CC BY
64
Т о м X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
19 7 9
№ 6
УДК 533.6.011.8
О ГИПЕРЗВУКОВОМ МОДЕЛИРОВАНИИ, ОБУСЛОВЛЕННОМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЧИСЕЛ М И 1*е
В. И. Гусев
Рассматривается вопрос о частичном гидродинамическом моделировании гиперзвуковых течений, обусловленном изменением чисел М и Ие. Дан перечень используемых критериев подобия и на основании проведенного анализа устанавливается их взаимосвязь и целесообразность конкретного использования в различных комбинациях.
Полет летательных аппаратов при гиперзвуковых скоростях (числа 1) условно можно разделить на три режима:
1) высотный, когда необходим учет молекулярной структуры газа (свободномолекулярный режим и переходная область);
2) сплошносредный при ламинарном состоянии пограничного слоя (гиперзвуковое взаимодействие пограничного слоя с невязким потоком);
3) режим турбулентного течения в пограничном слое.
Осуществить полное моделирование этих режимов в гиперзвуковых аэродинамических трубах в настоящее время не представляется возможным. Прежде всего это связано с тем, что, кроме получения чисел М и Ие, в них необходимо воспроизводить высокие значения энтальпии воздуха. Совместить эти условия в одной установке крайне затруднительно. И дело здесь не только в технических трудностях, а в невозможности моделирования в аэродинамических трубах неравновесных явлений из-за „замораживания" течения в сопле.
Задача существенно упрощается при частичном гидродинамическом моделировании, обусловленном изменением чисел М и Ие. В этом случае становится возможным использование сформулированных законов подобия и сокращение числа определяющих параметров. Рассмотрим этот вопрос для указанных выше первых двух режимов.
1. В общем случае при стационарном обтекании тел потоком термодинамически совершенного газа с заданными значениями параметров на бесконечности условия подобия, следующие из теории
размерностей, включают геометрическое подобие тел и равенство следующих критериев подобия (см., например, [1]):
Рг = (£; £ ; Т, П, «„ (1)
К If/? ^ОО X ' ОО
где i/ — скорость, р — плотность, Г — температура, L — характерный размер тела, /? — газовая постоянная, у = cpjcv — отношение удельных теплоемкостей, п — показатель степени в законе изменения коэффициента вязкости от температуры ¡х—Тп, X — коэффициент теплопроводности, а; — коэффициенты аккомодации, индексом „оо" обозначены параметры на бесконечности, индексом „wu — параметры на поверхности тела.
Вместо числа Rera в систему (1) может войти число Кнудсена
Кп
где I■—средняя длина свободного пробега молекул.
В случае идеального газа (Re«, оо) при стремлении числа Моо-»оо течение вблизи тела стремится к некоторому предельному состоянию. Оно связано с „замораживанием" возмущенного поля течения перед телом за сильной ударной волной при стремлении скорости звука а^ = Y~[RT^ к нулю. Доказательство наличия такого предельного состояния движения вблизи тела при Мю оо было дано С. В. Валландером и затем в работе [2].
Принцип гиперзвуковой стабилизации сохраняется и в другом предельном случае, при свободномолекулярном обтекании (Reoo-*-()). При максвелловском распределении скоростей он следует из непосредственного рассмотрения выражений для локальных значений импульса и энергии, передаваемых элементу поверхности. В этом случае средняя случайная скорость молекул в невозмущенном потоке пренебрежимо мала по сравнению со средней макроскопической скоростью Uсо .
Для некоторых тел режим гиперзвуковой стабилизации может быть достигнут при умеренных значениях числа Моо.Об этом свидетельствуют многочисленные точные решения и экспериментальные данные.
Рассмотрим в качестве примера обтекание сферы. Наиболее подробные сведения о ее сопротивлении в широком диапазоне изменения чисел М^ и Re^ собраны в работе [3] и даны на рис. 1. Отчетливо видно, как в предельных режимах обтекания при Reoo оо и Re«, 0 коэффициент сопротивления сферы сх перестает изменяться с ростом числа Моо. Однако при конечных значениях числа Reoo это постоянство, начиная с некоторого числа Мот, нарушается, и сопротивление сферы растет. Здесь становятся существенными эффекты вязкости и разреженности. Причем чем меньше число Re,», тем при меньших числах Моо они проявляются. Сверху этот рост сопротивления ограничен свободномолекулярным значением, так как при конечном значении числа Reoo число Кнудсена Knoo'—MooRe"1 будет безгранично возрастать с ростом числа Моо.
