CC BY
37
__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
Том XXVII : 1996 “
■■мшшмиияннмш *
№3-4
УДК 533.6.011.8
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ОКРЕСТНОСТИ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА
В. Н. Гусев, И. В. Егоров, В. П. Провоторов
На основании численных данных по неравновесному теплообмену в окрестности плоскости симметрии эллиптического гиперболоида с произвольной каталитической активностью поверхности, полученных с помощью модели тонкого вязкого ударного слоя, .формулируется условие осесимметричной аналогии по моделированию теплопередачи в таких течениях.
Осуществить полное моделирование пшерзвукового полета летательного аппарата в аэродинамических трубах в настоящее время н£ представляется возможным. Прежде всего это связано с сильным влиянием реальных свойств газа на структуру течения вблизи обтекаемого тела. За исключением нескольких особых случаев, например при бинарном подобии, моделирование таких течений возможно лишь для одинаковых смесей при тождественном совпадении условий обтекания. В этом случае для определения тепловых нагрузок, действующих на гиперзвуковой летательный аппарат, широкое развитие получило численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа с учетом неравновесных физикохимических Процессов в газовой фазе и при взаимодействии высокоэнтальпийного потока с каталитически активной поверхностью тела (см., например, обзор [1]).
1. Общепринятой моделью при исследовании таких течений являются релаксационные уравнения Навье — Стокса. Основные трудности при численном моделировании пространственных течений на основе полных уравнений Навье — Стокса связаны с большими затратами машинного времени и памятью ЭВМ. Поэтому наряду с полными значительно шире используются упрощенные уравнения Навье — Стокса. К ним относятся уравнения пограничного слоя, тонкого и полностью вязкого ударного слоя, используются и другие приемы параболизации полной системы уравнений. Используя
^полученную с помощью этих уравнений информацию, всегда можно оценить степень влияния отдельных критериев подобия на искомые переменные, выбрать из них основные и в зависимости от последних определить вид искомых зависимостей. В некоторых случаях эти зависимости доводились до однопараметрических.
Такой подход неоднократно использовался при численном моделировании теплообмена в окрестности критической точки тела (см., например, [2]). Как было показано в этой работе, на больших высотах полета, когда влияние реальных свойств воздуха относительно мало, на режимах гиперзвуковой стабилизации (число М*,» 1) влияние отдельных критериев подобия на аэродинамические и тепловые характеристики затупленных кромок и носовой части летательного аппарата становится несущественным, если исходная система
критериев подобия включает в себя число Рейнольдса Reo = р<JJXL /
ц (Го), в котором коэффициент вязкости ц вычисляется по температуре торможения 7о замороженного состава газа. Выбор этой системы оказывается также оправданным и при моделировании неравновесных течений, так как при IL = const из условия Re„ = const следует выполнение закона бинарного подобия р<*Х = const.
Справедливость последнего положения иллюстрируется на рис. 1 зависимостями концентрации электронов пе вдоль нулевой линии тока
г = r/R осесимметричного затупления. Расчеты были проведены
при ию= 7,8 км/с, pjl — 5,35 • 10' кг/м и двух значениях радиуса затупления R для идеально каталитической (1 — Л = 1 м; 2 - R =
— 0,005 м) и идеально некаталитической поверхностей (3 — R = 1м; 4 — R = 0,005 м). Распределение концентраций электронов пе в этих двух случаях достаточно хорошо коррелируется.
При нарушении условия Um = = const в систему критериев подобия должен быть включен релаксационный параметр X = t/x, где t — характерное газодинамическое время, т — характерное время релаксации. Однако и в этом случае использование критерия Reo позволяет сократить исходную систему критериев подобия путем введения корреляционного параметра Reo [Я.2/(1 + Я,2)] [3]. Корректность такого моделирования подтверждена в этой работе результатами сравнения измерений электронной концен-Рис. 1. Распределение концентраций трации в окрестности критической
электронов вдоль нулевой линии тока точки гиперзвукового летательного
осесимметричного затупления в случаях япттяпятя лКпп» и ячпплиняллторр
идеально каталитической (маркеры 1 и аппарата ъор в аэродинамичес
2) и некаталитической (маркеры 3 к 4) кои Трубе И В летНОМ ЭКСПерИ-
поверхностей Менте.
