CC BY
9Обратные задачи 129
О построении сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные симметричные 2-тензорные поля
А. П. Полякова, И. Е. Светов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Email: apolyakova@math.nsc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10218
Рассматривается задача восстановления трехмерного симметричного 2-тензорного поля, заданного в единичном шаре, по его известному нормальному преобразованию Радона. Поскольку соленои-дальная часть симметричного 2-тензорного поля лежит в ядре оператора нормального преобразования Радона, мы можем восстановить лишь его потенциальную часть.
Ранее [1] было построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля, и численно реализован алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля [2].
В данной работе построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на симметричные 2-тензорные поля, получена формула обращения и аппроксимации для обратного оператора. В исходном пространстве ортонормированные базисы строятся с помощью полиномов Якоби и сферических гармоник. Используя [3], удалось показать, что соответствующие ортонормированные базисы в пространстве образов строятся на основе полиномов Гегенбауэра и сферических гармоник. Упомянем работу [4], в которой ортогональность построенных базисных полей была проверена численно.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества, проект 19-51-12008.
Список литературы
1. Polyakova A. P. Reconstruction of a vector field in a ball from its normal Radon transform. J. of Mathematical Sciences. 2015. V. 205, No 3. P. 418-439.
2. Polyakova A. P., Svetov I. E. Numerical Solution of the Problem of Reconstructing a Potential Vector Field in the Unit Ball from Its Normal Radon Transform. J. of Applied and Industrial Mathematics. 2015. V 9, No 4. P. 547-558.
3. Louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radon Transform. Society for industrial and applied mathematics. 1984. V.15, No 3. P. 621-633.
4. Полякова А. П., Светов И. Е. Численное решение задачи восстановления потенциального симметричного 2-тензорного поля в шаре по его нормальному преобразованию Радона. Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 154-174.
Численные методы решения задачи продолжения решения параболического уравнения с данными на части границы
А. Ю. Приходько1,2 М. А. Шишленин1,2,3
1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
2Новосибирский государственный университет
3Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Email: a.prikhodko@g.nsu.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10219
Исследуются численные методы решения задачи продолжения решения трехмерного параболического уравнения с данными, заданными на времениподобной поверхности. Такие задачи возникают при исследовании процессов тепло-массопереноса [1].
Измерение плотности теплового потока является сложной задачей. Существующие на данный момент методы обладают невысокой точностью, датчики теплового потока имеют большие размеры и не могут быть успешно использованы, особенно в мини- и микросистемах. Прямых методов дистанционного измерения плотности теплового потока на сегодняшний момент нет. Поэтому необходимо применять математическое моделирование для вычисления плотности теплового потока.
Реализованы метод обращения разностной схемы (и его регуляризованный вариант) и градиентный метод [2]. Получена формула градиента функционала.
Проведен сравнительный анализ численных методов решения задачи продолжения.