Очевидно, что при безграничном увеличении числа М система критериев подобия (1) должна быть видоизменена, так как температура Too в этом случае становится несущественной и выпадает из системы определяющих параметров. На бесконечности среди
Рис. 1
последних останутся плотность р» и скорость £/«,, а характерная температура определится через температуру торможения Т0 =
= Соответствующую этим размерным параметрам систему
безразмерных критериев подобия в режиме гиперзвуковой стабилизации запишем в виде
Не0= ; Рг; ^ = ^ ; ъ (2)
Отметим здесь, что из этой же системы определяющих параметров следует критерий
Re„, =
Н-гу [Ту,
Н-®
В рамках теории размерностей критерии Re0 и Rem эквивалентны.
Ранее параметр Re0 возникал при описании гиперзвуковых вязких течений сплошной средь;. Это было естественно, так как принцип независимости течения от числа М остается справедливым и при наличии пограничного слоя. При обтекании тонких заостренных тел он указывался в работе [4]. При обтекании тупых тел, для которых принцип независимости течения от числа М выполняется уже при сравнительно небольших сверхзвуковых скоростях, используемый в многочисленных работах параметр вязкого гиперзвукового подобия s [5] также однозначно связан с критерием Re0
е = MiL /]/Re^~ ~ Reö~1/2.
Отметим, что этим же параметром характеризуются такие вторичные эффекты в пограничном слое, как скольжение газа и скачок температуры на поверхности тела.
Условия подобия гиперзвуковых течений в переходной области, лежащей между течениями сплошной среды и свободномолекуляр-ными, были сформулированы в работе [6]. ПроведеннЁш в ней анализ показал, при каких условиях критерий Re0 является строгим
следствием уравнения Больимана. К настоящему времени в этой области накоплен обширный экспериментальный и расчетный материал по аэродинамическим и тепловым характеристикам широкого класса тел (см., например, [7] и приведенную в этой работе библиографию). На основании этих данных выявлены основные закономерности изменения аэродинамических характеристик простейших тел в переходной области при изменении основных критериев подобия (2). Показано, что в режиме гиперзвуковой стабилизации использование критерия Re0 позволяет скоррелировать результаты не только при изменении числа Мх, но в ряде случаев и при изменении других параметров подобия, например, tw, 7, п.
При обтекании сильно затупленных тел в ряде работ для корреляции экспериментальных данных часто применяется число Рей-
нольдса = подсчитанное по параметрам потока за фрон-
том скачка уплотнения. Использование этого критерия может быть целесообразным при учете физико-химических процессов, происходящих в воздухе при больших скоростях полета. Для термодинамически же совершенного газа с точностью до несколь- Т-. Р lU-tL Роо^оо^" Т-.
ких процентов критерии Re2 = -—— = ■—--~ Re0.
Таким образом, для термодинамически совершенного газа перечисленные выше критерии Re0, Rem и Re3 взаимозаменяемы, и целесообразность их использования в каждом конкретном случае должна определяться из дополнительных условий. На практике, например, очень часто выгодно бывает использовать такую систему критериев подобия, в которой влиянием отдельных параметров можно пренебречь. В нашем случае к такой системе относится система (2), включающая критерий Re0. Для широкого класса тел входящие в нее критерии tw, п оказывают слабое влияние на аэродинамические и тепловые характеристики обтекаемых тел. Это подтверждается указанными выше многочисленными экспериментальными и расчетными данными (см., например, [7]).
2. Однако не всегда моделирование по одному критерию Rea исключает влияние остальных критериев подобия. Поэтому очень часто для корреляции экспериментальных данных используются параметры, представляющие собой комбинации критериев подобия (2).
