О ПРАВИЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВОЛН ПРИ КОСОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗВУКА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ СРЕД Текст научной статьи по специальности «Физика»

О правильных коэффициентах отражения и преломления волн при косом распространении звука через границу сред

Захаров Аркадий Васильевич,

кандидат технических наук, профессор, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), zakharov.arkady@yandex.ru

В теории распространения звука через границы сред формулы Френеля позволяют определить коэффициенты прохождения и отражения звукового давления только при нормальном падении волн. В середине двадцатого века, благодаря развитию электроники, экспериментально были получены формулы для определения указанных коэффициентов, как по звуковому давлению, так и по колебательной скорости, при различных углах распространения волны. До настоящего времени предпринимаются разнообразными методами попытки получить эти формулы теоретическим путем. В данной статье показано, что при записи исходных уравнений неразрывности на границе сред не учитывалось изменение ширин падающего, отраженного и преломленного волновых лучей при изменении угла падения волны, в то время как при нормальном падении ширины всех лучей одинаковы. При отсутствии внимания этому обстоятельству приводило к потере условий неразрывности на границе сред и неудачам построения теоретических формул коэффициентов прохождения и отражения звука в течение четырех столетий. Автором предложена модель среды распространения волны, согласно которой из среды выделяется слой единичной толщины, который лежит в плоскости падающего, отраженного и преломленного лучей, состоящих из кусков вещества среды, сплоченных без зазоров и наложений. Объемы кусков определяются длинами волн на рассматриваемой частоте, и единичной площадью поперечного сечения волнового луча при нормальном падении волны. При наклонном падении ширины лучей пропорциональны косинусам углов падения и преломления волн. Далее, согласно стандартным в механике процедурам, массы кусков среды представляются материальными точками, обладающими эффективными значениями колебательных скоростей, вводят в уравнения законов сохранения классической механики, совместное решение которых дает правильные формулы коэффициентов прохождения и отражения по колебательной скорости при любых углах падения волны. Ключевые слова: коэффициенты отражения и преломления волн, ширина волнового луча, материальная точка, эффективное значение колебательной скорости, неразрывность, законы сохранения кинетической энергии и количества движения.

Означенный в аннотации факт изменения ширин волновых лучей виден на схеме рис.1, полученной при совмещении рисунков 14.2 и 14.3 пособия [1,2], иллюстрирующих принцип Гюйгенса, 1678-90 г., построения фронтов волн при отражении и преломлении волновых лучей на границе сред, проходящей через точки О и К.

Рисунок 1. Совмещение схем Гюйгенса построения фронтов падающей, отраженной и преломленной волн при косом падении волны на границу сред, включающую линию ОК

На схеме отрезками и OD обозначена ширина волнового луча, падающего под углом 01 на границу раздела сред, отрезком ЕК - ширина отраженного луча под углом 01, отрезком СК - ширина преломленного луча пол углом 02 и отрезком ОК - ширина общего для всех лучей следа, расположенного на границе сред. Пунктирными линиями О и К обозначен габарит ширин нормально падающего, отраженного, прошедшего лучей и их следа на границе сред. Из рассмотрения схемы можно отметить две очевидные, но не принятые ранее в расчет, особенности: 1) при уменьшении угла наклона распространения волны к границе сред ширины падающего, отраженного и преломленного лучей уменьшаются относительно ширины нормально падающего луча, 2) ширины следов лучей, независимо от углов их распространения, одинаковы и равны ширине следа и луча, нормально падающего на границу сред. Отмеченные особенности позволяют объяснить причину пригодности формул Френеля только при нормальном распространении волны через границу сред отсутствием разности ширин всех волновых лучей.

Эти особенности, вытекающие из условий неразрывности, не включены в исходные уравнения неразрывности, поскольку принятой к расчету исходной физической моделью является только диаграмма векторов М, Е, и С колебательных скоростей [3, с. 9]. Следовательно, для решения поставленной задачи, необходима физическая модель передачи движения, в которой должна быть

X X

о

го А с.

X

го т

о

2 О

м м

сч сч о сч

оэ

о ш Ш X

<

т о х

X

представлена не только, уже принятая во внимание, скорость, но и её носитель, то есть масса, величина которой, и определяется шириной волнового луча.

