CC BY
22
Эм кронный научно-жтодичес t$tit яурнал
Омского ТЯуЩШ
Сорокин А.Н., Ламонина Л.В., Клоков А.С. К вопросу о применении ИКТ при решении задач повышенной сложности в курсе «Теоретическая механика» // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. -2018. -№3 (14) июль - сентябрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/images/issues/2018/3/00613.pdf. - ISSN 2413-4066
УДК 004.9 : 531 : 378.147
Сорокин Анатолий Никифорович
Кандидат технических наук, доцент ФГБОУВО Омский ГАУ, г. Омск. an.sorokin@omgau.org
Ламонина Людмила Владимировна
Старший преподаватель ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск. lv. lamonina@omgau.org
Клоков Александр Сергеевич
Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск as. klokov@omgau.org
К вопросу о применении ИКТ при решении задач повышенной сложности в курсе «Теоретическая механика»
Аннотация: В статье рассматривается применение ИКТ (информационно-коммуникационных технологий) при решении задач повышенной сложности из различных разделов теоретической механики. Приведены решения задач, предлагавшихся в разные годы на студенческих олимпиадах по теоретической механике в рамках компьютерного конкурса.
Ключевые слова: теоретическая механика, статика, кинематика, динамика, база знаний WolframAlpha.
Задачи повышенной сложности стимулируют интерес к изучаемому предмету, способствуют развитию творческого потенциала обучающихся и позволяют выявить наиболее способных из них. Подобного рода задачи можно отнести к олимпиадным задачам. На протяжении последних лет на студенческих олимпиадах по теоретической механике предлагаются задачи, для решения которых необходимо применение различных пакетов прикладных программ. Примерами таких задач являются задачи компьютерного конкурса. Невозможно себе представить решение этих задач без применения современных ИКТ [1]. Например, обучающиеся первого и второго курсов используют возможности базы знаний WolframAlpha для эффективного применения в процессе решения задач. Важно отметить, что база знаний WolframAlpha доступна через интернет с планшетов и смартфонов, которые есть у подавляющего числа обучающихся [2].
Практика применения базы знаний WolframAlpha в ходе изучения дисциплины «Теоретическая механика» показывает, что обучающиеся успешно справляются с решением
задач с помощью этой базы знаний. В процессе решения стандартных задач по разделам «Статика» и «Кинематика» у обучающихся возникает мотивация применения базы знаний для решения и более сложных, с вычислительной точки зрения, задач теоретической механики. От обучающихся требуется не только понять, запомнить, воспроизвести полученные знания, но и уметь ими оперировать, применять в практической деятельности и интенсифицировать учебный процесс.
В качестве примеров, иллюстрирующих возможности современных информационно-коммуникационных технологий для решения задач повышенной сложности рассмотрим задачи, предлагавшиеся в разные годы на студенческих олимпиадах по теоретической механике в рамках компьютерного конкурса. Специфика такого рода задач состоит в том, что из пяти классов олимпиадных задач [3] они относятся к классу задач, обеспечивающих междисциплинарные связи (например, математики, информатики, теоретической механики).
Приведем решения некоторых задач студенческих олимпиад из различных разделов теоретической механики, предлагавшихся в рамках компьютерного конкурса.
Раздела «Статика».
Пример 1 [4]. Однородный стержень а массой т = 1 кг и длиной а = I = 1 м шарнирно закреплен в точке А (рис. 1). В точке В он соединен упругой нитью с точкой О, так что отрезок ё горизонтален, ё = I = 1 м. Длина нити в нерастянутом состоянии равна I =1 м, коэффициент упругости равен с, где с > 0. Определить угол ф (в радианах) при равновесии стержня, считая 0 < ф < 0,5п, направление отсчета ф показано на рис. 1. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с2.
Входные данные: с. Выходные данные: ф. Пример для отладки: при с = 6 получим ф = 0,468 рад.
Рис. 1
Решение. Сумма моментов сил, действующих на стержень, относительно точки А
^M^Ffc) = тд^тф — Г/sin а = ^т^тф — Т sin а = 0. (1)
Из треугольника АВО имеем (рис. 2):
п
а+а+ф+ — = п,
откуда
п ф
Рис. 2
Используя теорему косинусов, получаем
п
Ь2 = а2 + d2 — 2ad cos (ф + —),
2
Сила натяжения нити
Тогда с учетом (3), получаем:
Ь = /^2(1 + sin ф).
Т = (Ь — /)с.
Т = (/^2(1 + sin ф) — /)с = (72(1 + sin ф) — l)cí. Уравнение (1) с учетом (2) и (5) принимает вид:
—mg sin ф — (72(1 + sin ф) — l) с/ sin (п — ф) = 0
или
1 1 — sin ф mg sin ф — ( cos ф — I--- ) с/ = 0.