Большая группа таких параметров была получена при рассмотрении области, примыкающей к свободномолекулярной. Как было показано в работе [8], гиперзвуковое обтекание тел в этой области характеризуется несколькими длинами пробега молекул. Из проведенного в этой работе анализа следует, что в практически интересных случаях характерной среди них оказывается длина пробега отраженных от тела молекул относительно набегающих lw„о. Нетрудно показать, каким образом определенное по этой длине пробега число Кнудсена Кп^, связано с критериями подобия (2).
По определению Кпш = -----^ _, , где g = — %wt
Pooa (I £ I) I £ I £
E — скорость молекул, з—У Tj\>-— их сечение столкновения. Для „жестких" молекул о = const и ц —1/7", для „мягких" о~1 /У Г
и а — Т. Обычно при таких рассмотрениях вместо температурного
фактора tw используется безразмерный параметр Sw=—---t~h2.
У 2 R Tw
Тогда независимо от закона изменения сечения столкновения число
1 Кпя .(Г.) tl¿2
К п..
?xa(T0)SwL Sw а (Т0) Re0
и при « = 0,5 критерий Кит—Ие"1 [см. соотношения (3)].
Другие применяемые в этой области параметры также представляют собой комбинации критериев подобия (2). Отметим, например, введенный в работе [9] и часто использовавшийся при обработке экспериментальных данных параметр
Роо^со^ У^Щ /Г0\1/2 ,-1/2
т | ' ' tw " Re0.
J wj
В области, примыкающей к сплошной среде, нашел широкое применение, особенно в зарубежных работах, параметр взаимодей-
__Г Q
ствия V'.x, = Моо-у7 ^—' где с = 0ч т°° 7*)> т* — некоторая
характерная температура. Он представляет собой величину, пропорциональную отношению длины свободного пробега молекул 1а_, в невозмущенном потоке к характерной толщине пограничного
слоя 8
Мпо s 1 '=о
Reco' L YRe^ ' В yRe
Кос-
Связь этого параметра с критериями подобия (2) зависит от выбора характерной температуры Г*. Последняя, как правило, определяется эмпирически из конкретных условий эксперимента или расчета и ограничена крайними значениями Т0 и Тш. При Т^=Т0 параметр ^ ~ Ие^1/2, и он совпадает с параметром вязкого
я-1 _
гиперзвукового подобия е. При = параметр Кю — ^2 Ие0 2 .
Применяются и более сложные выражения для характерной
Т — 3
температуры Г*. Например, в работе [10] Т.^. — ^-^—а в работе [11] в выражение для Т* вводится даже значение относительной толщины тела.
Очевидно, что целесообразность применения перечисленных выше параметров будет оправдана при исчезающем влиянии на конечные результаты входящих в эти комбинации отдельных критериев подобия, таких, например, как или п. Однако многочисленные экспериментальные исследования показывают, что в переходной области это влияние остается. И оно связано здесь не столько с приближенным характером анализа, на основании которого эти комбинации получены, сколько с ограниченностью области их применимости. Кроме того, использование таких комбинаций становится нецелесообразным для переменных, которые в зависимости от входящих в эти комбинации отдельных критериев подобия изменяются немонотонно. Прежде всего это относится к тонким телам, для которых отдельные аэродинамические
Сх 0,9
0,8
0,7 0,6 05
• 1 10 Кеш 100
Рис. 2
характеристики в зависимости от температурного фактора tw могут быть как меньше, так и больше своих свободномолекулярных значений.
При обтекании сильно затупленных тел такие аномалии в поведении аэродинамических характеристик отсутствуют, но и здесь моделирование по указанным параметрам не всегда оказывается удовлетворительным. В случае сферы это иллюстрируется на рис._2. На ней представлено изменение коэффициента сопротивления сх, отнесенного к своему свободномолекулярному значению, в зависимости от параметра при различных, существенно отличающихся значениях температурного фактора tw. Экспериментальные данные заимствованы из работ [3. 6, 12]. Сопоставление показывает, что в выбранных переменных совпадение экспериментальных данных, полученных при различных значениях температурного фактора, отсутствует. Аналогичная картина сохраняется при переходе к таким независимым переменным, как или а.