В классической механике есть, полученные И. Бер-нулли (1724 г.) [1], уравнения передачи движения при упругом соударении тел, содержащие две сопряженные величины - массу и её скорость. Это уравнение сохранения кинетической энергии и уравнение сохранения количества движения. Полезная особенность этих уравнений для решения поставленной задачи в том, что в них не описывается процесс передачи движения, а записываются кинетические состояния тел до и после момента их соударения. Соотношение этих состояний и есть суть задач о соударении тел и о распространении волн через границы сред. Отношения скоростей тел, полученных после удара, к начальной скорости ударяющего тела являются коэффициентами отскока и передачи движения, которые могут быть аналогами коэффициентов отражения и прохождения колебательной скорости волн при нормальном распространении плоской продольной гармонической волны через плоскую границу сред. Для доказательства такой возможности, представим, в соответствии с принципом неразрывности, модель передачи движения в среде распространения волн сплошным пространством, сплошь, без разрывов и наложений, состоящим из кусков. Объем каждого из них определяется длиной волны на рассматриваемой частоте, умноженной на площадь поперечного сечения волнового луча. Этот объем, аналогичный объему тела, аппроксимируется сосредоточенной массой, обладающей эффективным значением колебательной скорости частиц среды. Наибольшую аналогию с нормальным распространением волны через границу сред представляет центральный упругий удар массы т1, движущейся со скоростью v по покоящейся массе т2,. В этом случае, закон сохранения кинетической энергии может быть представлен в следующем виде:

т^2/2 = т1 ^Р')2/2 + т2^а')2/2 (1)

закон сохранения количества движения: m1v = т-^Р' + т2 vа' (2)

где V - начальная скорость ударяющего тела, vР'-скорость отскока и va' - скорость прохождения.

Решение уравнений (1) и (2) дает следующие формулы коэффициентов отскока и передачи:

Р'=;

(3)

т1+ т2 т1+ т2

Формулы О. Френеля для коэффициентов отражения и прохождения волн, в [4, с. 131-132], представлены в следующем виде:

п г* /(4)

У_ Р2с2-Р1С1 w = 2 р2с2

давлений, соответственно, в падающей, отраженной и прошедшей волнах:

Р1 = = = ^>Р2с2 (5)

Условия неразрывности звукового давления и колебательной скорости на границе сред:

Р1 + Р^=Р2, (6)

у[= v2, (7)

Заменим члены уравнения (6) неразрывности давления на эквивалентные выражения скорости в формулах

(5): ,

VlP1с1 - víр1c1 = V2р2c2 (8)

Теперь имеем однородную по колебательной скорости систему уравнений неразрывности (7) и (8). Сократив все члены системы на колебательную скорость в падающей волне, получим уравнения неразрывности в следующем виде:

1 + Р = а , р1С1(1 - Р) = р2С2а (9)

Решение системы уравнений дает следующие формулы коэффициентов отражения и прохождения волны по колебательной скорости:

р = р1с1-р2с1 и

Р1С1+Р2С2

а =-1-

(10)

Р2С2 + Р!С1 Р2С2 + Р!С1

где р и с - плотность среды и скорость звука.

Здесь автор [4] четко не указывает физической величины, к которой относятся коэффициенты (4), но автор [3] указывает на принадлежность их к звуковому давлению.

Как видно, имея общую структуру и разный порядок индексов, формулы (3) представляют соотношения масс тел с размерностью [кг], а формулы (4) - соотношения волновых сопротивлений сред с размерностью [кг м-2 с-1].

Воспользуемся методом вывода коэффициентов, представленным в [4], найдем искомые коэффициенты по колебательной скорости.

Используя известную через волновое сопротивление зависимость между звуковым давлением р и колебательной скоростью н запишем выражения звуковых

Р1С1+Р2С2

Как видно, порядок индексов коэффициентов в формулах (10) и (3) совпадает, что указывает на то, что найденные коэффициенты относятся к колебательной скорости.

Таким образом, показана возможность создания физической модели определения коэффициентов отражения и прохождения волн на основе законов сохранения классической механики. Это дает основание полагать наличие общности законов передачи движения между дискретными телами и волнами в сплошных средах. Для подтверждения предположения этого преобразуем размерность членов формул (10), введя в них общий множитель ^Я), не влияющий на результаты расчетов, в размерность членов формул (3). Здесь S [м2] - площадь поперечного сечения луча, Я [с-1] - текущая частота. Таким образом, при нормальном падении звука достигнута полная аналогия между соударением тел и прохождением звука через границу сред.

Рассмотрим возможность аналогии при косом падении звука, с учетом второго закона Снелля и принципа Гюйгенса построения фронта волны. Согласно Снеллю, падающий, отраженный, преломленный лучи и нормаль к границе сред в точке пересечения лучей лежат в одной плоскости. Следовательно, толщину всех перечисленных волновых лучей можно задать равной единичной толщине слоя разделенных границей сред. Также, равной единице можно задать ширину луча, нормально падающего на границу сред. Тогда ширины падающего, отраженного и преломленного лучей будут пропорциональны соответствующим косинусам падающего, отраженного и преломленного луча. Примем это положение за исходный пункт записи уравнений сохранения.

В этом случае скалярное уравнение закона сохранения кинетической энергии при падении волны под углом 01 и преломлении под углом 02 к нормали границы сред примет вид:

(р^^б^. v2 (р^гозВ^- ^ Р)2

■ +

+ (р2^со592> [КГМ2С_2]

(11)

а'

Косинусы в числителях каждого члена уравнения задают ширины лучей, обеспечивающие единый след на границе сред.

