Численные методы решения задачи продолжения решения параболического уравнения с данными на части границы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Обратные задачи 129

О построении сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные симметричные 2-тензорные поля

А. П. Полякова, И. Е. Светов

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Email: apolyakova@math.nsc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10218

Рассматривается задача восстановления трехмерного симметричного 2-тензорного поля, заданного в единичном шаре, по его известному нормальному преобразованию Радона. Поскольку соленои-дальная часть симметричного 2-тензорного поля лежит в ядре оператора нормального преобразования Радона, мы можем восстановить лишь его потенциальную часть.

Ранее [1] было построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля, и численно реализован алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля [2].

В данной работе построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на симметричные 2-тензорные поля, получена формула обращения и аппроксимации для обратного оператора. В исходном пространстве ортонормированные базисы строятся с помощью полиномов Якоби и сферических гармоник. Используя [3], удалось показать, что соответствующие ортонормированные базисы в пространстве образов строятся на основе полиномов Гегенбауэра и сферических гармоник. Упомянем работу [4], в которой ортогональность построенных базисных полей была проверена численно.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества, проект 19-51-12008.

Список литературы

1. Polyakova A. P. Reconstruction of a vector field in a ball from its normal Radon transform. J. of Mathematical Sciences. 2015. V. 205, No 3. P. 418-439.

2. Polyakova A. P., Svetov I. E. Numerical Solution of the Problem of Reconstructing a Potential Vector Field in the Unit Ball from Its Normal Radon Transform. J. of Applied and Industrial Mathematics. 2015. V 9, No 4. P. 547-558.

3. Louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radon Transform. Society for industrial and applied mathematics. 1984. V.15, No 3. P. 621-633.

4. Полякова А. П., Светов И. Е. Численное решение задачи восстановления потенциального симметричного 2-тензорного поля в шаре по его нормальному преобразованию Радона. Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 154-174.

Численные методы решения задачи продолжения решения параболического уравнения с данными на части границы

А. Ю. Приходько1,2 М. А. Шишленин1,2,3

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

2Новосибирский государственный университет

3Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Email: a.prikhodko@g.nsu.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10219

Исследуются численные методы решения задачи продолжения решения трехмерного параболического уравнения с данными, заданными на времениподобной поверхности. Такие задачи возникают при исследовании процессов тепло-массопереноса [1].

Измерение плотности теплового потока является сложной задачей. Существующие на данный момент методы обладают невысокой точностью, датчики теплового потока имеют большие размеры и не могут быть успешно использованы, особенно в мини- и микросистемах. Прямых методов дистанционного измерения плотности теплового потока на сегодняшний момент нет. Поэтому необходимо применять математическое моделирование для вычисления плотности теплового потока.

Реализованы метод обращения разностной схемы (и его регуляризованный вариант) и градиентный метод [2]. Получена формула градиента функционала.

Проведен сравнительный анализ численных методов решения задачи продолжения.

130

Секция 8

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 19-01-00694).

Список литературы

1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Ненарокомов А. В. Обратные задачи в исследовании сложного теплообмена // М.: Янус-К. 2009.

2. Belonosov A., Shishlenin M., Klyuchinskiy D. A comparative analysis of numerical methods of solving the continuation problem for 1D parabolic equation with the data given on the part of the boundary // Advances in Computational Mathematics. 2019. Т. 45. №. 2. С. 735-755.

Регуляризация алгоритмов построения апостериорных погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений

A. Н. Рогалев

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Email: rogalyov@icm.krasn.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10220

Большинство методов оценки ошибок численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) приводят к сильному росту границ этих ошибок, отсутствует дополнительная априорная информация о точном решении [1]. В докладе предлагается регуляризация алгоритмов оценки точности численных решений, записанных в операторном виде. Эти алгоритмы выполняют апостериорный анализ ошибок численных решений ОДУ [2-3], а именно, реализуется коррекция дефекта (невязки), решаются задачи с возмущенной специально подобранной правой частью и модифицированные уравнения. Эти алгоритмы являются регуляризирующими правилами нахождения оценки приближенного решения сходящейся к точной оценке погрешности при стремлении невязки к нулю. Регуляризация существенно упрощает построение достаточно точных оценок погрешности.

Список литературы

1. Дорофеев К. Ю., Титаренко B. Н, Ягола А. Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей для некорректных задач // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 2003. Т. 43, № 1. С. 2-5.

2. Corless, R. M., Pilyugin, S. Y. Approximate and real trajectories for generic dynamical systems. J. Math. Anal. Appl. 1995, 189(2), p. 409-423.

3. Рогалев А. Н. Построение регуляризирующего оператора при обратном анализе ошибок // Труды Международной конференции "АПВМ -2019". С. 406-412 . URL http://conf.nsc.ru/files/ conferences/amca2019/554130/ АПВПМ-2019^.

Обратная задача электродинамики для анизотропной среды

B. Г. Романов

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Email: romanov@math.nsc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10378

Для системы уравнений электродинамики, в которой диэлектрическая проницаемость определяется симметрической матрицей, рассматривается обратная задача об определении этой матрицы по информации о решениях уравнений электродинамики. Предполагается, что диэлектрическая проницаемость является постоянной всюду вне некоторой ограниченной области и совпадает там с заданной положительной постоянной, а внутри области среда является анизотропной и элементы искомой матрицы мало отличаются от заданной постоянной. Обратная задача исследуется в линейном приближении. Изучается структура решения линеаризованной прямой задачи для уравнений электродинамики и доказывается, что при некоторой специальной системе наблюдений можно однозначно найти все элементы матрицы. При этом оказывается, что задачи об определении диагональных компонент матрицы совпадают с обычными задачами рентгеновской томографии, что позволяет эффективно их вычислять. Отыскание не диагональных компонент матрицы приводит к более сложной алгоритмической процедуре.

Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке при НГУ, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2019-1613.