Лучшее соответствие между экспериментальными данными достигается при моделировании по числу Re0. Проведенный в работе [13] анализ показал, что полученные при различных значениях температурного фактора tw коэффициенты сопротивления сх некоторых тел, отнормированные относительно своих предельных значений сх0 и сХоо, достаточно хорошо согласуются друг с другом, если в качестве основного параметра использовать г^0,1 Re0. Столь малое значение показателя степени при tw говорит о том, что при не очень больших изменениях температурного фактора последний в системе критериев подобия (2), включающей число Re0, будет несущественным.
Иллюстрация последнего вывода дана на рис. 3, на котором приведенные ранее на рис. 2 экспериментальные значения коэффициента сопротивления сферы построены в новых переменных. Соответствие здесь становится вполне удовлетворительным. Дальнейшие уточнения при использовании параметра tRe0 можно найти в работе [14].
Следует отметить, что полученная в выбранных переменных отнормированная зависимость коэффициента сопротивления сферы от критерия t-0-1 Re0 сохраняется той же самой и для некоторых других тел. Для конуса, например, обтекаемого под нулевым углом атаки, такое сопоставление приведено на рис. 3. В качестве
8 8 <а э • tv~1 о <5- f
S * о i <Ъ S3 о Я.
• • • • «з» 8°° 000°
• : 1 о с о О о °о V
• • • • • 1 о • • о Г.
Cx-Cx„
0,5-
№
10?-
J Сфера "Jf } конус
10'
t:
• Г1*.,» 1
Я7 t£ne0L
Рис. 3
характерного размера при вычислении числа Re0 выбран диаметр основания конуса.
Достаточно большое многообразие в перечисленных выше комбинациях из критериев подобия указывает на невозможность единого представления аэродинамических и тепловых характеристик от одного параметра во всем диапазоне изменения критериев подобия. Преимущество таких представлений ограничено конкретными диапазонами изменения последних.
В то же время проведенный анализ показал, что во многих интересующих нас случаях влияние отдельных критериев подобия на аэродинамические и тепловые характеристики широкого класса тел становится несущественным, если исходная система критериев подобия включает в себя число Re0.
3. В случае реального газа -система (2) становится неполной: к ней добавляется совокупность большого числа размерных и безразмерных параметров, характеризующих физико-химические процессы в воздухе и его состояние в невозмущенном потоке.
При умеренных плотностях характерный размер зоны протекания неравновесных физико-химических процессов d значительно превышает толщину ударной волны. Поэтому при таких рассмотрениях используется схема предельно тонкой ударной волны, на фронте которой выполняются классические соотношения Гюгонио с примыкающей к ней зоной релаксации. В зависимости от отношения djL различают два предельных случая: равновесный, когда d,L<^i 1, и „замороженный", когда d/L~^>\. В нервом случае физико-химические процессы идут значительно быстрее, чем изменяется термодинамическое состояние воздуха, во-втором — скорости протекания этих процессов меняются местами.
При первой космической скорости U^ — 7,8 км/с наиболее энергоемким процессом, поглощающим до 75% энергии потока, будет процесс диссоциации. Заимствованные из работы [15] характерные длины релаксации d этого процесса в зависимости от высоты полета Н при различных значениях угла наклона скачка ß приведены на рис. 4. По этим данным легко установить верхнюю границу, ниже которой процесс диссоциации будет неравновесным. Для гиперзвукового летательного аппарата с характерным размером ¿ = 30 м эта граница (при d — 10L) будет на высотах Н ж 90 км при ß = 30° и Н ^ 110 км при ß = 60°. В окрестности лобовой части гиперзвукового летательного аппарата такая оценка может быть
Рис. 4
проведена по отношению djД, где Д— расстояние отхода скачка от тела. При радиусе кривизны ¿=1 м эта граница (при ¿=10Д) будет на высоте И 90 км.
Наличие неравновесных процессов существенно усложняет задачу моделирования. Уже в случае невязкого газа (см., например, [16]) количество критериев подобия оказывается настолько большим, что остается слишком мало свободы в выборе приемлемых значений исходных параметров. В общем случае моделирование таких течений в конечном итоге становится возможным лишь для одинаковых смесей, при полном совпадении условий обтекания. Реализация таких потоков в аэродинамических установках в настоящее время невозможна. Аналогичная картина сохраняется и при моделировании неравновесных течений вязкого газа.
