CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIII 1992 М 4
УДК 533.6.011.8 532.526.011.55
ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО СКОЛЬЗЯЩЕГО КРЫЛА
А. Л. Анкудинов
Задача .вязкого течения около скользящего крыла бесконечного размаха при умеренно малых числах Рейнольдса формулируется в рамках теории тонкого вязкого ударного слоя с использованием нетрадиционных переменных, связанных с потоком, что позволяет, во-первых, существенно более сложную исходную задачу с неизвестной заранее границей (головным скачком) представить как классическую краевую задачу в фиксированной области, не зависящую от неизвестной величины отхода скачка (последняя просто определяется после решения основной задачи); во-вто-рых, унифицировать исследования тонкого вязкого ударного слоя около крыльев с притупленной и заостренной кромками. Предложенный способ решения задачи позволяет проводить численное интегрирование уравнений тонкого вязкого ударного слоя единообразно во всей области определения решения без привлечения какого-либо специального анализа в «особых» зонах. Получена приближенная переменная подобия задачи тонкого вязкого ударного слоя около острого скользящего клина.
Модель тонкого вязкого ударного слоя является одним из распространенных и эффективных средств изучения вязких сверхзвуковых течений с умеренно малыми числами Рейнольдса (см., например, обзор ВИНИТИ [1]). При этом, ссылаясь на обзор [1] и более поздние публикации по этой теме, можно отметить, что теория тонкого вязкого ударного слоя использовалась авторами преимущественно для исследования обтекания тел с затуплением. Плоская и осесимметричная задачи тонкого вязкого ударного слоя около заостренных тел (течения около острого клина без скольжения и около острого конуса) рассматривались в работах [2 — 4]; анализу течения вблизи скользящих крыльев с затупленной кромкой в рамках модел'и тонкого вязкого ударного слоя посвящены работы [5, 6].
Не выписывая здесь исходных (в физических переменных) уравнений и граничных условий теории тонкого вязкого ударного слоя в приложении к скользящему крылу, отошлем для справок по этому вопросу к работам [5, 6], где упомянутая система уравнений и ее краевые условия представлены. Отметим, что систему'уравнений и граничных условий, описывающих течение в тонком вязком ударном слое около стреловидного крыла бесконечного размаха, нетрудно вывести из полных уравнений Навье — Стокса таким же, например, образом, как это было проделано для плоского и осесимметричного случая в работе [2], либо как в работе [7].
Опираясь на [2, 8], можно получить также, что рассматриваемая в данной работе задача тонкого вязкого ударного слоя около скользящего крыла, будучи представлена при посредстве переменных Мизеса (х, я|?), в рамках
точности модели тонкого вязкого ударного слоя эквивалентна краевой задаче в (*, ф) -форме из [2, 8, 10] с добавлением к системе уравнений и граничных условий для плоского случая из [2, 8, 10] уравнения импульса в направлении образующей крыла:
дш
дх
19/ 9»\ /1 \
= (1)
и сопутствующих ему краевых условии на внешней границе ударного слоя и на стенке соответственно:
в“в- + Т^Т?* (* = ♦•), (2)
ш = 0, (ф = 0). (3)
Здесь и в дальнейшем изложении принято: Уж /- — функция тока,
вводимая соотношениями
(4)
хЬ — расстояние вдоль контура крыла, отсчитываемое от физической крити ческой точки в случае крыла с затупленной кромкой и от острого носка контура в случае крыла с заостренной кромкой в плоскости, перпендикулярной к образующей крыла; уЬ — расстояние по нормали к поверхности крыла, отсчитываемое от стенки; иУх, кУ,*,, и)Уж— составляющие скорости в направлениях х, у и вдоль образующей крыла; % — (Ух р.» Ьх/\1„, цо)/ 7М^С*со8 0; М,,, —число Маха; С* — постоянная Чепмена — Рубезина;
