CC BY
201
Клоков А.С., Сорокин А.Н. Wolfram Alpha как рабочая среда для студентов, изучающих курс теоретической механики // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№4 (7) октябрь - декабрь. - URL http://e-joumal.omgau.ru/index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/463-00208. - ISSN 2413-4066
УДК 378.14
Клоков Александр Сергеевич
Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУВО Омский ГАУ, г. Омск aleklokov@yandex.ru
Сорокин Анатолий Никифорович
Кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск anatoliy40in@gmail.com
Wolfram Alpha как рабочая среда для студентов, изучающих курс теоретической механики
Аннотация: В статье рассмотрено применение базы знаний Wolfram Alpha для решения учебных задач из курса «Теоретическая механика». На конкретном примере продемонстрирована её высокая эффективность при проведении символьных преобразований математических выражений, производимых при решении задач, а также числовых расчётов, предполагающих высокую точность. Статья представляет интерес в первую очередь для студентов инженерных специальностей, а также преподавателям при проведении занятий по теоретической механике.
Ключевые слова: база знаний WolframAlpha, инженерная механика, теоретическая механика, кинематика точки, скорость точки, ускорение точки, кривизна траектории, радиус кривизны траектории.
Задачи по инженерной механике, предлагаемые для решения студентам инженерных специальностей, как правило, содержат большой объём численных расчётов. Особенностью этих расчётов является то, что они должны производиться без так называемых промежуточных округлений. Известно, что такие округления весьма часто приводят к недопустимо большим погрешностям при получении конечного числового результата.
Для преодоления возникающих сложностей вычислительного характера (и символьных преобразований математических выражений) при выполнении заданий, предлагающихся слушателям курса «Инженерная механика», целесообразно использовать базу знаний и набора вычислительных алгоритмов WolframAlpha которая находится в свободном доступе по адресу http://www.wolframalpha.com/ [1].
С языком Wolfram Language можно познакомиться по книге «Элементарное введение в язык Wolfram Language» (http://www.wolfram.com/language/elementary-introduction/). Создатель этой базы знаний Стивен Вольфрам пишет: «Эта книга для всех. Она не предполагает каких-либо знаний из областей программирования, математики (за исключением основ арифметики) или чего-то еще. Она просто ведёт с нуля и объясняет самые разные вещи. Я пытался сделать её пригодной как для взрослых, так и для детей. Я думаю, она вполне сгодится для обычных детей в возрасте от примерно 12 лет и старше» [2].
На сайте http://www.wolframalpha-ru.com/ приводится большое количество примеров использования базы знаний WolframAlpha для решения разнообразных задач по всем разделам курса математики, который читается в высших учебных заведениях на русском языке.
Пользоваться базой знаний Wolfram Alpha очень просто:
1 шаг — зайти на сайт Wolfram Alpha;
2 шаг — в поле ввести нужный пользователю запрос, затем нажать на кнопку «=» либо просто «Enter».
Проиллюстрируем на конкретной задаче из курса инженерной механики https ://openedu. ru/course/urfu/ENGM/ [3] процедуру использования базы знаний WolframAlpha.
Задача. Мобильный робот-тележка осуществляет криволинейное движение за счет разности угловых скоростей ведущих колес, которые вращаются при помощи моторов-редукторов. Геометрические параметры мобильного робота: радиусы колес r = 3 см, расстояние между ними a = 9 см. При известном законе движения точки, делящей расстояние между колесами пополам: = 33sinfrCH; у = -23sir,21, см; 0 £ f < 20 с,
1. Найти её скорость и ускорение в момент времени t = 15 c, а также построить траекторию движения.
2. Найти ориентированную кривизну, радиус кривизны траектории, касательное и нормальное ускорения средней точки оси ведущих колес в указанный момент времени.
Решение. 1.1. Для того, чтобы построить траекторию движения точки, заданной параметрическими уравнениями, вводим в поле следующий запрос:
parametric plot (33*sin t, -23*sin2t), t=0 to15.
Траектория точки, делящей расстояние между ведущими колесами пополам имеет следующий вид (рис. 1):
Рис. 1.
1.2. Скорость средней точки оси ведущих колес находится по ее проекциям на оси координат х и у.