Лишь при выполнении закона бинарного подобия, когда в возмущенной области течения основные реакции в воздухе протекают путем распада одной частицы на две, а обратные реакции рекомбинаций несущественны, из числа определяющих параметров может быть исключена плотность р«.. В систему критериев подобия помимо совокупности параметров, характеризующих состав и состояние воздуха, войдут i/co, PooZ., рх , Г«,. Очевидно, что в этом случае при Reoo = const значения коэффициента вязкости для модели и натуры должны быть одинаковыми.
Не облегчается задача и при частичном моделировании неравновесных течений. В общем случае для таких течений нарушается принцип гиперзвуковой стабилизации: в полете скорость Uх увеличивается с ростом числа Мое. Лишь для некоторых тел отдель-
ные аэродинамические характеристики остаются слабо зависящими от скорости газа при больших числах Моо. Нарушается единственность в определении таких критериев подобия, как Re0 и Re2. Входящие в выражения для этих чисел Re предельные значения Ua0/*-ь0 и Uoolv-г в зависимости от скорости ¿Л» и высоты Н полета приведены на рис. 5 (сплошные линии — равновесный случай, штриховые— „замороженный"). При первой космической скорости разница между ними становится значительной.
В связи с последним не выясненным до конца остается и вопрос о выборе основного критерия подобия. В некоторых работах (см., например, [17]) при сравнении натурных данных с лабораторными используется число Re2, подсчитанное по равновесному значению температуры за прямым скачком уплотнения. Для сильно затупленных тел при высотах полета Н^ 90 км соответствие между этими данными при таком частичном моделировании оказывается удовлетворительным. Однако немногочисленность таких работ, а также отсутствие достаточных сведений о степени влияния отдельных критериев подобия на аэродинамические и тепловые характеристики широкого класса тел оставляют поставленный вопрос о выборе основного критерия подобия здесь пока открытым.
С ростом высоты 'полета характерные длины релаксации d растут, и течение вблизи тела приближается к „замороженному" состоянию. Очевидно, что свойства газа в этом случае не будут отличаться от соответствующих свойств совершенного газа, и сфор-
Рис. 5
мулированные выше условия подобия для таких течений останутся в силе. Основной критерий подобия Re0 в этом случае будет вычисляться по „замороженному" значению температуры торможения, и его величина в зависимости от высоты полета Н при первой космической скорости Uоо = 7,8 км/с и нескольких значениях характерного размера L приведена на рис. 4.
Для смеси, состоящей из 79% Nt и 21% 02, при высоких температурах (Г^103К) р. = 0,184-10—6 Т°'78 Н-с/м2 и при „замороженном" значении температуры торможения Т0 = U"L величина
1А_в иоо 2070 м3 г.. , 10 =
Значение плотности рх при вычислении числа Re0 определялось по стандартной атмосфере (ГОСТ-4401—64). Предельно максимальные значения числа Re0, при которых процесс диссоциации все еще оставался „замороженным", приведены на рис. 4 штриховыми линиями. Как и прежде, при ß = 30° и 60° характерная длина релаксации d=10L, при ß = 90° 10 Д.
Проведенные выше оценки имеют смысл для предельно тонких ударных волн, на фронте которых выполняются соотношения Гюгонио. Влияние вязкости при таких рассмотрениях должно быть ограничено тонким пограничным слоем, толщина которого 8 мала по сравнению с характерным размером возмущенной зоны Д. Однако по мере уменьшения числа Re0 вязкое течение начинает занимать все большую и большую часть ударного слоя между ударной волной и поверхностью тела. Более того, начиная с некоторого значения числа Re0S:, пограничный слой сливается с фронтом ударной волны, образуя сложный вязкий слой с размытым скачком уплотнения („размазанный" слой). Ударную волну здесь уже нельзя рассматривать как разрыв непрерывности, удовлетворяющий соотношениям Гюгонио.
