CC BY
80
УЧЕНЫЕ 3 АП ИСКИ ЦАГ И
Том I
1970
№ 1
УДК 533 6.011.8
О ПОДОБИИ И ИЗМЕНЕНИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В ПЕРЕХОДНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ПОТОКА
В. Н. Гусев, М. Н. Коган, В. А. Перепухов
Исследуются аэродинамические характеристики тел простой формы в переходной области между свободномолекулярным пределом и пределом сплошной среды при гиперзвуковых скоростях потока. Из уравнения Больцмана выводятся критерии подобия. При этом оказывается, что основным газодинамическим параметром подобия является число Рейнольдса, в котором коэффициент вязкости вычисляется по температуре торможения.
Проводится сравнение экспериментальных и теоретических данных, обработанных с учетом указанного критерия подобия.
Сложность исследования течений в переходной области, лежащих между течениями сплошной среды и свободномолекулярными, обусловлена тем, что описание этих течений выходит за рамки обычной газовой динамики и требует учета молекулярной структуры газа, т. е. решения кинетического уравнения Больцмана.
Исследования гиперзвукового обтекания тел разреженным газом в основном развиваются по двум направлениям.
В первом случае в рамках обычной теории газовой динамики учитывают явления скольжения на границе и усиливающееся влияние разреженности; во втором случае, исходя из хорошо известной теории свободномолекулярного потока, пытаются учесть влияние межмолекуляр-ных столкновений на аэродинамические характеристики.
В первом из этих направлений наибольшее развитие получили исследования взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком на простейших телах (см., например, [1]) и исследования пограничного слоя с учетом условий скольжения и температурного скачка на стенке (см., например, [2]). Эти исследования позволяют оставаться в рамках привычных представлений сплошной среды. Постепенное совершенствование экспериментальной базы также позволяет продвигаться в этом направлении.
В свободномолекулярном и близком к свободномолекулярному потоках уже сейчас удается рассчитывать обтекание достаточно сложных тел [2]—[4]. Имеется целый ряд численных методов решения уравнения Больцмана в приближенной [2], [5], [6] и точной [7]—[13] постановках, позволяющих в принципе проводить расчет течения при любой степени разрежения (любых числах Кнудсена Кп). Однако быстродействие и особенно объем памяти современных ЭЦВМ позволяют получать решения главным образом модельных одномерных задач (например, течение Куэтта, ударные волны).
Экспериментальное, исследование сильно разреженных течений весьма затруднительно, поэтому при достаточно больших числах Кнудсена исследовано обтекание только тех тел, форма которых позволяет сделать достаточно малым их характерный размер (цилиндр, полоса; см., например, [16]). Таким образом, в настоящее время ни теория, ни эксперимент не позволяют получить аэродинамические характеристики тел во всей переходной области от течений сплошной среды до свободномолекулярных.
В настоящей статье делается попытка выявить основные закономерности изменения аэродинамических характеристик ряда простейших тел путем сопоставления имеющихся экспериментальных и теоретических данных. Обосновывается применение числа Рейнольдса Re0, подсчитанного по температуре торможения в качестве единственного параметра подобия для гиперзвуковых течений в переходной области, и предлагается методика получения экспериментальных данных в широком диапазоне чисел Re0 в одном сопле.
1. Поскольку течения в переходной области описываются уравнением Больцмана, естественно при анализе параметров подобия исходить из этого уравнения:
-//■)**•**;[ (i.,,
d\ = d\,d\zd\¿ g = \Í-h
где x¡, — декартовы координаты и составляющие скорости мо-
лекул;
f(x, £) — функция распределения; b — прицельное расстояние; s — азимутальный угол.
Граничные условия имеют вид: на бесконечности
* ( т \3» ~ п 9Л
/оо — Псо( е ’ ( • )
на теле
т
\ 3/2 2кТ.
е,
w
(1.3)
где Поо, Тж, О» — соответственно плотность, температура и скорость набегающего потока;
Тт — температура обтекаемого тела.
