества в постановке задачи мизесовской формы уравнений тонкого вязкого ударного слоя применительно к условиям массообмена через поверхность и, во-вторых, позволяют для данного круга задач преодолеть указанные трудности.

Используя математическую модель тонкого вязкого ударного слоя, выпишем в переменных Мизеса соответствующие этой модели уравнения и граничные условия применительно к течению около острого конуса. Для простоты полагаем на этом этапе отсутствие массообмена на поверхности ((ри)„ = 0).

Система уравнений имеет вид

ди

ах

1 т а —г2 — Re аут

ди

при— а у/

ан _ \_г2

а

ах

а I ц

—\—Ри Re а ч> I Рг а уг

Н + (Pr-1)-

(1)

Граничные условия на поверхности тела при у/= y/w(x) = 0:

и = 0; Н = Hw = const. (2)

Граничные условия на внешней границе ударного слоя при у/= у/е (х):

р = sin2 Д и = cos р - г

При ди Resinр

(3)

н = н

при____ а

RePrsin^ aw

Я + ( Рг-1)^

Здесь принято: х = х* / Ь* — продольная независимая переменная, представляющая собой отнесенное расстояние, отсчитываемое от носка

острого конуса вдощ> его образующей; W= V* /К*1 А, — поперечная независимая переменная, представляющая собой безразмерную функцию тока течения, вводимую соотношениями

dvr dw ,Л\

---= -rpv; -----= три, (4)

дх дц

ще у = у* /ь*—отнесенное расстояние по нормали к поверхности, отсчитываемое от стенки; и =u*/ll*, и = и Ju* —соответственно безразмерные продольная (в направлении х) и поперечная (в направлении у) скорости течения; р-Р*/р*^ — плотность; Я = Я’/tf*2 — полная энтальпия (Я = h +u2/l); h = h*/U *2 — энтальпия; T -T* / (U*2 / с* ) — температура; р = р* / p^t/*2 — давление; г = г* / L* — расстояние от оси конуса до его поверхности; к—отношение удельных теплоемкостей; р = р* / — коэффициент вязкости; Re = £Г LVC, / Pq — число Рейнольдса;

Pr = р*с*р / к* — число Прандтля; с* — удельная теплоемкость при постоянном давлении; к* — коэффициент теплопроводности; J} — угол полу-раствора конуса; —соответственно характерный линей-

ный размер, скорость набегающего потока, плотность в невозмущенном потоке, коэффициент вязкости при температуре торможения. Звездочкой помечены размерные величины, величины без звездочек— соответственно безразмерные; индексы ш,е,оо относятся соответственно к величинам на стенке, на внешней границе ударного слоя и в невозмущенном потоке. Величина Vw (см. условие (2), заданное при у/= у/ш) определяется в соответствии с (4) равенством

X

¥w = “J(pv)wrdx ) (5)

О

и, таким образом, при отсутствии массообмена через поверхность, т. е. при ipu)w = 0 величина y/w = 0; (pv)w > 0, а отсюда y/w < 0, соответствует вдуву через поверхность; (pv)w < 0, отсюда y/w > 0, соответствует отсосу. Величина у/е (см. (3)) согласно теории тонкого вязкого ударного слоя [4] определяется равенством

¥е = г2 / 2 • (6)

Последующее преобразование поперечной независимой переменной у/ задачи (1) — (3), выполненное в соответствии с равенством

v=v/ve> (?)

приводит область интегрирования системы (1) — (3) к полуполосе {л: > 0; 0 < ц/ < l}, что упрощает формулирование внешнего граничного условия задачи (у/е = const = 1). Но, что более важно, введение переменной у/ позволяет преодолеть особенность конфигурации области изменения исходных независимых переменных х, у в носке, т. е. при х=0, где имеет место поперечное схлопывание этой области— соединение внутренней (у/= у/ш) и внешней (ц/ = у/е) ее границы.

Далее, дополняя условия течения в тонком вязком ударном слое эффектом массообмена через поверхность, т. е. полагая в (1) — (3) величину (pv)w * 0, получим для функции y/w в соответствии с (5) и с учетом (po)w = const

Таким образом, граничное условие на стенке (2), рассматриваемое в первоначальной задаче (1) — (3) с (рг>)ш = 0 при значении ц/ = у/ш = 0, в случае учета массообмена через поверхность, т. е. при (ри)ш *■ 0, должно быть приписано величине ц/ = ц/ю{х), задаваемой равенством (8). Чтобы для задачи с массообменом на стенке получить такие же преимущества в представлении граничных условий и раскрытии упомянутой особенности в носке по поперечной координате, как и в переменных х, у/, вводится переменная

Учитывая далее характер поведения искомых функций вблизи носка х = 0, а именно пропорциональность их вблизи х = 0 величине х1/2 (этот результат может быть получен для задачи тонкого вязкого ударного слоя при наличии массообмена на стенке такими же, например, средствами, как это сделано в работе [5], при отсутствии массообмена), для преодоления особенности около носка удобно ввести новые зависимые переменные следующего вида:

й = (и / cos/?)2 / 2£2; Й = [(Я - Hw) / (Я, - Я„)]2 / 2£2, (10)

о

С= (v'4'w)/(X- Vw)-

(9)

где величина £ задается соотношением

(11)

Принимая функцию £ в (11) в качестве новой продольной независимой переменной задачи, а величину £ в (9) в качестве новой по-

перечной независимой переменной и переходя в соотношениях (1) — (3) при * 0 к новым независимым переменным £, £ и зависимым

переменным й. Н, полагая при этом еще ц-Т, получим формулировку задачи в новых переменных.