2
2
(3)
(4)
(5)
Для определения числового значения угла ф (в радианах) при равновесии стержня (с учетом значений m, g, l, с) вводим в командную строку базы знаний WolframAlpha запрос следующего вида:
solve 0.5*9.8*sin(phi)-(cos(phi)-sqrt((1-sin(phi))/2))*6=0, phi
solve 0.5*9.8*sin(phi)-(cos(phi)-sqrt((1-sin(phi))/2))*6=0, phi В
В В S = Brow se Examples Surprise Me
Input interpretation
solve 0.5 9.8 sin(*)- cosid)-^ ^ (1 -sin(^l) 6 = 0 Ф
Open code
Results ^^НГй Step-by-step soiu^^^H
ф - 6.28319 п- 1.37546 rind neZ ¿ = 6.28319 л+0.468256 in.lneZ
/ II №е of 1п1:едег
Рис. 3
По условию задачи угол ф острый (0 < ф < 0,5п), поэтому в общем решении полагаем п = 0 и получаем ф = 0,468256 радиан.
Раздел «Кинематика».
Пример 2 [4]. Кривошип ОА длиной I = 1 м вращается вокруг неподвижной оси О (рис. 4). К точке А шарнирно прикреплен стержень АВ, проходящий через втулку С. Втулка С жестко прикреплена под прямым углом к стержню СП, скользящему вдоль горизонтальной направляющей (тем самым стержень АВ все время остается вертикальным). Задан закон движения стержня СБ: х(0 = J2s,[n(t2) при 0 < t < 0,7, где х отсчитывается вправо от вертикали, проходящей через точку О. В начальный момент точка А находится ниже точки О. Определите для момента времени I (0 < t < 0,7) угловую скорость ю и угловое ускорение 8 кривошипа ОА.
Входные данные: Выходные данные: ю, 8. Пример для отладки: при I = 0,3 получим ю = 1,556, 8 = 1,064.
Рис. 4
Решение. Обозначим через ф угол между вертикалью и ОА (рис. 5). Очевидно, что х = ОА$лпф. Можно проверить, что при 0 < t < 0,7 будет 0 < х(0 < 1. Отсюда следует, с учетом ОА = 1, что ф меняется от 0 до величины, несколько меньшей п / 2. Получаем ф = агсв1пх, то есть
ф(0 = агс51пУ251п(72). (1)
Рис. 5
Угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА определяются по формулам:
^ф dw dt' dt
Производные от выражения (1) в аналитической форме представляют собой достаточно громоздкие выражения. Их можно получить, используя базу знаний WolframAlpha.
Для определения угловой скорости ю находим первую производную по времени от функции (1), вводя в командную строку базы знаний WolframAlpha запрос следующего вида:
derivative of arcsin(sqrt(2*sin(tA2))), t=0.3
Результат выполнения данного запроса представлен на рис. 6.
Для определения углового ускорения 8 находим вторую производную по времени от функции (1), вводя в командную строку базы знаний WolframAlpha запрос следующего вида:
second derivative of arcsin(sqrt(2*sin(tA2))), t=0.3
Wolfram Alpha
derivative of arcsin(sqrt(2*sin(tA2))), t=0.3 В
В ■ S 9 s: WebApps = Examples ЭС Random
Input interpretation
dsin-'(v/2sin(t2) )
---- where t = 0.3
dt
sin"' tA") Is the inverse sine function
Result 1.55624
Рис. 6
Wolfram Alpha
second derivative of arcsin(sqrt(2*sin(tA2))), t=0.3 Q
В ■ ■ 9 WebApps = Exarr iples ЭС Random
Input interpretation
atsin-MJ2sin(t2)) ' where i = 0.3 dt2
sin" (x) is the inverse sine function
Result: 1.06351
Рис. 7
Раздел «Динамика».
Пример 3 [4]. Материальная точка М при t = 0 находится в покое на шероховатой поверхности (рис. 8) с углом наклона а = ул (0 < у < 0,5). Коэффициент трения f изменяется по закону: f = fi(1 - e где s - пройденный точкой путь, f - постоянная (0 < Д < 1). В момент времени t определить путь s. Принять g = 9,8 м/с2.
Входные данные: у, fi, t. Выходные данные: s. Пример для отладки: при у = 0,2, fi = 0,4, t = 1 получим s = 2,421 м.
Рис. 8
Решение. Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекциях на оси координат X, Y (рис. 9):
ms = тд sin a — FTp ,
0 = N — тд cos a .
Рис. 9
С учетом F-тр = f N и заданного выражения для f получим дифференциальное
уравнение:
s = g(sin a — ft cos a(1 — e s)).