2. Очевидно, что целесообразность применения различных корреляционных параметров в задачах моделирования будет оправдана при исчезающем влиянии на конечные результаты входящих в эти комбинации отдельных критериев подобия. При этом для систематизации научной информации полезно использовать известные предельные асимптотические значения искомых функций. В качестве примера можно указать на предложенную в работе [41 формулу для расчета теплообмена в окрестности пространственной критической точки на идеально каталитической поверхности в разреженном гиперзвуковом потоке. Она построена в виде зависимости (Ыео)1/2 от числа Яео, где — число Стантона, и включает в себя предельные значения свободномолекулярного и сплошносредного режимов обтекания. Особенно важным такой подход становится при моделировании теплообмена на пространственных телах. Прежде всего это связано с тем, что в настоящее время в задачах моделирования очень часто, особенно при пересчете результатов лабораторного эксперимента на натурные условия, используется условие универсальности зависимости
где — значение числа Стантона в критической точке. Но если в окрестности последней на расстояниях 5/Л = 0(1) это положение неоднократно подтверждалось, то на больших расстояниях оно оказывается не всегда справедливым. Например, при малых числах Лео, когда в окрестности критической точки необходимо учитывать эффекты разреженности среды, на больших расстояниях ^/К )) 1 универсальной становится зависимость Б^Лео)1/2, следующая из теории пограничного слоя [2].
Наряду с прямым моделированием, когда исследуемые тела подобны, применяются и приближенные методы определения тепловых потоков в пространственных задачах обтекания с помощью двумерных и одномерных решений. К ним можно отнести различные локальные аналогии, когда тепловой поток к поверхности тела пространственной конфигурации определяется по соответствующему значению, локального теплового потока к осесимметричому или плоскому телу (см., например, [5]). Применяются также и глобальные аналогии, когда, например, распределение теплового потока вдоль линии растекания моделируется соответствующим распределением вдоль образующей эквивалентного тела вращения; С помощью этой аналогии, в частности, было определено распределение тепловых потоков вдоль осевой линии нижней поверхности аппарата «Спейс Шаттла» [6]. Расчеты были проведены для эквивалентного гипер-боловда вращения. Однако последующие сравнения этих данных с результатами точных расчетов показали, что непосредственное использование осесимметричного решения для определения параметров потока на линии растекания пространственного тела приводит к значительным ошибкам. Необходимо сформулировать соответствующие правила отбора эквивалентного тела вращения.
3. Ниже эти условия формулируются на основании численного моделирования неравновесного теплообмена в окрестности плоскости симметрии на затупленных пространственных телах. Расчеты были
проведены в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя, верификация которой проводилась многократно (см., например, [7]).
В качестве модели затупленного тела был выбран эллиптический гиперболоид с главными радиусами кривизны в критической точке и 1?2 и асимптотическим углом ф = 50°. Расчеты охватывают широкий диапазон параметра | который характеризует расстояние от
критической точки | = 0, где Гу/ — расстояние от оси до поверхности тела. ,
Численные расчеты системы уравнений неравновесно-дис-социирующего тонкого вязкого ударного слоя были проведены конечно-разностным методом [8]. При этом на поверхности тела ставились условия прилипания, а температура и тепловой поток связаны условием
где е — степень черноты поверхности, о — постоянная Стефана-Больцмана, Ту, — температура поверхности тела, Т„ — температура набегающего потока. На внешней границе ударного слоя ставились обобщенные условия Ренкина — Гюгонио [1].
В качестве модели неравновесного воздуха бралась пятикомпонентная смесь С>2, N2, N0, О, К, в которой протекают 18 реакций (см., например, [9]). Предполагалось, что вращательные и колебательные степени свободы находятся в равновесии с поступательными степенями свободы. Константы равновесия и обратных реакций были заимствованы из работ [9, 10].
Расчеты были проведены при следующих значениях характерных параметров:
а) число Лео = ро0С/00Л./цо = 770 соответствовало наиболее теплонапряженной точке траектории летательного аппарата с характерным радиусом затупления в критической точке И, — 0,38 м (в пространственном случае радиус Я* полагался равным 2?,, в осесимметричном — соответствовал эквивалентному радиусу кривизны Иск = 2/?1 ^2/(^1 +
б) к - Я\/Я2= 0,073; 0,219; 0,658 и 1, при этом соответственно ^1= 0,204; 0,232; 0,315 и 0,38;
в) были рассмотрены случаи абсолютно каталитической (Кцо =
— оо), идеально некаталитической (К„о = ~ 0) поверхностей, а также два случая с Кцо = 1 м/с и 3 м/с.
