О преемственности в изучении колебательного движения в курсах физики и теоретической механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378:53

Карашева Тамара Ташматовна

кандидат физико-математических наук, доцент Кыргызско-Турецкий университет «Манас», г. Бишкек, Кыргызстан

tkarasheva@mail.ru

О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ИЗУЧЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В КУРСАХ ФИЗИКИ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

В статье обсуждается общность и различия подходов курсов физики и теоретической механики к изучению колебательного движения. Учитывая достаточную распространенность инженерных задач, связанных с колебательными процессами, поднимается вопрос о необходимости включения данного раздела в программу курса теоретической механики для инженеров. При переходе от начальных представлений о колебательных движениях, полученных в курсе физики к изучению их на теоретическом уровне, в рамках Лагранжева формализма, целесообразно для начала сформировать у студентов умения и навыки составлять и решать уравнения движения на основе второго закона Ньютона. Соблюдение принципа преемственности и применение компьютерных программ, будет способствовать повышению эффективности обучения. Для этого предлагается решение конкретных видов задач с использованием онлайн программы Шо1/гатЛ1рка.

Ключевые слова: колебательное движение, физика, теоретическая механика, преемственность в обучении, программа Шо1/гатЛ1рка.

Курс теоретической механики в учебном плане для бакалавров инженерного направления входит в цикл общепрофессиональных дисциплин и является логическим продолжением раздела механики курса общей физики, где студенты изучают виды механического движения и их характеристики, знакомятся с фундаментальными законами механики, получая тем самым представление об естественно-научной картине мира. Рассматривая простые задачи на движение, путем решения математических уравнений, знакомятся с примерами приложения математики в физике.

В курсе теоретической механики эти знания углубляются и обобщаются. Задачей изучения дисциплины является приобретение практических навыков анализа и решения задач статики, кинематики и динамики механических систем, формирование умения облекать конкретные физические задачи в абстрактную математическую форму т.е. строить модели движения механических систем и рассчитать их. Поэтому главным условием в преподавании вышеуказанных курсов является соблюдение принципа преемственности, обеспечивая последовательное углубление и расширение материала, перехода от формирования у будущих инженеров общекультурных компетенций к формированию профессиональных.

Несмотря на то, что колебательные процессы, имеют очень широкое распространение как в природе, так и в технических устройствах, и инженерные задачи связанные с ними встречаются довольно часто, не всегда программа курса теоретической механики включает в себя данный раздел. Сегодня особенно актуальным является изучение явления резонанса в различных колебательных системах.

Колебательные движения представляют собой переменное движение в самом общем виде, поэтому рассматриваются в заключительной части механики, где студенты получают сведения о видах меха-

нических колебаний, решают задачи на определение физических свойств колебательных систем.

Свободные колебания обусловлены действием на колебательную систему некоторой упругой Рупр = или квазиупругой силы. Тогда из второго закона Ньютона вытекает следующее уравнение

d x

IF

, (1) где k / m = c02. Из теории дифференциальных уравнений известно, что уравнению (1) удовлетворяют решения следующего вида

x = Acos(c0'+ а] или x = Asin(co0t + а]. (1а) Колебания имеют затухающий характер, если кроме упругой силы на систему действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения с обратным знаком FconF = -rv

где k/m = col и r/m = 2@. Решение в этом случае представляет собой периодическую функцию, с убывающим по времени коэффициентом, что соответствует с физической точки зрения, экспоненциально убывающей по времени амплитуде колебаний

x = A0ecos(c + а). (2а)

Если на систему извне будет действовать периодическая сила F = F0 cos cot, то мы имеем дело с вынужденными колебаниями, описываемыми следующим уравнением

d-x + + Сx = —cos С . d' d' m

(3)

В курсе физики изучение колебательного движения ограничивается задачами связанными с уравнениями смещения (1а) и (2а), а также с расчетом резонансной амплитуды вынужденных колебаний.

