CC BY
1594
Секция 5
О задачах векторной томографии с ограниченными данными
С. В. Мальцева12, И. Е. Светов1,2, В. В. Богданов12 1Институт математики СО РАН 2Новосибирский государственный университет Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10193
Проблема ограничения данных по углам возникает в некоторых постановках задач зондирования объектов физическим полем. В рамках математических моделей томографии это означает, что исходные данные задачи известны не на всей боковой поверхности цилиндра, как в классических постановках томографии, а только на ее части [4]. Такое ограничение данных приводит к увеличению степени некорректности задачи - по сравнению с классической задачей обращения преобразования Радона, - и необходимости разработки специальных методов и алгоритмов ее решения. В задачах скалярной томографии определенных успехов удается достичь с помощью метода сингулярного разложения [1-3], применение которого представляется перспективным и при численном решении ряда задач векторной томографии с ограниченными данными.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества (код проекта 19-51-12008).
Список литературы
1. Louis A.K. Picture reconstruction from projections in restricted range, Math. Meth. in the Appl. Sci., 1980, V 2, pp. 209-220.
2. Davison M.E., The ill-conditioned nature of the limited angle tomography problem, SIAM J. Appl. Math., 1981, V. 43, pp. 428-448.
3. Louis A.K. Incomplete Data Problems in X-Ray Computerized Tomography I: Singular Value Decomposition of the Limited Angle Transform, Numer. Math., 1986, V 48, pp. 251-262.
4. Ф. Наттерер. Математические аспекты компьютерной томографии. Москва "Мир", 1990.
Численный метод решения задачи рефракционной векторной томографии в цилиндре
С. В. Мальцева, И. Е. Светов, А. П. Полякова Институт математики СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10194
Рассматривается задача восстановления трехмерного векторного поля в цилиндре. Предполагается, что в цилиндре задана риманова метрика специального вида [2]. Данными для задачи являются лучевые преобразования искомого векторного поля, заданные на плоскостях, выбранных определенным образом [1]. Для численного решения задачи обращения лучевого преобразования строится алгоритм, заключающийся в послойном восстановлении соленоидальной части искомого поля.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-31-00392 мол_а).
Список литературы
1. Sharafutdinov V. A. Slice-by-slice reconstruction algorithm for vector tomography with incomplete data, Inverse Problems. 2007. Vol. 23. pp. 2603-2627.
2. Е. Ю. Деревцов, Численное решение задачи рефракционной томографии в цилиндрической области, Сиб. журн. индустр. матем., 18:4 (2015), с. 30-41.
Dynamic approach to classical moments problem
A. S. Mikhaylov, V. S. MIkhaylov
St. Petersburg Department of V. A. Steklov Institute of Mathematics RAS Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10195
We consider the problem of the construction of a measure supported on a real line or on a half-line from prescribed moments. The main idea is to use the auxiliary dynamical system with the discrete time associated
Обратные задачи
95
with a semi-infinite Jacobi matrix [1,2,3,4]. Then the inverse dynamic data for this system so called response operator (discrete analog of a dynamic Dirichet-to-Neumann map) is given in terms of moments, and we can use ideas of the Boundary Control method [5] to recover the spectral data, i.e. the measure of a truncated moments problem, from dynamic one. The remarkable fact is that in our procedure we do not use the Jacobi matrix itself. We also formulate the results on the uniqueness of the solution of Hamburger and Stieltjes moments problems.
This work was partially supported by the RFBR (grant 18-01-00269). References
1. A. S. Mikhaylov, V S. Mikhaylov. Dynamic inverse problem for Jacobi matrices, Inverse Problems and Imaging, 13, no. 3, 431-447, 2019.
2. A. S. Mikhaylov, V. S. Mikhaylov. Boundary Control method and de Branges spaces. Schredinger operator, Dirac system, discrete Schredinger operator. J. of Math. Analysis and Applications, 460, no. 2, 927-953, 2018.
3. A. S. Mikhaylov, V S. Mikhaylov, S.A. Simonov. On the relationship between Weyl functions of Jacobi matrices and response vectors for special dynamical systems with discrete time, Mathematical Methods in the Applied Sciences. 41, no. 16, 6401-6408, 2018.
4. A. S. Mikhaylov, V S. Mikhaylov. Dynamical inverse problem for the discrete Schredinger operator. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics., 7, (5), 842-854, 2016.
5. M.I. Belishev. Boundary control and tomography of Riemannian manifolds (the BC-method), Uspekhi Matem. Nauk. 72, no. 4 (2017), 3-66, (in Russian).
Метод приближенного обращения при решении задачи динамической векторной томографии
А. П. Полякова, И. Е. Светов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10196
Будем называть задачу томографии динамической, если изучаемый объект движется во время процесса сбора данных. Подобные постановки возникают, например, в медицине при исследовании сердца или легких. Однако большинство известных методов восстановления основаны на предположении, что объект неподвижен, поэтому применение этих методов в динамическом случае, как правило, не дает удовлетворительных результатов [1].
В данной работе предлагается алгоритм восстановления двумерного векторного поля, которое вместе с носителем изменяется во времени по известному закону. В качестве исходных данных используются значения лучевых преобразований этого поля вдоль прямых, параллельных направлению, зависящему от постоянной угловой скорости источника излучения и времени. Алгоритм основан на методе приближенного обращения, который ранее был успешно применен при решении двумерной задачи векторной томографии в стационарном случае [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННИО (проект 19-51-12008). Список литературы
1. Hahn B. N. Efficient algorithms for linear dynamic inverse problems with known motion // Inverse Problems. 2014. Vol. 30, No 3. Art. no 035008.
2. Светов И.Е., Мальцева С.В., Полякова А.П. Приближенное обращение операторов двумерной векторной томографии // Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 607-623.
задача о сопряжении тонких упругих включений в упругом теле
Т. С. Попова
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10197
В работе рассмотрены задачи сопряжения тонких включений различного характера в двумерных упругих телах. Предполагается, что тонкие включения изготовлены из разных по физическим характеристикам материалов: одно из включений моделируются как балка Бернулли-Эйлера, а другое - как балка Тимошенко. Исследованы случаи как отслоившихся с образованием трещин включений, так и