Во всех расчетах полагалось, что е = 0,75; 11„= 6,02 км/с.
На рис. 2 представлены результаты расчетов относительной теплопередачи Зг/в^ в зависимости от параметра Кривые 1 ж 2 соответствуют значению к = 0,073 , а 3 и 4 — к = 1; зависимости 1 и 3 относятся к абсолютно каталитической, а 2 и 4 к идеально некаталитической поверхностям.
Приведенные данные показывают, что на величину теплового потока на линии растекания пространственного тела сильное влияние оказывают как поперечная кривизна поверхности тела, так и степень
+ *2»;
Рис. 2. Распределение относительной теплопередачи в зависимости от параметра £ (кривые 1 и 2 соогаетгсгвуют к = Л1/Л2 = 0,073, а 3 к 4 — к = I; 1 н 3 относятся к абсолютно каталитической, а 2 и 4 к идеально некаталитической поверхностям)
каталитичности этой поверхности. В связи с этим непосредственное использование при моделировании условия
универсальности зависимости на больших расстояниях от критической точки приводит к значительным ошибкам.
Например, в рассмотренном выше случае при фиксированной степени каталитичности поверхности только за счет отличия в значениях к различие в величине теплового потока достигает 50%.
4. Ниже на основании параметрических расчетов
определяются условия, при которых тепловой поток д на линии растекания трехмерного тела может быть определен по
соответствующему распределению 5м на эквивалентном осесимметричном теле. В выбранной глобальной аналогии были использованы предельные асимптотические значения искомых функций. В критической точке (§ = 0) радиус кривизны эквивалентного осесимметричного тела принимался равным = 1Я\Я2/(Я\ + ^г)> а на больших расстояниях от критической точки (£ -»оо) асимптотические углы наклона поверхности исходного и осесимметричного тел были одинаковыми. Безразмерный параметр % = г^/Я^
На рис. 3 представлено относительное распределение величины Ад/с^ в зависимости от переменной С, = £(|). Здесь Ад = 4я* — д, а переменная С, выбрана следующим образом:
С = (5 - 1шш)Да,
где £тш — значение £, при котором д/<р*- имеет минимальное значение, а параметр а выбран из условия симметрии функции Ад/д**- = ДО, т. е. /(О = /(-О. Кривые 1, 2, 3 относятся соответственно к абсолютно каталитической (К„о = = °°)> -^ю ~ Ку/Ы = 1 м/с и идеально
некаталитической (Дю = = 0) поверхностям. Данные на рис. 3,а
соответствуют поверхности с отношением главных радиусов кривизны к — 0,073, а на рис. 3,6 к = 0,219.
Приведенные данные показывают, что даже при использовании предельных асимптотических значений искомых функций при С, -> ± <» глобальная осесимметричная аналогия приводит к заметным ошибкам в окрестности С = 0. ,
Максимальное различие в теплопередаче в окрестности плоскости симметрии от соответствующей величины на эквивалентном теле
Рис. 3. Зависимость величины от обобщенной переменной £ = £(!;) (кривая 1 относится к Км = = », 2 —
ЛГио = А**? = 1 м/с, 3 — Ку,о = Кцн = 0). Данные на рис. 3,о соответствуют к = 0,073, а на рис. 3,6 — к = 0,219.
вращения наблюдается при к = 0,073, % — 2,5 и составляет около 30% в случае идеально некаталитической поверхности, при к = 0,219 это отличие уменьшается до 19%, а при к — 0,315 до 5%.
Используя расчетные данные при Ки = К*о = = °о, 1 и 0, можно
получить следующую аппроксимационную зависимость:
Ьд/4* = а ехр(- уС2)-
При этом параметры а и у, а также а и следующим образом зависят от Ку,:
а = а0 +ах / (а2 + К^), у = у0 + у! / (у2 + К$);
а = а0 - а! / (1 + К„) , = р0 + р! / (1 + К„) .
Значения коэффициентов аь у{ (/' = 0, 1, 2) и Ру (/ = 0, 1) можно представить в виде квадратичных зависимостей от параметра 5 = = (к)1/2 :
а, = + а<° 5+а® 52; у= у^ + у}° 5 + у^ 52 (/ = 0,1, 2);
а у = а ^ + а |у) б+а(2Л 82; ру- = р<Л + р}У) 5 + р<Л 82 (у = 0,1).
Численные значения коэффициентов а^, у^, р^ (/ = 0,
1, 2; У = 0, 1; к = 0, 1, 2) приведены й табл. 1 и 2.
