CC BY
9Обратные задачи 91
Новые методы глобальной и локальной апостериорной оценки точности решений линейных некорректных задач
А. С. Леонов
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"
Email: asleonov@mephi.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10187
Рассматриваются экстремальные задачи вычисления глобальной и локальной апостериорной оценки точности приближенных решений некорректно поставленных обратных задач (см. [1,2]). Для линейных обратных задач в гильбертовых пространствах они состоят в максимизации квадратичных функционалов с двумя квадратичными ограничениями. В докладе показано, как при определенных условиях эти задачи можно свести к новой задаче максимизации специальных, выписанных аналитически, дифференцируемых функционалов с одним ограничением. Предлагаются алгоритмы вычисления глобальной и локальной апостериорной оценки точности, основанные на решении таких новых задач. Эффективность алгоритмов иллюстрируется численными экспериментами по апостериорной оценки точности решений модельной трехмерной обратной задачи продолжения потенциала. Эксперименты показывают, что предлагаемые алгоритмы дают апостериорные оценки, близкие к истинным величинам глобальной и локальной точности, и оказываются более быстродействующими (в 3-5 раз), чем ранее разработанные алгоритмы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00159-a) и Программы повышения конкурентоспособности Национального исследовательского ядерного университета МИФИ (Московского инженерно-физического Института) проект №02.a03.21.0005 от 27.08.2013.
Список литературы
1. Leonov A. S.. Extra-optimal methods for solving ill-posed problems // J. of Inverse and III-posed Problems. 2012. V. 20, Issue 5-6. P.637-665.
2. Leonov A.S. Locally extra-optimal regularizing algorithms // J. of Inverse and III-posed Problems. 2014. V.22, Issue 5. P.713-737.
Решение трехмерной обратной задачи эластографии на параметрическом классе включений
А. С. Леонов1, А. Н. Шаров2, А. Г. Ягола2
1Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ) Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Email: asleonov@mephi.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10188
В работе представлено решение трехмерной обратной задачи эластографии. Эластография - это совокупность методов онкологического исследования тканей в медицине, основывающихся на различиях в упругих свойствах здоровой и опухолевой тканей [1]. Обратная задача заключается в вычислении упругих свойств ткани, в частности распределения модуля Юнга, по измеренным значениям вертикальных смещений ткани. Найденные включения в ткани, имеющие модуль Юнга, существенно превышающий модуль Юнга известного фонового значения, могут быть интерпретированы как опухоли. В настоящей работе принимается квазистатическая модель в эластографии, в которой прямая задача ставится для изотропного линейно-упругого тела, подвергаемого малым поверхностным сжатиям. Она сводится к системе стационарных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих связь между смещениями ткани и упругими характеристиками ткани - модулем Юнга и коэффициентом Пуассона, который считается известным и постоянным. Дополнительно предполагается, что геометрия искомых включений задается параметрически, а модуль Юнга внутри и вне включений является постоянной функцией. Тогда обратная задача состоит в нахождении неизвестных: числа включений, их геометрических параметров и модулей Юнга, и решается с помощью модификации метода расширяющихся компактов В. К. Иванова и И. Н. Домбровской, предложенной в [2]. Для найденных решений проводится апостериорная оценка точности.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта N 17-01-00159).
92
Секция 5
Список литературы
1. Obérai A. A., Gokhale N. H. and Feijoo G. R. Solution of inverse problems in elasticity imaging using the adjoint method. 2003. Inverse Problems, V.19, pp. 297-313.
2. Alexander S. Leonov, Alexander N. Sharov and Anatoly G. Yagola Solution of the inverse elastography problen for parametric classes of inclusions with a posteriori error estimate. J. Inverse Ill-Posed Probl. 2017. 26. 1-7.
Построение приближенного решения уравнения типа свертки по близкому уравнению
В. А. Лукьяненко
ФГАОУ ВО КФУ им. В. И. Вернадского
Email: art-inf@yandex.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10189
В работе рассматривается задача нахождения приближенного решения уравнения типа свертки на основе близкого к нему уравнения. Близкость понимается по решению. Данный подход продолжает исследования, изложенные Ю.И. Черским и Ф.Д. Гаховым в работе [1]. Он успешно применен к сингулярным интегральным уравнениям, уравнениям типа плавного перехода, краевым задачам Римана и Карлемана теории аналитических функций и др. В случае уравнений типа свертки первого рода предлагается в качестве близких уравнений использовать уравнения второго рода, возникающие в результате применения необходимый условий экстремума для соответствующих регуляризирующих функционалов, в которых учитывается априорная и другая информация о решении. Строятся итерационные алгоритмы с оценкой погрешности, как в исходных пространствах, так и в более узких подпространствах. Заметим, что близкие уравнения могут отличаться по структуре от исходных. Решения должны содержать одни и те же особенности или быть асимптотически близкими (близкими по некоторой норме). Приведены случаи явных решений для соответствующих итерационных процессов.
Список литературы
1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 288 с.
Частичная регуляризация плохо обусловленных матриц
В. Н. Лутай
Южный федеральный университет
Email: vlutay@mail.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10190
Регуляризация плохо обусловленных матриц систем ЛАУ и мультиколлинеарных матриц в регрессионном анализе (гребневая регрессия) заключается в добавлении ко всем диагональным членам исходной симметричной матрицы некоторого числового параметра [1,2]. В докладе рассматривается возможность добавления регулирующих параметров не ко всем диагональным членам, а только к нескольким или одному из них. С этой целью выполняется разложение исходной матрицы по Холецкому и в процессе разложения к меньшим диагональным элементам треугольной матрицы прибавляются некоторые числовые значения, вследствие чего число обусловленности треугольной матрицы уменьшается. Такое неполное разложение совпадает с полным разложением матрицы, которая соответствует исходной после увеличения ее некоторых диагональных элементов. Добавляемые значения можно делать или одинаковыми для всех изменяемых элементов или зависящими от величины элемента, к которому она прибавляется. В результате точное решение ЛАУ состоит из двух частей. Первая - решение системы с параметризованной исходной матрицей, треугольное разложение которой уже выполнено. Это решение может быть использовано для получения коэффициентов регрессионного уравнения с теми же особенностями, что и в гребневой регрессии. Вторая - решение линейной системы, размерность которой меньше размерности исходной матрицы и равна количеству параметризованных элементов. В докладе приводятся результаты вычислительных экспериментов.
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
2. Драйпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1986.