В теоретической механике имеет место обобщение и усложнение материала, где малые колебания изучаются в рамках Лагранжева формализма, явля-

Вестник КГУ Л 2019

© Карашева Т.Т., 2019

176

ющегося более общим подходом и предполагающего решение уравнения Лагранжа второго рода,

d_ dt

dL dqj

dL

dqi

= -Q, (t)

(4)

где Ь - функция Лагранжа, являющаяся разностью кинетической Т и потенциальной и энергий колебательной системы

L = T - U =

dq'2 2

cq 2

Рис. 1. Рисунок к задаче 32.16

Но прежде чем приступить непосредственно к решению уравнения Лагранжа, следует освежить и закрепить знания студентов, полученные в курсе механики. Будущему инженеру целесообразно научиться, опираясь на второй закон Ньютона, составлять уравнения движения подобные (1-3), рассчитать его постоянные коэффициенты и определить начальные условия. Практика с такими задачами позволяет осуществить постепенный переход от простого к сложному, обеспечить последовательность и преемственность в изучении колебательных движений. Такой класс задач можно найти в задачнике В.И. Мещерского [3, с. 235-257]

В работе [1, с. 1-9] были рассмотрены примеры решения подобных задач на колебательное движение в курсе теоретической механики и даны рекомендации по применению онлайн программы WolframAlpha, как эффективного инструмента для решения математических уравнений. Мы воспользовались этими рекомендациями и рассмотрели другие примеры из того же задачника, и на практике убедились в полезности такого подхода.

Привлечение компьютерных программ в обучении, позволяет получить дополнительный резерв времени, избавляя нас от рутинных вычислений, активизировать интеллектуальную деятельность обучаемых и наладить оперативную обратную связь с ними [2, с. 181]. В открытом доступе имеется большой выбор готовых пакетов программ, охватывающих широкий спектр математических и инженерных задач. Программа WolframAlpha очень проста и удобна в использовании. С ее помощью можно решать уравнения, неравенства, упрощать, раскладывать на множители функции и различные математические выражения, строить графики, находить пределы, производные и интегралы [4].

Рассмотрим несколько задач на разные виды колебаний и решим их с помощью программы WolframAlpha.

Задача на свободные колебания 32.16

Тело массы т находится на наклонной плоскости составляющей угол а с вертикалью (рис. 1). К телу прикреплена пружина жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости. Найти уравнение движения тела, если в начальный момент было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему сообщена начальная и0 скорость

WolframAlpha® Computational Intelligence" Input:

jmx"

m <7 cos(a) )

(t) + c x(t) = 0, x(0) =--c ■ x = v0 (

Autonomous equation

mx"(t) = —cx(t) ODE classification:

second-order linear ordinary differential equation Alternate forms:

,,, 9m cos(a) , , ,, ,

cx{t) + mx(t) = 0, 2-+x(0) = 0, v0 = x(0)

icx(0 + mx"(t)= 0, *(0)= - e~ia 9 m _e^jnn ^ = J ( 2 c 2 c J

Alternate form assuming c, g, m, t, vO, and a are positive:

{c x(f) + m x"(t) = 0, c x(0) + g m cos (a) = 0, vO = x'(0)} Differential equation solution:

Vc Vm vO sin {

*(t) =

— g m cos(a) cos [

yjm

Рис. 2. Решение задачи 32.16

направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия.

После ввода в программу для дифференциальных уравнений по ссылке [5], всех необходимых данных, было получено решение, приведенное на рисунке 2.

Задача на затухающие колебания 32.72

Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 19,6 Н/м. Сила сопротивления движению пропорциональна первой скорости груза: Я = аи, где а = 3,5 Нс/м. Найти уравнение груза если в начальный момент груз был смещен из положения равновесия на х=1 см и ему сообщена начальная скорость 50 см/с, в направлении противоположном смещению.

Исходя из условия задачи, рассчитаем постоянные коэффициенты дифференциального уравнения, сформулируем начальные условия, и введем их в программу. В итоге получили результат в виде решения уравнения и графиков (рис. 3).