Для простоты прёдполагается, что имеет место диффузное отражение с коэффициентом аккомодации а = 1; при а ф 1 в (1.3) нужцо подставить температуру отраженных молекул, связанную с температурой стенки определением коэффициента аккомодации. Характерная плотность отраженных молекул пт определяется
из условия непротекания (нормаль п направлена в сторону газа)
/ /<Л^=0. (1.4)
. ■ ' £„<0 : ■ : 'л>° ■ ■ ^
Примем степенной закон взаимодействия молекул, т. е. положим
К
?
ГІ—1
(1.5)
Перейдем в уравнении (1.1) и граничных условиях (1.2) и (1.3) к безразмерным переменным:
Е/ *= -ГГ— ; ё = Т7— ; ■*< = -7-і /
¿У
‘-'о
¿Л,
/1оо
4(*-1)К
где /, — характерный размер обтекаемого тела. Тогда уравнение (1.1) перепишется в виде
(1.6)
* і -/*/>£ С1-7)
где
Кп
.у—1
4(д — 1)/С
т
г-
(1.8)
Для молекул со степенным законом взаимодействия переменная р является единственным параметром, определяющим процесс столкновения, поэтому для таких молекул решения уравнения Больцмана будут подобными, если числа Кнудсена, введенные соотношением (1.8), одинаковы*.
Для молекул со степенным законом взаимодействия параметр взаимодействия К связан с коэффициентом вязкости соотношением (см., например, [14])
2 $+3
5 Гкт Г к I*-1 т2 (і-,) . „ п,
5 \1*У/
8
Г
Г 4
1
Л<2>(5— 1)
здесь Г — гамма-функция, Л(2>— функция в, таблицы которой имеются в [14].
При гиперзвуковых скоростях температуру торможения можно представить в виде
1 +
1
М2
7—1 т 2Т к
и2
<^0С
(1.10)
Выражая в (1.8) параметр взаимодействия К через ц0 = }л(Г0) согласно (1.9) и исключая Т0 с помощью (1.10), получаем
2 Л+З
4 5-1
1
Кп
Г 4
Яе0
Г^Л<*>(5-1) роо иж Ь
Ие0
(1.11)
Этот параметр несколько иначе введен также в работе [2].
Пренебрегая тепловым движением молекул набегающего потока на бесконечности, запишем безразмерную функцию распределения:
/»-*(Й-1)*(б)Чб). (1Л2>
Используя условия (1.4) и (1.10), перепишем безразмерное граничное условие на стенке:
гМ(^тР)'p-e'JtrA- ^>
“ \ Í 1 1 w / w с <0
*fl
Таким образом, из (1.7), (1.11) — (1.13) следует, что для соблюдения подобия при гиперзвуковом обтекании необходимо равенство параметров Re0, TwjT0, s,
Этот же результат, конечно, можно получить и из общих соображений теории подобия (см., например [15]), если учесть, что столкновения молекул определяются одной размерной константой К, и принять М —* оо. Параметр Re0 естественно возникал при описании гиперзвуковых вязких течений сплошной среды (см., например, [17]). Этот параметр (или близкий к нему) также применялся в ряде работ для корреляции данных в переходной области [18] — [21]. Проведенный анализ показывает, при каких условиях он является строгим следствием уравнения Больцмана.
Известно, что для воздуха при низких температурах (7^300° К) движение молекул близко к максвелловскому (s = 5, ¡a~7'), а при высоких температурах (7’^:500оК) поведение молекул удовлетворительно аппроксимируется степенным законом с показателем s= 12,73 (¡a — Т0-67). Поэтому экспериментальные исследования в воздухе при различных уровнях температур равносильны испытаниям в разных газах.