Находим проекции скорости точки vx и vy на координатные оси х, у вводя в поле следующие запросы:
vx:=derivative of 33*sin(t) vy:=derivative of -23*sin(2*t)
Для нахождения скорости точки вводим запрос:
v:=sqrt((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2)
Для того, чтобы найти проекции скорости на координатные оси, а также модуль скорости в момент времени t = 15 c вводим, соответственно (см. рис. 2):
derivative of 33* sin(t),t= 15 derivative of -23*sin(2*t),t=15 v:=(sqrt((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2),t=15)
Рис. 2.
1.3. Ускорение средней точки оси ведущих колес находится по его проекциям на координатные оси х и y.
Ускорение точки находится путём введения следующих запросов:
ax:=second derivative of 33*sin(t)
ay:=second derivative of -23*sin(2*t)
a:=sqrt(((second derivative of 33*sin(t))A2+(second derivative of -23*sin(2*t))A2)
Для того, чтобы найти проекции ускорения на координатные, а также модуль ускорения в момент времени t = 15 c вводим, соответственно, следующие запросы (см. рис. 3):
second derivative of 33*sin(t),t=15
second derivative of -23*sin(2*t),t=15
a:=(sqrt(((second derivative of 33*sin(t))A2+(second derivative of -23*sin(2*t))A2)),t=15) :=(sqrt(((second derivative of 33*an[t))A2*fceconii derivative of -23^п(2П))л2))Д=15) В
Well Apps = Examples Random
Input interpretation a = {
\
d2 (33 faü<t|)V & (-23 sin(2 Щ)
dt2 )
dt2
, t = 15}
© DowrJuaiJ page
Open cede
Result
я = Ш 1089 sin2(t) -b 8464 sin2(2 t) ,t = 15 [
Substitution: ExacifDrm IMoreoisils
V sin2(t) (lö 928 cos(2 t) 4- 18 0171 « 93.3977
POWEHEB BY THE WOLFRAM LANGUAGE
Рис. 3.
Таким образом, в момент времени I = 15 с проекции скорости средней точки оси ведущих колес на оси координат:
ух = - 25,0697 см/с,
Уу = - 7,09557 см/с.
Скорость средней точки оси ведущих колес: у = 26,0545 см/с.
Проекции ускорения средней точки оси ведущих колес на оси координат:
ах = - 21,4595 см/с2,
ау = - 90,8989 см/с2.
Ускорение средней точки оси ведущих колес: а = 93,3977 см/с2.
2.1. Ориентированная кривизна ><а траектории средней точки оси ведущих колес находится согласно определению по уравнениям траектории, заданным в параметрической форме
Ориентированная кривизна ^ находится путём введения запроса:
((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of -23*sin(2*t))-(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of 33*sin(t)))/sqrt(((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2)A3)
Ориентированная кривизна « п в момент времени t = 15 с находится путём введения запроса (см. рис. 4):
((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of -23*sin(2*t))-(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of 33*sin(t)))/sqrt(((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2)A3),t=15
Рис. 4.
2.2. Кривизна траектории средней точки оси ведущих колес равняется модулю ориентированной кривизны к =
2.3. Радиус кривизны траектории средней точки оси ведущих колес, согласно определению, находится как величина обратная кривизне траектории
I 1
к |АВ|
[A-2 + v3)s|
лу - Ху
Радиус кривизны Р находится путём введения запроса: sqrt(((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of-23*sin(2*t))A2)A3)/((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of -23*sin(2*t))-(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of 33*sin(t)))
Радиус кривизны траектории в момент времени t = 15 c находится путём введения запроса (см. рис. 5):
sqrt(((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2)A3)/((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of -23*sin(2*t))-(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of 33*sin(t))),t=15
Поле для ввода запросов имеет ограничение на число вводимых символов. В данном случае при введении запроса невозможно было ввести оператор нахождения модуля ориентированной кривизны поэтому получаемое числовое значение радиуса кривизны Р может быть и отрицательным. Очевидно, что радиуса кривизны Р будет равен модулю этого числового значения.