Уравнения имеют вид

д'?Н

<г+

= 4

<Г+

- дй_ 8(2й)1/2 дЧ

(1 - Г») ’

К (1-Г»)

д [ (2й)1/2 *1

Рг

(12)

(13)

Граничные условия на стенке при 0:

й = 0; (14)

Н = 0. (15)

Граничные условия на внешней границе при <^= 1:

4(2й)Ш =1-2 —; (16)

^(2Я)1/2 =1- —(25)1/2

Рг

(2Я)-1/2 + (Рг- 1) С052у? . (17)

(Нп - Ню)

Уравнения импульса (12) и граничные условия (14), (15) в рассматриваемом случае, как можно видеть, являются независимыми от решения уравнения энергии (13); таким образом, уравнение (12) может рассматриваться самостоятельно, вне связи с уравнением энергии (13). Обратимся к выделенной из общей системы (12) — (17) автономной замкнутой задаче (12), (14), (16). Единственным параметром подобия, характеризующим ее, является величина ц/ю = ~(ри)ш / вт/?. Зависимость решения этой задачи от ряда других параметров (таких, например, как 11е, £=(*{ -1) / 2эс и др.), входящих в уравнения и граничные условия тонкого вязкого ударного слоя в общем случае, реализуется в (12), (14), (16) через переменную £, в структуру которой входят величины Ке,е,Лж,со5Д,(1 - у/у,). В выражении для \ частично в виде множителя (1- у/ш) учитывается эффект массообмена на стенке; в основном параметр массообмена у/10 учитывается в уравнении (12).

Величина cos/З в структуре переменной \ также частично учитывает влияние угла полураствора конуса. Таким образом, влияние интенсивности массообмена (pv)w и угла полураствора конуса р в рамках

задачи (12), (14), (16) поделено между параметром y/w и переменной влияние же всех остальных параметров обтекания реализуется лишь через переменную £ (отметим, что зависимость решения задачи (12), (14), (16) от

параметров Рг,HW, имеющая место в общем случае тонкого вязкого ударного слоя, нейтрализована здесь предположением о линейном законе вязкости). При Рг = 1 величины y/w и £ являются критериями подобия и для полной задачи (12) — (17). При Рг * 1 к этим критериям добавляются еще число Рг и параметр В = (Рг- l)cos2р/ Рг(Я00 - Hw), влияющие на ту часть решения, которая определяется уравнением энергии (13).

Регуляризованная задача (12) — (17), записанная с использованием переменных (9) — (11), может быть решена по единому численному алгоритму во всей области изменения независимых переменных

£, £{0 £ \ <> £тах; 0 £ £<, 1} вплоть до самого носка £ = о (левого края расчетной области по £), где уравнения в частных производных системы вырождаются в обыкновенные уравнения, рассматриваемые на интервале 0 £ £<, 1.

Сформулированная выше задача (12) — (17) была численно проинтегрирована с использованием метода [6] в предположении, что число Рг = 1; в этом случае уравнение энергии (13) системы полностью идентифицируется с продольным уравнением импульса (12) (то же относит-

cF

Зависимость обобщенного коэффициента поверхностного трения И теплового потока Ср от продольной переменной подобия £ для ряда значений параметра вдува

ся и к соответствующим краевым условиям уравнений) и, таким образом, й я Н. На рисунке сплошной линией представлено полученное в этом расчете распределение (по переменной £) обобщенных коэффициентов поверхностного трения и теплового потока cF = сн (1 - v'U))/siny9=Cy(l- y/w) / sin 2/3 для ряда значений величины

Wm в диапазоне -0,5 — 0,5 Сздесь сн =[к*{сТ* / dy*)]w /р*г/*(Я* -Я*);

i штрихпунктирная кривая — приближение по-

с, =

[м£\

(Л 2

граничного слоя для случая = 0. Следует отметить относительно слабое влияние параметра у/ю (в рассматриваемом диапазоне его изменения) на зависимость ср (£ у/ш) в области малых значений £. Таким образом, в определенном интервале изменения величин £ и зависимость ср(4; 0) может быть использована с достаточной точностью как универсальная и при * 0.

ЛИТЕРАТУРА

1.Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса//Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкости и газа. —1985. Т. 19.

2.Провоторов В. П., Степанов Э. А. Численное исследование вязкого ударного слоя в окрестности критической точки при наличии вдува// Ученые записки ЦАГИ. —1985. Т. 16, № 4.

3. Провоторов В. П., Степанов Э. А. Численное исследование тепло- и массообмена в окрестности критической точки при наличии вдува// Труды ЦАГИ. — 1987. Вып. 2340.

4. Cheng Н. К. The blunt body problem in hypeisonic flow at low Reynolds numbeis//IAS Paper, N 63 — 92.

5. Анкудинов А. Л. Об одном преобразовании уравнений вязкого ударного слоя//Труды ЦАГИ. — 1971. Вып. 1315.

6.Анкудинов А. Л. Об одной разностной схеме расчета вязкого ударного слоя//Труды ЦАГИ. —1981. Вып. 2107.

7. Анкудинов А. Л. Численное решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя//Труды ЦАГИ. — 1977. Вып. 1845.

Рукопись поступила 15/VIII1991 г.