CC BY
33
Сорокин А.Н., Клоков А.С., Веретенников В.Н. Практика применения базы знаний WolframAlpha во внеаудиторной самостоятельной работе обучающихся при изучении раздела «Динамика» курса теоретической механики // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2017. -№1 (8) январь - март. - URL http://e-joumal.omgau.ru/mdex.php/2017/m5-statya-2017-1/782-00309. - ISSN 2413-4066
УДК 378.14
Сорокин Анатолий Никифорович
Кандидат технических наук, доцент ФГБОУВО Омский ГАУ, г. Омск. [email protected]
Клоков Александр Сергеевич
Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск as. [email protected]
Веретенников Виктор Николаевич
Студент
ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск vn.veretennikov1513 @omgau.org
Практика применения базы знаний WolframAlpha во внеаудиторной самостоятельной работе обучающихся при изучении раздела «Динамика» курса
теоретической механики
Аннотация: В статье обсуждается опыт применения базы знаний WolframAlpha во внеаудиторной работе обучающихся при изучении раздела «Динамика» курса теоретической механики. На примерах учебных задач, предлагаемых для самостоятельного решения без участия преподавателя, показана эффективность используемой базы знаний для их решения. Статья представляет интерес в первую очередь для обучающихся на инженерных направлениях подготовки, а также преподавателям инженерных дисциплин.
Ключевые слова: база знаний WolframAlpha, внеаудиторная работа, теоретическая механика, математика, динамика точки, дифференциальные уравнения.
Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся на инженерных направлениях подготовки, в силу различного рода причин, стала важнейшим элементом в системе высшего образования в условиях современного информационного общества. Эта работа включает в себя в качестве основных элементов - самостоятельное изучение отдельных разделов, тем, вопросов дисциплины по учебной литературе, решение задач, выполнение расчётно-графических работ, «типовых расчётов».
Естественно-научные дисциплины, изучаемые на первом и втором курсах, требуют самостоятельного выполнения большого объёма разнообразных заданий. Эти задания, как правило, имеют большую трудоёмкость [1,2].
Например, для обучающихся по направлению подготовки 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» в Омском ГАУ в течение первых двух лет
обучения предстоит самостоятельно выполнить многочисленные задания и решить большое количество задач по математике, информатике, физике, теоретической механике, сопротивлению материалов, теории механизмов и машин. Для многих обучающихся выполнить все эти задания в установленные сроки, с учётом предъявляемых к ним требований, представляет непростую задачу.
Решение задачи минимизации временных затрат направленных на качественное выполнение всех этих заданий, по выше перечисленным дисциплинам, невозможно себе представить без применения современных информационных технологий.
На первом и втором курсах обучающиеся могут эффективно применять при выполнении подавляющего большинства этих заданий базу знаний WolframAlpha.
Главная причина, которая заставляет обращать внимание именно на эту базу знаний - её открытый доступ в интернете, позволяющий обращаться к ней в том числе с планшетов и смартфонов.
База знаний WolframAlpha чрезвычайно эффективна при решения задач кинематики, статики и динамики дисциплины теоретической механики, стимулируя творческий подход к учебной исследовательской деятельности уже в первые месяцы обучения в университете. Основные вычислительные сложности при решении задач из этих разделов связаны с решением довольно громоздких систем линейных уравнений равновесия твёрдых тел, нахождением производных первого и второго порядка уравнений движения точки, заданных в параметрической форме с их последующими многочисленными подстановками в различные формулы для нахождения кинематических характеристик движущейся материальной точки (как в символьной, так и числовой форме) - её скорости и ускорения. При решении ряда задач из раздела «Динамика» возникает необходимость решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка с постоянными коэффициентами, систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а в некоторых случаях -решения нелинейных дифференциальных уравнений. Следует отметить, что ситуации, когда «студенты начинают сталкиваться со сложностями, относящимися уже не к теоретической механике, а к области вычислительной математики» [3] не являются редкими. Это видно особенно при нетрадиционных постановках учебных задач по теоретической механике «для углублённого изучения дисциплины, при составлении задач повышенной сложности для учебных программ технических вузов, а также при проведении студенческих олимпиад» [4].
Очевидно, что «задачи, требующие преодоления трудностей при их решении, не могут быть причиной для их исключения из рассмотрения... Для развития мыслительных способностей студентов подобный творческий подход является чрезвычайно продуктивным и побуждает их в дальнейшем при самостоятельном решении задач его использовать» [3].
В качестве задач, предлагаемых для самостоятельного решения без участия преподавателя и мотивирующих обучающихся применять базу знаний WolframAlpha, рассмотрим три задачи по динамике из руководства по теоретической механике [5].
Задача 8.21. В момент выключения двигателя моторная лодка массы т имела скорость Уо.Через какой промежуток времени скорость лодки станет в три раза меньше начальной, если
проекция на ось х силы сопротивления воды движению лодки равна
,
где * проекция скорости лодки, а и |3-постоянные положительные величины. Ось х направлена по горизонтали направо в сторону движения лодки. Вычислить также путь, пройденный лодкой за этот промежуток времени. Лодку считать точечной массой.