2. Как следует из изложенного выше, при постоянных значениях s, ч и Tw/T0 единственным параметром подобия становится число Re0, и, следовательно, экспериментальные исследования желательно проводить в таких аэродинамических установках, которые обеспечивают широкий диапазон изменения этого параметра. Известно [22], что течение вдоль оси струи, вытекающей из недо-расширенного осесимметричного сопла, близко к течению от некоторого сферического источника с интенсивностью <2~Роо£Л»л:2. Поэтому выражение для параметра подобия Re0 можно записать в виде
Re0 = (2.1)
Но 1*0
т. е. вдоль оси струи число Re0 изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от критического сечения сопла. Следовательно, перемещая модель небольших размеров вдоль оси струи, можно в одном сопле получить результаты, соответствующие широкому диапазону изменения критерия Re0. Следует отметить, что минимальное значение критерия Re0 в этом случае будет определяться величиной характерного продольного размера перерасши-ренной области струи или координатой хх замыкающего скачка уплотнения (диска Маха). При достаточно больших значениях перепада давления р01рл (где р0 и ра — соответственно давление торможения и внешнее давление в области, в которую истекает газ) х1~(Ро/РаУ12 [23], и критерий Re0 достигает весьма малых значений.
Приводимые здесь экспериментальные результаты получены в струе, истекавшей из звукового сопла, по методике, учитывающей высказанные выше соображения. Испытания проводились в воздухе при температуре торможёния Т0 = 295° К. В этих условиях можно принять 5 = 5, 7=1,4. Модели были теплоизолированы, так что температура их поверхности была порядка температуры торможения Т0. В этом случае приведенные выше условия применимости критерия в переходной области можно считать выполненными. Более того, при указанных условиях эксперимента можно прибли-
с . ' ■ £фе/7й А| о M=S,/S • 7+-%2 « М=10 [27] а М-в 120] А ■ to,oirá] • 0,3 [i’í]
: О ,
Фиг. 1
Лонде, а* 0-Ю* = О •М= 7 * 9,2 ° sjs [лд * Í0,S+22,S; у =J/J ítO] * * irД & Ю [3f¡ а О* JO [37]
ts‘
y=7/íl ^ <f/3¡
£х
в*
too
to
*
10
Фиг. 2
зиться достаточно близко к свободномолекулярному режиму течения. Действительно, при М^> 1 и TJTa^l для молекул с максвелловской функцией распределения критерием существования свободномолекулярного течения является условие М Kn 1 [24]. Но
MK, = -V/5 ' , (2.2)
7 — 1 V 2 Re0 ’
и, например, при Re0 —1 и 7=1,4 имеем М Кп = 7,4.
3. В соответствии с изложенной выше методикой исследовались аэродинамические характеристики ряда простейших тел. При l^Re0^;100 эти данные были получены экспериментально в вакуумной аэродинамической трубе. При Re0^l, т. е. в области
течений, близких к свободномолекулярным, когда применима теория первых межмолекулярных столкновений, аэродинамические характеристики тел были получены расчетным путем. Постановка соответствующих задач в теории первых межмолекулярных столкновений и примеры их решения при помощи метода Монте-Карло подробно освещены в работах [2], [4], [25].
На фиг. 1 — 8* приведена корреляция экспериментальных и теоретических данных для сферы, конуса с полууглом раствора В и пластины, относительная толщина которой t¡L — 0t03. Коэффи-
Яви м*г~ ffC Т »Л/« 7*9,2 » 1,15 » !Í,S *22/, ^ ~s# ОД
_ ъ 01/0=2 ес/0 = 1
'W/ у / : иГР^Щ,
Фиг. 3
Г 2 <*=20=20° > Но и у с Ос/в* 2
У ■ V.
^ ^ —oí-2^jg° v4 nS
~/ " ' oc/f= t
с* = в =75°
--
вйГ Я • • М-7+9,2 * SJS ¡79] A JSJ. 1-S/S [Щ
Фиг. 4
f /
'циенты сопротивления сх и подъемной силы су отнесены К • ” S;
тг отнесен к SL и рассчитывается относительно его носка
(где S — площадь тела в плане).
Естественно, что изменению Re0 вдоль оси струи сопутствует неравномерность потока вдоль модели. Однако испытания проводились на достаточно малых моделях, так что данные, полученные в струях (черные точки на графиках), удовлетворительно коррелируются с данными, полученными в различных установках при использовании сопел с малыми градиентами параметров потока.