Ниже привезем сравнение численных расчетов относительной теплопередачи с данными, полученными по аппроксимационной зависимости. На рис. 4 представлена зависимость я/с?** от переменной | для двух значений параметра к = 0,073 и 0,219 при Кщ = 3 м/с,
i 0 1 2 У 0 1
а? 0,309 0,0117 -0,140 “0 0,936 0,0285
а? -0,593 0,361 3,549 °Ч -1,655 -0,0556
«а® 0,295 -0,416 -2,643 “2 1,149 0,0343
(0 то -0,051 0,216 1,249 АЛ Н 2,391 0,786
»[° 0,529 -2,103 0,524 ви) -1,989 -0,794
(0 п 2,160 6,492 0,543 вО'> Рг 0,643 0,392
Рис. 4. Зависимость д/<?* от переменной \ (кривые соответствуют численному расчету, маркеры — аппроксимационным значениям: О - к = 0,073; »-к= 0,219)
соответственно кривые и маркеры 1 и 2. Кривые относятся к точным численным расчетам, а маркеры к данным, полученным по аппроксима-ционной формуле. Это сравнение показывает, что предложенная аппроксимация позволяет получить распределение q/<fx с погрешностью не более 5%.
Таким образом, непосредственное использование осесимметричных решений для определения теплопередачи в окрестности плоскости симметрии тела пространственной конфигурации требует введения поправок, связанных с кривизной поверхности, реальными свойствами газа и обтекаемой поверхности. Полученные в работе аппроксимационные зависимости для этих поправок позволяют не только значительно сократить время расчетов тепловых потоков, но и проводить моделирование натурных условий теплообмена в окрестности плоскости симметрии.
Следует однако отметить, что в проведенном исследовании рассмотрены достаточно большие асимптотические углы ср обтекаемого тела, когда в плоскости симметрии градиент скорости поперечного течения является знакопостоянной функцией. При малых углах ф этот градиент может стать знакопеременной функцией, и течение в окрестности плоскости симметрии будет состоять из чередующихся линий растекания и стекания. В последнем случае выбор эквивалентного тела вращения для моделирования течения в плоскости симметрии пространственного тела вообще становится некорректной задачей.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ РАН, грант № 94-01-01384.
1. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекание теп при малых и умеренных числах Рейншвдса// Итоги науки и техники. Сер. МЖГ — ВИНИТИ.— 1985, № 19.
2. Гусев В. Н., Провоторов В. П. Моделирование натурных условий высотного полета в аэродинамических трубах// Ученые записки ЦАГИ.- 1982. Т. XIII, № 3.
3. Гладышев М. К., Горелов В. А., Киреев А. Ю., Королев А. С. Моделирование неравновесной ионизации при пшерзвуковом обтеканци // В сб.: Методы исследований гиперзвуковых летательных аппаратов. Ч. 5.— Школа-семинар ЦАГИ.— 1994.
4. Ботин А. В., Провоторов В. П., Степанов Э. А. Приближенный расчет теплообмена в окрестности пространственной критической точки на идеально каталитической поверхности в разреженном потоке//Труды Первой Российской национальной конференции по теплообмену.— 1994. Т. 3.
5. Брыкина И. Г., Русаков. В. В. Одномерные и двумерные аналогии для пространственных вязких течений в окрестности плоскости симметрии затупленных тел// Изв. АН СССР, МЖГ.— 1990, № 1.
6. Gupta R. N., Moss J. N., Simmonds A. L., Shiun I. L., Z о b у E. V. Space Shuttle heating analysis with variation in angle of attack and surface condition// AIAA Paper N 83-0486,— 1983.
7. Г у с e в В. H., Провоторов В. П., Р я б о в В. В. О роли физико-химических процессов в задачах моделирования гиперзвуковых течений разреженного таза// Ученые записки ЦАГИ.— 1981. Т. XII, № 4.
8. В a b i к о v Р. Е. , Y е g о г о v I. V. On the version of the method of the adaptive grid generation to solve evolution problems // Proc. Sov. Union — Japan Symp. Computational Fluid Dynamics, Khabarovsk, 1988,— М.: ВЦ АН СССР.- 1989. Т. 2.
9. Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные процессы в аэродинамике.— М.: Машиностроение.— 1972.
10. М а р т и н Дж. Вход в атмосферу.— М.: Мир.— 1969.
Рукопись поступила 9/VF1995