Я
Г -г _ -* 03
—— -------- р- -- —
Рис. 1
Решение. Выберем начало отсчёта на оси х таким образом, что в начальный момент времени лодка находится в начале отсчёта, то есть
npHt = 0 ж(0)=0, i<o>=i?B
Изобразим все силы, приложенные к лодке. Это сила тяжести лодки -P=mg, сила сопротивления движению лодки - F, нормальная реакция воды -R.
Уравнение движения лодки в проекции на ось х (на основании основного закона динамики) будет иметь следующий вид:
Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для его решения с помощью базы знаний WolframAlphaсоставим запрос в следующем
виде
solve m*x"(t)=-alfa*x'(t)-beta*x'(t)A2, x(0)=0, x'(0)=v0 На рис. 2 представлено полученное решение этого уравнения.
4^WolframAlpha
computational knowledge engine
solve [m**'{t)i-affà*x'(t)-beteMt)A2, х(0)=0, x'(0)=v0] В
В Ё Э if ï-i WebApps = Examples Random
Input: |niJt"(t) = -a x'{t)~ ßx'itf, x(0) = 0, je'iO) = v0| Open code
Autonomous equation: m x"(t) = -a x'{t)- ßx'{tf Autonomous equHtion »
ODE classification: second-order nonlinear ordinary differential equation
Alternate forms: {m x"(t) = -Jc'(i) (a + fix'(t)), x{0) = 0, vQ = x'(Q)}
№ -I- ßx'lt)) = 0, j^CP) = Q, vO = *'(0|}
Differencial equation solution
m logfc^ - ) - ni lW—M + a (-0 V S Va-l-ßvO t
Approximate form
Of Stsr-by-stepsolution
Ш) =
Open code
Рис. 2
Полученный закон x(t) движения лодки позволяет найти с помощью запроса
derivative [(m*log(eA(alfa*t/m)-beta*v0/(alfa+beta*v0))-log(alfa/ (alfa+beta*v0))-alfa*t)/beta, t]
скорость лодки как функцию времени.
На рис. 3 представлена зависимость скорости лодки от времени.
Рис. 3
Теперь зная закон изменения скорости лодки как функции времени нетрудно составить запрос, позволяющий найти время, через которое скорость лодки уменьшится в три раза.
Этот запрос имеет следующий вид
solve [v0/3=alfa*v0/(eA(alfa*T/m)*(alfa+beta*v0)-beta*v0), T]
Этот запрос предполагает, 4TOWolframAlpha будет решать достаточно громоздкое уравнение относительно времени Т.
На рис. 4 мы можем увидеть ответ на поставленный вопрос.
Исходя из физического смысла задачи, в найденной серии решений нас будет интересовать только решение в области действительных чисел.
И, наконец, для того, чтобы найти искомый путь лодки за время, в течение которого скорость лодки уменьшилась в три раза, достаточно подставить в закон движения лодки время t = T.
Рис. 4
Задача 8.22. Измерение глубины реки производится с помощью груза, опускаемого на тросе в воду до дна реки. При опускании груза со скоростью Vо трос оборвался и груз достиг дна через Т секунд после момента обрыва троса.
Определить путь Н, пройденный грузом до дна реки, если проекция на ось х силы сопротивления воды движению груза равна
,
где т-масса груза, - проекция его скорости на ось х, £ постоянный положительный коэффициент. Ось х направлена по вертикали вниз. Силой выталкивания груза из воды пренебречь.
Решение. Груз будем считать материальной точкой. Начало отсчёта возьмём в точке О, соответствующей моменту обрыва троса. Изобразим все силы, приложенные к грузу (рис. 5). Это сила тяжести груза-Р=да^, сила сопротивления воды движению груза-Л, направленная в сторону, противоположную движения груза.
Уравнение движения груза в проекции на ось х (на основании основного закона динамики) будет иметь следующий вид:
.
Учитывая условия задачи, получим
и! = гпд — ктЛ И1Шх = д—кх
Начальными условиями являются:
при
£ = О
= О,
Для решения задачи следует решить полученное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
г--- -: — jr'Trtr.— ~
--; I—
----* -- ---
--Г1 ----
I---pj Г" * ----
r--- —
-- —.
■ L„
X
Рис. 5
Запрос для решения этого уравнения имеет вид:
solve [x''(t)=g-k*x'(t), x(0)=0, x'(0)=v0] На рис. 6 представлено полученное решение этого уравнения.
i^WolframAlpha
computational knowledge engine
sotve [x'(t)=g-k*x'(t), Jt'(0)=v03 В
B O m & WebApps = Examples ЭС Random
Input:
= g-kx'(t), x(0) = 0, x'(0) = vO} Open code ¿2i
Autonomous equation:
x"(t) = g - kx'(t) AirtDnomous equation »
ODE classification:
second-order linear ordinary differential equation
Alternate form'
iff = kx'm + x"(t), x(0) = 0, vO = x'(0)}
Differential equation solution
c-kt (fci- 1) f l)-bkvO(etf - l))
Approximate form
В Etep-by-step solution
ш =
k2
Рис. 6
Ответ к задаче получается, если в закон движения груза подставить 1=Т, и х(Т)= Н.