Как правило, границу этого режима определяют в сечении, в котором максимальное увеличение плотности в возмущенной области близко к предельному значению, рассчитанному по соотношениям в скачке уплотнения при местном угле его наклона. При обтекании бесконечно тонкой пластины под нулевым углом атаки определенное в этом сечении число Re0:i: ^250 [18]. С ростом угла ß эта величина уменьшается, достигая значения ^70 при ß = 90° [19]. Сравнивая эти значения с предельными, определяющими границу „замороженной" диссоциации (см. рис. 4), заключаем, что в режиме „размазанного" слоя влияние неравновесной диссоциации на динамику течения может стать существенным лишь при больших значениях угла наклона скачка ß в небольшом диапазоне изменения высот полета.
С дальнейшим ростом высоты полета из-за размытия ударной волны и воздействия охлажденной поверхности обтекаемого тела процесс диссоциации в возмущенной области течения становится несущественным. Неравновесные процессы переносятся здесь последовательно на колебательные, вращательные и поступательные степени свободы молекул, поскольку для их возбуждения требуется на несколько порядков меньшее количество столкновений молекул, чем при диссоциации. При моделировании этих процессов важным становится условие соблюдения для модели и натуры одной и той же функции распределения в невозмущенном потоке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., „Наука", 1967.
2. Oswatitsch К. Ahnlichkeitsgesetze fur hyperschallstromung. „ZAMP", N 2, 4, 1951.
3. Bailey А. В., Hiatt J. Sphere drag coefficients for a broad range of Mach and Reynolds numbers. „А1АА J"., vol. 10, N 11, 1972.
4. Ж и л и н Ю. Л. Параметры подобия при больших гиперзвуковых скоростях. ПММ, т. XXVI, вып. 2, 1962.
5. В а н-Д а й к М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком. В сб. .Исследование гиперзвуковых течений", М. „Мир", 1964.
6. Гусев В. Н., Коган М. Н., Перепухов В. А О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ", т. 1, № 1, 1970.
7. Гусев В. Н„ Ерофеев А. И., Климова Т. В., П е р е п ух о в В. А., Рябов В. В., Толстых А. И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып. 1855, 1977.
8. Коган М. Н. О гиперзвуковых течениях разреженного газа. ПММ, т. XXVI, № 3, 1962.
9. Sherman F. S., W i 11 i s D. R., M a s 1 а с h G. J. Nearly-free molecular flow: a comparison of theory and experiment. Proc. of the 11-th Intern. Congress, Munick, 1964.
10. Cheng H. K., Hall I. G.Golian Т. С., H e r t z b e r g A. Boundary-layer displacement and leading-edge bluntness effects in high-temperature hypersonic flow. „JASS", 1961, N 5.
11. Waldron H. F. Viscous hypersonic flow over pointed cones at low Reynolds number. „А1АА J"., 1967, N 2.
12. Potter I. L., Miller I. T. Sphere drag and dynamic simulation in near-free-molecule flow. Sixth Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1968.
13. Гусев В. H., Климова Т. В., Л и п и н А. В. Аэродинамические характеристики тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. Труды ЦАГИ, вып. 1411, 1972.
14. Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа. М., „Машиностроение", 1977.
15. Bray К. N. С. Real gas effects on lifting re-entry aerothermody-namics. AGARD-LS-42, vol. 1, 1972.
16. Агафонов В. П., Полянский О. Ю., Вертуш-кин В. К., Гладков А. А. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение", 1972.
17. Griffith В. 1., Boy lan D. Е. Reynolds and Mach number simulation of Appollo and Gemini re-entry and comparison with flight. „Hypersonic boundary layers and flow fields". London, 1968.
18. В о g d о n о f f S. M. The laminar hypersonic boundary layer—some observations of the leading and trailing edge problem. „Viscous Interaction Phenomena in supersonic and hypersonic flow". Proc. of the 1969 Sympos. Dayton, 1970.
19. A house D. R., Bo gd on off S. M. An experimental flow field study of the rarefied blunt body problem. „А1АА Paper", N 69-656, 1969.
Рукопись поступила 3l\VU 1978 г.