РРооУ!, рроо, /1^1, ИУ2Х, ТУ^/Ср, ццо — соответственно давление, плотность, энтальпия, полная энтальпия, температура, коэффициент вязкости, причем На — Иш, р0 = ре 1х=о; гЬ — расстояние от контура крыла в плоскости, перпендикулярной его образующей, до прямой, проходящей через критическую точку (в случае крыла с острой кромкой — через острый носок) контура параллельно проекции вектора невозмущенной скорости на эту плоскость; у — отношение удельных теплоемкостей; е = (у — 1)/2-у; р — угол между касательной к контуру крыла и проекцией вектора скорости невозмущенного потока на плоскость, перпендикулярную к образующей крыла, причем ро = Р1х=о; Ф — угол скольжения, т. е. угол отклонения невозмущенного потока от направления, ортогонального к образующей крыла; Ие = У^р^/цо — число Рейнольдса; Рг = \io\iCpfk — число Прандтля; Л — коэффициент теплопроводности; Ь, V*,, роо, Цо. Ср — соответственно характерный линейный размер задачи, скорость набегающего (невозмущенного.) потока, плотность в невозмущенном потоке, коэффициент вязкости при температуре торможения и удельная теплоемкость
газа при постоянном давлении. Индексы оо, е, ш относятся соответственно к величинам в набегающем потоке, на внешней границе тонкого вязкого ударного слоя (скачке) и на поверхности тела. Кроме того: г, Нш =
= Нш{х), = СОБфСОЗр, иоо= —СОЭфЭтр, = ЭШф, что, вообще говоря, следует из принятых выше обозначений; иь= иг - ; уоъ=—Ч= - Нк =-----_______
* (я.-я.) Г
Рассматриваемая в физических переменных х, у [5, 6] краевая задача для уравнений теории тонкого вязкого ударного слоя около скользящего крыла значительно осложнена необходимостью определения в процессе ее решения неизвестной внешней границы области интегрирования (т. е. величины отхода головного скачка), зависящей, в свою очередь, от решения в целом.
Отметим, что есть существенное отличие между традиционной трактовкой рассматриваемой проблемы, как задачи со свободной границей («лишним» граничным условием теории тонкого вязкого -ударного слоя, вводящим величину отхода скачка [1]), и используемой ниже формой исследуемой задачи (1).— (3) в переменных Мизеса. Последняя представляет собой, по сути, классическую краевую задачу для параболической системы уравнений погранслойного типа, сформулированную уже в фиксированной области независимых переменных (0 х ^ const, 0 ^ ^ <; \|зе), не зависящую от величины отхода скачка либо от функции, ей^ эквивалентной. Замкнутая система уравнений и граничных условий задачи, таким образом, позволяет Определить все неизвестные функции, введенные изначальной задачей (см. [5, 6]), за исключением, как отмечалось выше, величины отхода скачка; последняя же при необходимости может быть получена с помощью первого из соотношений (4), вводящих функцию тока. В свете изложенных выше соображений приведенная формулировка исследуемой задачи (1) — (3) представляется в значительной степени предпочтительнее традиционной. Эта форма уравнений и граничных условий задачи используется в последующем анализе.
Введем далее удобные для численного расчета новые независимые
s = x‘; fc=.(i|>/r)1/2 (5)
и зависимые переменные
~__ “ . _____ W . 0__ Н — На . ~ Р — Ро
U ri * W ri ’ Н r\> Р r2i ’ (6)
где формальный параметр t равен: i = 1 для крыла с затупленной кромкой
и »= 1/2 для крыла с острой кромкой.