Задача 8.26. Камень, брошенный с берега в воду, коснулся поверхности воды со скоростью Vо под углом а к поверхности (рис.7).
Найти уравнение движения камня в воде, если сила сопротивления водыЛ= - kmv, где т -масса камня, к - постоянный положительный коэффициент. Оси х и у изображены на рис. 7.
Рис. 7
Решение. Камень будем считать материальной точкой, к которой приложены сила тяжести P=mg, сила сопротивления водыЛ, направленная в сторону, противоположную вектору его скорости.
Начальные условия движения камня:
при
t = О
= о,
у(О) = О,
;t(0) = i?scosor
.
Уравнение движения камня в проекциях на оси х и у (на основании основного закона динамики) будет иметь следующий вид:
Tilt = Рж +- Rx,
.
Или, после несложных подстановок и преобразований, получаем следующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую движение камня:
.
виде:
Для её решения с помощью базы знаний WolframAlphaсоставим запрос в следующем solve [x''(t)=-k*x'(t), y''(t)=g-k*y'(t), x(0)=0, y(0)=0, x'(0)=v0*cos(alfa), y'(0)=v0*sin(alfa)]
На рис. 8 представлено полученное решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Функции х(^), у(^) и есть искомые уравнения движения камня.
# WolframAlpha sssx
solve [x"(t)=-k*x'(t), y"(t)=g-k*y,(t), x(0)=0, y(0)=0, x'(0)=v0*cos(alfa), y'(0)=v0*sin(alfa)] О
69 EI Ш Щ ::: WebApps = Examples Random
Input:
|*"(t) = -kx'{t),y"{t) = g-ky'{t),
x{G) = 0, у(0) := 0, дг'(О) =: vO catfa), y'(0) = vO shun-)} Open code f+\
ODE classification:
Systeaft of linear differential equations
Alternate forms:
Ik= 0, g = k/(t)4-/'(t),
x(0) = 0, y(0) = 0, vO cos {a) = x'{0), vO sin(tr) = .y'(0)} ¿Si
= -kx'(t),y'\t) = g-ky\t),x( 0) = 0,j(0) = 0,
Ж(0) = - e-iev0+- - e'4vO, v'(0) = - ic-'^fl-- f e'^voj 2 2 2 2 > ¿Si
Differential equation solutions:
vO cos(ct) - vO cos(ti-) c~:':7 x(t) =--- к ¿Si
c-kt (fct_ i|+.fcvOsin(ii) etr - 1)) y{t) —--—-- В
Рис. 8
Рассмотренные в настоящей статье задачи и приведённые их решения убедительно показывают, что применение базы знаний WolframAlphaможет существенно сокращать время, требуемое для решения задач. Кроме того, видоизменяя вводимые запросы, можно без особых затруднений производить численные эксперименты с математическими моделями, описывающими поведение изучаемых объектов.
Ссылки на источники:
1. Клоков А.С., Сорокин А.Н. WolframAlpha как рабочая среда для студентов, изучающих курс теоретической механики // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. -2016. -№4 (7) октябрь - декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/463-00208. - ISSN 2413-4066.
2. Клоков А.С., Сорокин А.Н. Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы знаний WolframAlpha // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№4 (7) октябрь - декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/491-00236. - ISSN 2413-4066.
3. Клоков А. С., Сорокин А. Н. Постановка учебных вероятностных задач по теоретической механике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 5 (май). - С. 131-135. - URL: https://e-koncept.ru/2015/15155.htm.
4. Клоков А.С., Сорокин А.Н. О вероятностных постановках учебных задач по теоретической механике в разделе динамика // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№2(5) апрель-июнь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/5/29-statya-2016-2/354-00108a. - ISSN 2413-4066.
5. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах./Под ред. Д. Р. Меркина. Т. II. Динамика. - 7-е изд., перераб. -М.; Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 560 с.
Anatoliy Sorokin
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor FSBEI HO Omsk SA U, Omsk
Aleksandr Klokov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor FSBEI HO Omsk SA U, Omsk
Viktor Veretennikov
Student
FSBEI HO Omsk SA U, Omsk
Applications of Wolfram Alpha Knowledge Base in Extracurricular Individual Work of Students Studying „Dynamics", a Part of the Theoretical Mechanics Course
Abstract. The article discusses practice of applying Wolfram Alpha knowledge base in extracurricular work of students during studying „Dynamics", a part of the theoretical mechanics course. On examples of learning tasks, given for individual solving without a help from a teacher, we show high efficiency of the knowledge base. The article is interesting primarily for students studying engineering specialties and their teachers.
Keywords: Wolfram Alpha knowledge base, extracurricular work, theoretical mechanics, mathematics, dynamics of a point,differential equations.