Задача на вынужденные колебания 32.103

Тело массы 0,1 кг прикреплено к пружине с коэффициентом жесткости 5 кН/м, действует сила

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 1

177

WolframAlpha®Computert/ofw/ Intelligence1" Input:

{*"(£) +35z'(t)+ 196x(t') =0, = 1, *'(0)= -50) Autonomous equation: x" Ct) = 196 x(t.) 35x'(t) Sturm-Liouville equation:

^:(e35t *'(t)) + 196 e35t x(t) = 0

ODE classification:

second-order linear ordinary differential equation Alternate form:

{*"(<:) = -35 x'(t) - 196 x(t), x(0) = l, x'(0) = -50} Differential equation solution:

r(t) = ^e-2K(«-22ez,t)

Plots of the solution:

Рис. 3. Решение задачи 32.72

Рис. 4. Решение задачи 32.103

WolframAlpha" Computational Intelligence™ Input interpretation:

Lissajous curve

Input values:

Horizontal angular frequency 3

Horizontal angular phase 7Г 2

Horizontal angular amplitude 1

Equation:

x = Ax sin(œxt + ôx) I y = sin(t) 0 < t < 2 n

шх Horizontal angular frequency

Sx Horizontal angular phase

Ax Horizontal angular amplitude

Рис. 5. Расчет фигур Лиссажу

S = H sin pt, где Н=100 Н, р=100 рад/с, и сила сопротивления R=vfi где в=49 Нс/м. Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты р, при котором амплитуда коле -баний будет максимальной.

Поскольку в данной задаче мы имеем дело с неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, программа в отличие от [3], в ответе выдает решение в виде суммы однородного и неоднородного уравнений (рис. 4).

Что касается резонанса, то тут при условии

n)j=; ( n = 500; k/ V2 = 158),

максимума амплиту-

ды не существует.

Другим немаловажным аспектом изучения ко -лебательного движения является анализ сложных колебаний, поскольку на практике таковые встре-

чаются чаще. В '^ИтатА1рЬа имеется специальная программа, где задавая частотное и амплитудное соотношение исходных колебаний, можно рассчитать и наглядно продемонстрировать вид результирующего колебания (фигуры Лиссажу). Данная программа позволяет, не вдаваясь в подробности расчета, анализировать результаты сложения различных колебаний.

При дальнейшем изучении колебательного процесса с помощью уравнения Лагранжа (4) также можно пользоваться программой '^1й"атА1рЬа. с целью активизации практической части обучения.

Таким образом, предлагаемый нами подход в изучении колебательного движения способствует формированию целостного представления о механических системах и приобретению студентами необходимых навыков и умений для решения ин-

Вестник КГУ Л 2019

178

женерных задач, поскольку знания по моделированию механических колебаний служат основой для изучения других видов колебательных процессов. Программы подобные WolframAlpha позволяют проводить численные эксперименты с целью изучения влияния коэффициентов уравнений различных видов механических колебаний на их решения, помогая тем самым усилить методическую составляющую преподавания данного раздела.

Библиографический список

1. Клоков А.С., Сорокин А.Н. Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы знаний WolframAlpha [Электронный ресурс] // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№ 4 (7). - Режим доступа: http://e-journal.omgau.ru/ index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/491-00236

2. Медведева Л.В. Формирование профессиональных компетенций в образовательной среде естественно-научной дисциплины // Вестник Санкт-Петербургского университета Государственной противопожарной службы МЧС России. -2015. - № 1. - С. 178-185.

3. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1986. - 448 с.

4. Официальный сайт WolframAlpha [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www. wolframalpha.com

References

1. Klokov A.S., Sorokin A.N. Izuchenie teorii kolebanij v kurse teoreticheskoj mekhaniki s ispol'zovaniem bazy znanij WolframAlpha [EHlektronnyj resurs] // EHlektronnyj nauchno-metodicheskij zhurnal Omskogo GAU. - 2016. -№ 4 (7). - Rezhim dostupa: http://e-journal.omgau.ru/ index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/491-00236 (data obrashcheniya 10.09.2018).

2. Medvedeva L.V. Formirovanie professional'nyh kompetencij v obrazovatel'noj srede estestvenno-nauchnoj discipliny // Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta Gosudarstvennoj protivopozharnoj sluzhby MCHS Rossii. - 2015. - № 1. - S. 178-185.

3. Meshcherskij I.V. Sbornik zadach po teoreticheskoj mekhanike. - M.: Nauka, 1986. - 448 c.

4. Oficial'nyj sajt WolframAlpha [EHlektronnyj resurs]. - Rezhim dostupa: http://www.wolframalpha. com (data obrashcheniya 10.09.2018).

Педагогика. Психология. Социокинетика J № 1

179