* Экспериментальные данные на всех графиках аппроксимированы пунктирными линиями; через а обозначен угол атаки. :
Как видно из приведенных данных, результаты эксперимента совместно с расчетами по теории первых межмолекулярных столкновений и имеющимися данными расчета вязких течений сплошной среды [30], [35] практически позволяют перекрыть всю переходную область течений. При этом экспериментальные и теоретические данные, построен-
ные по параметру подобия Reo, достаточно хорошо согласуются друг с другом.
Следует обратить внимание на немонотонность изменения характеристик в переходной области. Некоторые характеристики оказываются в этой области больше, чем в свободномолекулярных течениях (см. фиг. 4, 5, 7, 8). Появление этих максимумов следует из качественного
рассмотрения [24] и расчетов течений, близких к свободномолекулярным [31]—[33]. Однако этими исследованиями нельзя было заранее определить величину и положение максимумов характеристик. Приведенные данные показывают, что в некоторых случаях (см. фиг. 7 и 8) максимальные значения почти вдвое выше, чем в свободномолекулярных течениях.
Некоторые характеристики ведут себя в переходной области еще более сложным образом. Так, например, подъемная сила конуса (см. фиг. 4), кроме максимума, имеет еще и минимум в области, примыка-
20
/О в
се *-5* *■ — V // М
*'"'1
-Л''» • «_ 10е- -
^^
— • 7*$,г
Фиг. 7
ющей к вязким течениям сплошной среды. Возможность уменьшения подъемной силы при обтекании тонких тел в области сильного взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком указывалась ранее в работе [34].
В литературе большое внимание уделяется установлению границ применимости концепций свободномолекулярных течений и сплошной среды. Ранее [24] уже обращалось внимание на то, что граница свободномолекулярных гиперзвуковых течений не может быть охарактеризована только числом Кнудсена, она зависит от формы тела, температуры его поверхности и законов взаимодействия молекул между собой и поверхностью тела. Приведенные данные показывают, что и границы
применимости теории сплошной среды различны не только для различных тел, но й для различных характеристик одного и того же тела (ср., например, начало отклонения экспериментальных данных от теоретических зависимостей по теории вязкого взаимодействия на фиг. 6—8).
; Таким образом, закон поведения аэродинамических характеристик даже простейших тел в переходной области весьма сложен, и он не может быть получен простой интерполяцией между данными для течений сплошной среды и свободномолекулярных,
* *
*
ЛИТЕРАТУРА
1. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.
Изд. иностр. лит., 1962.
2. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., «Наука», 19б7,
3. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в свободномолекулярном потоке. Журн. вычислительной математики и математич. физики, т. 8, № 6, 1968.
4. П е р е п у X о в В. А. Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильно разреженного газа. Журнал вычислительной математики и математич. физики, т. 7, № 2, 1967.
5. Lin С., Lees L. Kinetic theory description of plane compressible Couette flow. Second Intern, Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1961.
6. Shen S. F. A general transfer-equation approach for the transition ; regime of rarefied gas flow and some of its application. Third Intern.
Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1963.
7. Уиллис Д. Теоретические решения некоторых проблем почти свободномолекулярных течений. 1960. (Русский перевод в сб. «Газодинамика разреженных газов», Изд. иностр. лит., 1963).
8. Аэродинамика разреженных газов. Под ред. С. В. Валландера.
ЛГУ, вып. 1, 1963 и вып. 2, 1965.
9. H а V i 1 a n d J. К. The solution of two molecular flow problems by the Monte Carlo method. 1965. (Русский пер. «Вычислительные методы в динамике разреженных газов». М., «Мир», 1969).
' 10. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний
(Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов. ДАН СССР, вып. 167, № 5, 1966.
11. Huang А. В. Kinetic theory of the rarefied supersonic flow over a finite plate. Sixth Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1968.
12. 4 e p e M и с и н Ф. Г. Структура ударной волны в простом одноатомном газе. ДАН СССР, вып. 184, № 4, 1969.