Преобразование переменных вида (5), (6) (с конкретизацией значения параметра i, зависящего от типа передней кромки), предлагаемое для задачи тонкого вязкого ударного слоя1 около скользящего крыла с притупленной и острой кромкой, может быть построено такими же средствами, как и в аналогичном исследовании для плоской и осесимметричной задачи, проведенном в работе [8]. Для непосредственных целей численного интегрирования целесообразно вместо зависимой переменной й ввести новую функцию й:
й = й/g. (7)
При этом граничное условие на стенке для величины продольной составляющей скорости соответствующим образом переформулируется (см. [8]), а в уравнении системы появится особенность — коэффициент перед старшей производной обращается в нуль на стенке (при g = 0). Это обстоятельство накладывает на численный метод, применяемый при решении задачи, определенные ограничения, связанные с необходимостью интегрирования уравнений, не разрешенных относительно высшей производной. Конечно-разностный метод такого типа [9] применен ниже для расчета конкретного примера, иллюстрирующего здесь реализацию предложенной выше постановки задачи тонкого вязкого ударного слоя около стреловидного крыла бесконечного размаха.
Можно указать на следующие основные достоинства использования переменных (5), (6). Прежде всего, как уже упоминалось, эти переменные дают возможность сформулировать изучаемую проблему в более простом классе задач.
Второй существенной чертой переменных (5), (6) являются их регу-ляризующие свойства, позволяющие исследование «особой» окрестности острой кромки крыла (непосредственно вплоть до самого острого носка лс = О контура) проводить в рамках единого расчетного алгоритма.. Это же относится полностью и к случаю крыла с притупленной кромкой, несмотря на
принципиально различный характер особенности решения для этих двух типов кромки. Отметим в этой связи, что вблизи острой кромки крыла в физической плоскости имеет место существенная особенность решения, происходящая прежде всего из принятого в теории тонкого вязкого ударного слоя около заостренных тел допущения о присоединенном головном скачке.
Третьим немаловажным признаком, характеризующим переменные (5), (6), является возможность формализовать й унифицировать подход к исследованию крыльев с острыми и затупленными кромками (это свойство преобразования (5), (6) позволяет, например, по одной вычислительной программе для ЭВМ посредством простой замены в ней значения параметра i решать задачи для крыльев с разного вида кромкой).
И наконец, при условии использования численного алгоритма, не требующего разрешенности уравнений интегрируемой системы относительно старшей производной, представление исследуемой задачи в переменных (5), (6) дает возможность проводить ее численное решение единообразно во всей области определения решения const; O^g^l) вплоть
(включительно) до самого носка s = О, где уравнения системы вырождаются в обыкновенные, и вплоть (включительно) до самой стенки, где имеет место указанная выше особенность, вносимая переменными Мизеса.
Изложенную постановку задачи тонкого вязкого ударного слоя около стреловидного крыла бесконечного размаха рассмотрим применительно к острому клину, обтекаемому под углом 'скольжения при нулевом угле атаки (в принятых обозначениях: Р = Ро— полуугол раствора клина, r = A:sinp). Примем, кроме того, предположения о линейной зависимости коэффициента вязкоСти от температуры (^ ~ 7") и о постоянстве температуры стенки (Нш(х) — const). Выбирая далее величину произвольной постоянной С из условия
и обозначая
выпишем для нашего случая скользящего клина результирующую систему уравнений и граничные условия.
