CC BY
8Обратные задачи 91
Новые методы глобальной и локальной апостериорной оценки точности решений линейных некорректных задач
А. С. Леонов
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"
Email: asleonov@mephi.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10187
Рассматриваются экстремальные задачи вычисления глобальной и локальной апостериорной оценки точности приближенных решений некорректно поставленных обратных задач (см. [1,2]). Для линейных обратных задач в гильбертовых пространствах они состоят в максимизации квадратичных функционалов с двумя квадратичными ограничениями. В докладе показано, как при определенных условиях эти задачи можно свести к новой задаче максимизации специальных, выписанных аналитически, дифференцируемых функционалов с одним ограничением. Предлагаются алгоритмы вычисления глобальной и локальной апостериорной оценки точности, основанные на решении таких новых задач. Эффективность алгоритмов иллюстрируется численными экспериментами по апостериорной оценки точности решений модельной трехмерной обратной задачи продолжения потенциала. Эксперименты показывают, что предлагаемые алгоритмы дают апостериорные оценки, близкие к истинным величинам глобальной и локальной точности, и оказываются более быстродействующими (в 3-5 раз), чем ранее разработанные алгоритмы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00159-a) и Программы повышения конкурентоспособности Национального исследовательского ядерного университета МИФИ (Московского инженерно-физического Института) проект №02.a03.21.0005 от 27.08.2013.
Список литературы
1. Leonov A. S.. Extra-optimal methods for solving ill-posed problems // J. of Inverse and III-posed Problems. 2012. V. 20, Issue 5-6. P.637-665.
2. Leonov A.S. Locally extra-optimal regularizing algorithms // J. of Inverse and III-posed Problems. 2014. V.22, Issue 5. P.713-737.
Решение трехмерной обратной задачи эластографии на параметрическом классе включений
А. С. Леонов1, А. Н. Шаров2, А. Г. Ягола2
1Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ) Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Email: asleonov@mephi.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10188
В работе представлено решение трехмерной обратной задачи эластографии. Эластография - это совокупность методов онкологического исследования тканей в медицине, основывающихся на различиях в упругих свойствах здоровой и опухолевой тканей [1]. Обратная задача заключается в вычислении упругих свойств ткани, в частности распределения модуля Юнга, по измеренным значениям вертикальных смещений ткани. Найденные включения в ткани, имеющие модуль Юнга, существенно превышающий модуль Юнга известного фонового значения, могут быть интерпретированы как опухоли. В настоящей работе принимается квазистатическая модель в эластографии, в которой прямая задача ставится для изотропного линейно-упругого тела, подвергаемого малым поверхностным сжатиям. Она сводится к системе стационарных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих связь между смещениями ткани и упругими характеристиками ткани - модулем Юнга и коэффициентом Пуассона, который считается известным и постоянным. Дополнительно предполагается, что геометрия искомых включений задается параметрически, а модуль Юнга внутри и вне включений является постоянной функцией. Тогда обратная задача состоит в нахождении неизвестных: числа включений, их геометрических параметров и модулей Юнга, и решается с помощью модификации метода расширяющихся компактов В. К. Иванова и И. Н. Домбровской, предложенной в [2]. Для найденных решений проводится апостериорная оценка точности.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта N 17-01-00159).