При t = 0 s = g sin a > 0. Поэтому точка начинает двигаться вниз по плоскости. Для определения пройденного точкой пути s решаем это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта, вводя в командную строку базы знаний WolframAlpha запрос следующего вида, обозначив пройденный путь s символом х:
solve {x''-9.8(sin(0.2*3.1415)-0.4*cos(0.2*3.1415)*(1-eA(-x)))=0, x(0)=0, x'(0)=0}, Runge-Kutta method t=0..1
Результат выполнения данного запроса представлен на рис. 10. Раздел «Статика».
Пример 4 [5]. К жестко закрепленному в точке А стержню АВ длиной l = 1 м приложена неравномерно распределенная нагрузка интенсивностью q(x) = va + siñx (Н/м), где 0 < х < I, ось х отсчитывается от точки А; а > 0 - заданная константа (рис. 11). Весом стержня пренебрегаем. Определить момент заделки Ма.
Входные данные: а. Выходные данные: Ма. Пример для отладки: при а = 4 получим Ма = 1,0485 Н-м.
Рис. 10
Рис. 11 8
Решение. На участке ёх, удаленном от точки А на расстояние х, действует элементарная сосредоточенная сила dQ = ^(х)ёх (рис. 11). Момент этой силы относительно точки А равен: - х^(х)ёх. Тогда суммарный момент распределенной силы:
I
МА(ф = - | хц(х)йх. о
Уравнение равновесия стержня АВ для моментов относительно точки А имеет вид:
п
^тА(Рк) = 0; МА+МА(ф = 0. к=1
Отсюда момент заделки
МА = -МА
= -MA(Q) = J xq(x)dx.
Согласно условию задачи ц(х) = ^^а+^Лх, I = 1 м, а = 4, следовательно момент заделки Ма равен:
М,
= Jx^
+ sin2xdx.
Для определения момента заделки Ма, вводим в командную строку базы знаний WolframAlpha запрос следующего вида:
int (x*sqrt(4+sin(x)A2) from x=0 to x=1}
Результат выполнения данного запроса представлен на рис. 12.
о
1
о
Definite integral
( 'х yj 4 + sin2(JT) Jx = 1.04845
Jo
Open code
Рис. 12
Таким образом, применение ИКТ позволяет преодолевать сложности, «относящиеся уже не к теоретической механике, а к области вычислительной математики» [6], особенно
при нетрадиционных постановках учебных задач по теоретической механике, «углублённого изучения дисциплины, при составлении задач повышенной сложности, а также при проведении студенческих олимпиад» [7].
Ссылки на источники:
1. Клоков А.С., Ламонина Л.В., Смирнова О.Б., Сорокин А.Н. К вопросу о возможностях использования свободного и открытого программного обеспечения при обучении бакалавров // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2017. -№3 (10) июль - сентябрь. - URL http://ejournal.omgau.ru/images/issues/2017/3/00368.pdf. - ISSN 2413-4066 (дата обращения: 06. 08. 2018).
2. Клоков А.С., Сорокин А.Н. Wolfram Alpha как рабочая среда для студентов, изучающих курс теоретической механики // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№4 (7) октябрь - декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index. php/2016-god/7/32-statya-2016-4/463-00208. - ISSN 2413-4066 (дата обращения: 06. 08. 2018).
3. Попов А.Ю. История становления и тенденции развития олимпиадного движения по теоретической механике / А.Ю. Попов. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2010. - 136 с.
4. Зональная (II тур Всероссийской) студенческая олимпиада по теоретической механике. Казанский национальный исследовательский технологический университет 5-7 декабря 2012 г. http://www.kstu.ru/servlet/contentblob?id=55515 (дата обращения: 06. 08. 2018).
5. Зональная (II тур Всероссийской) студенческая олимпиада по теоретической механике. Казанский национальный исследовательский технологический университет 4-8 декабря 2013 г. http://www.kstu.ru/servlet/contentblob?id=70979 (дата обращения: 06. 08. 2018).
6. Клоков А. С., Сорокин А. Н. Постановка учебных вероятностных задач по теоретической механике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. -№ 5 (май). - С. 131-135. - URL:https://e-koncept.ru/2015/15155.htm (дата обращения: 06. 08. 2018).
7. Клоков А.С., Сорокин А.Н. О вероятностных постановках учебных задач по теоретической механике в разделе динамика // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№2(5) апрель-июнь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/5/29-statya-2016-2/354-00108a. - ISSN 2413-4066 (дата обращения: 06. 08. 2018).
Anatoliy Sorokin
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor FSBEI HO Omsk SA U, Omsk
Lyudmila Lamonina
Senior Instructor
FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Aleksandr Klokov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
On the Application of ICT in Solving Problems of Increased Complexity in the Course "Theoretical Mechanics"
Abstract: The article deals with the application of ICT (information and communication technologies) in solving problems of increased complexity from various sections of theoretical mechanics. The solutions of the problems proposed in different years at student's Olympiads on theoretical mechanics in the framework of a computer competition are presented.
Keywords: theoretical mechanics, statics, kinematics, dynamics, knowledge base WolframAlpha.