Векторное уравнение сохранения количества движения содержит в знаменателях каждого члена косинусы направления колебаний продольных волн в каждом луче:

(р^со:;е1>со^=—со^—+

+(р2Х2со5е2)-(уа)/со5е2,|к™с"1] (12)

Сокращение косинусов приводит к уравнению: (р^О-у = (р1Х1)-(ур) + (р2Х2)-(уа),[кгмс"1] (12*) которое показывает, что при любых углах распространения плоской гармонической волны количество колебательного движения остается постоянным и равным значению при нормальном падении волны. Косинусы в числителях каждого члена уравнений (11) и (12) задают ширины лучей, обеспечивающие единый след на границе сред и, тем самым, условия неразрывности.

Формулы коэффициента преломления (прохождения) и коэффициента отражения, полученные решением уравнений (11) и (12), представлены в следующем виде:

а = 2р1.1/со5е1-, (13)

Р1^1/СОЗЭ1+Р2^2/СОЗЭ2 Р _ Р1^1/С0581- р2^2/С0582 (14)

P1^1/COS01+ P2^2/COS02

Путем умножения числителей и знаменателей формул (13) и (14) на частоту f преобразуем величины рА, в рс, в результате формулы примут привычный в акустике вид [4,5].

По результатам изложенного можно заключить:

1. На основании принципа неразрывности и законов сохранения механики теоретически получены формулы коэффициентов отражения и преломления акустических волн при любых углах их падения на границу сред;

2. На основании п.1 заключения можно предположить существование свойства дискретности сплошных упруго-инерционных сплошных сред.

Литература

1. Кабардин О. Ф. Физика, справочник. - М.: АСТ -Пресс школа, 2007. -С. 381-383.

2. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах / Изд. второе, предисловие к первому изданию. - М.: Издательство «Наука», 1973. - 343 с.

3. Скучик З. Е. Основы акустики / Т. 1. - М.: Издательство «Мир», 1976.

4. Исакович М. А. Общая акустика. - М.: Издательство «Наука», 1973. - 496 с.

5. Бернулли И. Избранные сочинения по механике. - М.: Объедин. науч.-техн. изд.; Л.: Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937. - 297 с.

On the correct coefficients of reflection and refraction of waves during oblique propagation of sound through the boundary of media

Zakharov A.V.

National Research Moscow State University of Civil Engineering

JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_

In the theory of sound propagation through the boundaries of media, Fresnel formulas allow us to determine the coefficients of passage and reflection of sound pressure only at normal wave incidence. In the middle of the twentieth century, thanks to the development of electronics, formulas were experimentally obtained for determining these coefficients, both in terms of sound pressure and vibrational velocity, at different angles of wave propagation. To date, attempts have been made by various methods to obtain these formulas in a theoretical way. This article shows that when writing the initial continuity equations at the boundary of the media, the change in the widths of the incident, reflected and refracted wave rays was not taken into account when the angle of incidence of the wave changed, while at normal incidence the widths of all rays are the same. In the absence of attention to this circumstance, it led to the loss of continuity conditions at the boundary of media and failures to construct theoretical formulas for the coefficients of sound transmission and reflection for four centuries. The author has proposed a model of the wave propagation medium, according to which a layer of unit thickness is isolated from the medium, which lies in the plane of incident, reflected and refracted rays consisting of pieces of the medium substance, cohesive without gaps and overlaps. The volumes of the pieces are determined by the wavelengths at the frequency under consideration, and the unit cross-sectional area of the wave beam at normal wave incidence. With an oblique incidence, the widths of the rays are proportional to the cosines of the angles of incidence and refraction of the waves. Further, according to standard procedures in mechanics, the masses of the pieces of the medium are represented by material points with effective values of vibrational velocities, introduced into the equations of conservation laws of classical mechanics, the joint solution of which gives the correct formulas for the coefficients of passage and reflection along the vibrational velocity at any angles of incidence of the wave.

Keywords: wave reflection and refraction coefficients, wave beam width, material point, effective value of vibrational velocity, continuity, laws of conservation of kinetic energy and amount of motion.

References

1. Kabardin O. F. Physics, reference book. - M.: AST - Press School, 2007. -

S. 381-383.

2. Brekhovskikh L. M. Waves in layered media / Ed. second, preface to the

first edition. - M.: Publishing house "Nauka", 1973. - 343 p.

3. Skuchik Z. E. Fundamentals of acoustics / T. 1. - M .: Mir Publishing House,

1976.

4. Isakovich M. A. General acoustics. - M.: Publishing house "Nauka", 1973.

- 496 p.

5. Bernoulli I. Selected works on mechanics. - M.: Obedin. sci.-tech. ed.; L .:

Main edition of technical and theoretical literature, 1937. - 297 p.

X X О го А С.

X

го m

о

2 О

м м