13. Bird G. A. Shock-wave structure in a rigid sphere gas. Fourth Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1964.
14. Гиршфельдер Д., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. Изд. иностр. лит., 1961.
15. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., «Наука», 1965.
16. M a s 1 а с h G. J., Willis D. R., Tang S., Ko D. Recent experimental and theoretical extensions of nearly free molecular flow. Fourth Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1964.
17. Жилин Ю. JI. Параметры подобия при больших гиперзвуковых
: скоростях. ПММ, т. XXVI, вып. 2, 1962. .
18. Гусев В. H., Климова Т. В., Королев А. С., К р ю к о- . в а С. Т., Николаев В. С. Обтёкание тонких заостренных конусов вязким гиперзвуковым потоком газа. Инж. журнал, т. V, № 3, 1965.
19. Галкин В. С., Гусев В. H., Климова Т. В. Особенности обтекания и аэродинамические характеристики тел простейших форм в вязком гиперзвуковом потоке газа. Инж. журнал, т, V, № 6, 1965.
20. Р о 11 e г: J. L. The transitional rarefied-flow regime. Fifth Intern. Symposium on . Rarefied Gas Dynamics, 1966.
21. Авдуевский В; С., Иванов А. В. Течение разреженного газа вблизи передней критической точки затупленного тела при гиперзву-новых скоростях. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1968, № 3.
. 22. Л а д ы ж е н с к и й М. Д. Анализ уравнений гиперзвуковых тече-
ний и решение задачи Коша. ПММ, т. XXVI, вып. 2, 1962.
23. A s h.k e n a s, H., Sherman F. S. Free jet testing in low density wind tunnels. Fourth Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1964.
, 24. Коган М. H. О гиперзвуковых течениях разреженного газа
• ПММ, т. XXVI, № 3, 1962. '
25. П е р е п у х о в В. А. О сопротивлении плоской пластинки в потоке сильно разреженного газа. Журн. вычислительной математики и ма-
тематич. физики, т. 1, № 4, 1961.
26. А г о е s t у J. Sphere drag in low density supersonic flow. Third Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1963.
27. К i n s 1 о w М., Potter J. L. Drag of spheres in rarefied hypersonic flow. AIAA J. I. 1963.
28. Phillips W. M,. К u h 11 h a n A. R. Drag measurements on ma-
gnetically supported spheres in low density high speed flow. Sixth Intern. Symposium on Rarefied Gais Dynamics, 1968.
29. S m о 1 d ё r e n J. J., Wendt J, F., Naveau J., В r a n i 111-
te Т. T. Drag coefficients in hypersonic transitional flow. Sixth Intern.
Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1968.
30. Г а л к и н В. С., Ж баков а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гипер-
звуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 1.
31. Коган М. Н., Дегтярев Л. М. О расчетах течений при больших числах Кнудсена. Astron. Acta, 1965, II, № 1.
32. П е р е п у х о в В. А. Обтекание плоской пластины, расположен1
ной под нулевым углом атаки, потоком сильно разреженного газа. Журн. вычислительной математики и математич. физики, т. 3, № 3, 1963.
33. .П ере п ух о в В. А. Обтекание Круглой пластины в условия*
молекулярного пограничного слоя. Журнал прикладной механики и техн. физики, 1964, № 5.
34. Ладыженский М. Д. Обтекание тонких тел вязким гипер-звуковым потоком, ПММ, вып. 27, 1963, № 5.
35. Николаев В. С. Обтекание тонкого конуса вязким гиперзву-ковым потоком. Инж. журнал, т. II, № 3, 1962.
36. I р s е n D. С. Experiments on cone drag in rarefied air flow, Jet Propulsion vol. 26. 1956, No. 12.
37. Whitfield J. D., Griffith B. J. Hypersonic Viscous drag 1
effects on blunt slender cones. AIAA Preprint 1963, No. 63-434. ,
Рукопись поступила 2/VI 1969 г.
’Ученые записки № 1