WolframAlpha
computational.
knowledge engine
sqrt(((derivative of 3 3 *si n (t:))^ 2+(derivative of -23*sin(2t))^2)*3)/((derivative of 33*sin(
В 0 H il
Input interpretation'
::: Web Apps = Examples Random
f ^(33 sin If j j |
2 I ¿i-23 5iTi(2r)) \2 p
3sm(2f)j j2|3
1 0(33sin(i» g2(-23sm(2f)j Ji-ДЗ sm(2f)j i2(33sm(t))
.'■"■■. -n- — - ■■■"■■
,t = is}
ijf
Ш
ot
at*
Open : ide {Q
Result:
J (1089 cos2(t) 4-2116 cos2 (2 t))3
( ■ ■ *=Щ 1 3036 sm(2 t) cosii) - 1518 sin(i) cos(2 t) >
Substitution: Exact form M ore digits
J(1089 cos2(t) 4-2116 cos2(2 t))3
- * 8.31715 759 (3 sin(t) 4- sin(3 t))
© Download page
POWERED E¥ THE WOLFRAM LANGUAGE
Рис. 5.
2.4. Тангенциальное ускорение средней точки оси ведущих колес Ж* + М-
Тангенциальное ускорение ят находится путём введения запроса:
((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of 33*sin(t))+(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of -23*sin(2*t)))/sqrt((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2)
7
Тангенциальное ускорение средней точки оси ведущих колес в момент времени t = 15 c находится путём введения запроса (см. рис. 6):
((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of 33*sin(t))+(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of -23*sin(2*t)))/sqrt((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2),t=15
Рис. 6.
2.5. Нормальное ускорение средней точки оси ведущих колес
I t Ъ ♦ ^
Нормальное ускорение й п находится путём введения запроса:
abs((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of -23*sin(2*t))-(derivative of -23*sin(2*t))*(second derivative of 33*sin(t)))/sqrt((derivative of 33*sin(t))A2+(derivative of -23*sin(2*t))A2)
Нормальное ускорение средней точки оси ведущих колес в момент времени t = 15 c находится путём введения запроса (см. рис. 7):
abs((derivative of 33*sin(t))*(second derivative of -23*sin(2*t))-(derivative of 23*sin(2*t))*(second derivative of 33*sin(t)))/sqrt((derivative of 33*sin(t))л2+(derivative of 23*sin(2*t))л2),t=15
Рис. 7.
Безусловно, студенты сначала должны научиться решать подобного рода задачи без привлечения вычислительной техники и программных средств. Применение же базы знаний WolframAlpha как для самоконтроля, так и для анализа полученных результатов, предоставляет дополнительные возможности в их самостоятельной работе по изучаемому курсу теоретической механики. Сайт WolframAlpha доступен через интернет с планшетов и большинства смартфонов, которые есть у подавляющего числа студентов. Полученные навыки работы в среде WolframAlpha могут пригодиться в дальнейшем при изучении других инженерных дисциплин (сопротивление материалов, теория механизмов и машин).
Использование возможностей, предоставляемых средой базы знаний WolframAlpha, позволяет значительно ускорить процесс вычислений при решении задач теоретической механики, гарантирует высокую точность при проведении вычислений без промежуточных округлений. Можно также отметить, что систематическое использование данной базы знаний в учебном процессе повышает его качество, а также помогает формировать профессиональные компетенции студентов.
Ссылки на источники:
1. WolframAlpha: Computational Knowledge Engine. Режим доступа: http://www.wolframalpha.com/ - [01.12.2016].
2. Книга Стивена Вольфрама «Элементарное введение в язык Wolfram Language» (перевод поста Stephen Wolfram "I Wrote a Book—To Teach the Wolfram Language".) - URL: https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/273601/. - [28.11.2016].
2. Курс Инженерная механика - URL - https://openedu.ru/course/urfu/ENGM - [01.12.2016].
Aleksandr Klokov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Sorokin Anatoliy Nikiforovich
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Wolframalpha as a Working Environment for Students Studying a Course of Theoretical Mechanics
Abstract: The article considers an application of WolframAlpha knowledge base for solving problems from a course of " Theoretical mechanics". High efficiency of the knowledge base is demonstrated on a case study while performing symbolic transformations of mathematical expressions and numerical calculations involving high precision. The article is primarily interesting for students of engineering specialties as well as for tutors during theoretical mechanics lessons.
Keywords: WolframAlpha knowledge base, engineering mechanics, theoretical mechanics, kinematics of a point, velocity of a point, acceleration of a point, a curvature of a trajectory, a radius of curvature of a trajectory.
