Регуляризация алгоритмов построения апостериорных погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

130

Секция 8

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 19-01-00694).

Список литературы

1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Ненарокомов А. В. Обратные задачи в исследовании сложного теплообмена // М.: Янус-К. 2009.

2. Belonosov A., Shishlenin M., Klyuchinskiy D. A comparative analysis of numerical methods of solving the continuation problem for 1D parabolic equation with the data given on the part of the boundary // Advances in Computational Mathematics. 2019. Т. 45. №. 2. С. 735-755.

Регуляризация алгоритмов построения апостериорных погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений

A. Н. Рогалев

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Email: rogalyov@icm.krasn.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10220

Большинство методов оценки ошибок численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) приводят к сильному росту границ этих ошибок, отсутствует дополнительная априорная информация о точном решении [1]. В докладе предлагается регуляризация алгоритмов оценки точности численных решений, записанных в операторном виде. Эти алгоритмы выполняют апостериорный анализ ошибок численных решений ОДУ [2-3], а именно, реализуется коррекция дефекта (невязки), решаются задачи с возмущенной специально подобранной правой частью и модифицированные уравнения. Эти алгоритмы являются регуляризирующими правилами нахождения оценки приближенного решения сходящейся к точной оценке погрешности при стремлении невязки к нулю. Регуляризация существенно упрощает построение достаточно точных оценок погрешности.

Список литературы

1. Дорофеев К. Ю., Титаренко B. Н, Ягола А. Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей для некорректных задач // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 2003. Т. 43, № 1. С. 2-5.

2. Corless, R. M., Pilyugin, S. Y. Approximate and real trajectories for generic dynamical systems. J. Math. Anal. Appl. 1995, 189(2), p. 409-423.

3. Рогалев А. Н. Построение регуляризирующего оператора при обратном анализе ошибок // Труды Международной конференции "АПВМ -2019". С. 406-412 . URL http://conf.nsc.ru/files/ conferences/amca2019/554130/ АПВПМ-2019^.

Обратная задача электродинамики для анизотропной среды

B. Г. Романов

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Email: romanov@math.nsc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10378

Для системы уравнений электродинамики, в которой диэлектрическая проницаемость определяется симметрической матрицей, рассматривается обратная задача об определении этой матрицы по информации о решениях уравнений электродинамики. Предполагается, что диэлектрическая проницаемость является постоянной всюду вне некоторой ограниченной области и совпадает там с заданной положительной постоянной, а внутри области среда является анизотропной и элементы искомой матрицы мало отличаются от заданной постоянной. Обратная задача исследуется в линейном приближении. Изучается структура решения линеаризованной прямой задачи для уравнений электродинамики и доказывается, что при некоторой специальной системе наблюдений можно однозначно найти все элементы матрицы. При этом оказывается, что задачи об определении диагональных компонент матрицы совпадают с обычными задачами рентгеновской томографии, что позволяет эффективно их вычислять. Отыскание не диагональных компонент матрицы приводит к более сложной алгоритмической процедуре.

Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке при НГУ, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2019-1613.