Уравнения:
s = Cs,
(9)
д COS ф ик
дс, Рг s
[dHk (Pr-l)/ + “'-“’О
di + 2(Я. - На) дч
Условия на внешней границе ударного слоя (при g= 1):
йк = 0; wi, = 0; Я* = 0. (12)
Как следует из структуры сформулированной выше задачи (10) — (12), искомые функции решения йк и Wk тождественно равны между собой (Uk = Wk), и, таким образом, интегрирование системы (10) с краевыми условиями (11) и (12) распадается, по существу, на две процедуры:
1) интегрирование первого уравнения (продольного импульса) системы (10) при соответствующих краевых условиях для функции йк из (И) и (12) (первом условии из (И) и первом условии из (12));
2) интегрирование третьего уравнения (энергии) системы (10) при соответствующих граничных условиях из (11) и (12) (третьем условии из (11) и третьем условии из (12)) с использованием результатов предшествующего независимого интегрирования первого уравнения импульса и учетом, что wk = йк. При числе же Прандтля Рг, равном единице, уравнение энергии из (10) полностью идентифицируется с уравнениями импульса системы (10) (то же утверждение относится и к соответствующим краевым условиям уравнений энергии и импульса), и процедура решения з&дачи (10) — (12) сводится в этом случае (Рг=1) к единственному (первому) из сформулированных выше этапов интегрирования системы (10) — (12), т. е. исчерпывается решением единственного уравнения. Отметим, что структура зависимости задачи (10) — (12) от параметра ф (угла скольжения) такова, что при относительно небольших углах скольжения ф можно получить (заменяя в (10) величину cos ф на 1) систему (идентичных) уравнений и граничных условий, приближенно (в пренебрежении членами порядка 0(ф2)) описывающую течение в тонком вязком ударном слое вблизи скользящего клина при Рг = 1 и не зависящую явно от величины ф, влияние которой на решение реализуется лишь в связанном с другими параметрами виде через посредство функции s [см. (8), (9)]; в этих условиях для приближенно сформулированной задачи обтекания скользящего клина, эквивалентной с точностью до членов порядка 0(ф2) полной задаче (10)— (12), переменная s приобретает коррелирующие свойства довольно широкого плана, полностью вбирая в свою структуру, помимо ряда параметров, характеризующих обтекание (таких, как угол полураствора клина р, параметр разреженности Re е и др.), еще и угол скольжения ф. Таким образом, в рассматриваемом случае величину s можно считать приближенной переменной подобия для задачи тонкого вязкого ударного слоя около клина, обтекаемого при относительно небольших углах скольжения. Результаты решения задачи, полученные с использованием метода работы [9], приводятся на рисунке, где обозначено:
CH = (k-^)w/LPa0V00(Hac>-Hw).
Вертикальной штриховкой нанесены области, содержащие взятые из [3] экспериментальные данные, полученные для условий холодной стенки Туо = (0,08 — 0,09) //<*, при числе М„ = 22 — 24, Ие^ см_, ^ 103, ф = 0 и в диапазоне углов полураствора клина р=10°—40°, при этом более частая штриховка относится к области данных, соответствующих углу Р = 10°, более редкая штриховка — к данным при углах р = 20°-т-40°; пунктир относится к расчету с условиями [3] прй Рг = 0,7; р = 30°. Можно указать на хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов при р = 20° — — 40° и ухудшение этого соответствия с уменьшением полуугла раствора клина (при р=10°). Таким образом, представленная на рисунке кривая может служить для оценки величин трения на стенке и теплового потока к поверхности при исследовании обтекания скользящих крыльев с острой кромкой в достаточно широком диапазоне вариаций параметров обтекания.
Отметим, что полученные в работе данные можно интерпретировать и как результат расчета течения в тонком вязком ударном слое около наветренной стороны плоской пластины, имеющей угол атаки и движущейся с углом скольжения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса.—Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкости и газа, т. 19, 1985.
2. С h е n g Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number. — IAS Paper, N 63 — 92, 1963.
3. V i d a 1 R. J., В a r t z J. A. Experimental studies of low-density effects in hypersonic wedge flows. — CAL Rept. AF-1500-A-2, 1964.
4. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового ударного слоя с подводом массы при умеренно малых числах Рейнольдса. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 3.
5. Брыкина И. Г., Г е р ш б е й н Э. А. Гиперзвуковой вязкий ударный слой на стреловидных крыльях бесконечного размаха, обтекаемых под углом атаки. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, № 2.
6. Гершбейн Э. А., Щ е л и н В. С., Ю и и ц к и й С. А. Гиперзву-ковой химически неравновесный вязкий ударный слой на крыльях с каталитической поверхностью. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, № 6.
7. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового обтекания при умеренно малых числах Рейнольдса. — Труды ЦАГИ, 1968, вып. 1106.
8. Анкудинов А. Л. Об одном преобразовании уравнений вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1315.
9. Анкудинов А. Л. Об одной разностной схеме расчета вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2107.
10. Анкудинов А. Л. Численное решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1845.
Рукопись поступила 22/1 1991 г.
